부화함수

수학에서 하위조화함수와 초조화함수는 부분미분방정식, 복합해석 및 전위 이론에서 광범위하게 사용되는 함수의 중요한 등급이다.

직관적으로 하위조화함수는 다음과 같이 한 변수의 볼록함수와 관련이 있다.볼록함수와 선이 두 점에서 교차하는 경우 볼록함수의 그래프는 두 점 사이의 선 아래에 있다.같은 방법으로, 하위 조화함수의 값이 공의 경계에 있는 조화함수의 값보다 크지 않으면, 하위 조화함수의 값은 공 내부에서도 조화함수의 값보다 크지 않다.

초화함수는 동일한 설명으로 정의될 수 있으며, 오직 "no large"를 "no large"로 대체한다.또는 초화함수는 하위화함수의 음수일 뿐이며, 이러한 이유로 하위화함수의 어떤 특성도 초화함수로 쉽게 이전될 수 있다.

형식 정의

형식적으로 그 정의는 다음과 같이 진술할 수 있다.$G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$을(를) 유클리드 공간 $R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$^{$n}$의 하위 집합으로 하고$$ 그대로$$ 두십시오.

상반반점함수다그런 다음, $G{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle G}$에 포함된$$ 중심 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$ 및 $반지름$ r ${\displaystyle r}$의 닫힌 볼 ${\displaystyle \stackrel{}{(x}}$ , $r$ )에 대해$【\$$displaystyle$\varphi }을(를$)】$ ${\displaystystyledhonictime h$$}$이라고 한다$$.${\displaystyle {\overline {B(x,r)}}}$ that is harmonic in ${\displaystyle B(x,r)}$ and satisfies ${\displaystyle \varphi (y)\leq h(y)}$ for all ${\displaystyle y}$ on the boundary${\displaystyle \partial B(x,r)}$ of ${\displaystyle B(x,r)}$ we${\displaystyle \mathrm{모든}}$ $y{\displaystyle }$${\displaystyle }$${\displaystyle \in }$ (${\displaystyle y}$${\displaystyle }$)${\displaystyle r}$h (${\displaystyle }$y${\displaystyle }$) ${\displaystyle \varphi (y)\leq h(y)}$을(를) 가지십시오${\displaystyle .}$ ${\displaystyle y\in B(x,r).$$}$

위와 같이 -수치적으로 동일한 함수는 하위조화성이지만, 일부 저자는 정의에 의해 이 함수를 제외한다는 점에 유의한다.

$u{\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$ 함수는${\displaystyle u}$ ${\displaystyle -u}$이(가) 하위 고조파일 경우 superharmonic이라고 한다$$.

특성.

• 함수는 하위 고조파 및 초하모닉인 경우에만 고조파다.
• Rn(^{n}}에 개방된 세트 G{G\displaystyle}, 만약 ϕ{\displaystyle \phi}은 지휘 통제(두번 연속 미분 가능)그때 ϕ{\displaystyle \phi}저조판다 누군가 가지고 있Δ ϕ≥ 0{\displaystyle \Delta \phi \geq 0}에 G{G\displaystyle}, Δ{\d.i$splaystyle \Delta }$은(는) 라플라시안이다.
• 하위 고조파 함수의 최대치는 함수가 일정하지 않는 한 그 영역의 내부에서는 달성할 수 없다, 이것이 소위 최대 원리다.그러나 하위 조화 함수의 최소값은 그 영역 내부에서 달성할 수 있다.
• 아함수 함수는 볼록한 원뿔을 만들어 내는데, 즉 양수 계수가 있는 아함수 함수의 선형 결합도 아함수다.
• 두 하위 고조파 함수의 점 최대값은 하위 고조파다.카운트할 수 있는 하위 고조파 함수의 점 최대값이 상위 반연속인 경우 하위 고조파도 된다.
• 하위 고조파 함수의 감소 순서의 한계는 하위 고조파(또는 -${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle$ -$\infuly }$과 동일)이다.$$
• 하위 고조파 함수는 일반적인 위상에서 반드시 연속되는 것은 아니지만, 이를 연속적으로 만드는 미세한 위상들을 도입할 수 있다.

예

$f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$이(가) 분석적인 경우 ${\displaystyle \mathrm{로그}log}$ f $displaystyle \log$f$}$은(는) 하위 고조파인 것이다$$.더 많은 예는 위에 열거된 특성을 사용하여 최대값, 볼록 결합 및 한계를 취함으로써 구성할 수 있다.차원 1에서 모든 하위 고조파 함수는 이런 방식으로 얻을 수 있다.

리에즈 표현 정리

If ${\displaystyle u}$ is subharmonic in a region ${\displaystyle D}$, in Euclidean space of dimension ${\displaystyle n}$, ${\displaystyle v}$ is harmonic in ${\displaystyle D}$, and ${\displaystyle u\leq v}$, then ${\displaystyle v}$ is called a harmonic majorant of ${\displaystyl$$e u}$. 만약 고조파 장수가 존재한다면, 최소 고조파 장수가 존재하며,

차원 2에 있는 동안여기서 $v{\displaystyle }$ ${\displaystyle v}$은(는) 최소 고조파, $\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mu }$은(는) $D{\displaystyle }$ ${\displaystyle D}$의 보렐 측정치$.$ 이를 리에즈 표현 정리라고 한다.

복합 평면의 하위 조화 함수

하위 고조파 함수는 복합 분석에서 특히 중요한데, 여기서 그것들은 홀로모르픽 함수와 밀접하게 연결되어 있다.

One can show that a real-valued, continuous function ${\displaystyle \varphi }$ of a complex variable (that is, of two real variables) defined on a set ${\displaystyle G\subset \mathbb {C} }$ is subharmonic if and only if for any closed disc ${\displaystyle D(z,r)\subset G}$ of center ${\displaysty$$r{\displaystyle }$ {\displaystyle$$ r$}$ 및 $radius$ r$}$이(가$)$

직관적으로 이것은 하위 고조파 함수가 그 지점 주변의 원 안에 있는 값의 평균보다 크지 않은 어떤 지점에 있다는 것을 의미하는데, 이것은 최대 원리를 도출하는 데 사용될 수 있는 사실이다.

$f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$이(가) 홀모픽 함수인 경우

$f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$의 0에서$$ $\phi {\displaystyle }$( ${\displaystyle z}$) ${\displaystyle \varphi (z)}$의 값을 -display로 정의하면 하위 함수가 된다.그 뒤를 잇는다.모든 α > 0에 대해 하위 고조파 입니다.이 관찰은 특히 0 < p < 1일 때 H에^p 대한 연구를 위해 하디 공간 이론에 역할을 한다.

복잡한 평면의 맥락에서 볼록함수와의 연결은 상상의 방향에서 일정한$$ $도메인{\displaystyle }$ G${\displaystyle }$g ${\displaystyle C\mathbb{}}$ ${\$ G$\subset \mathb {C}$의 하위 $조화함수{\displaystyle }$ f$${\$displaystyle f}$가 실제 방향에서 볼록하고 그 반대 방향에서도 실현될 수 있다.

하위 고조파 함수의 조화 주요 요소

If ${\displaystyle u}$ is subharmonic in a region ${\displaystyle \Omega }$ of the complex plane, and ${\displaystyle h}$ is harmonic on ${\displaystyle \Omega }$, then ${\displaystyle h}$ is a harmonic majorant of ${\displaystyle u}$ in ${\displaystyle \Omega }$ if ${\displaystyle$$\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle$$\$Oomega}의 u\$leq$ h$\}.$ 이러한 불평등은 $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$의 성장$$ 조건으로 볼 수 있다$.$^[1]

유닛 디스크의 하위 고조파 기능.방사상 최대함수

닫힌 단위 디스크 D(0, 1)를 포함하는 복합면의 열린 부분집합 Ω에서 φ을 하위조화, 연속 및 비음성으로 한다.φ(단위 디스크에 제한됨) 기능에 대한 방사상 최대 함수는 다음과 같이 장치 원에 정의된다.

P가_r 포아송 커널을 가리킨다면, 그것은 다음과 같은 하위조화에서 나타난다. 마지막 적분은 단위 서클 T에 대한 restriction의 제한에 대한 하디-리틀우드 최대함수의^∗ e^iθ 값보다 작다는 것을 보여줄 수 있다. 그래서 0 m Mφ φ φ^∗.하디-리틀우드 연산자는 1 < p < ∞>일 때 L^p(T)에 경계하는 것으로 알려져 있다.그것은 어떤 보편적인 상수 C에 대해 그 뒤를 따른다.

f가 Ω과 0 < p < ∞의 함수인 경우, 앞의 불평등은 φ = f에 적용된다. 고전적인 하디 공간 H의^p 함수 F가 만족한다는 것은 이러한 사실에서 추론할 수 있다.

더 많은 작업을 통해 F는 단위 원의 거의 모든 곳에 방사상 한계치 F(e^iθ)를 가지고 있으며, F_r(e^iθ) = F(re^iθ)가 정의한 F_r(re)가 L^p(T)에서 F(F)를 경향이 있다는 것을 (주요 수렴 정리에 의해) 알 수 있다.

리만 다지관의 하위 조화 함수

하위 고조파 함수는 임의의 리만 다양체에서 정의될 수 있다.

정의:M을 리만족 다지관으로 하고, ${\displaystyle f}$:${\displaystyle M\mathbb{}}$ → R ${\$ f$:\;$$M\to \mathb {R}$ 상한 반비례함수$.$U의 경계에서$$ $f{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ f ${\displaystyle f_{1}\geq f$$}$과 같은 U의 모든 오픈 $서브셋{\displaystyle }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \subset }$ M ${\$displaystyle $U\subset M}$및 고조파 함수 f에₁ 대해 모든 U의 불평등 $f{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystystyf_{1$}\$geq$ f}가$$ hold를 갖는다고 가정해 보십시오. F}

이 정의는 위에 주어진 정의와 같다.또한$,$ 두 번 다른 기능을 사용할 경우 하위 조화성은 불평등 $\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$ f ${\displaystyle f}$f f ${\displaystyle 0}${\$displaystyle \Delta$f\$geq$ 0$}$과 동등하며, $여기$서 Δ$${\\$displaystyle$ \$Delta }$은 일반적인$$ 라플라시안이다.^[2]

참고 항목

• Plurisubharmonic 함수 - 여러 복잡한 변수에 대한 일반화
• 고전 미세 위상

메모들

참조

• Conway, John B. (1978). Functions of one complex variable. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90328-3.
• Krantz, Steven G. (1992). Function Theory of Several Complex Variables. Providence, Rhode Island: AMS Chelsea Publishing. ISBN 0-8218-2724-3.
• Doob, Joseph Leo (1984). Classical Potential Theory and Its Probabilistic Counterpart. Berlin Heidelberg New York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-41206-9.
• Rosenblum, Marvin; Rovnyak, James (1994). Topics in Hardy classes and univalent functions. Birkhauser Advanced Texts: Basel Textbooks. Basel: Birkhauser Verlag.

이 글에는 크리에이티브 커먼스 귀속/공유 앨라이크 라이센스에 따라 라이센스가 부여된 PlanetMath의 하위 하모닉 및 초하모닉 함수의 자료가 통합되어 있다.