드 람 코호몰로지

닫혔지만 정확하지 않은 펑크난 평면의 차동 형태에 해당하는 벡터 장으로, 이 공간의 데 람 코호몰리가 비삼각적이라는 것을 보여준다.

수학에서 de Rham cohomology (Georges de Rham의 이름을 따서 명명)는 대수 위상과 미분 위상에 모두 속하는 도구로, 평활 다지기에 대한 기초 위상학적 정보를 특히 계산에 적응한 형태로 표현할 수 있고, 코호몰로지 클래스의 구체적인 표현도 가능하다. 규정된 성질을 가진 미분형식의 존재에 근거한 코호몰로지 이론이다.

모든 정확한 형태는 닫혀있지만, 그 반대가 반드시 사실인 것은 아니다. 반면에, 정확성의 실패와 "구멍"의 존재 사이에는 관계가 있다. De Rham cohomology Groups는 앞서 언급한 관계를 정량적으로 만드는 매끄러운 다지관의 불변성분 집합체로서 이 기사에서 논의될 것이다.^[1]

형태 개념에 대한 통합은 미분 위상, 기하학, 물리학에서 근본적 중요성이 있으며, 또한 가장 중요한 사례 중 하나인 코호몰로지(de Rham cohomology)를 산출하는데, 이 예로는 (거의) 미적분학의 기본 정리가 더 높은 차원 및 일반적인 마니에서 실패하는 정도를 정밀하게 측정한다.접히다
— Terence Tao, Differential Forms and Integration^[2]

정의

데 람 콤플렉스는 일부 매끄러운 다지관 $M$ 에 있는 미분형 코체인 복합체로서, 외부 파생물이 미분형이다.

{\displaystyle 0\to \Oomega ^{0}(M)\\\stackrel {d}{d}{\}\\Oomega ^{d}}\\\Stackrel ^{d}{d}}}}\\Oomega ^{3}(M)\cdotes}\cdots.

여기서 $Ω 0 (M)$ 은 $M$ 에서 매끄러운 함수의 공간이고, $Ω 1 (M)$ 은 1-폼의 공간이다. 외부 파생 모델 아래에 있는 다른 형태의 이미지, 그리고 $Ω 0 (M$ )의 $상수$ 0 함수를 더한 형태를 정확한 것으로 부르고 $,$ 외부 파생 $모델$ 이 0인 형태를 폐쇄형(Closed and fact different forms 참조), $d 2$ = 0 $관계$ 에서 정확한 형식이 폐쇄형이라고 한다.

이와는 대조적으로 폐쇄형식이 반드시 정확한 것은 아니다. 예시 사례로는 다지관으로서의 원과 그 중심에 있는 기준점에서 각도의 파생에 해당하는 1-형식이 있으며, 일반적으로 $dθ$ 로 표기된다(Closed and fact different different forms로 설명됨). $dθ$ 가 그것의 파생상품인 것처럼 원 전체에 정의된 함수 $θ$ 은 없다; 원 둘레를 한 번 양방향으로 돌 때 2㎛의 증가는 다변수 $함수$ implies을 의미한다. 원의 한 점을 제거하면 이를 방지하는 동시에 다지관의 위상이 변경된다.

모든 닫힌 형태가 정확할 때 한 가지 눈에 띄는 예는 밑공간이 한 점으로 수축될 수 있을 때, 즉 항성형 영역(노홀 조건)이다. 이 경우 닫힌 형태로 제한된 $d$ 외부 파생 모델 $d$ $d$ 에는 호모토피 연산자라는 국소 역이 있다.^[3]^[4] 역시 영점이기 때문에 ^[3]이 경우 데 람 콤플렉스에 비해 화살이^[5] 거꾸로 된 이중 체인 콤플렉스를 만든다. 푸앵카레 보조정리(Poincare lema)에 기술된 상황은 이렇다.

de Rham cohomology 뒤에 있는 아이디어는 다지관의 닫힌 형태의 동등성 등급을 정의하는 것이다. 하나는 두 개의 닫힌 $형태$ 인 $α$ , β ∈ $Ω k (M)$ 을 정확한 형태, 즉 $α$ - $β$ 가 정확한 경우 코호몰로 분류한다. 이 분류는 $Ω k (M$ ) 단위로 닫힌 형태의 공간에 대한 동등성 관계를 유도한다 $.$ 그런 다음 K-th de Rham cohomology 그룹 $H_{\mathrm {dR} }^{k}(M)$ $H_{\mathrm {dR} }^{k}(M)$ $H_{\mathrm {dR} }^{k}(M)$ $H_{\mathrm {dR} }^{k}(M)$ ( M $H_{\mathrm {dR} }^{k}(M)$ ) ${\dplaystyle H_{\mathrm {dR} }^{k}(M)}$ 을 등가 등급 집합, 즉 $Ω k (M)$ 모듈로의 닫힌 양식 집합으로 $H_{\mathrm {dR} }^{k}(M)$ 정의한다.

$m$ 연결되지 않은 구성 요소로 구성된 모든 다지관 $M$ 에 대해, 각각이 연결되어 있는 경우, 다음이 있다.

H_{\mathrm {dR} }^{0}(M)\cong \mathb {R}^{m}.

이는 도처에 0개의 파생상품이 있는 $M$ 의 모든 매끄러운 $기능$ 이 M의 연결된 각 구성 요소에서 개별적으로 일정하다는 사실에서 비롯된다.

De Rham cohomology 계산

제로 코호몰로지(zero cohomology)와 메이어-베트남 순서에 관한 위의 사실을 이용하여 다지관의 일반적인 드 람 코호몰로지를 흔히 발견할 수 있다. 또 다른 유용한 사실은 데 람 코호몰로지(De Rham cohomology)가 호모토피 불변성 물질이라는 것이다. 계산이 제공되지 않는 동안, 다음은 일부 공통 위상학적 객체에 대해 계산된 드 Rham 코호몰로지들이다.

n-sphere

n-sphere의 경우 $S^{n}$ $S^{n}$ ${\$ S $^{n}$ 에 대해, 그리고 또한 열린 간격의 제품과 함께 섭취했을 때, 다음과 같은 것이 있다. $n$ > $0,$ $m$ ≥ $0$ , 그리고 $나$ 는 열린 실제 간격이 되도록 하라. 그러면

H_{\mathrm{dR}}^{k}(S^{n}\timeq {\begin{case}\r)\mathb {R} &k=0=n 또는 }}}}\0&k\neq 0\text{}, }}}}kneqn.end}

엔토러스

$n$ $n$ -torus는 $n$ 데카르트 제품: $T^{n}=\underbrace {S^{1}\times \cdots \times S^{1}} _{n}$ = $T^{n}=\underbrace {S^{1}\times \cdots \times S^{1}} _{n}$ $T^{n}=\underbrace {S^{1}\times \cdots \times S^{1}} _{n}$ $T^{n}=\underbrace {S^{1}\times \cdots \times S^{1}} _{n}$ $T^{n}=\underbrace {S^{1}\times \cdots \times S^{1}} _{n}$ × $T^{n}=\underbrace {S^{1}\times \cdots \times S^{1}} _{n}$ $T^{n}=\underbrace {S^{1}\times \cdots \times S^{1}} _{n}$ $T^{n}=\underbrace {S^{1}\times \cdots \times S^{1}} _{n}$ $T^{n}=\underbrace {S^{1}\times \cdots \times S^{1}} _{n}$ {\ $displaystyle$ T $^{n}=\underbrace {S^{1}\times \cdots \times$ S $^{1} _{n1$ 마찬가지로 $n\geq 1$ 여기서 n $n\geq 1$ $n\geq 1$ ${\displaystystyle n\geq$ 1 $}$ 을 허용한다.

H_{\mathrm {dR} }^{k}(T^{n})\simeq \mathb {R} ^{n \선택 k}.

우리는 또한 차동형태를 이용하여 직접 토러스 데 람 코호몰리를 위한 명시적인 발전기를 찾을 수 있다. Given a quotient manifold $\pi :X\to X/G$ and a differential form $\omega \in \Omega ^{k}(X)$ we can say that $\omega$ is $G$ -invariant if given any diffeomorphism induced by $G$ , $\cdot g:X\to X$ ${\displaystyle \cdot g$ $(\cdot g)^{*}(\omega )=\omega$ $X$ $(\cdot g)^{*}(\omega )=\omega$ $to$ X $}$ 이 $\cdot g:X\to X$ $(\cdot g)^{*}(\omega )=\omega$ = $(\cdot g)^{*}(\omega )=\omega$ ${\displaystyle (\cdot$ g $)^{*}(\omega )=\omega$ $(\cdot g)^{*}(\omega )=\omega$ 특히 $X/G$ / G ${\displaysty X/G}$ 에 있는 어떤 형태의 $G$ 은 G $X/G$ ${\displaysty G}$ -invariant $G$ . 또한, 풀백은 주입형 형태론이다. In our case of $\mathbb {R} ^{n}/\mathbb {Z} ^{n}$ the differential forms $dx_{i}$ are $\mathbb {Z} ^{n}$ -invariant since $d(x_{i}+k)=dx_{i}$ . But, notice that ${\display$ $\alpha \in \mathbb {R}$ $\alpha \in \mathbb {R}$ $\alpha \in \mathbb {R}$ {\ $displaystyle \$ alpha $\in \mathb$ {R $}$ 에 대한 $\alpha \in \mathbb {R}$ $style$ $x_$ ${$ $i}+\alpha }$ 은(는) 불변 0 {\ $displaystyle$ 0 $} -form$ 이 $0$ 아니다 $\alpha \in \mathbb {R}$ . 주입성이 있다는 것은 다음을 암시한다.

[dx_{i}]\in H_{dR}^{1}(T^{n})

토러스 코호몰로지 링은 $H^{1}$ $H^{1}$ ${\$ H $^{1}$ 에 의해 생성되므로 $H^{1}$ 이러한 형태의 외부 제품을 취하면 토러스 데 람 코호몰로지(De Rham cohomology of a torus)에 대한 모든 명시적인 대표자가 된다.

구멍이 난 유클리드 공간

펑크가 난 유클리드 공간은 단순히 원점을 제거한 $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {R} ^{n}$ ${\$ 이다.

H_{\text{d.R}}^{k}(\mathb {R} ^{n}\setminus \{0\}})\cong {\begin{case}\mathb {R}^{2}&n=1,k=0\\\\\mathb {R} &n=0,n-1\{text}}다른 방법으로는 {case}}.

뫼비우스 띠

우리는 뫼비우스 띠 $M$ 이 1-sphere(즉, 실제 단위 원)로 수축될 수 있다는 사실에서 다음과 같이 추론할 수 있다.

H_{\mathrm {dR}{}^{k}(M)\simeq H_{\mathrm {dR}{}^{k}(S^{1})

드람의 정리

스톡스의 정리는 데 람 코호몰로지(De Rham cohomology)와 사슬의 호몰로지(homology) 사이의 이중성의 표현이다. It says that the pairing of differential forms and chains, via integration, gives a homomorphism from de Rham cohomology $H_{\mathrm {dR} }^{k}(M)$ to singular cohomology groups $H^{k}(M;\mathbb {R} ).$ De Rham's theorem, proved by Georges de Rham in 1931, states 부드러운 다지관 $M$ 의 경우, 이 지도는 사실 이형성이다.

더 정확히 말하자면, 지도를 생각해봐.

(\displaystyle I:H_{\mathrm {dR} }^{p}(M)\to H^{p}(M;\mathb {R}),}

다음과 같이 정의된다: 모든 $[\omega ]\in H_{\mathrm {dR} }^{p}(M)$ [ $[\omega ]\in H_{\mathrm {dR} }^{p}(M)$ $[\omega ]\in H_{\mathrm {dR} }^{p}(M)$ $[\omega ]\in H_{\mathrm {dR} }^{p}(M)$ H $[\omega ]\in H_{\mathrm {dR} }^{p}(M)$ $[\omega ]\in H_{\mathrm {dR} }^{p}(M)$ $[\omega ]\in H_{\mathrm {dR} }^{p}(M)$ ( $[\omega ]\in H_{\mathrm {dR} }^{p}(M)$ ) $[\omega ]\in H_{\\mathrm {dR$ }^{ $p}(M$ $I (Ω)$ 를 ${\text{Hom}}(H_{p}(M),\mathbb {R} )\simeq H^{p}(M;\mathbb {R} )$ p ${\text{Hom}}(H_{p}(M),\mathbb {R} )\simeq H^{p}(M;\mathbb {R} )$ ( M ${\text{Hom}}(H_{p}(M),\mathbb {R} )\simeq H^{p}(M;\mathbb {R} )$ ) ${\text{Hom}}(H_{p}(M),\mathbb {R} )\simeq H^{p}(M;\mathbb {R} )$ , ${\text{Hom}}(H_{p}(M),\mathbb {R} )\simeq H^{p}(M;\mathbb {R} )$ ) ${\text{Hom}}(H_{p}(M),\mathbb {R} )\simeq H^{p}(M;\mathbb {R} )$ ${\text{Hom}}(H_{p}(M),\mathbb {R} )\simeq H^{p}(M;\mathbb {R} )$ ${\text{Hom}}(H_{p}(M),\mathbb {R} )\simeq H^{p}(M;\mathbb {R} )$ ${\text{Hom}}(H_{p}(M),\mathbb {R} )\simeq H^{p}(M;\mathbb {R} )$ ; ${\text{Hom}}(H_{p}(M),\mathbb {R} )\simeq H^{p}(M;\mathbb {R} )$ R ) ${\text{Hom}}(H_{p}(M),\mathbb {R} )\simeq H^{p}(M;\mathbb {R} )$ { $displaystylease {\$ }의 요소가 되게 한다. $Hom}}(H_{p}(M),\mathb$ {R} )\ $simeq H^{p}(M$ ;\ $mathb$ {R} $)}$ 은 ${\text{Hom}}(H_{p}(M),\mathbb {R} )\simeq H^{p}(M;\mathbb {R} )$ (는) 다음과 같이 작용한다.

H_{p}(M)\ni [c]\longmapsto \int_{c}\omega.

de Rham의 정리는 이것이 de Rham cohomology와 단수 cohomology 사이의 이형성이라고 단언한다.

외관 제품은 이들 집단의 직접 합을 고리 구조로 내포하고 있다. 정리의 또 다른 결과는 두 개의 코호몰로지 링이 이소모르픽(등급화된 링)이며, 여기서 단일 코호몰로지 상의 유사한 제품이 컵 제품이다.

이소몰형성

The de Rham cohomology is isomorphic to the Čech cohomology $H^{*}({\mathcal {U}},F)$ , where $F$ is the sheaf of abelian groups determined by $F(U)=\mathbb {R}$ for all connected open sets $U\subset M$ , and for open sets $U\subset V$ , $V$ ${\displaystyle U\subset V$ $U\subset V$ 형태론 ${\text{res}}_{V,U}:{\underline {\mathbb {R} }}(V)\to {\underline {\mathbb {R} }}(U)$ ${\text{res}}_{V,U}:{\underline {\mathbb {R} }}(V)\to {\underline {\mathbb {R} }}(U)$ , ${\text{res}}_{V,U}:{\underline {\mathbb {R} }}(V)\to {\underline {\mathbb {R} }}(U)$ : ${\text{res}}_{V,U}:{\underline {\mathbb {R} }}(V)\to {\underline {\mathbb {R} }}(U)$ ${\text{res}}_{V,U}:{\underline {\mathbb {R} }}(V)\to {\underline {\mathbb {R} }}(U)$ ( V ${\text{res}}_{V,U}:{\underline {\mathbb {R} }}(V)\to {\underline {\mathbb {R} }}(U)$ ) ${\text{res}}_{V,U}:{\underline {\mathbb {R} }}(V)\to {\underline {\mathbb {R} }}(U)$ → ${\text{res}}_{V,U}:{\underline {\mathbb {R} }}(V)\to {\underline {\mathbb {R} }}(U)$ ${\text{res}}_{V,U}:{\underline {\mathbb {R} }}(V)\to {\underline {\mathbb {R} }}(U)$ ( ${\text{res}}_{V,U}:{\underline {\mathbb {R} }}(V)\to {\underline {\mathbb {R} }}(U)$ U ${\text{res}}_{V,U}:{\underline {\mathbb {R} }}(V)\to {\underline {\mathbb {R} }}(U)$ ) ${\displaystyle {\text{res}_{V,$ $U}:{\underline {\mathbb {R} }}(V)\to {\underline {\mathbb {R} }}(U)}$ is given by the identity map on $\mathbb {R} ,$ and where ${\mathcal {U}}$ is a good open cover of $M$ (i.e. all the open sets in the open cover ${\mathcal {U}}$ are contr한 점에 대해 작동할 수 있으며, ${\mathcal {U}}$ ${\$ 에서 세트의 모든 유한 교차점은 비어 ${\mathcal {U}}$ 있거나 한 점에 대해 수축할 수 있다. 즉, $F$ $F$ 는 $F(U)=\mathbb {R}$ ) = $F(U)=\mathbb {R}$ ${\$ 할당 상수 사전 제거에 의해 주어지는 상수 피복이다 $F$ $F(U)=\mathbb {R}$

다른 방법으로 $M$ 하면,M {\ $displaystyle$ M $m$ 이 $($ 가 $M$ ) 치수 $m$ 의 $콤팩트 m +1$ C 다지관일 경우, $k\leq m$ $k\leq m$ { $k\leq m$ m {\ $displaystyle k\leq$ m $k\leq m$ 에 대해 이형성이 있다.

H_{\mathrm {dR}}^{k}(M)\cong {\check{H}^{k}(M, {\underline {\mathb {R}}}})

여기서 왼쪽은 $k$ $k$ -th $k$ de Rham 코호몰로지 그룹이고 오른쪽은 섬유 $\mathbb {R} .$ . ${\displaystyle \mathb$ {R $}이($ 가) 있는 상수 피복에 대한 체흐 코호몰로지 입니다.

증명

Let $\Omega ^{k}$ k ${\$ 는 M $M$ 에 있는 k ${\displaystyle k$ } $k$ 의 세균 덩어리 $k$ ( $C^{m+1}$ $\Omega ^{0}$ $C^{m+1}$ {\ $displaystyle \Oomega$ $^{$ $0})$ 를 $\Omega ^{0}$ $C^{m+1}$ 나타낸다 $\Omega ^{k}$ $C^{m+1}$ $M$ 푸앵카레 보조정리자에 의해, 다음과 같은 절삭 순서가 정확하다(절삭의 범주에서).

0\to {\underline {\mathbb {R} }}\to \Omega ^{0}\,\xrightarrow {d} \,\Omega ^{1}\,\xrightarrow {d} \,\Omega ^{2}\,\xrightarrow {d} \dots \xrightarrow {d} \,\Omega ^{m}\to 0.

이 순서는 이제 짧은 정확한 순서로 나뉜다.

{\daystyle 0\to d\\Oomega ^{k-1}\,{\x오른쪽 화살표 {\subset }\,\Oomega ^{k}\,{\x오른쪽 화살표 {d}\,d\Oomega ^{k}\to.}.}

이들 각각은 코호몰로지에서는 길고 정확한 순서를 유도한다. 는 매니폴드를 C가 곡식단 m+1{\displaystyle C^{m+1}}기능 통합 중 나는입니다. 나는{\displaystyle H^{나는}(\Omega ^{k})(kΩ)은 sheaf-cohomology H} 사라진다;0{\displaystyle i>0}. 그래서 긴 정확한 cohomology 시퀀스들은 궁극적으로 동형 이성의 사슬로 분리되 파티션을 인정하고 있다.s 체인의 한쪽 끝에는 체흐 코호몰로지(Chech cohomology)가 있고 다른 쪽 끝에는 드 람 코호몰로지(De Rham cohomology)가 있다.

관련 아이디어

드 람 코호몰로지(De Rham cohomology)는 돌베오 코호몰로지(Dolbeault cohomology), 호지 이론(Hodge 이론), 아티야-싱어(Atiyah-Singer) 지수 정리 등 많은 수학 사상에 영감을 주었다. 그러나, 더 고전적인 맥락에서도, 그 정리는 많은 발전들을 불러일으켰다. 첫째로, 호지 이론은 조화형식으로 구성된 코호몰로지(cohomology)와 닫힌 형태모듈로 구성된 데 람 코호몰로지(de Rham cohomology) 사이에 이형성이 있음을 증명한다. 이것은 조화 형식과 호지 정리의 적절한 정의에 의존한다. 자세한 내용은 Hodge 이론을 참조하십시오.

조화형식

$M$ 이 콤팩트한 리만 다지관일 경우, $H_{\mathrm {dR} }^{k}(M)$ $H_{\mathrm {dR} }^{k}(M)$ $H_{\mathrm {dR} }^{k}(M)$ ( $H_{\mathrm {dR} }^{k}(M)$ ) $H_{\mathrm {dR} }^{k}(M)$ {\ $dplaystyle H_{\mathrm {dR}$ }^{ $k}(M)}$ 의 각 동등성 클래스는 정확히 하나의 고조파 형식을 포함한다 $H_{\mathrm {dR} }^{k}(M)$ . 즉, 모든 멤버 $\omega$ ${\displaystyle \omega$ }은 $\omega$ (는) 닫힌 형태의 특정 동등성 등급으로 기록될 수 있다.

\displaystyle \omega =\migration +\migration }

여기서 $\alpha$ $\alpha$ 이 $\alpha$ (가) 정확하고 $\gamma$ $\gamma$ 이(가) 조화 $\gamma$ : $\Delta \gamma =0$ = $\Delta \gamma =0$ 0 ${\displaystyle \Delta \gamma =0$

콤팩트하게 연결된 리만 다지관의 어떤 조화 기능도 상수다. 따라서 이 특정한 대표 요소는 다지관의 모든 동일성 동등한 형태의 극단(최소)으로 이해할 수 있다. 예를 들어, 2-토러스에서는, 모든 "헤어"가 같은 방향으로 깔끔하게 빗겨지는 (그리고 모든 "헤어"의 길이가 같은) 일정한 1-폼을 상상할 수 있다. 이 경우, 두 개의 코호몰리학적으로 구별되는 결합이 있다. 다른 모든 결합은 선형 결합이다. 특히 이는 2토러스 1번 베티 번호가 2번임을 암시한다. 보다 일반적으로 $n$ $n$ -차원 $n$ torus $T^{n}$ $T^{n}$ ${\$ T $^{n}$ 에서 torus에 대한 $k$ $k$ -forms의 $k$ 다양한 결합을 고려할 수 있다 $T^{n}$ $H_{\text{dR}}^{k}(T^{n})$ $H_{\text{dR}}^{k}(T^{n})$ $H_{\text{dR}}^{k}(T^{n})$ ( $H_{\text{dR}}^{k}(T^{n})$ n $){\displaystyle H_{\text{d$ 의 기본 벡터를 형성하는 데 사용할 수 있는 $k$ n $n$ 선택 $n$ $k$ $k$ 그러한 결합이 있다. $R}}^{k}(T^{n$ $n$ $n$ -torus의 $n$ de Rham cohomology 그룹에 대한 $k$ $k$ -th $k$ Betti 번호가 n ${\displaystyle$ n $}$ 이므로 $k$ ${\displaystystyle k}$ 를 선택하십시오 $n$ $k$

좀 더 정확히 말하면, 차동 $다지관$ M의 경우, 거기에 약간의 보조 리만 미터법을 장착할 수 있다. 그러면 Laplacian $\Delta$ $\Delta$ 이(가) 다음에 정의된다 $\Delta$ .

\Delta =d\delta +\delta d

d $\delta$ $d$ 과 $d$ (와) 외부 $\delta$ 모델 $\delta$ 및 Δ {\displaystyle $\delta$ \displaystyle \property $}$ 라플라시안(Laplacian)은 미분 형태의 외부 대수학에 따라 작용하는 균일한 (등급에서) 선형 미분 연산자로, $k$ 는 도 k{\ $displaystyle k}$ 의 각 성분에 대한 작용을 개별적으로 살펴볼 $k$ 수 있다.

$M$ ${\displaystyle$ $M}$ 이(가) 콤팩트하고 지향적인 경우 $M$ , k-forms의 공간에 작용하는 라플라크의 커널 치수는 (Hodge 이론에 의해) $de$ Rham cohomology 그룹의 치수와 동일하다 $Hodge$ 이론에 의해): 라플라크는 닫힌 형태의 각 코호몰로지 클래스에서 고유한 조화 형태를 선택한다. 특히 $M$ $M$ 에 있는 모든 $고조파$ k $k$ -forms의 $k$ 공간은 $M$ $H^{k}(M;\mathbb {R} ).$ k $H^{k}(M;\mathbb {R} ).$ ; $H^{k}(M;\mathbb {R} ).$ ) $H^{k}(M;\mathbb {R} ).$ . ${\displaysty H^{k}(M;\mathb {R$ $})}}}}}}$ 의 $H^{k}(M;\mathbb {R} ).$ 치수는 유한하며, $k$ ${\displaysty$ 번호에 $k$ 의해 주어진다.

호지 분해

$M$ $M$ 을(를) 콤팩트한 지향의 리만 다지관이 되게 $M$ 하라. Hodge 분해는 $M$ $M$ 에 있는 $모든$ k{\ $displaystyle k}$ -폼이 $k$ 세 $M$ $개$ 의² L 성분 합으로 고유하게 분할된다고 명시한다.

\displaystyle \omega =\cHB +\cHB +\cHB ,}

여기서 $\alpha$ $\alpha$ 이 $\alpha$ (가) 정확하고, $\beta$ {\ $displaystyle \beta$ }이(가) 동일하며 $\beta$ , $\gamma$ $\gamma$ 이(가) 조화롭다 $\gamma$ .

One says that a form $\beta$ is co-closed if $\delta \beta =0$ and co-exact if $\beta =\delta \eta$ for some form $\eta$ , and that $\gamma$ is harmonic if the Laplacian is zero, ${\displaystyle \Delta$ $\cHB =0}$ . 이는 정확하고 동정확한 형식이 직교라는 점에 주목함으로써 나타난다. 직교보완물은 닫힌 형태와 공동 닫힌 형태, 즉 조화형 형태로 구성된다. $여기$ 서², $\Omega ^{k}(M)$ $\Omega ^{k}(M)$ ( M $\Omega ^{k}(M)$ ) ${\displaystyle \Oomega ^{k}(M$

(\alpha ,\beta )=\int _{M}\alpha \wedge {\star \beta }

소볼레프 공간이나 분포를 이용하여 예를 들어 완전한(지향적이든 아니든) 리만 다지관까지 분해를 확장할 수 있다.^[6]

참고 항목

호지 이론
섬유에 따른 통합(De Rham cohomology의 경우 통합에 의해 푸시포워드가 제공됨)

인용구

^ Lee 2013, 페이지 440.
^ Terence, Tao. "Differential Forms and Integration" (PDF). {{cite journal}}: Cite 저널은 필요로 한다. journal= (도움말)
^ ^a ^b Edelen, Dominic G. B. (2011). Applied exterior calculus (Revised ed.). Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 0-486-43871-6. OCLC 56347718.
^ Warner, Frank W. (1983). Foundations of differentiable manifolds and Lie groups. New York: Springer. ISBN 0-387-90894-3. OCLC 9683855.
^ Kycia, Radosław Antoni (2020). "The Poincare Lemma, Antiexact Forms, and Fermionic Quantum Harmonic Oscillator". Results in Mathematics. 75 (3): 122. doi:10.1007/s00025-020-01247-8. ISSN 1422-6383.
^ Jean-Pierre Demailly, Complex Analysis and Different Geometry Ch8I, § 3.

참조

Lee, John M. (2013). Introduction to Smooth Manifolds. Springer-Verlag. ISBN 978-1-4419-9981-8.
Bott, Raoul; Tu, Loring W. (1982), Differential Forms in Algebraic Topology, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90613-3
Griffiths, Phillip; Harris, Joseph (1994), Principles of algebraic geometry, Wiley Classics Library, New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-05059-9, MR 1288523
Warner, Frank (1983), Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90894-6

외부 링크

Mathifold 프로젝트의 De Rham Cohomology 아이디어
"De Rham cohomology", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]

[FOOTNOTELee2013440-1] Lee 2013, 페이지 440.

[2] Terence, Tao. "Differential Forms and Integration" (PDF). {{cite journal}}: Cite 저널은 필요로 한다. journal= (도움말)

[:0-3] Edelen, Dominic G. B. (2011). Applied exterior calculus (Revised ed.). Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 0-486-43871-6. OCLC 56347718.

[4] Warner, Frank W. (1983). Foundations of differentiable manifolds and Lie groups. New York: Springer. ISBN 0-387-90894-3. OCLC 9683855.

[5] Kycia, Radosław Antoni (2020). "The Poincare Lemma, Antiexact Forms, and Fermionic Quantum Harmonic Oscillator". Results in Mathematics. 75 (3): 122. doi:10.1007/s00025-020-01247-8. ISSN 1422-6383.

[6] Jean-Pierre Demailly, Complex Analysis and Different Geometry Ch8I, § 3.

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