위상 게임

위상학적 게임은 위상학적 공간에서 두 명의 플레이어 사이에 이루어지는 완벽한 정보의 무한 게임이다. 플레이어는 포인트, 오픈 세트, 클로즈드 세트, 오픈 커버와 같은 위상학적 특성을 가진 객체를 선택한다. 시간은 일반적으로 별개의 것이지만, 연극은 완전한 길이일 수도 있고, 연속적인 시간까지 연장되었다. 선수가 승리하기 위한 조건에는 위상학적 폐쇄와 융합과 같은 개념이 포함될 수 있다.

일부 기초 위상학적 구조는 위상학적 게임에서 자연스러운 상대성을 가지고 있는 것으로 밝혀졌다. 그 예로는 바이얼 속성, 바이어 공간, 완전성과 수렴성, 분리 특성, 피복 및 염기 속성, 연속 이미지, 수슬린 세트, 단수 공간 등이 있다. 이와 동시에 위상학적 게임에서 자연적으로 발생하는 일부 위상학적 성질은 게임 이데올로기적 맥락을 넘어 일반화될 수 있는데, 위상학적 게임은 위상학적 공간의 새로운 성질을 묘사하고, 알려진 성질을 다른 빛 아래 두기 위해 널리 사용되어 왔다. 선택 원칙과도 밀접하게 연결돼 있다.

위상학적 게임이라는 용어는 기초 사상과 형식주의를 위상학적 집단과 유추하여 정의한 클로드 버지에 의해 처음 소개되었다.^[1][2][3] 위상적인 게임,“위상 특성 게임에 의해 정의되”의 개념에 대한 다른 의미를 라티 Telgársky,[4]의 종이로 나중에"공간 위상 게임에 의해 정의되",[5]이 접근법 행렬 게임, 차동 게임과 통계적 게임을 유추로 연구와 위상이라고 정의하고 기초한다 소개되었다.에pology. 35년 이상 지나자 '토폴로지 게임'이라는 용어가 널리 퍼졌고, 수백 개의 출판물에 등장하였다. 텔가르스키의^[6] 설문지는 바나흐-마주르 게임에서 나온 위상학적 게임의 기원을 강조하고 있다.

위상 게임의 다른 두 가지 의미가 있지만, 이것들은 덜 자주 사용된다.

• 리언 페트로잔이^[7] 적대적 추적-에피션 게임 연구에 도입한 위상학적 게임이라는 용어다. 이러한 위상적 게임의 궤도는 시간적으로 계속된다.
• 내시(헥스 게임), 밀너 게임(Y 게임), 샤플리 게임(프로젝트 평면 게임), 게일의 게임(브리지-잇 게임)은 데이빗 게일이 초청한 연설에서 위상적 게임이라고 불렀다[1979/80]. 이 게임들의 이동 횟수는 항상 한정되어 있다. 이러한 위상학적 게임의 발견이나 재발견은 1948~49년으로 거슬러 올라간다.

위상학적 게임의 기본 설정

완벽한 정보의 무한한 위치 게임을 위해 많은 프레임워크를 정의할 수 있다.

대표적인 설정은 위상학적 공간 X의 서브셋을 번갈아 선택하는 I와 II라는 두 플레이어의 게임이다. n라운드에서 나는 X의 서브셋 I을_n 플레이하고, 2번 플레이어는 서브셋 J로_n 대응한다. 자연수 n마다 라운드가 있고, 모든 라운드가 끝난 후 시퀀스가 진행되면 내가 승리한다.

나₀₀, J, 나₁, J₁,...

일부 재산을 만족시키고, 그렇지 않으면 선수 II가 승리한다.

게임은 목표 속성과 각 단계에서 허용되는 움직임으로 정의된다. 예를 들어 Banach-Mazur 게임 BM(X)에서 허용된 이동은 이전 이동의 비어 있지 않은 오픈 서브셋이며, $\bigcap {\displaystyle \underset{n}{}}$ ${\displaystyle {In}_{}}$ ${\displaystyle \mathrm{\varnothing }}$ ∅ ${\displaystyle \bigcap _{n}$이면 플레이어 I가 승리한다.$I_{n}\neq \emptyset$$}.$

이 전형적인 설정은 다양한 방법으로 수정될 수 있다. 예를 들어 X의 하위 집합이 아닌 각 이동은 한 쌍$({\displaystyle I}$, ${\displaystyle p}$) ${\displaystyle(I,p)$으로 구성될 수 있다$.$ $여기$서 I${\displaystyle x}$ X$${\$displaystyle I\subset$ X$}$ $및$ p ${\displaystyle x}$ x ${\displaystyle \in }$ x$${\$displaystyp\in$ x$}.$ 또는 이동 순서는 Ω이₁ 아닌 일부 순서 번호를 가질 수 있다.

Definitions and notation

• A play of the game is a sequence of legal moves

I₀, J₀, I₁, J₁,...

The result of a play is either a win or a loss for each player.

• A strategy for player P is a function defined over every legal finite sequence of moves of P's opponent. For example, a strategy for player I is a function s from sequences (J₀, J₁, ..., J_n) to subsets of X. A game is said to be played according to strategy s if every player P move is the value of s on the sequence of their opponent's prior moves. So if s is a strategy for player I, the play

${\displaystyle s(\lambda ),J_{0},s(J_{0}),J_{1},s(J_{0},J_{1}),J_{2},s(J_{0},J_{1},J_{2}),\ldots }$

is according to strategy s. (Here λ denotes the empty sequence of moves.)

• A strategy for player P is said to be winning if for every play according to strategy s results in a win for player P, for any sequence of legal moves by P's opponent. If player P has a winning strategy for game G, this is denoted ${\displaystyle P\uparrow G}$. If either player has a winning strategy for G, then G is said to be determined. It follows from the axiom of choice that there are non-determined topological games.
• A strategy for P is stationary if it depends only on the last move by P's opponent; a strategy is Markov if it depends both on the last move of the opponent and on the ordinal number of the move.

The Banach–Mazur game

The first topological game studied was the Banach–Mazur game, which is a motivating example of the connections between game-theoretic notions and topological properties.

Let Y be a topological space, and let X be a subset of Y, called the winning set. Player I begins the game by picking a nonempty open subset ${\displaystyle I_{0}\subset Y}$, and player II responds with a nonempty open subset ${\displaystyle J_{0}\subset I_{0}}$. Play continues in this fashion, with players alternately picking a nonempty open subset of the previous play. After an infinite sequence of moves, one for each natural number, the game is finished, and I wins if and only if

$\displaystyle X\cap \bigcap _{n\in \omega }I_{n}\neq \empt.}$

게임에 의해 입증된 게임 이론 및 위상학적 연결은 다음과 같다.

• II는 X가 Y의 첫 번째 카테고리인 경우에만 승리한 전략을 가지고 있다(무인전 세트의 카운트 가능한 조합인 경우 첫 번째 카테고리 또는 빈약한 카테고리의 집합이다).
• 만약 Y가 완전한 미터법 공간이라면, 만약 X가 Y의 비어있지 않은 부분집합에서 나타난다면, 나는 승리 전략을 가지고 있다.
• 만약 X가 Baire의 속성을 Y에 가지고 있다면, 게임은 결정된다.

기타 위상 게임

다른 주목할 만한 위상학적 게임은 다음과 같다.

• Ulam이 도입한 바이너리 게임—Banach-Mazur 게임의 수정.
• Banach 게임 - 실제 라인의 서브셋에서 실행되었다.
• Choquet 게임 - 치환 가능한 공간과 관련된 게임
• 포인트 오픈 게임 - 내가 포인트를 선택하고 II 플레이어가 포인트의 오픈 지역을 선택하는 게임.
• 선택 게임 - 각 라운드 플레이어에서 내가 (토폴로지) 컬렉션을 선택하고 II는 해당 컬렉션의 멤버 또는 유한 서브셋을 선택한다. 선택 원칙 § 토폴로지 게임을 참조하십시오.

수 년 동안 많은 게임들이 연구하기 위해 도입되었다: 쿠라토프스키 코어전도 원리, 근접한 투영 클래스의 세트들의 분리 및 감소 특성, 루진 체스, 불변 서술 세트 이론, 서슬린 세트, 닫힌 그래프 정리, 거미줄 공간, MP-스페이스, 선택의 공리, 재귀함수. 위상 게임은 또한 수학 논리학, 모델 이론, 무한히 긴 공식, 교차 정량자의 무한 문자열, 초여과기, 부분적으로 순서가 정해진 세트, 무한 그래프의 색상 번호에서도 아이디어와 관련이 있었다.

더 긴 목록과 더 자세한 설명은 텔가르스키의 1987년 설문지를 참조하십시오.^[6]

참고 항목

• 위상학적 퍼즐

참조