이중 사분위

수학에서, 이중 사원수(dual quaternions)는 사원수와 쌍수의 텐서곱과 동형인 8차원 실수 대수이다.따라서, 실수 대신 쌍수를 계수로 사용하는 것을 제외하고, 4분의 1과 같은 방법으로 구성할 수 있습니다.이중 사분위수는 A + δB 형식으로 나타낼 수 있다.여기서 A와 B는 통상 사분위수이고, δ는 θ² = 0을 만족하며 대수의 모든 원소와 교감하는 이중 단위이다.사분위수와 달리, 이중 사분위는 나눗셈 대수를 형성하지 않는다.

역학에서, 이중 사분위수는 3차원으로 ^[1]강성 변환을 나타내기 위해 수 체계로 적용된다.이중 사분위수의 공간은 8차원이고 강성 변환은 6개의 실제 자유도를 가지기 때문에, 이 응용에서는 두 개의 대수적 제약 조건을 따르는 이중 사분위수를 사용한다.

3D 공간에서의 회전이 단위 길이의 4분의 1로 표현되는 것과 마찬가지로, 3D 공간에서의 강성 운동은 단위 길이의 2분의 1로 표현될 수 있다.이 사실은 이론 운동학(Mcarthy 참조^[2]) 및 3D 컴퓨터 그래픽, 로봇 및 컴퓨터 비전 ^[3]응용 분야에 사용됩니다.

역사

W. R. 해밀턴은 1843년에 4분의^[4][5] 1을 도입했고, 1873년까지 W. K. 클리퍼드는 그가 ^[6][7]비사분수라고 부르는 이 숫자들의 광범위한 일반화를 얻었는데, 이것은 현재 클리포드 ^[2]대수라고 불리는 것의 한 예이다.

1898년 알렉산더 맥올레이는 이중 사분위 대수를 생성하기 위해 ^[8]δ² = 0인 δ를 사용했다.그러나 오늘날 8진수는 또 다른 대수이기 때문에 그의 "옥토니언스"라는 용어는 변하지 않았다.

러시아에서, 알렉산드르 코텔니코프는^[9] 역학의 연구에 사용하기 위해 이중 벡터와 이중 사분자를 개발했다.

1891년 Eduard Study는 이 연상대수가 3차원 공간의 운동군을 기술하는데 이상적이라는 것을 깨달았다.그는 1901년 ^[10]Geometrie der Dynamen에서 그 아이디어를 더욱 발전시켰다.B. L. van der Waerden은 이 구조를 비쿼터리온이라고 불리는 세 개의 8차원 대수 중 하나인 "연구 비쿼터리온"이라고 불렀다.

수식

이중 사분위수를 사용한 연산을 설명하기 위해서는 먼저 ^[11]사분위수를 고려하는 것이 좋습니다.

4분의 1은 베이스 요소 1, i, j, k의 선형 조합이다.해밀턴의 i, j, k에 대한 곱셈 규칙은 종종 다음과 같이 쓰여진다.

$\displaystyle i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1.}$

i ( i j k ) = -j k = -i를 계산하여 j k = i 및 (i j ) k = -i j = -k 또는 i j = k를 구합니다.이제 j ( j k ) = j i = -k이므로, 이 곱은 i j = -j i를 산출하고, 이는 4원소를 행렬식의 특성에 연결한다.

4분위 곱을 사용하는 편리한 방법은 4분위수를 스칼라와 벡터의 합으로 쓰는 것입니다. 즉, A = a₀ + A, 여기서₀ a는 실수이고 A = A i₁ + A₂ j + A₃ k는 3차원 벡터입니다.벡터 점 및 교차 연산을 사용하여 A = a₀ + A 및 C = c₀ + C의 4제곱 곱을 다음과 같이 정의할 수 있습니다.

$\displaystyle G=AC=(a_{0}+\mathbf {A})(c_{0}+\mathbf {C})=(a_{0}c_{0}-\mathbf {A} \cdot \mathbf {C})+(c_{0}\mathbf {A})}$

NETLease 기업 부동산 ETF는 산업재산 i, j, k에 점점 더 초점을 맞추고 있으며 특성 ε² = 0이다.

그 결과, 듀얼 사분위기는 사분위수의 순서쌍(A, B )으로서 쓸 수 있습니다.두 개의 2원소가 성분별로 더해지고 규칙에 따라 곱한다.

${\displaystyle {A}{\hat {C}}=(A,B)(C,D)=(AC,AD+BC).}$

이중 사분위수를 이중 스칼라와 이중 벡터의 합으로 쓰면₀ 편리합니다. 여기서 = (a, b )와₀ A = (A, B )는 나사를 정의하는 이중 벡터입니다.이 표기법은 우리가 두 개의 2원소의 곱을 다음과 같이 쓸 수 있게 해준다.

${\displaystyle {\hat {G}}={\hat {C}}=hat {a}}_{0}+{\mathsf {C}}=hat {a}_{0}+{\mathsf {C}}}=hat {a}_{0}_{\hat {c}-{\mathsf} {CD}}} {CD} {CD}} {CD}}}} {CD}}} {cd}}}$

추가

이중 사분위수의 덧셈은 다음과 같이 구성 요소별로 정의된다.

${\displaystyle {A}=(A,B)=a_{0}+a_{1}i+a_{2}j+a_{3}k+b_{0}\varepsilon +b_{1}\varepsilon i+b_{2}\varepsilon j+b_{3}}\varepsilon k,}$

그리고.

${\displaystyle {C}=(C,D)=c_{0}+c_{1}i+c_{2}j+c_{3}k+d_{0}\varepsilon i+d_{2}\varepsilon j+d_{3}}\varepsilon k,}$

그리고나서

$({displaystyle {A}+{\hat {C}=(A+C,B+D)=(a_{0}+c_{0})+i+(a_{2}+c_{2})j+(a_{3}+c_{3})k+b_0_{0}d})$

곱셈

4분위 i, j, k에 대한 곱셈 규칙과 2분위 θ에 대한 교환 곱셈에서 2분위 2의 곱셈을 구한다.특히,

${\displaystyle {A}}=(A,B)=A+\varepsilon B,}$

그리고.

${\displaystyle {C}}=(C,D)=C+\varepsilon D,}$

그리고나서

${\displaystyle {A}{\hat {C}}=(A+\varepsilon B)(C+\varepsilon D)=AC+\varepsilon(AD+BC).}$

이중 숫자의 정의에서는 θ = 0이어야² 하므로 BD 항은 없습니다.

그러면 곱셈 테이블이 나타납니다(곱셈 순서는 행 곱하기 열).

2사분위 곱셈표

(x행)	1	i	j	k	ε	i	§ j	k
1	1	i	j	k	ε	i	§ j	k
i	i	−1	k	−j	i	-스위치	k	-440j
j	j	−k	−1	i	§ j	-160k	-스위치	i
k	k	j	−i	−1	k	§ j	- ii	-스위치
ε	ε	i	§ j	k	0	0	0	0
i	i	-스위치	k	-440j	0	0	0	0
§ j	§ j	-160k	-스위치	i	0	0	0	0
k	k	§ j	- ii	-스위치	0	0	0	0

켤레

이중 사분위기의 켤레는 사분위기의 켤레 확장이다.

$({displaystyle {A}}^{*}=(A^{*},B^{*})=A^{*}+\varepsilon B^{*}.\!}$

사분위기와 마찬가지로, 이중 사분위기의 곱인 δ = δ δ δ는 역순의 사분위기의 곱이다.

${\displaystyle {G}^{*}={\hat {C}}^*}={\hat {C}^{*}{\hat {A}^*}.}$

4분의 1의 스칼라 부분과 벡터 부분, 또는 2분의 1의 듀얼 스칼라 부분과 듀얼 벡터 부분을 선택하는 함수 Sc(θ)와 Vec(θ)를 도입하면 편리하다.특히₀ = + A일 경우,

${\displaystyle {\hat {Sc}}({\hat {A}})=hat {a}_{0}, {\mbox {Vec}}({\hat {A}})=hat mathsf {A}}}.}$

이것은 O의 켤레를 다음과 같이 정의할 수 있게 한다.

${\displaystyle {A}^{*}=mbox{Sc}({\hat {A}})-{\mbox{Vec}({\hat {A}})}$

또는,

${\displaystyle({\hat {a}}_{0}+{\mathsf {A})^{*}=hat {a}_{0}-{\mathsf {A}}}).}$

켤레 수율을 갖는 이중 사분위기의 곱

${\displaystyle {\hat {A}} {\hat {A} {\mathsf {A}} {\mathsf {A}} {\hat {a} {0} - {\mathsf {A}} = {a}_{0} + {\mathsf {A} {\maths} {\mathf} {a} = cd} {a} {a} {a} {cd} {a} {a} {a} {\maths} {cd} {a} {\maths} {a} {}$

이것은 이중 스칼라로, 이중 사분위수의 제곱입니다.

이중수 켤레

2 사분위수의 두 번째 타입의 켤레는 다음과 같이 주어지는 쌍수 켤레를 취함으로써 주어진다.

$(\displaystyle\hat {A}=(A,-B)=A-\varepsilon B).\!}$

사분위수와 이중수 켤레는 다음과 같이 주어진 세 번째 켤레의 형태로 결합될 수 있다.

${\displaystyle {{\hat {A}^{*}}=(A^{*},-B^{*})=A^{*}-\varepsilon B^{*}.\!}$

이중 사분위수의 맥락에서, "공역"이라는 용어는 사분위수 켤레, 이중수 켤레 또는 둘 모두를 의미하기 위해 사용될 수 있다.

노름

이중 사분위수 δ의 노름은 δ = δ^* δ를 계산하기 위해 켤레를 사용하여 계산된다.이것은 이중 사분위수라고 불리는 이중 숫자입니다.Ω = 1인 이중 사분위는 단위 사분위이다.

규모 1의 이중 사분위는 공간 유클리드 변위를 나타내기 위해 사용된다.â^* = 1의 요구사항은 ,의 구성요소에 두 개의 대수적 제약 조건을 도입한다는 것에 주목한다.

$({displaystyle {A}}{\hat {A}^{*}=(A,B)(A^{*},B^{*})=(AA^{*})AB^{*}+BA^{*}=(1,0).}$

역

p + µ q가 이중 사분위수이고 p가 0이 아닌 경우 역 이중 사분위수는 다음과 같다.

p⁻¹ (1 ~ qp⁻¹)

따라서 하위 공간 { q q : q h H }의 요소에는 역수가 없습니다.이 부분 공간을 고리 이론에서는 이상이라고 합니다.그것은 이중수의 고리의 독특한 최대 이상이다.

그 후, 듀얼 번호 링의 유닛 그룹은, 이상적이지 않은 번호로 구성됩니다.고유한 최대 이상이 있기 때문에 이중 숫자는 로컬 링을 형성합니다.단위 그룹은 Lie 그룹이며 지수 매핑을 사용하여 연구할 수 있습니다.이중 사분위기는 유클리드 군에서 변환을 나타내기 위해 사용되어 왔다.일반적인 요소는 나사 변환으로 쓸 수 있습니다.

이중 사분위 및 공간 변위

2개의 공간 변위_B D = ([R_B], b) 및_A D = ([R_A], a) 조성의 이중 사분위 공식의 장점은 결과 이중 사분위 D_C = DD의_BA 나사 축과 이중 각도를 직접 산출한다는 것이다.

일반적으로 공간변위 D=([A], d)와 관련된 이중 4분의 1은 나사축 S=(S, V)와 이 축을 따라 θ가 회전하는 이중각도(θ, d)로 구성되며, 이 이중각도는 변위 D를 규정한다.연관된 이중 사분위는 다음과 같이 주어진다.

$({displaystyle}{hat {S}=cos frac {hat }{2}}+sin {frac {hat }{2}}{\mathsf {S}}}}$

D와의_A 변위_B D의 구성을 변위_C D = DD로_BA 한다.나사 축과 D의 이중_C 각도는 다음과 같이 D와_B D의 이중_A 사분위 곱에서 구합니다.

${\displaystyle {hat {A}=\cos({\hat}/2)+\sinhat {\mathsf {A}}{\mathsf {A}}}{quad {hat {B}}=\cos({\hat}/2)+\sin\mathb}{\mathb}{\mathf}{\cs}{\c}{{\mathf}}{{\c}}}}}{\cos}}}}{\mathf}{{\cs}}}}}}}}$

즉, 복합 변위_C D=DD는_BA 다음과 같은 관련 이중 사분위기를 갖는다.

${\displaystyle {c}=\cos frac {hat }+{2}+\sin {frac {C}=\left(\cos {frac }{2}}+\sin {frac }{b}\cosfr}(오른쪽)}$

이 제품을 확장하여 다음 제품을 확장하십시오.

$(*displaystyle\cos\frac\hat\frac\hat\frac\frac{C}=왼쪽(\cos\frac\hat\frac\hat}{2}}-sin\frac\frac\hat{C})cos frac {frac {beta } {A} + frac {beta } {2} } sin {frac {b} {b} {\mathsf {A} {\frac} {\f} {\frac} {\f} {B} {\mathsf {A} {\} {\} {\} {\} {\} {\cosf} {\} {\} {\} {\} {\} {\} {\f} {\cosf} {\cus} {\} {\} {\c}$

이 방정식의 양변을 항등식으로 나누다

$(*displaystyle\cos\frac{hat}{2}=cos\frac{hat}{2}}-sin(*frac{hat}}{2}}-sin(*frac{hat}}{2}}{\mathsf}A)$

손에 넣다

$(*displaystyle\frac {\frac} {\mathsf {C} = frac {\frac} {B} + tan {\frac {\frac} {\frac {B} + {2}} {\mathsf {A} + \ frac } {\frac {\f} {\f} {\f} {\frac}{A}}}}}.$

이것은 두 변위의 나사 축으로 정의된 복합 변위의 나사 축에 대한 Rodrigues의 공식입니다.그는 ^[12]1840년에 이 공식을 도출했다.

3개의 나사축 A, B 및 C는 공간 삼각형을 형성하며, 이 삼각형의 변을 이루는 공통 노멀 사이의 이러한 정점에서의 이중 각도는 3개의 공간 변위의 이중 각도와 직접 관련이 있습니다.

이중 사분위 곱셈 행렬 형식

4분위 곱의 행렬 표현은 2분위 연산에도 적용되는 행렬 대수를 사용하여 4분위 연산을 프로그래밍하는 데 편리하다.

4분기 곱 AC는 4분기 C 성분의 연산자 A에 의한 선형 변환이므로, C 성분으로부터 형성된 벡터에 작용한 A의 행렬 표현이 있다.

4등분₀ C = c + C의 성분을 C = 어레이 (C₁, C₂, C₃, c₀)에 조립한다.4분의 1의 벡터 부분의 성분이 먼저 나열되고 스칼라가 마지막으로 나열되는 것에 주의해 주세요.이것은 자의적인 선택이지만, 일단 이 규칙을 선택한 후에는 따라야 합니다.

이제 4분의 1의 곱 AC를 행렬 곱으로 나타낼 수 있습니다.

${\displaystyle AC=[A^{+}]C=begin{bmatrix}a_{0}&A_{3}&A_{2}&A_{1}\\-A_{3}&a_{0}&A_{1}&A_{2}\\A_{2}&-A_{1}&a_{0}&A_{3}\\-A_{2}&-A_{3}&a_{0}\end{bmatrix}{\begin{Bmatrix}{{1}\C_{2}\C_{3}\c_0}\end{Matrix}}.}$

제품 AC는 또한 A의 구성요소에 대한 C에 의한 작업으로 볼 수 있으며, 이 경우 우리는

${\displaystyle AC=[C^{-}]A=bgin{bmatrix}c_{0}&C_{3}&-C_{1}&C_{0}&C_{1}&C_{2}&C_{1}&C_{1}&C_{1}&C_{}A_{1}\\A_{2}\\A_{3}\a_{0}\end{Bmatrix}}.}$

이중 4원소 생성물 δδ = (A, B)(C, D) = (AC, AD+BC)는 다음과 같이 매트릭스 연산으로 공식화할 수 있다.δ의 구성 요소를 8차원 배열 δ = (C₁, C₂, C₃, c₀, D₁₂, D₃, D, d₀)로 조립하면 δ는 8x8 매트릭스 곱에 의해 주어집니다.

${\displaystyle {A} {\hat {C}}=[{\hat {A}^{+}} {\hat {C}}=bmatrix}A^{+}&0\\B^{+}&A^{+}\end{bmatrix}{\begin{Bmatrix}C\\D\end{Bmatrix}.}$

4분의 1에 대해 살펴본 바와 같이, 곱 product은 좌표 벡터 ,에 대한 on의 연산으로 볼 수 있으며, 이는 ĉ도 다음과 같이 공식화할 수 있음을 의미한다.

${\displaystyle {A}{\hat {C}}=[{\hat {C}^{-}}}{\hat {A}=bgin {bmatrix}C^{-}&C^{-}\end {brix}{-}\begin {BMatrix}}A\B\end {Bmatrix}.}$

공간 이동에 대한 자세한 정보

변위 D=([A], d)의 2원소는 회전 [A]를 정의하는 4원소₃ S=cos(θ/2)+sin(θ/2)S와 변환 벡터 d에서 구성되는 벡터 4원소 D=di₁+dj₂+dk로 구성할 수 있다.이 표기법을 사용하면, 변위 D=([A], d)에 대한 이중 사분위는 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle {S}=S+\varepsilon {frac {1}{2}DS}$

플뤼커가 이동체의 점 p를 통과하는 방향 x의 선좌표와 점 P를 통과하는 방향 X의 고정 프레임의 좌표가 주어지도록 하자.

$\displaystyle {hat {x}=\mathbf {p} \times \mathbf {x} \mathbf {x} \mathbf {X} = \varepsilon \mathbf {P} \times \mathbf {X}$

그리고 이 물체의 변위의 이중 사분위는 다음 공식에 의해 이동 프레임의 플뤼커 좌표를 고정 프레임의 플뤼커 좌표로 변환합니다.

${\displaystyle {\hat {X}}={\hat {x}}{\overline {\hat {S}^*}}}.}$

이중 사분위 곱의 매트릭스 형식을 사용하면 다음과 같이 됩니다.

${\displaystyle {X}=[{\hat {S}^{+}][{\hat {S}^{-}}^{*}{\hat {x}}}.}$

이 계산은 매트릭스 연산을 사용하여 쉽게 관리할 수 있습니다.

이중 4원소 변환 및 4×4 균질 변환

특히 강체 운동에서 단위 이중 사분위수를 균질 행렬로 표현하는 것이 유용할 수 있습니다.위와 같이 이중 사분위기는 $다음$과 같이 쓸 수 있다.${\displaystyle q}$^ ${\displaystyle =}$ r + ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle r}$r {$displaystyle$ {$q$} $= r$ +$d$ \ $varepsilon$ r$$。여기서 r과 d는 모두 사분위수이다.r 쿼터니언은 실제 또는 회전 부품$,$ d\$displaystyle$ d$$쿼터니언은$$ $듀얼{\displaystyle }$ 또는 변위 부품이라고 합니다.

회전 부품은 다음과 같이 지정할 수 있습니다.

$({displaystyle r=r_{w}+r_{y}j+r_{z}k=\cos \leftfc\frac {2}}\right)+\sin \lefttheta\frac {a}\right)\cdot(i,jk}\right)$

여기서$\theta {\displaystyle }$ {$displaystyle \theta }$는 $단위{\displaystyle \stackrel{}{}}$ 벡터 a $→$ {{$displaystyle {a$에서 주어진 방향에 대한 회전 각도입니다.변위 부분은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

${\displaystyle d}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle 0}$+ ${\displaystyle \frac{\delta }{}}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ 2${\displaystyle i}$ + ${\displaystyle \frac{\delta }{}}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ 2${\displaystyle j}$ + ${\displaystyle \frac{\delta }{}}$ z ${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ { $displaystyle$ d =$0$+ { \ $frac${ \ $Delta$ x } {2$} i$+ { \ $frac {$ \ $Delta$ y$}$ { $2$} $k$

3D 벡터와 동등한 이중 사분위기는

$({displaystyle {v}):=1+\varepsilon (v_{x}i+v_{y}j+v_{z}k)$

q$^$ { $displaystyle${ $hat {$q}}에$$ $의한{\displaystyle \stackrel{}{}}$ 변환은 다음과^[13] 같습니다.

$v$^ ${\displaystyle =\stackrel{}{}}$^ ^ ${\displaystyle ^\stackrel{}{}}$^ ${\displaystyle ^}$ ${\displaystyle \stackrel{}{{\stackrel{}{^}}^{}}}$ ^ ^ ^ ^ ^$$ ^ ${\displaystyle \stackrel{}{{}^{}}}$ { $displaystyle${hat ${v}}$=$cdot {v}}$ \ $cdot {{\hat {q}$ } }$$。

이러한 이중 4원소(또는 실제로 3D 벡터의 변환)는 균질 변환 행렬로 나타낼 수 있습니다.

$(\displaystyle T=pmatrix) 1&0&0&0&\Delta x&\Delta y&R&\Delta z&\end {pmatrix})$

여기서 3×3 직교 행렬은 다음과 같이 주어진다.

${{displaystyle R=begin{pmatrix}r_{w}^{2}-r_{y}^{2}-r_{z}^2}&2r_{x}r_{y}-2r_{w}r_{z}&2r_{x}r_{w}+r_{w}{w}^2}}$

3D 벡터용

${\displaystyle v=pmatrix}1\\v_{x}\v_{y}\v_{z}\\end{pmatrix}}$

T에 의한 변환은 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle {v}}'=T\cdot {v}}$

클리포드 대수로의 연결

두 개의 클리포드 대수의 텐서곱, 사분수와 쌍수 외에, 이중 사분위는 클리포드 대수의 관점에서 두 개의 다른 공식을 가지고 있다.

첫째, 이중 사분위는 ${\displaystyle {i\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ $=$ -$$ ({$displaystyle$ ${\displaystyle i}$ $\}$ = 1 $({displaystyle i$} ) ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle 2}$ $=$ 0 ($displaystyle$ e$^{2$} $=$ 0$)$ $j$인 3개의 반교합 $요소{\displaystyle }$i,$j{\displaystyle }$ {$displaystyle$j$\}$에$의해{\displaystyle }$ $생성$된 클리포드 대수와 동형식이다.$j}$ and ${\displaystyle \varepsilon =ek}$, then the relations defining the dual quaternions are implied by these and vice versa.둘째, 이중 사분위수는 4개의 반교합 ${\displaystyle {요소\mathrm{}}_{}}$ e ${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{e\mathrm{}}_{}{2\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$e ${\displaystyle {}_{}}$,$$ 4({$displaystyle e_{1}, e_{2}, e_{3},$ e_${4$})에$$ 의해 생성되는 클리포드 대수의 짝수 부분과 동형이다.

${\displaystyle e_{1}^{2}=e_{2}^{3}^2}=-1,,e_{4}^2}=0.}$

자세한 내용은 클리포드 대수를 참조하십시오.

에포네임

Eduard Study와 William Kingdon Clifford 둘 다 이중 사분위수를 사용하고 썼기 때문에, 작가들은 때때로 이중 사분위수를 "Study biquaternions" 또는 "Clifford biquaternions"라고 부른다.후자의 어원은 분할 비쿼터니언을 가리키는 데에도 사용되어 왔다.W.K. Clifford의 주장에 대한 지지자의 견해를 보려면 아래에 링크된 Joe Rooney의 기사를 읽어보세요.Clifford와 Study의 주장이 경합하고 있기 때문에 충돌을 피하기 위해 현행 명칭의 이중 사분기를 사용하는 것이 편리합니다.

「 」를 참조해 주세요.

• 나사 이론
• 유리 운동
• 4분의 1과 공간 회전
• 4원소와 오일러 각도 사이의 변환
• 올린데 로드리게스
• 이중복소수

레퍼런스

메모들

원천

추가 정보

• Ian Fischer (1998). Dual-Number Methods in Kinematics, Statics and Dynamics. CRC Press. ISBN 978-0-8493-9115-6.
• E. Pennestri & R. Stefanelli (2007) 듀얼 번호를 사용한 선형 대수 및 수치 알고리즘, Multibody System Dynamics 18(3): 323-349.
• E. Pennestri와 P. Valentini, 강체 운동 분석 도구로서의 이중 사분원: 생체역학에 대한 적용에 관한 튜토리얼, ARCHIWUM BUDOWY MASZYN, vol. 57, 페이지 187–20, 2010.
• E. Pennestri and P. Valentini, 선형 이중 대수 알고리즘 및 그 운동학으로의 응용, 멀티바디 다이내믹스, 2008년 10월, 페이지 207-229, doi:10.1007/978-1-4020-8829-2_11
• D.P. 쉐발리에(1996) "운동학의 전이 원리에 대하여: 다양한 형태와 한계", 메커니즘과 기계 이론 31(1):57~76.
• M.A. 궁고르(2009) "이중 로렌츠 구면 운동과 이중 오일러-사바리 공식", 유럽 역학 저널 28(4):820–6.
• L. F. C. 피게레도와 B.V. 아도르노와 J. Y.이시하라와 G. A. 보르게스(2013) "이중 4분위 표현을 사용한 조작기 로봇의 강력한 운동학적 제어", "{2013 IEEE 국제 로봇 및 자동화에 관한 컨퍼런스", doi:10.1109/ICRA.2013.6630836

외부 링크

• 빌헬름 블라슈케(1958) D.H. 델페니히 번역자 "운동학에 대한 이중 4원소의 응용"
• 빌헬름 블라슈케(1960) D.H. Delphenich 번역자, Quaternions 및 Kinematics (Neo-classical-physics.info )
• Dual Quaterions Ben Kenwright 초보자 가이드
• 듀얼 쿼터니언: 클래식 기계에서 컴퓨터 그래픽스까지 Ben Kenwright를 넘어
• 이중 사분위 대수에 기반한 로봇 운동학적 모델링 및 제어 Bruno Vilhena Adorno