전위 이론

Potential theory

수학과 수리 물리학에서, 전위 이론은 조화 함수에 대한 연구이다.

"잠재력 이론"이라는 용어는 19세기 물리학에서 중력과 정전기력이라는 두 가지 기본적인 힘이 포아송의 방정식을 만족시키는 중력 전위와 정전기 전위라고 불리는 함수를 사용하여 모델링될 수 있다는 것을 깨달았을 때 만들어졌다. 방정식

이 두 분야를 구별하는 것이 불가능할 정도로 포아송 방정식과 포아송 방정식 사이에는 상당한 중복이 있다.그 차이는 주제보다 더 강조되고 다음 구별에 있다: 잠재 이론은 방정식의 속성 대신에 함수의 특성에 초점을 맞춘다.예를 들어, 고조파 함수의 특이점에 대한 결과는 전위 이론에 속하고, 해답이 경계 데이터에 의존하는 방법에 대한 결과는 라플라스 방정식의 이론에 속한다고 말할 수 있다.이것은 딱딱하고 빠른 구별이 아닙니다.실제로 두 필드 사이에는 상당한 중복이 있으며, 하나의 방법과 결과가 다른 필드에서 사용되고 있습니다.

현대의 잠재력 이론은 또한 마르코프 사슬의 이론과 확률과 밀접하게 연관되어 있다.연속적인 경우, 이것은 분석 이론과 밀접하게 관련되어 있습니다.유한 상태 공간 케이스에서는, 이 접속은, 전이 확률에 반비례하는 점간의 저항과 전위에 반비례하는 밀도를 가지는 상태 공간에 전기 네트워크를 도입하는 것으로 도입할 수 있다.유한한 경우에도, 전위 이론에서 라플라시안의 아날로그 I-K는 그 자체의 최대 원리, 고유성 원리, 균형 원리 등을 가진다.

대칭

조화함수 연구에서 유용한 출발점과 조직원리는 라플라스 방정식의 대칭을 고려하는 것입니다.일반적인 의미의 대칭은 아니지만, 라플라스 방정식이 선형이라는 관측부터 시작할 수 있습니다.이것은 잠재 이론에서 기본적인 연구 대상이 함수의 선형 공간이라는 것을 의미합니다.이 관찰은 뒷부분에서 피험자에 대한 기능 공간 접근법을 고려할 때 특히 중요하다.

통상적인 의미의 대칭에 대해서는 n n 라플라스 방정식의 대칭은 n n차원 유클리드 공간의 등각 대칭이라는 정리로 시작할 수 있다.이 사실에는 몇 가지 함의가 있다.우선 등각군 또는 그 부분군(회전 또는 변환군 등)의 축소 불가능한 표현 하에서 변환되는 조화 함수를 고려할 수 있다.이렇게 진행하면 구면 고조파 해나 푸리에 급수와 같은 변수의 분리로부터 발생하는 라플라스 방정식의 해법을 체계적으로 얻을 수 있다.이러한 해들의 선형 중첩을 취함으로써 적절한 위상 하에서 모든 고조파 함수의 공간에서 조밀함을 보여줄 수 있는 많은 종류의 고조파 함수를 생성할 수 있다.

둘째, 켈빈 변환 및 이미지 방법과 같은 고조파 함수를 생성하기 위한 고전적인 속임수와 기술을 이해하기 위해 등각대칭을 사용할 수 있다.

셋째, 컨포멀 변환을 사용하여 한 도메인의 고조파 함수를 다른 도메인의 고조파 함수에 매핑할 수 있습니다.이러한 구성의 가장 일반적인 예는 디스크 상의 고조파 함수와 하프 플레인 상의 고조파 함수를 관련짓는 것입니다.

넷째, 컨포멀 대칭을 사용하여 컨포멀 플랫 리만 다양체의 고조파 함수로 고조파 함수를 확장할 수 있습니다.아마도 가장 간단한 확장은 R 전체에 정의된 고조파 함수를 n\ n 차원 의 고조파 함수로 간주하는 것이다.더 복잡한 상황도 발생할 수 있다.예를 들어 다치 고조파n 함수를 R의 분기커버에 단치함수로 표현함으로써 리만 표면론의 고차원적 유사체를 얻을 수 있고, 등각군의 이산 서브그룹 아래에 불변하는 고조파 함수를 다중접속 매니폴드 또는 오르비폴드상의 함수로 간주할 수 있다.

2차원

컨포멀 변환의 그룹이 2차원에서는 무한 차원이고 2차원 이상에서는 유한 차원이라는 사실로부터, 2차원에서의 전위 이론이 다른 차원의 전위 이론과 다르다는 것을 추측할 수 있다.이것은 옳고, 사실 어떤 2차원 조화함수가 복소해석함수의 실재부분이라는 것을 깨달았을 때, 2차원 전위론의 주제는 복소해석과 실질적으로 동일하다는 것을 알 수 있다.이러한 이유로, 잠재이론을 말할 때, 사람들은 3차원 또는 그 이상의 차원으로 유지되는 이론들에 주목한다.이와 관련하여, 놀라운 사실은 원래 복소 해석에서 발견된 많은 결과와 개념들 (슈바르츠 정리, 모레라의 정리, 바이어스트라스-카소라티 정리, 로랑 급수, 그리고 분리 가능한 극과 필수 특이점들의 분류)이 모든 조화 함수에 대한 결과로 일반화된다는 것이다.치수.어떤 복소해석학이 어떤 차원에 있어서도 전위이론의 이론의 특수한 경우를 고려함으로써, 2차원에서의 복소해석학이 정확히 무엇이 특별한지, 그리고 단순히 더 일반적인 결과의 2차원 사례에 대한 느낌을 얻을 수 있다.

로컬 동작

잠재 이론에서 중요한 주제는 고조파 함수의 국소적 행동에 대한 연구이다.아마도 국지적 행동에 대한 가장 기본적인 정리는 조화 함수가 분석적이라는 라플라스 방정식의 규칙성 정리일 것이다.고조파 함수의 수준 집합의 국소 구조를 설명하는 결과가 있습니다.양의 조화 함수의 고립된 특이점들의 행동을 특징짓는 보처의 정리가 있다.마지막 절에서 언급했듯이, 조화 함수의 고립된 특이점을 제거 가능한 특이점, 극 및 필수 특이점으로 분류할 수 있다.

불평등

조화함수 연구에 대한 유익한 접근법은 조화함수가 만족하는 불평등을 고려하는 것이다.아마도 대부분의 다른 불평등이 파생될 수 있는 가장 기본적인 불평등이 최대 원칙일 것이다.또 다른 중요한 결과는 R 전체에n 정의된 유일한 유계 조화 함수는 사실 상수 함수라는 리우빌의 정리이다.이러한 기본적인 부등식 외에도, 경계 영역에서의 양의 조화 함수는 대략 일정하다는 하낙의 부등식이 있다.

이러한 부등식의 중요한 사용 중 하나는 고조파 함수 또는 하위 고조파 함수의 군들의 수렴을 증명하는 것입니다. Harnack의 정리를 참조하십시오.이러한 수렴 정리는 특정 [1]성질을 가진 조화 함수의 존재를 증명하기 위해 사용됩니다.

조화 함수 공간

라플라스 방정식은 선형이기 때문에, 주어진 영역에서 정의된 고조파 함수의 집합은 사실상 벡터 공간입니다.적절한 규범 및/또는 내부 산물을 정의함으로써 힐베르트 또는 바나흐 공간을 형성하는 일련의 조화 함수를 나타낼 수 있다.이렇게 하면 하디 공간, 블로흐 공간, 베르그만 공간, 소볼레프 공간 등의 공간을 얻을 수 있다.

「 」를 참조해 주세요.

레퍼런스

  1. ^ Garabedian, P. R.; Schiffer, M. (1950). "On existence theorems of potential theory and conformal mapping". Annals of Mathematics. 52 (1): 164–187. doi:10.2307/1969517. JSTOR 1969517.