자이로벡터 공간

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대수구조 → 그룹 이론 집단 이론
기본 개념 부분군 정규 부분군 지수군 (세미-)직접 생산물 집단동형성 알맹이 이미지 직합 화환제품 소박한 유한한 무한의 연속의 승수의 첨가제의 순환의 아벨의 강하제의 무광의 해결할 수 있는 액션 집단 이론 용어집 그룹 이론 주제 목록
유한군 유한단순군 분류 순환의 교대로 거짓말형 산발적인 코치의 정리 라그랑주의 정리 실로우의 정리 홀의 정리 p그룹 초등 아벨 군 프로베니우스 군 슈르 승수 대칭군n S 클라인 4그룹 V 디헤드랄군n D 쿼터니온 그룹 Q 다사이클릭 그룹 Dicn
이산형 그룹 선반 정수(${\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ $\}$ ) 자유군 모듈 그룹 PSL(2, $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ $\}$ ) SL(2, $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ $\}$ ) 산술군 격자 쌍곡군
위상학 및 눕기 그룹 솔레노이드 원 일반 선형 GL(n) 특수 선형 SL(n) 직교 O(n) 유클리드 E(n) 특수직교 SO(n) 유니터리 U(n) 특수 유니터리 SU(n) Simplectic Sp(n) G2 F4 E6 E7 E8 로렌츠 푸앵카레 컨포멀 차이점형성 루프 무한 치수 리 그룹 오(∞) SU(수) Sp(()
대수군 선형대수군 환원군 아벨 품종 타원곡선
v t

자이로벡터 공간은 아브라함 A가 제안한 수학 개념이다. 유클리드 기하학에서 벡터 공간이 사용되는 방법과 유사하게 쌍곡 기하학을 연구하기 위한 언가르.^[1] 언가르는 그룹을 기반으로 하는 벡터 대신 자이로그룹을 기반으로 한 추가가 있는 자이로벡터 개념을 도입했다. 운가르는 속도 구성을 나타내기 위해 로렌츠 변환을 사용하는 대안으로 특수 상대성 형성을 위한 도구로서 자신의 개념을 개발했다(일명 부스트-"부스트"라고도 함).상대 속도 측면은 상대 속도 측면이며,"변환"과혼동해서는 안 된다. 이것은 "자이로 연산자"를 도입함으로써 달성된다. 두 개의 3d 속도 벡터가 다른 3d 속도에 작용하는 연산자를 구성하는데 사용된다.

이름

자이로그룹은 약하게 연관성이 있는 집단과 같은 구조물이다. 언가르는 자신이 자이로그룹이라고 부르는 것을 자이로그룹이라고 하는 용어를 제안했는데, 자이로그룹이라는 용어는 비 자이로커뮤니티 경우를 위해 유보된 것으로, 그룹 대 아벨 그룹과 유사하게 표현되었다. 자이로그룹은 볼루프의 일종이다. 자이로 커뮤티브 자이로 그룹은 다르게 정의되지만 K-루프와^[2] 동등하다. Bruck^[3] 루프와 diadi symset이라는^[4] 용어 또한 사용되고 있다.

자이로벡터 공간의 수학

자이로그룹

공리

자이로 그룹(G, $\oplus {\displaystyle }$ ${\displaystyle \oplus }$)은 기본 집합 G와 다음 공리를 충족하는$$ 이진 작업 $\oplus {\displaystyle }$ ${\displaystyle \oplus }$로 구성된다.

1. G에는 모든 a in G에 대해 0$$a {\$displaystyle \oplus }$ a = a인 왼쪽 ID라고 하는 원소가 적어도 하나 있다.
2. 각 a in G에 대해${\displaystyle }$with {\$displaystyle$ $\$$ominus }$ a는 a의 왼쪽 역행이라고 하는 요소$display$ {\$displaystyle$ \$ominus$$$} a) $\oplus {\displaystyle }$ ${\displaysty \oplus }$ a = $0$이 있다.
3. For any a, b, c in G there exists a unique element gyr[a,b]c in G such that the binary operation obeys the left gyroassociative law: a ${\displaystyle \oplus }$ (b ${\displaystyle \oplus }$ c) = (a ${\displaystyle \oplus }$ b) ${\displaystyle \oplus }$ gyr[a,b]c
4. 지도 gyr[a,b]: G → G given by c ↦ gyr[a,b]c is an automorphism of the magma (G, ${\displaystyle \oplus }$) – that is, gyr[a,b] is a member of Aut(G, ${\displaystyle \oplus }$) and the automorphism gyr[a,b] of G is called the gyroautomorphism of G generated by a, b in G. gyr: G × G → aut(G, $\oplus {\displaystyle }$ ${\displaystyle \oplus$ $\}\})$ 연산 gyr을 g의 gyrator라고 한다.
5. 자이로오토프리즘 gyr[a,b]은 왼쪽 루프 속성 gyr[a,b] = gyr[a $\oplus {\displaystyle }$ ${\displaystyle \oplus }$,b]를 가진다.

첫 번째 공리 쌍은 집단 공리와 같다. 마지막 쌍은 집게이터 공리를 나타내며 중간 공리는 두 쌍을 연결한다.

자이로 그룹은 역행과 정체성을 가지고 있기 때문에 퀘이시그룹과 루프로서 적격이다.

자이로그룹은 집단의 일반화다. 모든 그룹은 G에서 모든 a와 b의 ID 맵으로 정의된 gyr[a,b]를 가진 자이로 그룹의 예다.

유한 자이로그룹의 예는 에 제시되어 있다.

정체성

자이로 그룹(G, $\oplus {\displaystyle }$ ${\displaystyle \oplus$ $\})$에 있는 일부 ID는 다음과 같다.

1. ${\displaystyle \mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]\mathbf {w} =\ominus (\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} )\oplus (\mathbf {u} \oplus (\mathbf {v} \oplus \mathbf {w} ))}$ (gyration)
2. ${\displaystyle \mathbf {u} \oplus (\mathbf {v} \oplus \mathbf {w} )=(\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} )\oplus \mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]\mathbf {w} }$ (left associativity)
3. ${\displaystyle (\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} )\oplus \mathbf {w} =\mathbf {u} \oplus (\mathbf {v} \oplus \mathrm {gyr} [\mathbf {v} ,\mathbf {u} ]\mathbf {w} )}$ (right associativity)

더 나아가, 아래에 제시된 자이로 커뮤타티의 정의에 대한 동기인 자이로션 반전법을 증명할 수 있다.

1. ${\displaystyle \ominus (\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} )=\mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ](\ominus \mathbf {v} \ominus \mathbf {u} )}$ (gyration inversion law)

자이로 그룹의 Gyration 그룹이 만족하는 몇 가지 추가 이론은 다음과 같다.

1. ${\displaystyle \mathrm {gyr} [\mathbf {0} ,\mathbf {u} ]=\mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {u} ]=\mathrm {gyr} [\ominus \mathbf {u} ,\mathbf {u} ]=I}$ (identity gyrations)
2. ${\displaystyle {\mathrm{g}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{y}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{r}}^{}}$ -${\displaystyle 1^{}}$ [${\displaystyle u\mathbf{}}$ , ${\displaystyle v\mathbf{}}$ ${\displaystyle ]}$= ${\displaystyle g\mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{y}}$ ${\displaystyle \mathrm{r}}$[ ${\displaystyle v\mathbf{}}$, ${\displaystyle ]}${\$displaystyle \mathrmat {gyr} ^-1}[\mathbf {u},\mathbf$ {$v} ]=\mathrmathmartbf {gr} [\mathbf {u} ]($역전반복제)}).
3. ${\displaystyle \mathrm{g}}$ ${\displaystyle \mathrm{y}}$ ${\displaystyle \mathrm{r}}$[ ${\displaystyle \ominus }$ ${\displaystyle u\mathbf{}}$ ,${\displaystyle \ominus }$ ${\displaystyle v\mathbf{}}$ ${\displaystyle ]}$= g ${\displaystyle \mathrm{y}}$ r${\displaystyle }$[${\displaystyle u\mathbf{}}$, ${\displaystyle v\mathbf{}}$ $]$ {\$displaystyle \mathrmat {gyr} [\minus \mathbf {u},\minus \mathbf {v}=\mathrmattbf$ {$gr} [\mathbf {v},\v}}}}}}}($gyr)}(gr)}(gr)})(균등 속성)
4. ${\displaystyle \mathrm{g}}$ ${\displaystyle \mathrm{y}}$ ${\displaystyle \mathrm{r}}$ [${\displaystyle u\mathbf{},}$ ${\displaystyle v\mathbf{}}$ ${\displaystyle ]}$= g ${\displaystyle \mathrm{y}}$ ${\displaystyle \mathrm{r}}$[ ${\displaystyle u\mathbf{},}$ ${\displaystyle v\mathbf{}}$ ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle u\mathbf{}}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle \mathrmat$ {$gyr}$[\$mathbf {u},\mathbf {gyr}[\mathbf$ {$u},\mathbf \v} \oplus \mathbf {u}($오른쪽 루프 속성)
5. ${\displaystyle \mathrm{g}}$ ${\displaystyle \mathrm{y}}$ ${\displaystyle \mathrm{r}}$ [${\displaystyle u\mathbf{}}$, ${\displaystyle v\mathbf{}}$ ${\displaystyle ]}$= ${\displaystyle \mathrm{g}}$ ${\displaystyle \mathrm{y}}$ [${\displaystyle u\mathbf{}}$ ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle v\mathbf{}}$, ${\displaystyle v\mathbf{}}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle \mathrmat$ {$gyr} [\mathbf {u},\mathbf$ {$v},\$mathbf ${gr}[\mathbf \v},\mathbf {v},$ 왼쪽 루프 속성$]$

50페이지에 제시된 더 많은 신분. 위의 신분에서 특히 유용한 결과 중 하나는 자이로그룹이 왼쪽 볼트의 재산을 만족시킨다는 것이다.

1. ${\displaystyle(\mathbf {u} \oplus {v} \oplus \mathbf {w} =\mathbf {u} \oplus(\mathbf {v}\mathbf {v} \oplus \mathbf {w})}$

자이로콤무티비티

자이로그룹(G, ${\displaystyle }$ ${\displaystyle \oplus }$)은 이항 연산이${\displaystyle }$gy ${\displaystyle \oplus }$ = gyr[a,b](b $\oplus {\displaystyle }$ ${\displaysty \oplus }$ $a$)의 자이로 커맨틱을 준수하는 경우 자이로 커맨터티브다. 상대론적 속도 추가의 경우, a + b와 b + a와 관련된 회전의 역할을 보여주는 이 공식은 루드윅 실버슈타인에 의해 1914년에 출판되었다.^[7][8]

코더데이션

모든 자이로그룹에서 두 번째 연산은 coaddition이라고 정의될 수 있다$:$a {\$displaystyle \boxplus }$ = a$$a에 대한 ⊖ {\$displaystyle \oplus }$ gyr[a, ${\displaystyle }$ ${\displaysty \minus$}b]. 자이로그룹 덧셈이 자이로코더인 경우 Coaddition은 동일하다.

Beltrami-Klein 디스크/볼 모델 및 아인슈타인 추가

상대론적 속도는 쌍곡 기하학의 Beltrami-Klein 모델에서 점으로 간주될 수 있으므로 Beltrami-Klein 모델의 벡터 추가는 속도 추가 공식에 의해 주어질 수 있다. 3보다 큰 치수의 쌍곡선 공간에서 벡터 추가를 일반화하기 위해서는 도트 제품을 선호하여 교차 제품을 사용하지 않는 형태로 공식을 작성해야 한다.

일반적인 경우, 두 가지 속도 $u{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$ 및 $v$ ${\$의 아인슈타인 속도 추가는 다음과 같이 좌표 독립적인 형태로 제공된다$$.

${\displaystyle \mathbf {u} \oplus _{E}\mathbf {v} ={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}}}\left\{\mathbf {u} +{\frac {1}{\gamma _{\mathbf {u} }}}\mathbf {v} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{\mathbf {u} }}{1+\gamma _{\mathbf {u} }}}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {u} \right\}}$

여기서 $\gamma {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {u\mathbf{}}_{}}$$u${\$displaystyle \gamma_{\mathbf{u}}}}}}}$은(는) ${\displaystyle \frac{\sqrt{u\mathrm{}}}{}{}_{}}$u =${\displaystyle \frac{\sqrt{\frac{{}^{}}{{}^{}}}}{}}$ - ${\displaystyle \frac{\sqrt{\frac{{u\mathrm{}}^{}}{}}}{}}$ 2$${\$displaystyle \c{\mathbf {u}}={\frac$ {$1}{1-{\mathbf}}{2$에 의해 주어진 감마트b$.$

좌표를 사용하면 다음과 같이 된다.

${\displaystyle {\begin{pmatrix}w_{1}\\w_{2}\\w_{3}\\\end{pmatrix}}={\frac {1}{1+{\frac {u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}+u_{3}v_{3}}{c^{2}}}}}\left\{\left[1+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{\mathbf {u} }}{1+\gamma _{\mathbf {u} }}}(u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}+u_{3}v_{3})\right]{\begin{pmatrix}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\\\end{pmatrix}}+{\frac {1}{\gamma _{\mathbf {u} }}}{\\pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\\end{pmatrix}\right\}}}$

여기서 $\gamma {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle u_{}}$= ${\displaystyle 1\frac{\mathrm{}}{}}$ -${\displaystyle \frac{\sqrt{u\frac{{}_{}^{}}{}}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\sqrt{\frac{{1\mathrm{}}_{}^{}}{}}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\sqrt{\frac{{}_{}^{}}{}}}{}}$+ ${\displaystyle \frac{\sqrt{\frac{{\mathrm{}}_{}^{}}{}}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\sqrt{\frac{{2\mathrm{}}_{}^{}}{}}}{}}$ +${\displaystyle \frac{\sqrt{\frac{{}_{}^{}{}_{}^{}}{}}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\sqrt{\frac{{\mathrm{}}_{}^{}}{}}}{}}$ c ${\displaystyle \frac{\sqrt{\frac{{2\mathrm{}}^{}}{}}}{}}$ ${\$}$}^{2}+u_{3$$}}^{2}}:{c^{2$ .

아인슈타인 속도 추가는 $u{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$과(와) $v{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$가) 병렬인 경우에만 대응적이고 연관성이 있다. 실은.

${\displaystyle \mathbf {u} \oplus \mathbf {v} =\mathbf {gyr}[\mathbf {u},\mathbf {v} ](\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} )}$

그리고

${\displaystyle \mathbf {u} \oplus \oplus \mathbf {w}=(\mathbf {u}\oplus \oplus \mathbf {v})\mathbf {w}[\mathbf {u},\mathbf {w} }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

여기서 "gyr"은 토마스가 토마스 gyration이라 불리는 운영자로의 이행을 수학적으로 추상화한 것이다.

${\displaystyle \mathbrm {gyr} [\mathbf {u} ]\mathbf {v} =\mathbf {u}\oplus(\mathbf {u})\oplus(\mathbf {v}\oplus \mathbf {w})}$

어느 모로 보나 토마스 전치사는 쌍곡 기하학에서 음의 쌍곡 삼각형 결함으로 해석된다.

로렌츠 변환 구성

3개 좌표에 적용되는 회전 행렬의 3 × 3 형식이 gyr[u,v]에 의해 주어지는 경우, 4개 좌표에 적용되는 4 × 4 행렬 회전은 다음을 통해 주어진다.

${\displaystyle \mathrm {Gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]={\begin{pmatrix}1&0\\0&\mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]\end{pmatrix}}}$.^[9]

두 개의 로렌츠 부스트 B(u)와 B(v)의 속도 u와 v는 다음과 같이 구성된다.^[9][10]

${\displaystyle B(\mathbf {u} )B(\mathbf {v} )=B(\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} )\mathrm {Gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]=\mathrm {Gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]B(\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} )}$

회전을 쓰기 전인지 후인지에 따라 B(u${\displaystyle }$u ${\displaystyle \oplus }$) 또는 B(v ${\displaystyle }$ ${\displaystyle \oplus$ u$}$) 중 하나를 사용할 수 있다는 이 사실은 속도 구성의 역설을 설명한다.

회전 U와 V를 포함하는 두 개의 로렌츠 변환 L(U,U)과 L(V,V)의 구성은 다음과 같다.^[11]

${\displaystyle L(\mathbf {u},U)L(\mathbf {v},V)=L(\mathbf {u}\oplus U\mathbf {v},\mathrm {gyr} [\mathbf {u}, U\mathbf {v})}$

위에서 부스트는 4 × 4 행렬로 나타낼 수 있다. 부스트 매트릭스 B(v)는 매트릭스 항목의 v, 즉 v₁, v, v₂, v의₃ 구성 요소 또는 오히려 로렌츠 변환#Matrix 양식에서 사용되는 표현에서 v/c의 구성 요소를 사용하는 부스트 B를 의미한다. 매트릭스 엔트리는 3-속도 v의 구성요소에 따라 달라지는데, 그것이 표기법 B(v)의 뜻이다. 4악장 중 3악장이 3악장 엔트리와 같기 때문에 4악장 컴포넌트에 의존한다고 주장할 수 있지만, 3악장으로 부스트를 매개변수로 지정하는 것의 유용성은 두 부스트의 구성에서 얻은 결과적인 부스트가 3악장 컴포넌티오의 컴포넌트리를 사용한다는 것이다.n u $⊕$ {\$displaystyle \oplus }$ 4 x 매트릭스 B(u ${\displaystyle }$ ${\displaystyle \oplus }$). But the resultant boost also needs to be multiplied by a rotation matrix because boost composition (i.e. the multiplication of two 4 × 4 matrices) results not in a pure boost but a boost and a rotation, i.e. a 4 × 4 matrix that corresponds to the rotation Gyr[u,v] to get B(u)B(v) = B(u${\displaystyle \oplus }$v)Gyr[u,v] = Gyr[u,v]B(v${\displaystyle \oplus }$$\displaystyle \oplus$ $u$$}.$

아인슈타인 자이로벡터 공간

어떤 양의 상수가 되게 하자, (V,+,.)는 실제 내부 제품 공간이 되게 하고, V_s={v v V : v <s}. 스칼라 곱을 가진 아인슈타인 gyrovector 공간(Vs, ⊕{\displaystyle \oplus},⊗{\displaystyle \otimes})은 아인슈타인 gyrogroup(Vs, ⊕{\displaystyle\oplus})r⊗{\displaystyle \otimes}v에 의해)s tanh(rtanh−1(v/s))v/이 r은 어떤 실수 v, v∈ Vs, v≠ 0과 r⊗{\displaystyle \oti.메스$}$ $0$ = 0, 표기법 v $\otimes {\displaystyle }$ ${\displaystyle \otimes }$ r = $r$${\displaystyle }$⊗ ${\displaystyle \otimes }$.

아인슈타인 스칼라 곱셈은 자이로벡터가 콜린어일 때를 제외하고 아인슈타인 덧셈 위에 분포하지 않지만, 벡터 공간의 다른 특성을 가지고 있다. 임의의 양의 정수 n과 모든 실제 숫자에 대해₁ r,r₂,r 및 v v_s' V:

n $\otimes {\displaystyle }$ ${\displaystyle \otimes }$ $v$ = v $\oplus {\displaystyle }$ ${\displaystyle \oplus }...$ ${\displaystyle ▼}$ ${\displaystyle \$ $}$ v	조건 n
(r1 + r2) $\otimes {\displaystyle }$ ${\displaystyle \otimes }$ $v$ = r1 $\otimes {\displaystyle }$ ${\displaystyle \otimes }$ $\oplus {\displaystyle }$ ${\displaystyle \oplus$$$$}$ r $\otimes {\displaystyle }$ ${\displaysty \otimes$}$v$2	스칼라 분배법
(r12)${\displaystyle }$⊗ ${\displaystyle \otimes }$ $v$ = r1 $\otimes {\displaystyle }$ ${\displaystyle \otimes }($r2${\displaystyle }$⊗ ${\displaystyle \otimes$}$v$)$$	스칼라 연관법
r ${\displaystyle \otimes }$(r1 ${\displaystyle \otimes }$ a ${\displaystyle \oplus }$ r2 ${\displaystyle \otimes }$ a) = r ${\displaystyle \otimes }$(r1 ${\displaystyle \otimes }$ a) ${\displaystyle \oplus }$ r ${\displaystyle \otimes }$(r2 ${\displaystyle \otimes }$ a)	단분배법

푸앵카레 디스크/볼 모델 및 뫼비우스 추가

복잡한 평면에서 열린 단위 디스크의 뫼비우스 변환은 극분해로 주어진다.

${\displaystyle z\to {e^{i\theta }}{\frac {a+z}{1+a{\bar {z}}}}}$ which can be written as ${\displaystyle e^{i\theta }{(a\oplus _{M}{z})}}$ which defines the Möbius addition ${\displaystyle {a\oplus _{M}{z}}={$$\frac{a+z}{1+a{\bar{z$

이를 보다 높은 차원으로 일반화하기 위해 복잡한 숫자는 평면 ${\displaystyle R^{\mathrm{}}}$ $2{\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$$^{$2}}에서 벡터 형태로 다음과 같이 다시 작성된다.

${\displaystyle \mathbf {u} \oplus _{M}\mathbf {v} ={\frac {(1+{\frac {2}{s^{2}}}\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} +{\frac {1}{s^{2}}} \mathbf {v} ^{2})\mathbf {u} +(1-{\frac {1}{s^{2}}} \mathbf {u} ^{2})\mathbf {v} }{1+{\frac {2}{s^{2}}}\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} +{\frac {1}{s^{4}}} \mathbf {u} ^{2} \mathbf {v} ^{2}}}}$

이는 쌍곡 기하학의 푸앵카레 볼 모델에서 벡터 가산점을 제공하며, 여기서 복잡한 단위 디스크의 s=1은 s >0이 된다.

뫼비우스 자이로벡터 공간

어떤 양의 상수가 되게 하자, (V,+,.)는 실제 내부 제품 공간이 되게 하고, V_s={v v V : v <s}. 스칼라 곱을 가진 뫼비우스 gyrovector 공간(Vs, ⊕{\displaystyle \oplus},⊗{\displaystyle \otimes})은 뫼비우스 gyrogroup(Vs, ⊕{\displaystyle\oplus})r⊗{\displaystyle \otimes}v에 의해)s tanh(rtanh−1(v/s))v/이 r은 어떤 실수 v, v∈ Vs, v≠ 0과 r⊗{\displaystyle \otimes}. $0$ = 0, 표기법 v $\otimes {\displaystyle }$ ${\displaystyle \otimes }$ r = r $\otimes {\displaystyle }$ ${\displaystyle \otimes }$.

뫼비우스 스칼라 곱셈은 아인슈타인 스칼라 곱셈과 일치하며(위 섹션 참조), 이는 뫼비우스 덧셈과 아인슈타인 덧셈이 평행 벡터에 일치한 데서 비롯된다.

적정 속도 공간 모델 및 적정 속도 추가

쌍곡 기하학의 적절한 속도 공간 모델은 적절한 속도 추가 공식에 의해 주어진 벡터 추가와 함께 적절한 속도로 주어진다.^[6][12][13]

${\displaystyle \mathbf {u} \oplus _{U}\mathbf {v} =\mathbf {u} +\mathbf {v} +\left\{{\frac {\beta _{\mathbf {u} }}{1+\beta _{\mathbf {u} }}}{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}+{\frac {1-\beta _{\mathbf {v} }}{\beta _{\mathbf {v} }}}\right\}\mathbf {u} }$

여기서$$ $\beta {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {w\mathbf{}}_{}}$ ${\$는) $\beta {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle w\frac{\mathrm{}}{}{}_{}}$= ${\displaystyle \frac{\sqrt{1\mathrm{}}}{}}$+ ${\displaystyle \frac{\sqrt{\frac{w\mathbf{}}{}}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\sqrt{\frac{{}^{\mathrm{}}}{}}}{}}$ c ${\displaystyle \frac{\sqrt{\frac{{2\mathrm{}}^{}}{}}}{}}$ ${\$c^$2$

이 공식은 디스크나 반평면을 사용하는 쌍곡 기하학의 다른 모델과 비교했을 때 전체 공간을 사용하는 모델을 제공한다.

적절한 속도 gyrogroup 추가 ⊕ U{\oplus_{U\displaystyle}}과 스칼라 곱 r⊗{\displaystyle \otimes}v이 r은 어떤 실수 sinh(rsinh−1(v/s))v/ v, vV∈, v0과 r⊗{\displaystyle \otimes}≠)s하는 일정은 항공사와 함께 적당히 속도 gyrovector 공간이 진정한 내적 생산 공간 V,. 0 = 0, 표기법 v $\otimes {\displaystyle }$ ${\displaystyle \otimes }$ $r$ = r $\otimes {\displaystyle }$ ${\displaystyle \otimes }$.

이소모르프스

자이로벡터 공간 이형성은 자이로그룹 덧셈과 스칼라 곱셈과 내생물을 보존한다.

세 개의 자이로벡터 공간인 뫼비우스, 아인슈타인, 적정 속도는 이형성이다.

M, E, U가 각각 원소_m v, v 및 v를 가진_eu 뫼비우스, 아인슈타인 및 적정 속도 자이로벡터 공간인 경우, 다음과 같이 이형성이 주어진다.

E${\displaystyle }$→ ${\displaystyle \rightarrow }$ $U$ by $γ$ ${\displaystyle {{}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {e{\mathbf{}}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ e ${\$mathbf {$v}$_{$e}\$mathbf {$v} _{e}}}}$

U${\displaystyle }$→ ${\displaystyle \rightarrow }$ by $\beta {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {v{\mathbf{}}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {{}_{}}_{}{\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ u ${\$

E${\displaystyle }$→ ${\displaystyle \rightarrow }$ x $1{\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{2}{}}$ ${\displaystyle \otimes {}_{}}$ E ${\displaystyle v_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$

M${\displaystyle }$→ ${\displaystyle \rightarrow }$ x $2{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle M_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$

M${\displaystyle }$→ ${\displaystyle \rightarrow }$$U$ x 2 ${\displaystyle \gamma {{}^{}}_{}}$ ${\displaystyle {{\mathrm{}}^{}}_{}}$ ${\displaystyle {{}_{}}_{}}$ m ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {{}_{}}_{}{\mathbf{}}_{}}$ ${\$ }^{$2}}_{\mathbf {v}\mathbf {v}}{m}}}}}}}$

U${\displaystyle }$→ ${\displaystyle \rightarrow }$ by ${\displaystyle \frac{{\beta {\mathbf{}}_{}}_{}}{}}$ v ${\displaystyle \frac{{{}_{}}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{{}_{}}_{}}{\mathrm{}}}$+ ${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{v{\mathbf{}}_{}}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{{}_{}}_{}}{}{\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$u {\\$prac {\beta {\\frac {\\\{u}}{1+\beta _{u}}}{\mathbf {v}}}}\mathb$ {$v}{v}}{v}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\$mathbf

이 표에서 $\oplus {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle E_{}}$ ${\$와 $\oplus {\displaystyle {}_{}}$ M ${\$ 사이의 관계는 다음 방정식으로 주어진다$$.

${\displaystyle \mathbf {u} \oplus _{E}\mathbf {v} =2\otimes \lift({\frac {1}{1}{{M}}{1}}}\otimes \mathbf {v}}\right})$

${\displaystyle \mathbf {u} \oplus _{M}\mathbf {v} ={\frac {1}2}}회\otimes \left({2\otimes \mathbf {u} \oplus _{E}2\otimes \mathbf {v}}}}\right)}$

이것은 뫼비우스 변환과 로렌츠 변환의 연결과 관련이 있다.

자이로트리그노메트리

자이로트리거측정법은 쌍곡선 삼각형을 연구하기 위해 자이로콘셉트를 사용하는 것이다.

보통 연구한 것처럼 쌍곡선 삼각법은 쌍곡선 함수 코쉬, 싱 등을 사용하며, 이는 유클리드 삼각함수 cosh, sinh 등을 사용하지만 일반적인 평면 삼각형 정체성 대신 구형 삼각형 정체성과 대비된다. 자이로트리그노메트리는 일반적인 삼각함수를 사용하는 접근방식을 취하지만 자이로트라이앵글 정체성과 연계된다.

삼각 중심

삼각 중심 연구는 전통적으로 유클리드 기하학과 관련이 있지만 삼각 중심은 쌍곡 기하학으로도 연구될 수 있다. 자이로트리그노메트리를 사용하면 유클리드 기하학과 쌍곡 기하학 모두에 대해 동일한 형태를 갖는 삼각 편심 좌표에 대한 식을 계산할 수 있다. 식이 일치하려면 각도의 사양을 180도로 캡슐화해서는 안 된다.^[14][15][16]

지로파렐로그램 덧셈

자이로트리거측정법을 사용하면 자이로벡터 덧셈을 찾을 수 있으며, 자이로파렐로그램 법칙에 따라 동작한다. 이것은 자이로그룹 운영에 대한 추가 사항이다. 지로파렐로그램 추가는 상쇄적이다.

자이로파렐로그램 법칙은 자이로파렐로그램이 쌍곡선 4각형이며, 두 자이로다곤은 그들의 자이로미드 포인트에서 교차하는 쌍곡선 4각형이라는 점에서 평행그램 법칙과 유사하다.^[17]

블록 벡터

유클리드 3공간의 오픈 유닛 볼에 속하는 블로흐 벡터는 아인슈타인 덧셈이나^[18] 뫼비우스 덧셈으로 연구할 수 있다.^[6]

서평

이전의 자이로벡터 책들^[19] 중 한 권에 대한 리뷰는 다음과 같이 말한다.

"수년에 걸쳐, 상대성 및 전기 역학에서 문제 해결에 비유클리드적 방식을 사용하려는 시도가 몇 차례 있었지만, 실질적인 추종자를 끌어들이지 못한 실패는 유사한 사업을 고려하는 누구에게나 중단시킬 것이다. 최근까지, 1912년 이후 이용 가능한 도구에 대한 개선을 제공할 수 있는 위치에 있는 사람은 아무도 없었다. 그의 신간에서 운가르는 비유클리드적 양식의 범포함으로부터 결정적인 누락 요소를 제공하는데, 그것은 아인슈타인의 속도구성 법칙의 구조를 완전히 악용하는 우아한 비 연상적 대수학 형식주의다."^[20]

참고 및 참조

• 도메니코 줄리니, 특수상대성이론의 대수학과 기하학적 구조, "특수상대성: 2006년 클로스 렘메르잘, 위르겐 엘러스, 스프링거가 편집한 "향후 100년 생존할까?"

추가 읽기

외부 링크

• 아인슈타인의 특수 상대성: 쌍곡 기하학적 관점
• "Hyperbolic Trigonometry and its Application in the Poincaré Ball Model of Hyperbolic Geometry". CiteSeerX 10.1.1.17.6107. {{cite journal}}: Cite 저널은 필요로 한다. journal= (도움말)