연결 양식

수학, 특히 미분 기하학에서 연결 형태는 움직이는 프레임과 미분 형태의 언어를 사용하여 연결의 데이터를 구성하는 방식이다.

역사적으로, 접속 형태는 20세기 전반 에일리 카탄에 의해 도입되었고, 액자를 움직이는 방법의 일부로서, 주된 동기 중 하나가 되었다. 연결 형태는 일반적으로 좌표 프레임의 선택에 따라 달라지며, 따라서 시제목적이 아니다. 카탄의 초창기 작업에 이어 연결 형태의 다양한 일반화와 재해석이 공식화되었다. 특히 주요 묶음에서 주요 연결은 연결 형태를 시제적 객체로 자연 재해석한 것이다. 한편, 접속 형태는 그 위에 있는 추상적인 주체 묶음보다는 차별화 가능한 다지관에 정의된 차등 형태라는 장점이 있다. 따라서, 연결 형식은 시제가 없음에도 불구하고, 연결 형식은 그들과 계산을 수행하는 상대적인 용이성 때문에 계속 사용된다.^[1] 물리학에서 연결 형태는 게이지 공변량 파생물을 통해 게이지 이론의 맥락에서 광범위하게 사용된다.

연결 양식은 벡터 번들의 각 기초에 서로 다른 형태의 행렬을 연결한다. 연결 양식은 리바이스-시비타 연결에 대한 크리스토펠 기호와 거의 같은 방식으로 전환 기능의 외부 파생물을 포함하는 방식으로 전환되기 때문에 시제라인이 아니다. 연결 형태의 주요 불변형물은 곡률형이다. 접선 번들과 벡터 번들을 식별하는 솔더 형태가 있는 곳에는 추가적인 불변제인 비틀림 형태가 있다. 많은 경우에, 연결 형태는 구조체가 추가된 벡터 번들, 즉 구조 그룹이 있는 섬유 번들의 연결 형태에 고려된다.

벡터 번들

벡터 번들의 프레임

E를 다른 다지관 M 위에 있는 섬유 치수 k의 벡터 번들이 되게 하라. E에 대한 로컬 프레임은 E의 로컬 섹션에 대한 주문된 기준이다. 벡터 번들은 항상 다지관의 지도와 유사하게 국소적 사소한 것들의 관점에서 정의되기 때문에 국소적 프레임을 구성하는 것은 항상 가능하다. 즉, 베이스 다지관 M의 어떤 지점 x에 주어진 경우, U 위에 있는 벡터 번들이 공간 U × R에^k 대해 이형화된 x의 오픈 근린 U m M이 존재한다. 이것이 국소적 사소한 것이다. 따라서 R의^k 벡터 공간 구조는 전체 국소적 소급화로 확장될 수 있으며, R에^k 기초한 기반도 확장될 수 있다. 이는 국소 프레임을 정의한다. (여기서, R은 실제 숫자 ℝ을 의미하지만, 여기서의 개발의 많은 부분은 일반적으로 링을 통한 모듈로 확장될 수 있고, 특히 복잡한 숫자 ℂ에 대한 벡터 공간은 ℂ을 의미한다.)

e = (e_α)_α=1,2,...,k를 E의 로컬 프레임으로 한다. 이 프레임은 E의 어떤 부분을 지역적으로 표현하는데 사용될 수 있다. 예를 들어, ξ이 프레임 e와 동일한 오픈 세트에 걸쳐 정의된 로컬 섹션이라고 가정해 보십시오. 그러면

${\displaystyle \xi =\sum _{\sum =1}^{k}e_{\si ^{\si ^{\mathbf {e}}}}$

여기서 ξ^α(e)는 frame e에서 in의 성분을 나타낸다. 행렬 방정식으로서, 이것은 다음과 같다.

${\displaystyle \xi ={\mathbf {e} }{\begin{bmatrix}\xi ^{1}(\mathbf {e} )\\\xi ^{2}(\mathbf {e} )\\\vdots \\\xi ^{k}(\mathbf {e} )\end{bmatrix}}={\mathbf {e} }\,\xi (\mathbf {e} )}$

일반 상대성에서는 그러한 프레임 필드를 테트라드라고 한다. 테트라드는 특히 국부 프레임을 베이스 다지관 M의 명시적 좌표계(안테라스에 의해 확립되는 M의 좌표계)와 연관시킨다.

외부 연결부

E의 연결은 차동 연산자의 일종이다.

$[\displaystyle D:\감마(E)\오른쪽 화살표 \감마(E\otimes \Oomega ^{1}M)}$

여기서 γ은 벡터 번들의 국부 섹션의 껍질을 나타내며, ΩM은¹ M에 있는 차동 1형식의 묶음이다. D가 연결되려면 외부 파생상품과 정확하게 연결되어야 한다. 구체적으로는 v가 E의 국부적인 부분이고, f가 매끄러운 기능인 경우,

${\displaystyle D(fv)=v\otimes(df)+fDv}$

여기서 df는 f의 외부 파생물이다.

때로는 D의 정의를 임의의 E-값 형식까지 확장하는 것이 편리하여, 차등 형식의 완전한 외부 대수학으로 E의 텐서 제품에 대한 차등 연산자로 간주한다. 이 호환성 속성을 만족하는 외부 연결 D에 대해 D:의 고유한 확장이 있다.

$[\displaystyle D:\감마(E\otimes \Oomega ^{*}M)\오른쪽 화살표 \감마(E\otimes \Oomega ^{*M)}$

그런

${\displaystyle D(v\wedge \alpha )=(Dv)\wedge \alpha +(-1)^{\text{deg}\,v}v\wedge d\alpha }}$

여기서 v는 도 v의 균일하다. 즉, D는 등급 모듈 γ(E ⊗ ΩM^*)의 피복에 대한 파생이다.

연결 양식

연결 양식은 외부 연결을 특정 프레임 e에 적용할 때 발생한다. e에_α 외부 연결을 적용했을 때, 다음과 같이 M에 있는 단일 형태의 고유 k × k 행렬(Ω_α^β)이다.

${\displaystyle De_{\alpha }=\sum _{\beta =1}^{k}e_{\beta }\otimes \openes \omega _{\alpha }^{\beta }}}}}$

연결 양식에 있어서, 이제 E의 어떤 부분의 외부 연결도 표현할 수 있다. 예를 들어 ξ = σ_α eξ이라고_α^α 가정한다. 그러면

${\displaystyle D\xi =\sum _{\alpha =1}^{k}D(e_{\alpha }\xi ^{\alpha }(\mathbf {e} ))=\sum _{\alpha =1}^{k}e_{\alpha }\otimes d\xi ^{\alpha }(\mathbf {e} )+\sum _{\alpha =1}^{k}\sum _{\beta =1}^{k}e_{\beta }\otimes \omega _{\alpha }^{\beta }\xi ^{\alpha }(\mathbf {e} ).}$

양쪽의 구성 요소를 모두 가져가고,

${\displaystyle D\xi(\mathbf {e} )=d\xi(\mathbf {e})+\omega \xi(\mathbf {e})=(d+\omega)\xi(\mathbf {e} )}$

여기서 d와 Ω은 프레임 e와 관련하여 요소별 파생상품을 의미하며, 각각 components의 구성요소에 작용하는 1-102 행렬을 가리킨다. 반대로 1-forms Ω의 행렬은 e절의 기초가 정의된 개방된 집합에서 로컬로 연결을 완전히 결정하기에 충분한 선행이다.

프레임 변경

Ω을 적합한 글로벌 객체로 확장하기 위해서는 E의 기본 섹션의 다른 선택이 선택되었을 때 Ω이 어떻게 동작하는지를 검토할 필요가 있다. Ω_α^β = Ω_α^β(e)을 작성하여 e의 선택에 대한 의존도를 표시한다.

e′은 다른 지역적 기준의 선택이라고 가정한다. 그리고 다음과 같은 함수 g의 반전 가능한 k × k 행렬이 있다.

${\displaystyle {\mathbf {e}}={\mathbf {e}\\,g,\text{\i.e}}\cHB {\cHB}=\sum _{\mathbf }{\cHB_{\g_}^{\reason }}}}}}}}}}}}}.$

양쪽에 외부 연결을 적용하면 Ω에 대한 변환 법칙:

${\displaystyle \omega(\mathbf {e} \,g)=g^{-1}dg+g^{-1}\omega(\mathbf {e} )g.}$

특히 Ω은 한 프레임에서 다른 프레임으로 전달하기 위한 규칙은 전환 매트릭스 g의 파생 모델을 포함하기 때문에 시차적 방식으로 변환하지 못한다는 점에 유의한다.

전역 연결 양식

{U_p}이(가) M의 개방된 커버이고 각 U에_p E의 소급화 e가_p 장착되어 있는 경우, 중복 영역에 있는 로컬 연결 양식 간의 패치 데이터 측면에서 글로벌 연결 양식을 정의할 수 있다. 세부적으로 M 상의 연결 양식은 각 U에_p 정의된 1-폼의 매트릭스 Ω(e_p) 시스템으로서, 다음과 같은 호환성 조건을 만족한다.

${\displaystyle \omega (\mathbf {e} _{q})=(\mathbf {e} _{p}^{-1}\mathbf {e} _{q})^{-1}d(\mathbf {e} _{p}^{-1}\mathbf {e} _{q})+(\mathbf {e} _{p}^{-1}\mathbf {e} _{q})^{-1}\omega (\mathbf {e} _{p})(\mathbf {e} _{p}^{-1}\mathbf {e} _{q}).}$

이 호환성 조건은 특히 E 섹션의 외부 연결이 E ⊗ ΩM의¹ 섹션으로 추상적으로 간주될 때 연결 정의에 사용되는 기본 섹션의 선택에 따라 달라지지 않음을 보장한다.

곡률

E에서 연결 형태의 곡면성 2-형식은 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle \Oomega(\mathbf {e} )=d\omega(\mathbf {e})+\omega(\mathbf {e})\wedge \omega(\mathbf {e}).}$

연결 형태와 달리 프레임 변경 시 곡률의 작용이 지속되는데, 푸앵카레 보조마(Poincaré lema)를 이용해 직접 확인할 수 있다. 구체적으로는 e → e g가 프레임의 변화라면, 곡률 2-폼은 에 의해 변형된다.

${\displaystyle \Oomega(\mathbf {e} \,g)=g^{-1}\Oomega(\mathbf {e} )g.$

이 변혁법의 한 가지 해석은 다음과 같다. e를^* 프레임 e에 해당하는 이중 기준이 되게 한다. 그러면 2형식

${\displaystyle \Oomega ={\mathbf {e}}\Oomega(\mathbf {e} ){\mathbf {e}^{*}}}}}}}$

프레임 선택과 무관하다. 특히 Ω은 내형성 링 Hom(E,E)에 값이 있는 M 상의 벡터 값 2형식이다. 상징적으로

$\displaystyle \Oomega \in \Gamma(\Oomega ^{2}M\otimes {\text}홈}(E,E)).}$

외부 연결 D의 관점에서, 곡률적 내형성은 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle \Oomega(v)=D(Dv)=D^{2}v\,}$

V ∈ E용. 따라서 곡면성은 시퀀스의 고장을 측정한다.

${\displaystyle \Gamma (E)\ {\stackrel {D}{\to }}\ \Gamma (E\otimes \Omega ^{1}M)\ {\stackrel {D}{\to }}\ \Gamma (E\otimes \Omega ^{2}M)\ {\stackrel {D}{\to }}\ \dots \ {\stackrel {D}{\to }}\ \Gamma (E\otimes \Omega ^{n}(M))}$

체인 콤플렉스(De Rham cohomology의 의미에서)가 된다.

납땜 및 비틀림

E의 섬유 치수 k가 다지관 M의 치수와 동일하다고 가정한다. 이 경우 벡터 번들 E는 연결부 외에 땜납 형태라는 추가 데이터 조각을 장착하기도 한다. 땜납 형태는 매핑이 가능하도록 세계적으로 정의된 벡터 값 단일 형태 θ ∈ Ω¹(M,E)이다.

$\displaystyle \theta _{x}:T_{x}M\오른쪽 화살표 E_{x}}$

모든 x ∈ M에 대한 선형 이형성이다. 솔더 형태가 주어진다면 (외부 연결의 측면에서) 연결의 비틀림을 다음과 같이 정의할 수 있다.

$\displaystyle \theta =D\theta .\,}$

비틀림 Ⅱ는 M의 E값 2형식이다.

솔더 형태와 관련 비틀림은 모두 E의 국부 프레임 e로 설명할 수 있다. θ이 땜납 형태일 경우, 프레임 구성요소로 분해된다.

${\displaystyle \theta =\sum _{i}\theta ^{i}(\mathbf {e} )e_{i}.}$

비틀림의 구성 요소는 다음과 같다.

${\displaystyle \theta ^{i}(\mathbf {e} )=d\theta ^{i}(\mathbf {e})+\sum _{j}^{j}(\mathbf {e})\wedge \theeta ^{j}(\mathb {e}).}$

곡률과 유사하게, frame은 프레임의 변화 하에서 반선형 텐서 역할을 한다는 것을 알 수 있다.

${\displaystyle \Theta ^{i}(\mathbf {e}\,g)=\sum _{j}g_{j}^{i}\Theta ^{j}(\mathbf {e}).}$

프레임에 독립적인 비틀림도 프레임 구성 요소로부터 복구할 수 있다.

$\displaystyle \theta =\sum _{i}e_{i}\Theta ^{i}(\mathbf {e}).}$

비안치 정체성

비앙치 정체성은 비틀림과 곡률과 관련이 있다. 첫 번째 비앙치 정체는 다음과 같이 말한다.

$D\ 디스플레이 스타일 D\세타 =\Oomega \wedge \theta }$

제2의 비앙치 정체는 다음과 같이 말하고 있다.

$\displaystyle \,D\Oomega =0.}$

예: Levi-Civita 연결

예를 들어, M이 리만 계량기를 가지고 있다고 가정해 보자. 만일 벡터 번들 E가 M 위에 있다면, 그 메트릭은 번들 메트릭으로서 전체 벡터 번들로 확장될 수 있다. 그런 다음 이 번들 메트릭과 호환되는 연결을 정의할 수 있으며, 이것이 메트릭 연결이다. E가 접선 번들 TM인 특별한 경우를 위해 미터법 연결을 리만 연결이라고 한다. 리만족의 연결고리가 주어진다면, 언제나 비틀림 없는 독특한 등가 연결고리를 찾을 수 있다. M의 접선 번들 TM에 있는 Levi-Civita 연결부 입니다.^[2][3]

접선 번들의 로컬 프레임은 벡터 필드 e = (ei_i = 1, 2, ..., n), 여기서 n = dim M은 도메인의 모든 지점에서 선형적으로 독립적인 M의 열린 부분 집합에 정의된다. Christoffel 기호는 다음과 같이 Levi-Civita 연결을 정의한다.

${\displaystyle \nabla _{e_{i}e_{j}=\sum _{k=1}^{n}\감마 _{ij}^{k}(\mathbf {e} )e_{k}.}$

θ = {θⁱ i = 1, 2, ..., n}이(가) θⁱ(e_j) = Δⁱ_j(Kronecker 델타)와 같이 등각 번들의 이중 기준을 나타내는 경우, 연결 형태는 다음과 같다.

${\displaystyle \omega _{i}^{j}(\mathbf {e} )=\sum _{k}\감마 ^{j}{}_{ki}(\mathbf {e} )\the ^{k}.}$

연결 양식의 경우 벡터 필드 v = σev의 외부 연결은 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle Dv=\sum _{k}e_{k}\times (dv^{k})\times _{j}e_{k}\otimes \omega _{j}^{j}}{k}(\mathbf {e} )v^{j}.}$

통상적인 의미에서 e_i:와 계약함으로써 Levi-Civita 연결을 복구할 수 있다.

${\displaystyle \nabla_{e_{i}v=\langle Dv,e_{i}\langle =\sum_{k}e_{k}}\{nabla _{e_}v^}+\sum _{j}}\ij}^{k(e})\mathbf{v^{j}}}\i}}\i}}}\light}$

곡률

Levi-Civita 연결부의 곡률 2-폼은 다음과 같이 주어진 행렬(Ω_i^j)이다.

${\displaystyle \Omega _{i}{}^{j}(\mathbf {e} )=d\omega _{i}{}^{j}(\mathbf {e} )+\sum _{k}\omega _{k}{}^{j}(\mathbf {e} )\wedge \omega _{i}{}^{k}(\mathbf {e} ).}$

단순성을 위해 프레임 e가 holonomic이므로 dθⁱ = 0이라고 가정하십시오.^[4] 그리고 나서, 반복 지수에 대한 종합 규칙을 채택하고,

${\displaystyle {\begin{array}{ll}\Omega _{i}{}^{j}&=d(\Gamma ^{j}{}_{qi}\theta ^{q})+(\Gamma ^{j}{}_{pk}\theta ^{p})\wedge (\Gamma ^{k}{}_{qi}\theta ^{q})\\&\\&=\theta ^{p}\wedge \theta ^{q}\left(\partial _{p}\Gamma ^{j}{}_{qi}+\Gamma ^{j}{}_{pk}\Gamma ^{k}{}_{qi})\right)\\\\&={\tfrac {1}{1}:{1}:{p}\theta ^{p}\wedge \theta ^{q}R_{pqi}{}^{j}\end{array}}}}}}}}}}}}}$

여기서 R은 리만 곡률 텐서다.

토션

Levi-Civita 연결은 비틀림이 0인 접선 번들의 고유한 미터법 연결로 특징지어진다. 비틀림을 설명하려면 벡터 번들 E가 접선 번들임을 참고하십시오. 이것은 접선 공간의 정체성 내형성에 해당하는 Hom(TM, TM) = TM^∗ ⊗ TM인 표준 땜납 형태(특히 고전 역학의 맥락에서 표준 땜납 형태라고도 함)를 가지고 있다. 프레임 e에서 땜납 형태는 {{{1}}}, 여기서 다시 θ은ⁱ 이중기준이다.

연결부의 비틀림은 θ = Dθ 또는 땜납 형태의 프레임 구성요소에 의해 주어진다.

${\displaystyle \theta ^{i}(\mathbf {e} )=d\theta ^{i}+\sum _{j}\omega _{j}^{j}}(\mathbf {e} )\wedge \theta ^{j}.}$

단순성을 위해 e가 홀노믹이라고 다시 가정하면 이 표현은 다음과 같이 감소한다.

${\displaystyle {\mathrm{\theta }}^{}}$ ${\displaystyle i^{}}$= ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ i ${\displaystyle k^{}}$ ${\displaystyle j_{}{}^{}{}^{}}$ ${\displaystyle {\theta }^{}}$ j {\$displaystyle \\theta ^{$i}=\$Gamma ^{i}{}_${kj$}\the ^{k}\wedge$ $\backslash$$j},$

γ이ⁱ_kj 더 낮은 지수에서 대칭인 경우에만 소멸한다.

비틀림과의 미터법 연결이 주어진 경우, 한 번은 비틀림 없는 단일 고유 연결을 항상 찾을 수 있으며, 이것은 Levi-Civita 연결이다. 리만어 연결과 관련된 레비-시비타 연결 사이의 차이는 콘스탄션 텐서다.

구조 그룹

벡터 번들 E가 구조 그룹을 운반할 때 보다 구체적인 유형의 연결 양식을 구성할 수 있다. 이는 Lie 그룹 G에 의해 관련되는 E에서 선호하는 프레임 클래스 e에 해당한다. 예를 들어, E에 있는 메트릭스(metric)가 있는 경우, 각 점에서 정형화된 기준을 형성하는 프레임으로 작업한다. 구조 그룹은 프레임의 직교 정도를 보존하기 때문에 직교 그룹은 직교 그룹이다. 그 밖의 예는 다음과 같다.

• 앞의 절에서 고려하는 일반적인 프레임은 구조 그룹 GL(k)을 가지며 여기서 k는 E의 섬유 치수다.
• 복합 다지관(또는 거의 복합 다지관)의 홀로모르픽 접선다발.^[5] 여기서 구조 그룹은 GL_n(C) ⊂ GL_2n(R)이다.^[6] 은둔자 측정이 주어지는 경우, 구조 그룹은 단일 프레임에 작용하는 단일 군집단으로 감소한다.^[5]
• 스핀 구조가 장착된 다지관의 스피너. 프레임은 스핀 공간의 불변 내제품에 대해 단일하며, 그룹은 스핀 그룹으로 감소한다.
• CR 다지관의 홀로모르픽 탄젠트 번들.^[7]

일반적으로 E는 섬유 치수 k의 주어진 벡터 번들과 G k GL(k) R의^k 일반 선형 그룹의 주어진 Lie 부분군이 되도록 한다. (e_α)가 E의 국부 프레임인 경우, 매트릭스 값 함수_i^j(g M → G는 새로운 프레임을 생산하기 위해 e에_α 작용할 수 있다.

${\displaystyle e_{\property }=\sum _{\put }e_{\put }g_{\put }^{\property }}}}$

그러한 두 프레임은 G와 관련이 있다. 비공식적으로 벡터 번들 E는 선호하는 등급의 프레임이 지정되면 G번들 구조를 가지며, 모두 국소적으로 G-bundle과 관련이 있다. 공식적 용어로 E는 GL(k)의 하위그룹으로서 G의 자연적인 작용이 있는 전형적인 광섬유가 R인^k 구조그룹 G를 가지는 섬유다발이다.

호환되는 연결

관련 병렬 전송 맵이 항상 하나의 G-프레임을 다른 프레임으로 전송하는 경우, 연결은 E의 G-번들 구조와 호환된다. 공식적으로, γ 곡선을 따라, 다음 사항이 국부적으로 유지되어야 한다(즉, t의 충분한 작은 값에 대해).

${\displaystyle \감마(\gamma )_{0}^{t}e_{\alpha }(\gamma (0)=\sum _{\beta }e_{\beta }g_{\alpha ^{\beta }(t)}$

일부 행렬 g_α^β(t에 의존할 수도 있음)에 대해. t=0에서 분화하면 얻을 수 있다.

${\dot_{\dot{\dot{\dot{\dot{\message }}e_{\sum _{\dot }e_{\message }\omega _{\message }^{\dot{\dot {\}(0)}$

여기서 계수 Ω은_α^β Lie 그룹 G의 Lie 대수 g에 있다.

이 관찰을 통해 다음과 같이 정의되는 연결 양식 Ω_α^β

${\displaystyle De_{\alpha }=\sum _{\beta }e_{\beta }}\otimes \omega _{\alpha }^{\beta }}(\mathbf {e} )}$

1 Ω_α^β(e)의 매트릭스가 g 단위의 값을 갖는 경우 구조와 호환된다.

호환 가능한 연결의 곡률 형태는 더욱이 g 값 2형식이다.

프레임 변경

틀의 변화 아래

${\displaystyle e_{\property }=\sum _{\pair }e_{\pair }g_{\pair }^{\pair }}}}}}}}}$

여기서 g는 M의 열린 부분 집합에 정의된 G 값 함수로서, 연결 형태는 다음을 통해 변환된다.

${\displaystyle \omega _{\alpha }^{\beta }(\mathbf {e} \cdot g)=(g^{-1})_{\gamma }^{\beta }dg_{\alpha }^{\gamma }+(g^{-1})_{\gamma }^{\beta }\omega _{\delta }^{\gamma }(\mathbf {e} )g_{\alpha }^{\delta }.}$

또는 매트릭스 제품 사용:

${\displaystyle \omega({\mathbf {e}}\cdot g)=g^{-1}dg+g^{-1}\omega g.}$

이러한 각 항을 해석하려면 G : M → G가 G 값(로컬하게 정의) 함수라는 것을 기억하십시오. 이것을 염두에 두고

${\displaystyle \mathbf {e}}\cdot g)=g^{*}\omega_{\mathfak{g}+{\text{Ad}}_{g^{-1}\mathbf {e}}}}}$

여기서 Ω은_g 그룹 G를 위한 Maurer-Cartan 형식이며, 여기서 함수 g를 따라 M으로 다시 당겨지며, Ad는 그것의 Lie 대수학에서 G를 조정된 표현이다.

주 번들

연결 형태는 지금까지 소개된 바와 같이 프레임의 특정 선택에 따라 달라진다. 첫 번째 정의에서, 프레임은 단지 부분의 지역적 기초일 뿐이다. 각 프레임에 연결 양식은 한 프레임에서 다른 프레임으로 전달하기 위한 변환 법칙과 함께 주어진다. 두 번째 정의에서 프레임 자체는 Lie 그룹에 의해 제공되는 일부 추가 구조를 가지고 있으며, 프레임의 변화는 그 안에서 자신의 가치를 취하는 것으로 제한된다. 1940년대에 샤를 에레스만이 개척한 주요 번들의 언어는 이러한 많은 연결 형식과 변환 법칙을 하나의 변환 규칙으로 하나의 내적 형태로 연결하는 방법을 제공한다. 이 접근방식의 단점은 형태가 더 이상 다지관 자체에 정의되어 있지 않고 오히려 더 큰 주성분 묶음에 정의되어 있다는 것이다.

연결 양식의 기본 연결

E → M이 구조 그룹 G를 가진 벡터 번들이라고 가정한다. {U}을(를) 각 U에 있는 G-프레임과 함께 e로_U 표시된 M의 개방된 커버가 되게 하라. 이는 다음에 의해 겹치는 오픈 세트의 교차점에 관련된다.

${\displaystyle {\mathbf {e}_{V}={\mathbf {e}_{U}\cdot h_{{{}}}UV}$

U ∩ V에 정의된 일부 G 값 함수 h_UV.

FE는_G M의 각 지점을 차지한 모든 G-프레임의 집합이 되게 한다. 이것은 M에 대한 주된 G번들이다. 세부적으로, G-프레임이 모두 G-관련성이라는 사실을 이용하여 오픈 커버 세트 중 데이터 접착 측면에서 FE를_G 실현할 수 있다.

${\displaystyle F_{G}E=\왼쪽.\coprod _{U}U\time G\right/\sim }$

여기서 동등성 관계${\displaystyle }$~ ${\displaystyle \sim }$이(가) 정의됨$$

${\displaystyle(x,g_{U}\in U\times G)\sim(x,g_{V}\in V\time G)\iff {\\mathbf {e}}{V}={\mathbf {e}}={U}\cdot h_{{{{{{}}}}}}}}}}}}UV}{\text{ 및 }}g_{U}=h_{UV}^{-1}(x)g_{V}.}$

FE에서는_G 겹치는 부위의 동등성 관계를 존중하는 각 제품 U × G에 g-값의 단일 양식을 지정하여 다음과 같이 주 G-접속을 정의한다. 먼저 하자

${\displaystyle \pi _{1}:U\time G\to U,\quad \pi _{2}:U\time G\to G}$

투영 지도가 되다 자, 점(x,g) for U × G에 대해 설정

${\displaystyle \omega _{(x,g)}=Ad_{g^{-1}\pi _{1}^{1}^{1}}\mathbf {e}+\pi _{2}^{*}\mathbf {g}}}}}}$

이러한 방식으로 구성된 1-폼 Ω은 중첩 세트 사이의 전환을 존중하므로, 주 번들 FE에_G 전체적으로 정의된 1-폼을 부여하기 위해 하강한다. Ω은 FE에_G 대한 오른쪽 G 작용의 발생기를 재현한다는 점에서 주요한 연결고리임을 알 수 있으며, T(FE_G)에 대한 올바른 작용과 G의 부선표현(부선표현)을 어정쩡하게 얽어매고 있다.

주 연결에 연결된 연결 양식

반대로, 주 G-번들 P→M의 주 G-연결 Ω은 M에 접속 형태 모음을 발생시킨다. e : M → P가 P의 국부적인 부분이라고 가정한다. 그런 다음 e를 따라 Ω의 풀백은 M:에 g-값의 단일 형태를 정의한다.

${\displaystyle \omega({\mathbf {e}})={\mathbf {e}^{*}\omega.}$

G 값 함수 g에 의해 프레임을 변경하면 Ω(e)이 라이프니즈 규칙과 부속물을 사용하여 필요한 방식으로 변환되는 것을 볼 수 있다.

${\displaystyle \langle X, ({\mathbf {e}}\cdot g)^{*}\omega \angle =\langle [d(\mathbf {e}\cdot g)](X),\omega \rangle }$

여기서 X는 M의 벡터로서 d는 푸시포워드를 나타낸다.

참고 항목

• 에레스만 접속
• 카르탄 연결
• 아핀 연결
• 곡률형

메모들

참조

• 체른, S.S., 차등 기하학의 주제, 고등 연구 연구소, 마임프로그래밍된 강의 노트, 1951.
• Chern S. S.; Moser, J.K. (1974), "Real hypersurfaces in complex manifolds", Acta Math., 133: 219–271, doi:10.1007/BF02392146
• Griffiths, Phillip; Harris, Joseph (1978), Principles of algebraic geometry, John Wiley and sons, ISBN 0-471-05059-8
• Jost, Jürgen (2011), Riemannian geometry and geometric analysis (PDF), Universitext (Sixth ed.), Springer, Heidelberg, doi:10.1007/978-3-642-21298-7, ISBN 978-3-642-21297-0, MR 2829653
• Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1996), Foundations of Differential Geometry, Vol. 1 (New ed.), Wiley-Interscience, ISBN 0-471-15733-3
• Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1996), Foundations of Differential Geometry, Vol. 2 (New ed.), Wiley-Interscience, ISBN 0-471-15732-5
• Spivak, Michael (1999), A Comprehensive introduction to differential geometry (Volume 2), Publish or Perish, ISBN 0-914098-71-3
• Spivak, Michael (1999), A Comprehensive introduction to differential geometry (Volume 3), Publish or Perish, ISBN 0-914098-72-1
• Wells, R.O. (1973), Differential analysis on complex manifolds, Springer-Verlag, ISBN 0-387-90419-0
• Wells, R.O. (1980), Differential analysis on complex manifolds, Prentice–Hall