상위분류론
Higher category theory수학에서 상위 범주 이론은 상위 순서에서 범주 이론의 일부분인데, 이는 그러한 동등성 뒤에 숨겨진 구조를 명시적으로 연구할 수 있도록 일부 동일성이 명시적인 화살표로 대체된다는 것을 의미한다. 더 높은 범주 이론은 종종 대수적 위상(특히 호모토피 이론)에 적용되는데, 여기서 기초적인 약점인 group-groupoid와 같은 우주의 대수적 불변성을 연구한다.
엄격한 상위 범주
보통 범주는 개체와 형태론을 가지고 있는데, 이것을 상위 범주 이론의 맥락에서 1-모형이라고 한다. 2-범주는 1-모형 사이에 2-모형을 포함함으로써 이를 일반화한다. 이것을 (n - 1)-모형 사이의 n-모형까지 계속하면 n-범주가 된다.
작은 범주와 펑커스의 범주인 Cat으로 알려진 범주가 실제로는 자연 변환을 2-모형으로 하는 2-범주인 것처럼, (작은) n-범주의 범주 n-Cat은 실제로 (n + 1)-범주이다.
n 범주는 n에 대한 유도에 의해 다음과 같이 정의된다.
그래서 1-카테고리란 단지 (로컬리적으로 작은) 범주일 뿐이다.
세트의 모노이드 구조는 데카르트 제품이 텐서, 싱글톤이 유닛으로 주는 구조다. 사실 유한한 제품을 가진 모든 범주는 단일 구조로 주어질 수 있다. 범주 C가 유한한 제품을 가지고 있다면, C가 풍부한 범주의 범주도 유한한 제품을 가지고 있기 때문에 n-Cat의 재귀적 구조는 잘 작동한다.
어디" 약한"구조 높은 categories,[1]엄격한 입방체의 높은 동위 groupoids의 형태로 또한 대수적 위상 수학에 상동과 homotopy 이론 사이의 국경에 있는 새로운 재단을 해 주는 것이 발생하고 있는 발생하는 동안 이 개념도 좀 목적으로 예를 들어에서 엄격하다, 호모토피 이론, 기사 algebraicNonabelian는 방법을 참조하십시오.정치가아래 책에서 언급된 Ogy.
약한 상위 범주
약한 n-범주에서는 연상성과 정체성 조건이 더 이상 엄격하지 않고(즉, 동등성에 의해 주어지는 것이 아니라), 오히려 다음 단계의 이소모르파까지 만족한다. 위상에서의 예로는 정체성과 연관 조건이 재귀화까지만 유지되고, 따라서 이 2개 범주에 대한 2-이형성인 호모토피까지 이어지는 경로의 구성이 있다. 이러한 n-이형성은 동음이의 집합 사이에서 잘 동작해야 하며 이것을 표현하는 것이 약한 n-범주의 정의의 어려움이다. 바이카테고리라고도 불리는 약한 2개 범주가 가장 먼저 명시적으로 정의됐다. 이것들의 특이점은 하나의 물체를 가진 2종류가 정확히 단일 범주여서, 2종류가 "많은 물체를 가진 단일 범주"라고 말할 수 있다는 것이다. 트리카테고리라고도 불리는 약한 3개 범주와 더 높은 수준의 일반화는 점점 더 명시적으로 정의하기가 어려워지고 있다. 몇 가지 정의가 주어졌고, 그것들이 언제 등가인지, 어떤 의미에서는, 카테고리 이론에서 새로운 연구의 대상이 되었다.
준범주
약한 간 콤플렉스, 즉 준-범주는 약한 간 상태를 만족시키는 단순한 집합이다. 안드레 조이알은 그들이 더 높은 범주 이론의 좋은 기초라는 것을 보여주었다. 최근, 2009년에, 이 이론은 단순히 무한 범주라고 부르는 제이콥 루리에에 의해 더욱 체계화되었다. 비록 후기도 어떤 k에 대한 (인피니티, k) 범주의 모든 모델의 총칭이지만 말이다.
단순하게 농축된 범주
단순하게 농축된 범주, 또는 단순화된 범주는 단순 집합보다 농축된 범주들이다. 그러나 우리가 그것들을 (인피니티, 1) 범주의 모델로 볼 때, 많은 범주형 개념(예: 한계)이 농축 범주의 의미에 해당하는 개념과 일치하지 않는다. 위상학적으로 농축된 범주와 같은 다른 농축 모델도 동일하다.
위상학적으로 풍부한 범주
위상학적으로 풍부한 범주(때로는 단순히 위상학 범주라고도 함)는 위상학 공간의 일부 편리한 범주(예: 압축적으로 생성된 하우스도르프 공간의 범주)에 걸쳐 농축된 범주다.
시걸 범주
이들은 허쉬코위츠와 심슨에 의해 1998년에 소개된 상위 카테고리의 모델들로,[2] 1974년에 그래미 시걸의 결과에 부분적으로 영감을 받았다.
참고 항목
메모들
- ^ Baez & Dolan 1998, 페이지
- ^ Hirschowitz, André; Simpson, Carlos (2001). "Descente pour les n-champs (Descent for n-stacks)". arXiv:math/9807049.
참조
- Baez, John C.; Dolan, James (1998). "Categorification". arXiv:math/9802029.
- Leinster, Tom (2004). Higher Operads, Higher Categories. Cambridge University Press. arXiv:math.CT/0305049. ISBN 0-521-53215-9.
- Simpson, Carlos (2010). "Homotopy theory of higher categories". arXiv:1001.4071 [math.CT]. 책의 초안. 하이퍼링크가 포함된 대체 PDF)
- Lurie, Jacob (2009). Higher Topos Theory. Princeton University Press. arXiv:math.CT/0608040. ISBN 978-0-691-14048-3. PDF로.
- nLab, 물리, 수학, 철학 분야의 상위 카테고리 이론과 응용에 관한 집단적이고 개방적인 위키 노트북 프로젝트
- Joyal's Catlab, 증거와 함께 범주형 및 상위 범주형 수학에 대한 세련된 설명을 전문으로 하는 위키
- Brown, Ronald; Higgins, Philip J.; Sivera, Rafael (2011). Nonabelian algebraic topology: filtered spaces, crossed complexes, cubical homotopy groupoids. Tracts in Mathematics. Vol. 15. European Mathematical Society. ISBN 978-3-03719-083-8.
외부 링크
 | 위키미디어 커먼즈에는 상위 카테고리 이론과 관련된 미디어가 있다. |
- Baez, John (24 February 1996). "Week 73: Tale of n-Categories".
- n-Category Cafe - 상위 카테고리 이론에 대한 그룹 블로그.
- Leinster, Tom (8 March 2010). "A Perspective on Higher Category Theory".
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