슬러프

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컴퓨터 그래픽에서 Slerp은 Ken Shoemake가^[1] 3D 회전 애니메이션을 위해 쿼터니언 보간이라는 맥락에서 도입한 구형 선형 보간용 속기이다.단부와 보간 매개변수가 0과 1 사이인 경우 단위 반지름 대 원호를 따라 일정한 속도 운동을 말한다.

기하학적 슬러프

슬러프는 쿼터니온과 독립된 기하학적 공식을 가지고 있으며, 호가 내장된 공간의 차원과는 독립적이다.이 공식은 글렌 데이비스에게 주어진 대칭 가중치 합계로, 곡선의 어떤 점이라도 끝의 선형 결합이어야 한다는 사실에 기초한다.p와₀ p를₁ 호의 첫 번째와 마지막 점으로 하고, 파라메타, 0 ≤ t cos 1. Ω을 호가 하위하는 각도로 계산하여 Ω = p ∙ p₁, 단위 벡터의 원점에서 끝까지의 n차원 도트 곱인 cos Ω = p₀ ∙ p.기하학적 공식은 그때에 있다.

${\displaystyle \operatorname {Slerp}(p_{0},p_{1};t)={\frac {\sin {[1-t]\Oomega }}}{\sin \p_{0}+{\frac {\sin[t\Oomega ]{\sin }}}}.}$

The symmetry lies in the fact that ${\displaystyle \operatorname {Slerp} (p_{0},p_{1};t)}$ ${\displaystyle =\operatorname {Slerp} (p_{1},p_{0};1-t)}$. In the limit as Ω → 0, this formula reduces to the corresponding symmetric formula for linear interpolation,

${\displaystyle \operatorname {Lerp}(p_{0},p_{1};t)=(1-t)p_{0}+tp_{1}.\,\!}$

슬러프 경로는 사실 평면에서 선 세그먼트를 따라가는 경로와 동등한 구형 기하학이며, 큰 원은 구형 지오데틱이다.

일반 슬러프 공식보다 친숙한 것은 엔드 벡터가 수직인 경우로, 이 경우 공식은₀ p cos cos + p sin₁ θ이다.θ = t π/2를 허용하고 삼각계 아이덴티티 cos θ = sin ( sin/2 - θ)을 적용하면 이것이 슬러프 공식이 된다.Ω ~ p의₀ 각도에 있는 벡터 p가₁ sin Ω의 길이만 Ω인 수직 pp에₀ 투영되기 때문에 일반 공식에서 1/sin Ω의 계수는 정규화다.

Slerp의 몇몇 특별한 경우들은 더 효율적인 계산을 인정한다.래스터 영상에 원형 호를 그릴 때, 선호하는 방법은 브레센햄의 원형 알고리즘의 일부 변형이다.특수 매개변수 값 0과 1에서의 평가는 각각 p와₀ p를₁ 산출하며, ½에서의 평가인 이분법은 (p₀₁ + p)/2로 단순화하여 정상화된다.애니메이션에서 흔히 볼 수 있는 또 다른 특별한 경우는 고정된 끝과 동일한 파라메트릭 단계를 사용한 평가다.p와_k−1 p가_k 연속된 두 개의 값이고 c가 해당 도트 곱의 두 배(모든 단계에 대해 일정)인 경우, 다음 값인_k+1 p는 반사_k+1k p = c - p이다_k−1.

콰터니온 슬러프

Slerp가 단위 쿼터에 적용되면 쿼터니언 경로는 3D 회전을 통한 경로에 표준 방식으로 매핑된다.효과는 고정 회전 축을 중심으로 일정한 각도 속도를 갖는 회전이다.초기 끝점이 ID 쿼터니온인 경우, Slerp은 3D 회전 Lie 그룹, SO(3)와 그 범용적인 쿼터니온 그룹 모두의 1-모수 부분군의 세그먼트를 제공하며, S³. S. Slerp는 쿼터니온 엔드 포인트 사이의 가장 직선적이고 최단 경로를 제공하며, 2Ω 각도를 통해 회전에 매핑한다.단, 커버가 이중이기 때문에 (q와 -q를 동일한 회전으로 매핑) 회전 경로가 "단거리"(180° 미만)로 회전할 수 있다.또는 "먼 길"(180° 이상)을 선택할 수 있다.도트 제품인 cos Ω이 음수인 경우 한쪽 끝을 부정하여 긴 경로를 방지할 수 있으므로 -90° ≤ Ω ≤ 90°를 보장한다.

Slerp는 또한 쿼터니온 대수학의 관점에서 표현된 것을 가지고 있는데, 모두 지수를 사용한다.쿼터니온의 실제 파워는 쿼터니온 지수함수의 관점에서 정의되며, e로 ^q 작성되고 미적분, 복합 분석 및 행렬 대수로부터 동등하게 친숙한 파워 시리즈에 의해 주어진다.

${\displaystyle e^{q}=1+q+{\frac {q^{2}}:{2}}:{{q^{3}}{6}}}}}{\frac {q^{n}}{n!}}}+\cdots .}$

단위 quaternion q를 v 단위 3-벡터와 함께 버서 형태로 cos Ω + v sin Ω으로 작성하고, quaternion square v가² -1(Uiler 공식의 quaternion 버전을 포함)과 같다는 점에 주목하면 e ^{v Ω} = q, q ^t = cos t Ω + vsin T Ω이 나온다.관심의 식별은 q = q이므로₁₀⁻¹ q의 실제 부분은 위에서 사용한 기하학적 도트 제품과 동일한 cos Ω이다.슬러프를 위한 4개의 등가 쿼터니온 식이 여기에 있다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Slerp} (q_{0},q_{1},t)&=q_{0}(q_{0}^{-1}q_{1})^{t}\\[6pt]&=q_{1}(q_{1}^{-1}q_{0})^{1-t}\\[6pt]&=(q_{0}q_{1}^{-1})^{1-t}q_{1}\\[6pt]&=(q_{1}q_{0}^{-1})^{t}q_{0}\end{aligned}}}$

t에 대한 슬러프(q₀, q₁; t)의 파생상품은 단부가 고정되어 있다고 가정할 때 함수 값의 log(q₁₀⁻¹)를 곱한 값으로, 이 경우 쿼터니온 자연 로그는 3D 각도 속도 벡터의 절반을 산출한다.초기 접선 벡터는 곡선을 따라 각 접선까지 평행하게 운반된다. 따라서 곡선은 실제로 지오데틱이다.

쿼터니온 슬러프 곡선의 임의 지점의 접선 공간에서는 지수 지도의 역이 곡선을 선 세그먼트로 변환한다.점으로 확장되지 않는 슬러프 곡선은 해당 점의 접선 공간에서 선으로 변환하지 못한다.

Quaternion Slerps는 일반적으로 베지어 곡선의 데 카스텔자우 알고리즘과 같은 부착 구조물을 모방하여 부드러운 애니메이션 곡선을 만드는 데 사용된다.구체는 부착된 공간이 아니기 때문에 부착된 구조물의 익숙한 특성은 실패할 수 있지만 그렇지 않으면 구성된 곡선이 완전히 만족스러울 수 있다.예를 들어, de Casteljau 알고리즘은 부속 공간에서 곡선을 분할하기 위해 사용될 수 있다; 이것은 구체에서는 작동하지 않는다.

2개의 값 Slerp는 많은 단위 쿼터들 사이에서 보간될 수 있지만,^[2] 그 확장은 Slerp 알고리즘의 고정 실행 시간을 잃게 된다.

참조

외부 링크

• Shoemake, Ken. "Animating Rotation with Quaternion Curves" (PDF). SIGGRAPH 1985.{{cite web}}: CS1 maint : url-status (링크)
• Erik B., Dam; Martin, Koch; Lillholm, Martin (July 17, 1998). "Quaternions, Interpolation and Animation" (PDF). University of Copenhagen. Archived (PDF) from the original on 2017-08-30.
• Blow, Jonathan (February 26, 2004). "Understanding Slerp, Then Not Using It". Archived from the original on 2017-08-25.
• Martin, Brian (June 23, 1999). "Brian Martin on Quaternion Animation". Archived from the original on 2016-03-24.