직각삼각형

직각 삼각형(미국 영어) 또는 직각 삼각형(영국어), 또는 더 형식적으로는 직교 삼각형, 이전에는 직사각형 삼각형(고대 그리스어: ὀρθόσγωνία, 불이 켜짐)이라고 불렸습니다. 'upright각')은 한 각도가 직각(즉 90도 각도)인 삼각형, 즉 두 변이 수직인 삼각형입니다.직각 삼각형의 변과 다른 각도 사이의 관계는 삼각법의 기초가 됩니다.

직각의 반대쪽을 빗변(그림에서 c쪽)이라고 합니다.직각에 인접한 변을 다리(또는 catheti, 단수: cathetus)라고 합니다.측면 a는 각도 B에 인접하고 각도 A에 반대되는(또는 반대되는) 측면으로 식별될 수 있으며, 측면 b는 각도 A에 인접하고 각도 B에 반대되는 측면입니다.

직각 삼각형의 세 변의 길이가 모두 정수라면, 그 삼각형은 피타고라스 삼각형이라고 하고, 그 변의 길이를 통칭하여 피타고라스 삼각형이라고 합니다.

주속성

사이드스

직각 삼각형의 세 변은 현대 대수적 표기법에서 쓸 수 있는 피타고라스 정리에 의해 관련되어 있습니다.

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2},}$

여기서 c는 빗변의 길이(직각의 반대쪽)이고 a와 b는 다리의 길이(remaining 두 변)입니다.피타고라스 삼중항은 이 식을 만족하는 a, b, c의 정수 값입니다.이 정리는 고대에 증명되었고, 유클리드의 원소에서 명제 I.47이다: "직각 삼각형에서 직각을 밑도는 변의 정사각형은 직각을 포함하는 변의 정사각형과 같습니다."

지역

다른 삼각형과 마찬가지로 면적은 밑면의 1/2에 해당 높이를 곱한 것과 같습니다.직각 삼각형에서 한쪽 다리를 밑면으로 하면 다른 쪽 다리는 높이이므로 직각 삼각형의 넓이는 두 다리의 곱의 반이 됩니다.공식으로 면적 T는

${\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}ab}$

여기서 a와 b는 삼각형의 다리입니다.

만약 원 안이 점 P에서 빗변 AB와 접한다면, 반perimeter (a + b + c) / 2를 s로 표기하면, PA = s - a, PB = s - b가 되고 넓이는 다음과 같습니다.

${\displaystyle T={\text{PA}}\cdot {\text{PB}}}=(s-a)(s-b)}$

이 공식은 직각 삼각형에만 적용됩니다.^[3]

고도

꼭짓점에서 빗변으로 고도를 그리면 삼각형은 원래와 비슷하므로 서로 유사한 두 개의 작은 삼각형으로 나뉩니다.여기서부터:

• 빗변에 대한 고도는 빗변의 두 세그먼트의 기하학적 평균(평균 비례)입니다.^{[4]: 243}
• 삼각형의 각 다리는 다리에 인접한 빗변과 빗변의 평균 비율입니다.

방정식으로 보면,

${\displaystyle {\displaystyle {}^f}}$ ${\displaystyle {\displaystyle 2^{}}}$ $=$ ${\displaystyle {\displaystyle \mathrm{de}}}$, ${\displaystyle \displaystyle$}=$de,}$ (이를 직각 삼각형 고도 정리라고도 함)

${\displaystyle \displaystyle b^{2}=ce,}$

${\displaystyle \displaystyle a^{2}=cd}$

여기서 a, b, c, d, e, f는 그림과 같습니다.^[5]따라서

${\displaystyle f={\frac {ab}{c}}}$

게다가, 빗변까지의 고도는 오른쪽 삼각형의 다리와 관련이 있습니다^[6][7].

${\displaystyle {\frac {1}{a^{2}}+{\frac {1}{b^{2}}={\frac {1}{f^{2}}}}$

a, b, f, c의 정수 값으로 된 이 방정식의 해는 여기를 참조하십시오.

한쪽 다리의 고도가 다른 쪽 다리와 일치합니다.직각 꼭지점에서 교차하기 때문에 직각 삼각형의 직교 중심(3개의 고도의 교차점)은 직각 꼭지점과 일치합니다.

인라디우스와 원반지름

다리 a와 b와 빗변 c를 가진 직각 삼각형의 원의 반지름은

${\displaystyle r={\frac {a+b-c}{2}}={\frac {ab}{a+b+c}}}$

원의 반지름은 빗장 길이의 절반이고

${\displaystyle R={\frac {c}{2}}}$

따라서 원반지름과 인반지름의 합은 다리의 합의 반이 됩니다.^[8]

${\displaystyle R+r={\frac {a+b}{2}}}$

다리 중 하나는 반경으로 표현될 수 있고 다른 다리는 다음과 같이 표현될 수 있습니다.

${\displaystyle \displaystyle a = {\frac {2r(b-r)}{b-2r}}}$

특성화

변이 < ${\displaystyle a\leq b<c$ 반지름 $s$ = $\frac{12}{}$ $(a$+ b$$+ $c)$ ${\textstyle$s = {\$tfrac {1}{2}}(a$+ $b$+ $c$ 영역 T, 가장 긴 변의 반대쪽 고도 h, 원반지름 R, 인반지름 r, exradii r, r, r (각각 a, b, c에 tangent), 중앙값 m, m,m은_c 다음 여섯 범주에 있는 문장 중 하나가 참일 경우에만 직각 삼각형입니다.따라서 각 삼각형은 직각 삼각형의 속성이기도 합니다.

변과 반지름

• ${\displaystyle \displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}\quad({\text{Pythagorean 정리}})}$
• ${\displaystyle \displaystyle (s-a)(s-b)=s(s-c)}$
• ${\displaystyle \displaystyle s=2R+r.}$^[9]
• ${\displaystyle \displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}=8R^{2}}$^[10]

각도

• A와 B는 상보적입니다.^[11]
• ${\displaystyle \displaystyle \cos {A}\cos {B}\cos {C}=0.}$^[10][12]
• ${\displaystyle \displaystyle \sin ^{2}{A}+\sin ^{2}{B}+\sin ^{2}{C}=2.}$^[10][12]
• ${\displaystyle \displaystyle \cos ^{2}{A}+\cos ^{2}{B}+\cos ^{2}{C}=1.}$^[12]
• ${\displaystyle \displaystyle \sin {2A}=\sin {2B}=2\sin {A}\sin {B}}$

지역

• ${\displaystyle \displaystyle T={\frac {ab}{2}}}$
• ${\displaystyle \displaystyle T=r_{a}r_{b}=rr_{c}$
• ${\displaystyle \displaystyle T=r(2R+r)}$
• ${\displaystyle \displaystyle T={\frac {(2s-c)^{2}-c^{2}}{4}}=s(s-c)}$
• ${\displaystyle T}$ $=$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle \mathrm{PB},}$ ${\displaysty$T$=PA\cdot PB,}$ 여기서 P는 가장 긴 변 AB에서 인서클의 접선점입니다.

인라디우스와 엑라디우스

• ${\displaystyle \displaystyle r=s-c=(a+b-c)/2}$
• ${\displaystyle \displaystyle r_{a}=s-b=(a-b+c)/2}$
• ${\displaystyle \displaystyle r_{b}=s-a= (-a+b+c)/2}$
• ${\displaystyle \displaystyle r_{c}=s=(a+b+c)/2}$
• ${\displaystyle \displaystyle r_{a}+r_{b}+r_{c}+r=a+b+c}$
• ${\displaystyle \displaystyle r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}+r^{2}}=a^{2}+b^{2}+c^{2}}$
• ${\displaystyle \displaystyle r={\frac {r_{a}r_{b}}{r_{c}}}$^[14]

고도 및 중위수

• ${\displaystyle \displaystyle h={\frac {ab}{c}}}$
• ${\displaystyle \displaystyle m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}=6R^{2}}}$^{[8]: Prob. 954, 페이지 26}
• 중위수 하나의 길이는 원반지름과 같습니다.
• 가장 짧은 고도(가장 큰 각도를 가진 꼭짓점에서 나오는 고도)는 선분을 반대쪽(가장 긴)으로 나눈 기하평균입니다.이것이 직각 삼각형 고도 정리입니다.

원둘레와 원둘레

• 삼각형은 반원형으로 새겨질 수 있으며, 한 변은 지름 전체와 일치합니다(탈레스 정리).
• 원 중심은 가장 긴 변의 중간 지점입니다.
• 가장 긴 변은 원둘레의 지름$({\displaystyle {\displaystyle c}}$ = ${\displaystyle {\displaystyle \mathrm{2R}}}$ ${\displaystyle {\displaystyle )}}$입니다${\displaystyle {\displaystyle .}}${\$displaystyle \displaystyle ($c = $2R )}$
• 원은 9점 원과 접합니다.^[10]
• 직교 중심은 원 위에 놓여 있습니다.^[8]
• 중심점과 직교점 사이의 거리는 ${\displaystyle 2r}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}r}$과 같습니다$.$^[8]

삼각비

예각에 대한 삼각함수는 직각 삼각형의 변의 비율로 정의할 수 있습니다.주어진 각도에 대해 직각 삼각형을 만들 수 있으며 위의 정의에 따라 이 각도를 기준으로 반대, 인접 및 빗변에 라벨을 붙입니다.이러한 변의 비율은 선택된 특정 직각 삼각형에 의존하지 않고, 주어진 각도에만 의존합니다. 이와 같이 구성된 모든 삼각형은 유사하기 때문입니다.만약 주어진 각도 α에 대하여, 반대쪽, 인접한 쪽, 그리고 빗변이 각각 O, A, 그리고 H로 표시되어 있다면, 삼각함수는

${\displaystyle \sin \alpha = {\frac {O}{H}},\cos \alpha = {\frac {A} {H}},\,\tan \alpha ={\frac {O}{A}},\,\sec \alpha ={\frac {H}{A}},\,\cot \alpha ={\frac {A}{O}},\,\csc \alpha ={\frac {H}{O}}}$

직각 삼각형의 변의 비율로 쌍곡 함수를 표현하는 방법은 쌍곡 섹터의 쌍곡 삼각형을 참조하십시오.

특수직삼각형

삼각 함수의 값은 특정 각도에 대해 특수 각도가 있는 직각 삼각형을 사용하여 정확하게 평가할 수 있습니다.여기에는 π/6의 배수에 대한 삼각 함수를 평가하는 데 사용할 수 있는 30-60-90 삼각형과 π/4의 배수에 대한 삼각 함수를 평가하는 데 사용할 수 있는 45-45-90 삼각형이 포함됩니다.

케플러 삼각형

H, G, A를 a > b인 두 양수 a와 b의 조화평균, 기하평균, 산술평균이라고 하자. 직각삼각형에 다리 H와 G가 있고 빗변 A가 있다면^[15],

${\displaystyle {\frac {A} {H}}={\frac {A^{2}}{G^{2}}={\frac {G^{2}}{H^{2}}}=\phi \,}$

그리고.

${\displaystyle {\frac {a}{b}}=\phi^{3},\,}$

여기서 ϕ ${\displaystyle \phi }$은(는${\displaystyle )}$ $황금$ ${\displaystyle \frac{비율}{}}$ 1${\displaystyle \frac{}{}}$+ 52입니다$.$ {\$displaystyle$ {\$tfrac${1+{\$sqrt${5$}}}{2}}\,,}$ 이 직각 삼각형의 변들은 기하학적 진행과정에 있으므로 이것은 케플러 삼각형입니다.

탈레스 정리

탈레스 정리는 A가 지름 BC인 원의 임의의 점이라면(B 또는 C 자체는 제외) ABC는 A가 직각인 직각 삼각형입니다.반대로, 직각 삼각형이 원에 새겨진다면 빗변은 원의 지름이 될 것입니다.결과적으로 빗변의 길이는 직각 꼭지점에서 빗변의 중간 지점까지의 거리의 두 배입니다.또한 직각 삼각형을 둘러싸는 원의 중심은 빗변의 중간 지점이고 반지름은 빗변의 절반 길이입니다.

메디안스

다음 공식은 직각 삼각형의 중위수에 적용됩니다.

${\displaystyle m_{a}^{2}+m_{b}^{2}=5m_{c}^{2}={\frac {5}{4}}c^{2}}}$

직각 삼각형의 빗변에서 중위수는 삼각형을 이등변 삼각형 두 개로 나눕니다. 왜냐하면 중위수는 빗변의 1/2과 같기 때문입니다.

다리의 중앙값 m과_a m이_b 만족합니다^{[8]: p.136, #3110} .

${\displaystyle 4c^{4}+9a^{2}b^{2}=16m_{a}^{2}m_{b}^{2}}.$

오일러 선

직각 삼각형에서 오일러 선은 빗변의 중위수를 포함합니다. 즉, 직각 꼭짓점과 그 꼭짓점의 반대쪽 중간점을 모두 통과합니다.왜냐하면 직각삼각형의 직각중심은 그 고도의 교차점인 직각삼각형의 직각이변의 직각이변의 교차점인 직각삼각형의 교차점은 빗변의 중간점에 있기 때문입니다.

부등식

직각 삼각형에서 원 안의 지름은 빗변의 절반보다 작으며, 더 강하게는 빗변의 시간$({\displaystyle 2\sqrt{\mathrm{}}}$ -${\displaystyle 1}$)보다${\displaystyle }$작거나 같습니다$.$ {\$displaystyle({\sqrt$ {$2}}$ - 1 $).}$

다리 a, b, 빗변 c를 가진 직각 삼각형에서,

${\displaystyle c\geq {\frac {\sqrt {2}}{2}}(a+b)}$

이등변형의 경우에만 평등하게 말입니다.^{[16]: p.282, p.358}

만약에 그 빗변으로부터의 고도가 h로_c 표시된다면,

${\displaystyle h_{c}\leq {\frac {\sqrt {2}}{4}}(a+b)}$

이등변형의 경우에만 평등하게 말입니다.^{[16]: p.282}

기타속성

꼭짓점 C에서 나오는 길이 p와 q의 세그먼트가 빗변을 길이 c/3의 세그먼트로 분할할 경우^{[4]: pp. 216–217}

${\displaystyle p^{2}+q^{2}=5\left ({\frac {c}{3}}\right)^{2}}$

오른쪽 삼각형은 하나 또는 세 개가 아닌 두 개의 서로 다른 사각형을 가진 유일한 삼각형입니다.^[17]

주어진 h > k. h와 k를 빗변 c를 갖는 직각 삼각형의 두 내접 사각형의 변이라 하자.그리고나서

${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}+{\frac {1}{h^{2}}={\frac {1}{k^{2}}}}$

이들 변과 원 안의 반지름 r은 유사한 공식으로 연관되어 있습니다.

${\displaystyle \displaystyle {\frac {1}{r}}=-{\frac {1}{c}}+{\frac {1}{h}}+{\frac {1}{k}}}}$

직각 삼각형의 둘레는 원 안의 반지름과 세 개의 외각의 합과 같습니다.

${\displaystyle a+b+c=r+r_{a}+r_{b}+r_{c}}$

참고 항목

• 예각 삼각형과 둔각 삼각형(사각 삼각형)
• 테오도로스의 나선

참고문헌

• Weisstein, Eric W. "Right Triangle". MathWorld.
• Wentworth, G.A. (1895). A Text-Book of Geometry. Ginn & Co.

외부 링크

• 직각삼각형 계산기 Wayback Machine 2017-09-30 아카이브
• 고급 직각 삼각형 계산기