2차 비합리수

수학에서 2차 비합리적인 수(일명 이차 비합리성, 2차 비합리성 또는 2차 비합리성으로도 알려져 있음)는 이성적인 숫자에 대해 다시 설명할 수 없는 합리적인 계수를 가진 어떤 2차 방정식의 해답인 비합리적인 수이다.^[1] 2차 방정식의 계수에서 분수는 양쪽의 최소 공통 분모를 곱하여 제거할 수 있으므로, 2차 방정식은 정수 계수를 갖는 일부 2차 방정식의 비합리적인 근원이 된다. 2차 비합리적인 숫자들은 복잡한 숫자의 부분집합으로 도 2의 대수적 숫자로, 따라서 다음과 같이 표현할 수 있다.

${\displaystyle {a+b{\sqrt{c}}\overd}}$

정수 a, b, c, d; b, c 및 d 비제로, c 제곱이 없는 경우. c가 양수일 때 우리는 진짜 2차 비합리적인 숫자를 얻는 반면, 음수 c는 실제 숫자가 아닌 복잡한 2차 비합리적인 숫자를 준다. 이것은 2차적 비합리적에서 정수의 4배까지 주사를 정의하기 때문에 그들의 카디널리티는 최대 카운트할 수 있다. 반면에 소수 정수의 모든 제곱근은 뚜렷한 2차적 비합리적이고, 셀 수 없이 많은 소수들이 있기 때문에, 그들은 최소한 카운트할 수 있다. 따라서 2차 비합리적 집합은 카운트 가능한 것이다.

2차 비이성들은 합리적인 숫자 Q의 분야의 필드 확장을 구성하기 위해 필드 이론에서 사용된다. 제곱이 없는 정수 c를 감안하여 √c를 이용한 2차 비이성들에 의한 Q의 증가는 2차 필드 Q(√c)를 생성한다. 예를 들어 Q(√c) 원소의 역은 위의 대수적 숫자와 동일한 형태를 가진다.

${\d 디스플레이 스타일 {d \over a+b{\sqrt{c}={ad-bd{\sqrt{c}} \c} \over a^{2}-b^{2}c}.}$

2차 비합리성은 특히 지속적인 분수와 관련하여 유용한 성질을 가지고 있는데, 여기서 우리는 모든 실제 2차 비합리성, 그리고 오직 실제 2차 비합리성만이 주기적인 지속적인 분율 형태를 갖는 결과를 갖는다. 예를 들면

${\displaystyle {\sqrt{3}=1.732\ldots =[1,2,1,2,1,2,\ldots ]}$

주기적인 연속 분수는 합리적인 숫자와 일대일 일치로 배치될 수 있다. 그 서신은 민코프스키의 물음표 함수에 의해 명시적으로 제공되며, 그 글에 명시적으로 구성된다. 그것은 물음표 함수에 의해서도 제공되는, 결국 반복하는 꼬리를 갖는 이성적인 숫자와 이진수의 문자열 사이의 일치성과 완전히 유사하다. 이와 같은 반복 시퀀스는 디라디치 변환의 주기적 궤도에 해당하며(${\displaystyle \mathrm{이진}}$ 숫자의 경우) 연속 분수에 대한$$ 가우스 $지도{\displaystyle }$ h${\displaystyle (}$x ) =${\displaystyle 1}$ / x -${\displaystyle 1}$1 / ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \rfloor }${\$displaysty h(x)=1/x-\lfloor$1$/x\rfloor$}).

실제 2차 비합리적인 숫자와 무한 이차 2차 형태

우리는 다음과 같이 2차적 불합리성을 다시 쓸 수 있다.

${\displaystyle {\frac{a+b{\sqrt{c}}{d}}{d}={\frac {a+{\sqrt{b^{2}c}}{d}}}.}$

모든 2차 비합리적인 숫자는 그 형태로 쓰여질 수 있다.

${\displaystyle {\frac {a+{\sqrt {c}{d}}.}$

이 표현은 독특하지 않다.

제곱이 아닌 양의 정수 $c{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ c$}$의 $합치$를 0 ${\displaystyle 0}$ $또는$ 1 ${\displaystyle 1}$ $모듈$로 4 ${\displaystyle 4$에 수정하고 S ${\displaystyle c_{}}$ ${\$를 로 정의하십시오.

${\displaystyle S_{c}=\left\{\frac {a+{\sqrt{c}}{d}}}{d}}}}}}}{d}}}}}}}\colon a,d{\text{}\d}}\equiv c{{pmod}\오른쪽\}}.}$

합치 조건은 분자와 분모를 적절한 인자에 의해 스케일링함으로써 충족될 수 있기 때문에 모든 2차 비합리성은 어떤 세트 $S{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle c_{}}$ ${\$에 있다$.$

A행렬

${\displaystyle {\pmatrix}\reason &\reason &\reason \end{pmatrix}}$

정수 항목과 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \Delta }$ -${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \gamma }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \alpha \delta$ -$\beta \displaystyle$ y$}$을(를$)$ 사용하여 $S{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle c_{}}$ ${\$의 $숫자{\displaystyle }$ y ${\displaystystyle$ y}를 변환할 수 있다$$$.$ 변환된 숫자는

${\displaystyle z={\frac {\fract y+\properties }{\put y+\properties }}}$

$y{\displaystyle }$ ${\displaystyle y}$이$($가) $S{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle c_{}}$ ${\$에 있으면$$ $z{\displaystyle }$ ${\displaystyle z}$도(가$$) 해당된다.

위의$$ $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle y}$과(와) $z{\displaystyle }$ ${\displaystyle z}$ 사이의 관계는 동등성 관계다. (예를 들어, 위의 변환은 ${\displaystyle {설정}_{}}$된 S$$c {\$displaystyle S_{$c}에 결정인자 1을 갖는 정수 행렬 그룹의 그룹 액션을 제공하기 때문에 이 결과가 뒤따른다.)$$ 따라서 $S{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle c_{}}$ ${\$ 파티션은$$ 동등성 등급으로 분류된다. 각 동등성 등급은 각 쌍이 일부 행렬의 작용을 통해 등가하는 2차 비합리성의 집합으로 구성된다. 세레트의 정리는 등가 이차적 비합리성의 규칙적인 지속적 분율 팽창이 결국 동일하다는 것을 암시한다. 즉, 그들의 부분 인용 순서는 동일한 꼬리를 가지고 있다. 따라서 동등성 등급의 모든 숫자는 결국 동일한 꼬리로 주기적인 분율 확장을 지속했다.

$S{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle c_{}}$ ${\$에는 2차 비합리성의 동등성 등급이 매우 많다$.$ 이에 대한 표준 증거는 다음과 같이 $제공$된 2차 $판별{\displaystyle }$ c ${\displaystyle c}$에서 ${\displaystyle S_{}}$ c ${\$까지의 지도 map${\displaystyle$s_$}$을(를) 고려하는 것을 포함한다.

${\displaystyle \phi(tx^{2}+uxy+vy^{2})={\frac {-u+{\sqrt{c}{2t}}}}}$

계산에 $따르면{\displaystyle }$ {$${\$displaystyle \pi$}은(는) 각 집합의 매트릭스 동작을 존중하는 편향이다. 이차 부조리의 동등성 등급은 이차 2차 형태의 동등성 등급과 편향되며, 라그랑주에는 주어진 판별의 이차 2차 형태에 대한 동등성 등급이 매우 많음을 보여주었다.

바이어싱 ${\displaystyle \pi }$을 통해 ${\displaystyle S_{}}$ c ${\$의 숫자를 계속적인$$ 비율로 확장하는 것은 2차 형태를 줄이는 것에 해당한다$.$ 그 다음, 감소된 2차 형태(순전히 주기적인 연속된 분수를 가진 분수)에 해당하는 2차적 부조리를 감소시킴으로써, 지속 분수의 결국 주기적인 성질은 감소된 2차 형태 궤도의 2차적 성질에 반영된다.

비제곱근의 제곱근은 비합리적이다.

2차 비합리성의 정의는 2차 방정식을 만족시켜야 하며 비합리적인 것이어야 한다는 두 가지 조건을 만족시켜야 한다. 2차 방정식 도끼² + bx + c = 0에 대한 해법은

${\displaystyle {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}.}$

그러므로 이차적 비합리성은 정확히 이 형태의 실수와 같이 합리적이지 않다. b와 2a는 모두 정수기 때문에 위의 양이 비합리적인 시기를 묻는 것은 정수의 제곱근이 비합리적인 때를 묻는 것과 같다. 이에 대한 답은 정사각수가 아닌 자연수의 제곱근은 불합리하다는 것이다.

2의 제곱근은 비이성적으로 증명된 첫 번째 숫자였다. 키레네의 테오도로스는 17까지 비제곱 자연수의 제곱근의 불합리성을 증명했지만, 그가 사용한 대수학을 17보다 큰 숫자의 제곱근에 적용할 수 없었기 때문에 거기서 멈췄다. 유클리드 원소 10권은 불합리한 규모의 분류에 전념하고 있다. 비제곱 자연수의 비합리성에 대한 최초의 증거는 유클리드 보조정리기에 달려 있다.

비제곱 자연수의 제곱근의 불합리성에 대한 많은 증거들이 암묵적으로 산술의 근본 정리를 상정하고 있는데, 이것은 칼 프리드리히 가우스(Carl Friedrich Gauss)가 그의 <산술>에서 처음 입증한 것이다. 이것은 모든 정수가 소수점까지 고유한 요소화를 가지고 있다고 주장한다. 가장 낮은 조건의 합리적인 비정수의 경우 분자로 분할되지 않는 분모에 소수점이 있어야 한다. 분자가 제곱되었을 때, 소수점은 고유한 요소화 때문에 여전히 분자로 분할되지 않을 것이다. 따라서 합리적인 비정수의 제곱은 항상 비정수의 제곱이다. 비유하자면 정수의 제곱근은 항상 또 다른 정수이거나 비이성적이다.

유클리드는 그 정리를 증명하기 위해 기본 정리의 제한된 버전과 몇 가지 신중한 주장을 사용했다. 그의 증거는 유클리드 원소 책 X 프로포즈 9에 있다.^[2]

그러나 산술의 근본적인 정리는 실제로 그 결과를 증명하는데 필요하지 않다. 리차드 데데킨드의 자급자족적인 증거가 있다.^[3] 다음 증거는 1975년 테오도르 에스터만이 발견한 2의 제곱근의 불합리성에 대한 증거로부터 콜린 리처드 휴즈가 개작한 것이다.^[4][5]

D가 제곱이 아닌 자연수라고 가정하면 다음과 같은 숫자 n이 있다.

n² <² D < (n + 1)

그래서 특히

0 < √D − n < 1.

D의 제곱근을 합리적인 숫자 p/q라고 가정하고, 여기서 q가 가장 작은 숫자라고 가정하고, 따라서 q√D가 정수인 숫자라고도 한다. 다음:

(√D − n)q√D = qD − nq√D

또한 정수다. 그러나 0 < (√D - n) > 1 so (√D - n)q < q. 따라서 (√D - n)q는 q보다 작은 정수다. 이는 q가 이 속성을 가진 가장 작은 숫자로 정의되었기 때문에 모순이므로 √D는 합리적일 수 없다.

참고 항목

• 대수수장
• 아포토메(수학)
• 주기연속분수
• 제한된 부분 인용구
• 2차 정수

참조

외부 링크

• Weisstein, Eric W. "Quadratic irrational number". MathWorld.
• 2차 비합리성을 위한 연속 분수 계산기
• e가 2차 비합리성이 아니라는 증거