셰이프 코호몰로지

수학에서 sheaf cohomology는 위상학적 공간에 있는 sheaf의 전지구적 부분을 분석하기 위해 homological 대수학을 적용하는 것이다. 대체로 말하면, 피복 코호몰로지에서는 기하학적 문제가 국소적으로 해결될 수 있을 때 전 세계적으로 문제를 해결하는 데 방해가 되는 장애물을 설명한다. 셰이프 코호몰로지 연구를 위한 중심 작업은 그로텐디크의 1957년 투호쿠 논문이다.

셰이브스, 셰이프 코호몰로지, 스펙트럼 시퀀스는 장 르레이에 의해 오스트리아 포로 수용소인 Oflag XII-A에서 발명되었다.^[1] 1940년부터 1945년까지 레레이와 다른 죄수들은 수용소에서 "유니버니티 엔 캡시티테"를 조직했다.

레레이의 정의는 1950년대에 단순화되고 명확해졌다. sheaf cohomology는 대수적 위상에서의 cohomology에 대한 새로운 접근법일 뿐만 아니라 복잡한 분석적 기하학 및 대수적 기하학에서 강력한 방법이라는 것이 분명해졌다. 이러한 과목은 특정 국부적 특성을 가진 글로벌 기능을 구성하는 경우가 많으며, 피복 코호몰로지(sheaf cohomology)는 그러한 문제에 이상적으로 적합하다. 리만-로치 정리, 호지 정리 등 초기 결과들이 많이 일반화되거나 피복 코호몰로지(sheaf cohomology)를 이용하여 더 잘 이해되었다.

정의

위상학적 공간 X에 있는 아벨리아 그룹의 피복 범주는 아벨리아 범주인데, 따라서 피복의 피복형 f: B → C가 주사형(단모형)인지, 아니면 허탈형(경구형)인지를 묻는 것이 타당하다. 한 가지 답은 X의 모든 포인트 X에_x 대해 줄기 B_x → C의 관련 동형성이 주입성(존중하중하중)인 경우에만 f가 주입성(존중하중하중)이라는 것이다. F는 X의 모든 오픈 세트 U에 대해 동형성 B(U) → C(U)가 주입되는 경우에만 주입된다. Surjectivity is more subtle, however: the morphism f is surjective if and only if for every open set U in X, every section s of C over U, and every point x in U, there is an open neighborhood V of x in U such that s restricted to V is the image of some section of B over V. (In words: every section of C lifts locally to sections of B.)

그 결과, 의문이 생긴다: X에 대한 B → C의 추론, X에 대한 C의 단면 S의 경우, X에 대한 B의 단면 이미지는 언제인가? 이것은 기하학의 모든 종류의 지역 vs.global 질문에 대한 모델이다. 셰이프 코호몰로지에서는 만족스러운 일반적인 대답을 한다. 즉, A를 추측 B → C의 알맹이가 되게 하여, 짧은 정확한 순서를 제시한다.

$A\to B\to C\to 0}$

X자 위에 한 조각씩 쌓았다. 그리고 sheaf cohomology 그룹이라고 불리는 아벨리아 그룹의 정확한 순서가 있다.

${\displaystyle 0\to H^{0}(X,A)\to H^{0}(X,B)\to H^{0}(X,C)\to \cdots ,}$

여기서 H⁰(X,A)는 A의 글로벌 섹션의 그룹 A(X)이다. 예를 들어, 만약 그룹¹ H(X,A)가 0이라면, 이 정확한 순서는 C의 모든 글로벌 섹션이 B의 글로벌 섹션으로 상승한다는 것을 의미한다. 보다 넓게 보면, 정확한 순서는 상위 코호몰로지 집단에 대한 지식을 단면 이해의 기초적인 도구로 만든다.

그로텐디크의 셰이프 코호몰로지 정의는 현재 표준으로 되어 있으며, 호몰로지 대수학의 언어를 사용한다. 본질적인 요점은 위상학적 공간 X를 고치고 공동질학을 X에 있는 아벨리아 집단부터 아벨리아 집단까지 방광체로서 생각하는 것이다. 좀 더 자세히 말하자면, X에 있는 아벨 그룹부터 아벨 그룹까지 Functor E ↦ E(X)부터 시작해라. 이것은 정확하지만 일반적으로 정확하지는 않다. 그런 다음 정수 i에 대한 그룹ⁱ H(X,E)를 펑터 E e E(X)의 오른쪽 파생 펑터(Functor E ↦ E(X) 이로써ⁱ i < 0에 대해 H(X,E)가 0이고, H⁰(X,E)가 글로벌 섹션의 그룹 E(X)가 되는 것이 자동화된다. 위의 긴 정확한 순서도 이 정의에서 보면 간단하다.

파생 펑커스의 정의는 위상학적 공간 X에 있는 아벨리아 그룹의 피복 범주에 충분한 주사가 있다는 것을 사용한다. 즉, 피복 E마다 주사 E → I가 있다.^[2] 따라서 모든 피복 E는 주입 분해능을 갖는다.

${\displaystyle 0\to E_{0}\to I_{1}\to I_{2}\cdots.}$

그 후 피복합체 집단 Hⁱ(X,E)는 아벨리아 집단들의 연쇄 복합체의 코호몰로지 집단(하나의 동형상 모듈로의 커널)이다.

${\displaystyle 0\to I_{0}(X)\to I_{1}(X)\to \cdots.}$

동질 대수의 표준 주장은 이러한 동질학 그룹이 E의 주입 분해능 선택과 무관하다는 것을 암시한다.

이 정의는 피복 코호몰리를 계산하는 데 직접적으로 사용되는 경우는 드물다. 그럼에도 불구하고 그것은 강력하다. 왜냐하면 그것은 매우 일반적인 (위상학적 공간에 있는 아벨리아 집단의 모든 껍질)에서 작동하기 때문이다. 그리고 그것은 위의 긴 정확한 순서와 같은 껍질 코호몰로학의 공식적인 특성을 쉽게 내포하고 있다. 특정 등급의 공간이나 면봉에 대해서는, 아래에서 논의한 바와 같이, 면봉 코호몰리지를 계산하는 많은 도구들이 있다.

교감성

위상학적 공간의 X → Y, 그리고 Y에 아벨 그룹들의 모든 sheaf E에 대해서는 풀백 동형성이 있다.

${\displaystyle f^{*}\colon H^{j}(Y,E)\to H^{j}(X,f^{*})(E))}$

모든 정수 j에 대해, 여기서 f*(E)는 역 이미지 sheaf 또는 풀백 sheaf를 나타낸다.^[3] 만약 f가 Y의 아공간 X를 포함하는 것이라면, f*(E)는 E에서 X까지의 제한이며, 흔히 다시 E라고 부르기도 하며, Y에서 X까지의 구간 s의 풀백을 제한 s라고 부른다.

풀백 동형체는 중요한 계산 결과인 메이어-베트남 시퀀스에서 사용된다. 즉, X는 두 개의 오픈 서브셋 U와 V의 결합인 위상학적 공간이 되게 하고 E는 X 위의 sheaf가 되게 한다. 그리고 아벨 그룹들의 정확한 순서는 다음과 같다.^[4]

${\displaystyle 0\to H^{0}(X,E)\to H^{0}(U,E)\oplus H^{0}(V,E)\to H^{0}(U\cap V,E)\to H^{1}(X,E)\cdots.}$

일정한 계수를 갖는 셰이프 코호몰로지

위상학적 공간 X와 아벨 그룹 A의 경우 상수 셰이프_X A는 A의 값을 갖는 국소 상수 함수의 셰이프를 의미한다. 계수가 일정한 피복형 코호몰로지 그룹 H(X,A_X)는^j 단수형 코호몰로지 같은 다른 버전의 코호몰로지와의 혼동을 야기할 수 있는 경우를 제외하고 단순히 H^j(X,A)로 표기되는 경우가 많다.

연속 지도 f: X → Y 및 아벨 그룹 A의 경우 풀백 셰이프 f*(A_Y)는 A에_X 이형이다. 그 결과 풀백 동형성은 일정한 계수를 가진 피복 동형질을 위상학 공간에서 아벨 그룹까지 역행성 펑터로 만든다.

모든 공간 X와 Y 및 아벨 그룹 A에 대해 X에서 Y까지 두 개의 동음이의어 지도 f와 g는 피복 동음이의학에서 동일한 동음이의형을 유도한다.^[5]

${\displaystyle f^{*}=g^{*}:H^{j}(Y,A)\to H^{j}(X,A).}$

두 개의 호모토피 등가 공간은 일정한 계수를 갖는 이형 피복 코호몰리를 가지고 있다.

X는 국소적으로 수축할 수 있는 파라콤팩트 하우스도르프 공간으로, 포인트 x의 모든 오픈근린 U가 x의 오픈근린 V를 포함하고 있어, 포함 V → U가 일정한 지도에 동음이의학적으로 되어 있다는 약한 의미에서라도 말이다. 그러면 아벨 그룹 A에 계수가 있는 X의 단수 코호몰로지 그룹은 일정한 계수가 있는 이형 코호몰로지 H*(X,A_X)이다.^[6] 예를 들어, 위상학적 다지관 또는 CW 복합체를 X에 적용한다.

그 결과 계수가 일정한 피복 코호몰로지(sheaf cohomology)의 기본 계산은 단수 코호몰로지 계산과 동일하다. 구체, 투영 공간, 토리 및 표면의 코호몰리에 대한 내용은 코호몰로지 기사를 참조하십시오.

임의 위상학 공간의 경우 (계수가 일정한) 단수 코호몰로지 및 피복 코호몰로지(cheaf cohomology, sheaf cohomology)는 다를 수 있다. 이런⁰ 일은 H에게도 일어난다. 단수 코호몰로지 H⁰(X,Z)는 X의 경로 성분 집합에서 정수 Z까지의 모든 함수의 그룹인 반면, 쉐이프 코호몰로지 H⁰(X,Z_X)는 X에서 Z까지의 국소 상수 함수의 그룹이다. 예를 들어 X가 칸토어 세트일 때 이러한 것들은 다르다. 실제로 피복공호학 H⁰(X,Z_X)는 그 경우 카운트 가능한 아벨리아 집단인 반면, 단수공호학 H⁰(X,Z)는 카디널리티를 가진 X에서 Z까지의 모든 기능의 집단이다.

${\displaystyle 2^{2^{\aleph _{0}}.}$

한paracompact 하우스 도르프 공간 X와 어떤sheaf EX에서abelian 그룹에게는 이 cohomology 그룹 Hj(X,E)j에 제로 있X.[7]의 피복 치수보다 큰(이 단수 cohomology을 위해 같은 일반성에서:예를 들어, 유클리드 공간 R3의 무한히 많은 유례없는 cohomology를 가진 콤팩트 일부 부과하지 않는다.degrees.)^[8] 피복 치수는 위상학적 다지관 또는 CW 복합체에 대한 치수의 일반적인 개념에 동의한다.

연약하고 부드러운 껍질

위상학적 공간 X에 있는 아벨리아 그룹의 sheaf E는 h^j(X,E)가 모든 j > 0에 대해 0이면 acyclic이라고 불린다. heaf cohomology의 긴 정확한 순서에 의해 heaf의 어떤 acyclic 분해능으로부터도(주입 분해능이 아닌)로 계산될 수 있다. 주입식 피복은 반복적이지만 계산의 경우 다른 피복 피복의 예를 갖는 것이 유용하다.

X의 음영 E는 X의 열린 부분 집합에 있는 E의 모든 부분이 X의 모든 부분 집합에 있는 E의 섹션으로 확장되는 경우 flabby(프랑스어: flasque)라고 불린다. 축 늘어진 단은 고르지 않다.^[9] Godment는 모든 피복의 표준적인 얇은 해상도를 통해 피복 코호몰리를 정의했다; 피복 피복은 반복적이기 때문에, 피복 코호몰로지 정의는 위의 피복 코호몰로지 정의에 동의한다.^[10]

파라콤팩트 하우스도르프 공간 X의 셰프 E는 X의 닫힌 부분집합에 대한 E의 모든 부분이 X의 모든 부분집합에 대한 E의 섹션으로 확장되는 경우 소프트라고 불린다. 모든 부드러운 껍질은 순환한다.^[11]

소프트 셰이브의 일부 예로는 파라콤팩트 하우스도르프 공간의 실제 값진 연속함수의 껍질 또는 매끄러운 다지관의 매끄러운 (C^∞) 함수의 껍질 등이 있다.^[12] 더 일반적으로, 부드러운 교환 고리 조각 위에 있는 모듈의 모든 조각은 부드럽다. 예를 들어, 부드러운 다지관 위에 있는 벡터 다발의 부드러운 부분 조각은 부드럽다.^[13]

예를 들어, 이러한 결과는 드 람의 정리 증명의 일부를 형성한다. 부드러운 다지관 X의 경우, 푸앵카레 보조정리기는 드 람 콤플렉스가 상수 피복 R_X:의 분해능이라고 말한다.

${\displaystyle 0\to \mathbf {R} _{X}\to \Oomega_{X}^{0}\to \Oomega_{X}^{1}\cdots,}$

여기서 Ω은_X^j 매끄러운 j-폼의 피복이며, Ω_X^j → Ω은_X^j+1 외부 파생상품 d이다. 위의 결과에 의해 Ω은_X^j 부드러우므로 반복된다.cyclic이다. 실제 계수를 갖는 X의 피복 코호몰로지(sheaf cohomology)는 X의 데 람 코호몰로지(de Rham cohomology)와 이형성이며, 이는 실제 벡터 공간의 복합체 코호몰로지(cohomology)로 정의된다.

${\displaystyle 0\to \Oomega_{X}^{0}(X)\to \Oomega_{X}^{1}(X)\cdots.}$

De Rham의 정리의 다른 부분은 실제 계수로 X의 피복 코호몰로지 및 단수 코호몰리를 식별하는 것이다; 위에서 논의한 바와 같이 더 큰 일반성을 유지한다.

체흐 코호몰로지

체흐 코호몰로지(chech cohomology)는 종종 계산에 유용한 피복 코호몰로지(sheaf cohomology)에 대한 근사값이다. 즉 $U{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$ {$U}$을(를) 위상학적 공간 X의 개방형 커버가 되게$$ 하고 E를 X에 있는 아벨 그룹들의 껍데기가 되게 한다. 표지의 오픈 세트는 세트 I의 요소 I에 대해_i U로 작성하고, I의 오더를 수정한다. 그 후 체흐 코호몰로지 ${\displaystyle H^{}}$ $j{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}U}$, ${\displaystyle E}$) ${\displaystyle H^{j}({\mathcal{U},E)}$는 j번째 그룹과 아벨리아 그룹의 명시적 콤플렉스의 코호몰로지(chohomology)로 정의된다$$.

${\displaystyle C^{j}({\mathcal {U},E)=\prod _{i_{0}E(U_{0}}\cdots \cap \cap \cap \cap U_{i_{j}}).}$

There is a natural homomorphism ${\displaystyle H^{j}({\mathcal {U}},E)\to H^{j}(X,E)}$. Thus Čech cohomology is an approximation to sheaf cohomology using only the sections of E on finite intersections of the open sets U_i.

If every finite intersection V of the open sets in ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ has no higher cohomology with coefficients in E, meaning that H^j(V,E) = 0 for all j > 0, then the homomorphism from Čech cohomology ${\displaystyle H^{j}({\mathcal {U}},E)}$ to sheaf cohomology is an isomorphism.^[14]

치크 코호몰로지(Chech cohomology)와 피복 코호몰로지(sheaf cohomology)를 연관시키는 또 다른 접근방법은 The Čech cohomology groups ${\displaystyle {\check {H}}^{j}(X,E)}$ are defined as the direct limit of ${\displaystyle H^{j}({\mathcal {U}},E)}$ over all open covers ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ of X (where open covers are ordered by refinement). There is a homomorphism ${\displaystyle {\check {H}}^{j}(X,E)\to H^{j}(X,E)}$ from Čech cohomology to sheaf cohomology, which is an isomorphism for j ≤ 1. For arbitrary topological spaces, Čech cohomology can differ from sheaf cohomology in higher degrees. 그러나 편리하게, Chech cohomology는 파라콤팩트 Hausdorff 공간에 있는 모든 sheaf cohomology에 대해 이형적이다.^[15]

The isomorphism ${\displaystyle {\check {H}}^{1}(X,E)\cong H^{1}(X,E)}$ implies a description of H¹(X,E) for any sheaf E of abelian groups on a topological space X: this group classifies the E-torsors (also called principal E-bundles) over X, up to isomorphism. (This statement generalizes to any sheaf of groups G, not necessarily abelian, using the non-abelian cohomology set H¹(X,G).) By definition, an E-torsor over X is a sheaf S of sets together with an action of E on X such that every point in X has an open neighborhood on which S is isomorphic to E, with E acting on itself by translation. 예를 들어, 링이 있는 공간(X,O_X)에서는 X에 있는 회전 불능 피카르 그룹이 H¹(X,O_X*)와 이형화되어 있고, 여기서_X O*는 O에_X 있는 단위의 피카르 그룹이다.

상대적 코호몰로지

위상학적 공간 X의 부분집합 Y와 X에 있는 아벨리아 그룹의 sheaf E의 경우, 상대적인 코호몰로지 그룹을 정의할 수 있다.^[16]

$H_{\displaystyle H_{Y}^{j}(X,E)=H^{j}(X,X-Y;E)}$

integers j. 다른 명칭은 Y에서 지원을 받는 X의 코호몰로지 또는 (X에서 Y가 닫힐 때) 국소 코호몰로지(Cohomology)이다. 긴 정확한 순서는 상대적인 코호몰로지(sheaf cohomology)와 통상적인 의미에서 관련이 있다.

$\displaystyle \cdots \to H_{Y}^{j}(X,E)\to H^{j}(X,E)\to H^{j}(X-Y,E)\to H_{{}Y}^{j+1}(X,E)\cdots로.}$

Y가 X에서 닫혔을 때 Y에서 지지를 받는 코호몰리오는 펑터의 파생된 펑터로 정의될 수 있다.

$H_{\displaystyle H_{Y}^{0}(X,E):=\{s\in E(X):s _{X-Y}=0\}}$

Y에서 지원되는 E 섹션 그룹

절제라고 알려진 몇 가지 이형체들이 있다. 예를 들어, X가 U의 내부에 Y의 폐쇄가 포함될 정도로 Subspace Y와 U가 있는 위상학적 공간이고, E가 X에 대한 피복인 경우, 그 제한은 X에 대한 피복이다.

$H_{\displaystyle H_{Y}^{j}(X,E)\to H_{Y}^{j}(U,E)}$

이소모르프다.^[17] (따라서 닫힌 부분집합 Y에서 지원을 받는 코호몰로지(cohomology)는 오직 Y 근처의 X와 Sheaf E의 동작에만 의존한다.) 또한 X가 닫힌 부분집합 A와 B의 결합인 파라콤팩트 하우스도르프 공간이고 E가 X에 대한 sheaf라면 그 제한은 다음과 같다.

${\displaystyle H^{j}(X,B;E)\to H^{j}(A,A\cap B;E)}$

이소모르프다.^[18]

콤팩트한 지지를 받는 코호몰로지

X를 지역적으로 콤팩트한 위상학적 공간이 되게 하라. (이 글에서 국소적으로 콤팩트한 공간은 하우스도르프(Hausdorff)로 이해된다.) X에 있는 아벨 그룹들의 sheaf E의 경우, 콤팩트 서포트 H_c^j(X,E)로 코호몰리를 정의할 수 있다.^[19] 이러한 그룹은 압축적으로 지원되는 섹션의 functor에서 파생된 functor로 정의된다.

${\displaystyle H_{c}^{0}(X,E)=\{s\in E(X):{\text{}}}}}X{\text{}의 콤팩트 서브셋{}}{{X-K}=0\}}이(가) 있음$

X 콤팩트용 이형성인 자연 동형성 H_c^j(X,E) → H^j(X,E)가 있다.

국소적 콤팩트 공간 X의 피복 E의 경우, E의 풀백에 계수가 있는 X × R의 콤팩트하게 지원되는 코호몰로지(cohomology)는 X의 콤팩트하게 지원되는 코호몰로지(compactly supported cohomology)의 이동이다.^[20]

${\displaystyle H_{c}^{j+1}(X\times \mathbf {R},E)\cong H_{c}^{j}(X,E).}$

예를 들어, H_c^j(Rⁿ,Z)는 j = n이면 Z에 이형이고, 그렇지 않으면 0이라는 것을 따른다.

압축적으로 지원되는 코호몰리오는 임의의 연속 지도와 관련하여 functorial이 아니다. 적절한 지도 f: Y → X 로컬 컴팩트 공간 및 X의 sheaf E에 대해서는, 그러나 풀백 동형성이 있다.

${\displaystyle f^{*}\colon H_{c}^{j}(X,E)\to H_{c}^{j}(Y,f^{*})(E))}$

협소하게 지지되는 코호몰로지(cohomology. 또한, 로컬 콤팩트 공간 X의 오픈 서브셋 U와 X의 쉐이프 E의 경우, 0에 의한 확장으로 알려진 푸시포워드 동형성이 있다.^[21]

${\displaystyle H_{c}^{j}(U,E)\to H_{c}^{j}(X,E).}$

두 동형성 모두 국소적으로 지원되는 코호몰로지, 국소적으로 컴팩트한 공간 X 및 닫힌 부분 집합 Y에 대해 긴 정밀 국소화 순서에서 발생한다.^[22]

${\displaystyle \cdots \to H_{c}^{j}(X-Y,E)\to H_{c}^{j}(X,E)\to H_{c}^{j}^{j+1}(X-Y,E)\cdots.$

컵 제품

위상학적 공간 X에 아벨 그룹들의 A와 B의 모든 조각들을 위해, 컵 제품인 이선형 지도가 있다.

${\displaystyle H^{i}(X,A)\time H^{j}(X,B)\to H^{i+j}(X,A\otimes B),}$

저나 저나 저나 ^[23]다 여기서 A⊗B는 Z 위에 있는 텐서 제품을 의미하지만, 만약 A와 B가 몇 겹의 상호 작용 링 위에_X 있는 모듈 덩어리라면, H^i+j(X,A⊗_ZB)에서 H^i+j(X,A⊗_OXB)로 더 멀리 매핑할 수 있다. 특히, 정류용 링의 O자_X 한 조각의 경우 컵 제품은 직접 합을 만든다.

${\displaystyle H^{*}(X,O_{X})=\bigoplus _{j}H^{j}(X,O_{X})}$

라는 뜻의 단계별 링으로.

${\displaystylevu=(-1)^{ij}uv}$

모든 U in H와ⁱ V in H를^j 위하여.^[24]

단층집합물

파생 펑터로서의 피복 코호몰로지 정의는 피복의 복잡한 E에 계수가 있는 위상학적 공간 X의 피복체를 정의하기 위해 확장된다.

${\displaystyle \cdots \to E_{j}\to E_{j+1}\to E_{j+2}\cdots }$

특히 콤플렉스 E가 아래 경계(sheaf E는_j 충분히 음수인 경우 0)인 경우 E는 하나의 sheaf가 하듯이 주입 분해능 I을 갖는다. (정의상, 나는 체인 맵 E → I로 주사 피복의 콤플렉스 아래 경계선이다.) 그 다음, 코호몰로지 그룹 H^j(X,E)는 아벨 그룹들의 콤플렉스의 코호몰로지라고 정의된다.

${\displaystyle \cdots \to I_{j}(X)\to I_{j+1}(X)\to \cdots.}$

덩어리 복합체에 계수가 있는 공간의 코호몰로지(cohomology)는 일찍이 하이퍼코호몰로지(hypercohomology)라고 불렸으나, 지금은 대개 "코호몰로지(cohomology)"에 불과하다.

좀 더 일반적으로, 공간 X에 있는 모피 E(아래에 반드시 경계된 것은 아님)의 어떤 복합체에 대해, 코호몰로지 그룹 H^j(X,E)는 X에 있는 모형의 파생 범주에 있는 모형의 그룹으로 정의된다.

${\displaystyle H^{j}(X,E)=\operatorname {Hom} _{D(X)}(\mathbf {Z} _{X}E[j]),}$

여기서 Z는_X 정수와 연관된 상수 피복이고 E[j]는 복합 E가 j 스텝을 왼쪽으로 이동시켰음을 의미한다.

푸앵카레 이원화 및 일반화

위상에서의 중심 결과는 푸앵카레 이중성 정리: 차원 n과 필드 k의 폐쇄 지향적 연결 위상학적 다지관 X에 대해 그룹ⁿ H(X,k)는 k에 이형이며 컵 제품은 k에 이형이다.

${\displaystyle H^{j}(X,k)\time H^{n-j}(X,k)\to H^{n}(X,k)\cong k}$

모든 정수 j에게 완벽한 짝짓기 입니다. 즉, H^j(X,k)에서 듀얼 스페이스^n−j H(X,k)*까지의 결과 지도는 이형성이다. 특히 벡터 공간 H^j(X,k)와 H^n−j(X,k)*의 치수는 같다.

많은 일반화는 피복 코호몰로지 언어를 사용하여 가능하다. X가 반드시 콤팩트하거나 연결되지 않는 지향적인 n-manifold이고 k가 필드인 경우, 코호몰로지(cohomology)는 콤팩트한 지원을 가진 코호몰로지(cohomology)의 이중이다.

${\displaystyle H^{j}(X,k)\cong H_{c}^{n-j}(X,k)^{*}}$

다지관 X와 필드 k의 경우 X에 피복(sheaf o_X), 방향 피복(direction sheaf)이 있으며, 이 피복은 상수 피복 k에 국소적이다(아마도 전역은 아닐 것이다). 임의의 n-manifold X에 대한 Poincaré 이중성의 한 버전은 이소모르퍼리즘이다.^[25]

${\displaystyle H^{j}(X,o_{X})\cong H_{c}^{n-j}(X,k)^{*}}}$

보다 일반적으로, E가 n-manifold X에 k-벡터 공간의 국소 상수 피복이고 E의 줄기가 유한 치수를 갖는다면, 이형성이 있다.

${\displaystyle H^{j}(X,E^{*}\otimes o_{X}\cong H_{c}^{n-j}(X,E)^{*}}}}$

필드가 아닌 임의의 교감 링에 계수를 넣어 푸앵카레 이원성은 코호몰로지부터 보렐-모어 호몰로지까지의 이형성으로 자연스럽게 공식화된다.

베르디에 이중성은 광대한 일반화다. 유한 치수의 국소적 콤팩트 공간 X와 필드 k의 경우, X의 셰이브에서 파생된 범주 D(X)에 이원화 복합체(k)라고 하는 객체 D가_X 있다. 베르디에 이중성의 한 예는 이소모르프다.^[26]

${\displaystyle H^{j}(X,D_{X})\cong H_{c}^{-j}(X,k)^{*}}}$

n-manifold X의 경우, 이중화 복합체 D는_X 방향 피복의 시프트 o_X[n]와 이형화된다. 그 결과 베르디에 이중성은 푸앵카레 이중성을 특수한 사례로 포함하고 있다.

알렉산더 이중성은 푸앵카레 이원화의 또 다른 유용한 일반화다. 지향적인 n-manifold M의 닫힌 부분 집합 X와 필드 k에 대해 다음과 같은 이형성이 있다.^[27]

${\displaystyle H_{X}^{j}(M,k)\cong H_{c}^{n-j}(X,k)^{*}}}$

이것은 이미 X에게 M = R의ⁿ 콤팩트한 부분집합인데, 여기서 R-X의ⁿ 코호몰로지(cohomology)가 X의 쉐이프 코호몰로지(sheaf cohomology)의 이중이라고 (거의)라고 되어 있다. 이 진술에서 현지 계약성 등의 X에 대해 추가적인 가정을 하지 않는 한, 단일한 코호몰로지보다는 피복 코호몰리를 고려하는 것이 필수적이다.

더 높은 직사 영상 및 Leray 스펙트럼 시퀀스

렛 f: X → Y는 위상학적 공간의 연속적인 지도가 되고, E는 X에 아벨 그룹들의 떼가 되게 한다. 직접 이미지 sheaf fE는_* Y에 정의된 sheaf이다.

${\displaystyle (f_{*}E)(U)=E(f^{-1}(U))}$

Y의 모든 열린 부분 집합 U에 대해. 예를 들어, f가 X에서 점까지의 지도라면, fE는_* E의 글로벌 섹션의 그룹 E(X)에 해당하는 지점의 피복이다.

X에서 Y로 자른 자루까지의 functor f는_* 정확하지만, 일반적으로 정확하지는 않다. Y에서 RfE를ⁱ_* 직접 촬영하는 고차원 이미지는 Functor f의_* 오른쪽 파생된 functor로 정의된다. 또 다른 설명은 RfE가ⁱ_* 사전 예방접종과 연관된 피복이라는 것이다.

${\displaystyle U\mapsto H^{i}(f^{-1}(U),E)}$

따라서, 높은 직사 이미지 조각은 대략적으로 Y에 있는 작은 오픈 세트의 역방향 이미지의 코호몰리를 묘사한다.^[28]

Leray 스펙트럼 시퀀스는 X의 코호몰로지 및 Y의 코호몰로지 관련이다. 즉, 연속 지도 f: X → Y 및 X의 모든 sheaf E에 대해 스펙트럼 시퀀스가 있다.

${\displaystyle E_{2}^{ij}=H^{i}(Y,R^{j}f_{*}E)\오른쪽 화살표 H^{i+j}(X,E)}$

이것은 매우 일반적인 결과다. f가 진동이고 E가 상수 피복인 특수한 경우는 세레 스펙트럼 시퀀스라는 이름으로 호모토피 이론에서 중요한 역할을 한다. 이 경우, 높은 직사 이미지 피복은 f의 섬유 F의 코호몰로지 그룹을 줄기로 하여 국소적으로 일정하므로 세레 스펙트럼 시퀀스는 다음과 같이 기록할 수 있다.

${\displaystyle E_{2}^{ij}=H^{i}(Y,H^{j}(F,A))\Rightarrow H^{i+j}(X,A)}$

아벨 그룹 A를 위해

단순하지만 유용한 Leray 스펙트럼 시퀀스의 경우 위상학적 공간 Y의 닫힌 부분집합 X와 X에 있는 모든 부분집합 E에 대해 포함을 위해 f: X → Y라고 표기하는 경우 이형성이^[29] 있다.

${\displaystyle H^{i}(Y,f_{*}E)\cong H^{i}(X,E)}$

결과적으로, 폐쇄된 하위 공간의 전단 코호몰리에 대한 질문은 주변 공간에 대한 직접적인 이미지 피복에 대한 질문으로 번역될 수 있다.

코호몰로지 정밀도

피복 코호몰로지에는 강한 정밀도 결과가 있다. X를 콤팩트한 하우스도르프 공간이 되게 하고, R을 예를 들면 필드나 정수의 링 Z와 같은 주요한 이상적인 영역이 되게 한다. Let E be a sheaf of R-modules on X, and assume that E has "locally finitely generated cohomology", meaning that for each point x in X, each integer j, and each open neighborhood U of x, there is an open neighborhood V ⊂ U of x such that the image of H^j(U,E) → H^j(V,E) is a finitely generated R-module. 그 다음, 코호몰로지 그룹 H^j(X,E)는 정밀하게 생성된 R-모듈이다.^[30]

예를 들어, 국소적으로 수축할 수 있는 콤팩트한 하우스도르프 공간 X의 경우(위에서 논의한 약한 의미에서는), 모든 정수 j에 대해 sheaf cohomology 그룹 H^j(X,Z)가 정밀하게 생성된다.

정밀도 결과가 적용되는 한 가지 경우는 시공 가능한 피복이다. X를 위상학적으로 층화된 공간이 되게 하라. 특히 X는 일련의 폐쇄형 서브셋과 함께 나온다.

${\displaystyle X=X_{n}\supset X_{n-1}\supset \cdots \supset X_{-1}=\emptyset }}$

각 차이 X-X가_ii−1 차원 i의 위상학적 다지관일 수 있다. X에 대한 R-모듈의_ii−1 피복 E는 각 층 X-X에 대한 E의 제한이 국소적으로 일정하고, 정확히 생성된 R-모듈이 있는 경우 주어진 층화와 관련하여 구성 가능하다. 주어진 층화와 관련하여 구성 가능한 X 상의 피복 E는 국소적으로 미세하게 생성된 코호몰리를 가지고 있다.^[31] X가 작을 경우, 구성 가능한 피복에 계수가 있는 X의 공동^j 호몰로지 그룹 H(X,E)가 미세하게 생성된다.

보다 일반적으로, X가 압축 가능하다고 가정하자. 즉, X가 열린 부분집합으로서 X를 포함하는 컴팩트한 층화 공간 W가 있고, W-X는 층의 연결된 구성요소의 결합이 있다고 하자. 그런 다음, X에 있는 R-모듈의 시공 가능한 피복 E에 대해 R-모듈 H^j(X,E)와 H_c^j(X,E)가 정밀하게 생성된다.^[32] 예를 들어, 고전적(유클리드) 위상이 있는 모든 복잡한 대수적 다양성 X는 이러한 의미에서 압축할 수 있다.

정합성층 공동호몰로지

대수 기하학과 복잡한 분석 기하학에서, 일관성 있는 조각은 특정한 기하학적 중요성의 한 부류다. 예를 들어 대수 벡터 번들(현지 노메테리아식 계략)이나 홀로모르픽 벡터 번들(복잡한 분석 공간)은 일관성 있는 피복으로 볼 수 있지만, 일관성 있는 피복은 그들이 아벨리아 범주를 형성하는 벡터 번들에 비해 이점이 있다. 어떤 계획에서, 무한한 지위의 지역적 자유층을 포함하는 준일률적인 단을 고려하는 것도 유용하다.

계수가 일관성 있는 피복에 있는 체계 또는 복잡한 분석 공간의 공동 호몰로지 그룹에 대해서는 많은 것이 알려져 있다. 이 이론은 대수 기하학의 핵심 기술적 수단이다. 주요 이론으로는 다양한 상황에서 코호몰로지 소멸에 관한 결과, 코호몰로지 유한차원성에 관한 결과, 호지 이론과 같은 일관성 있는 피복 코호몰로지 및 특이체 코호몰로지와의 비교, 리만-로치 정리 같은 일관성 있는 피복 코호몰로지에서의 오일러 특성에 관한 공식 등이 있다.

사이트에 셰이브스

1960년대에 그로텐디크는 그로텐디크 위상이 장착된 범주를 의미하는 부지의 개념을 정의했다. A site C axiomatizes the notion of a set of morphisms V_α → U in C being a covering of U. A topological space X determines a site in a natural way: the category C has objects the open subsets of X, with morphisms being inclusions, and with a set of morphisms V_α → U being called a covering of U if and only if U is the union of the open subsets V_α. 그 경우를 넘어선 그로텐디크 위상의 동기부여가 되는 예는 계략에 관한 에테일 위상이었다. 그 이후, 다른 많은 그로텐디크 토폴로지들, 즉 fpqc 토폴로지, Nisnevich 토폴로지 등 대수 기하학에서 사용되었다.

피복의 정의는 어느 사이트에서나 통한다. 그래서 사람들은 사이트에 있는 한 무리의 집합체, 사이트에 있는 아벨 그룹들의 집합체 등에 대해 이야기할 수 있다. 파생된 functor로서의 sheaf cohomology의 정의도 사이트에서 작동한다. 그래서 어떤 사람은 사이트의 어떤 대상 X와 아벨 그룹의 어떤 대상 E를 위한 sheaf cohomology 그룹 H^j(X, E)를 가지고 있다. étal 위상의 경우, 이것은 étal cohomology의 개념을 제공하며, 이것이 Weil 추측의 증거로 이어졌다. 대수 기하학에서 결정론 코호몰로지 및 기타 많은 코호몰로지 이론은 적절한 부위에서 피복 코호몰로지(sheaf cohomology)로 정의된다.

메모들

참조

• Barratt, M. G.; Milnor, John (1962), "An example of anomalous singular homology", Proceedings of the American Mathematical Society, 13: 293–297, doi:10.1090/S0002-9939-1962-0137110-9, MR 0137110
• Borel, Armand (1984), Intersection Cohomology, Birkhäuser, ISBN 0-8176-3274-3, MR 0788171
• Bredon, Glen E. (1997) [1967], Sheaf Theory (2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4612-0647-7, ISBN 978-0-387-94905-5, MR 1481706
• Godement, Roger (1973) [1958], Topologie algébrique et théorie des faisceaux, Paris: Hermann, MR 0345092
• Griffiths, Phillip; Harris, Joseph (1994) [1978], Principles of Algebraic Geometry, Wiley Classics Library, New York: John Wiley & Sons, doi:10.1002/9781118032527, ISBN 978-0-471-05059-9, MR 1288523
• Grothendieck, A. (1957), "Sur quelques points d'algèbre homologique", Tôhoku Mathematical Journal, (2), 9: 119–221, doi:10.2748/tmj/1178244839, MR 0102537. 영어 번역.
• Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157, OCLC 13348052
• Iversen, Birger (1986), Cohomology of Sheaves, Universitext, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-3-642-82783-9, ISBN 978-3-540-16389-3, MR 0842190

외부 링크

• MathOverflow의 "Sheaf 코호몰로지 및 주입 해상도" 스레드
• Stack Exchange의 "Sheaf cohomology"