기준(토폴로지)

수학에서 위상 공간(X, τ)의 위상 τ에 대한 근거나 근거는 X의 오픈 서브셋의 가족 B로서, 위상의 모든 오픈셋이 B의^{[1][2][3][4][5]} 일부 하위 패밀리의 조합과 동일하다(이 하위 패밀리는 무한하거나 유한하거나 심지어 비어^{[note 1]} 있는 것이 허용된다). 예를 들어, 실수 라인 $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$의 모든 열린 간격 집합은 모든 열린 간격은 열린 집합이며, 또한 $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$${R$$}$의 모든 열린 부분 집합은 일부 패밀리의 조합으로 기록될$$ 수 있기 때문에$$ $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$displaystystyle \mathb {$R$$}$의 유클리드 위상 위상 위상의 기본이다$$. 개방된 간격

기지는 위상 전체에 걸쳐 어디서나 볼 수 있다. 기본 오픈 세트라고 불리는 토폴로지의 베이스에 있는 세트는 임의 오픈 세트보다 설명과 사용이 더 쉬운 경우가 많다.^[6] 연속성, 수렴성 등 중요한 위상학적 정의는 임의의 오픈 세트 대신 기본 오픈 세트만을 사용하여 확인할 수 있다. 일부 토폴로지에는 그러한 토폴로지 정의를 더 쉽게 확인할 수 있는 특정 유용한 속성이 있는 열린 집합의 기반이 있다.

하위 집합의 모든 패밀리가 토폴로지의 기반이 되는 것은 아니다. 예를 들어, X는 항상 X에 있는 모든 위상의 일부분이기 때문에, 만약 하위 집합의 B군이 X에 있는 위상의 기초가 되려면 X를 포함해야 하며, 이는 정의상 B에 있는 모든 집합의 결합이 X와 같아야 한다는 것을 의미한다. X가 1점 이상을 갖는 경우 X를 포함하지 않는 X 하위 집합의 가족이 존재하며 결과적으로 X의 어떤 위상에 대한 기초를 형성할 수 없다. X의 일부 위상에 대한 기초를 형성하는 X의 하위 집합 B 계열을 X의 위상에 대한 베이스라고 하는데,^[1][2][3] 이 경우 반드시 고유해야 하는 위상, 그것을 τ이라고 하는 이 위상은 B에 의해 생성된다고 하며, 결과적으로 위상 τ의 기초가 된다고 한다. 이러한 집합의 집합은 위상 정의에 자주 사용된다. 기초와 관련된 더 약한 개념은 위상의 하위 기준이다. 토폴로지 기반은 근린 기반과 밀접하게 관련되어 있다.

정의 및 기본 속성

X의 위상에 대한 기초는 다음 특성을 만족하는 X의 부분 집합 B이다.

1. B 덮개 X의 원소, 즉 X의 모든 원소는 B의 어떤 원소에 속한다.
2. B의₁₂ B, B의 B 원소를 고려할₁ 때₂, B의 모든 x에 대해, B에는 x를 포함하는 B₃ 원소가 있고, B는₃₁ B의 하위₂ 집합이다.

등가 속성은 다음과 같다:B의 원소들의 유한^{[note 2]} 교차점은 B의 원소들의 조합으로 작성할 수 있다. 이 두 조건은 정확히 B의 모든 하위 집합의 조합 집합이 X의 위상임을 보장하기 위해 필요한 것이다.

X의 서브셋 집합 B가 이러한 속성을 만족시키지 못하면 X의 어떤 위상의 기초가 되지 않는다(단, X의 서브베이스 집합과 마찬가지로 서브베이스다). 이와 반대로 B가 이러한 속성을 만족하면 X에는 B가 베이스인 고유한 위상이 있다. 이 위상은 B에 의해 생성된 위상이라고 한다(이 위상은 i이다).B를 포함하는 X의 모든 위상의 단면) 이것은 토폴로지를 정의하는 매우 흔한 방법이다. B가 X에 위상을 생성하기에 충분하지만 필요하지 않은 조건은 B가 교차로에서 닫힌다는 것이다. 그러면 우리는 항상 위의₃ B = B₁ b₂ B를 취할 수 있다.

예를 들어, 두 개의 열린 간격의 교차점 자체가 열린 간격이거나 비어 있기 때문에 실제 선에서 모든 열린 간격의 집합은 실제 선에서 위상의 기초를 형성한다. 사실 그것들은 실제 숫자의 표준 위상의 기초가 된다.

그러나 기지는 독특하지 않다. 크기가 서로 다른 많은 다른 베이스는 동일한 토폴로지를 생성할 수 있다. 예를 들어 합리적 엔드포인트가 있는 개방 간격은 비합리적인 엔드포인트가 있는 개방 간격과 마찬가지로 표준 실제 토폴로지의 기반이기도 하지만, 이 두 세트는 완전히 분리되어 있고 두 세트가 모두 모든 개방 간격의 베이스에 적절하게 포함되어 있다. 선형 대수학에서 벡터 공간의 기초와 대조적으로, 베이스는 최대일 필요는 없다. 실제로, 유일한 최대 베이스는 위상 그 자체다. 실제로 베이스에 의해 생성되는 오픈 세트는 토폴로지를 변경하지 않고 베이스에 안전하게 추가될 수 있다. 기초의 가능한 가장 작은 카디널리티는 위상 공간의 무게라고 불린다.

기초가 아닌 오픈 세트의 집합의 예로는 형식(-∞, a) 및 (a, ∞)의 모든 반무한 구간의 집합 S가 있는데 여기서 a는 실제 숫자다. 그렇다면 S는 R의 어떤 위상의 기초가 아니다. 이것을 보여주기 위해, 그랬다고 가정하자. 그런 다음, 예를 들어 (-162, 1)와 (0, ∞)는 S가 생성하는 위상에 있을 것이며, 단일 기본 요소의 결합이 될 것이며, 따라서 이들의 교차점(0,1)도 마찬가지일 것이다. 그러나 (0, 1)은 분명히 S의 요소들의 조합으로 쓸 수 없다. 대체 정의를 사용하면 두 번째 속성이 실패하는데, 이는 어떤 기본 요소도 이 교차점 내부에 "적합"할 수 없기 때문이다.

위상에 대한 기반이 주어진 경우, 그물 또는 시퀀스의 수렴을 입증하기 위해서는 그것이 결국 투입 한계를 포함하는 베이스의 모든 세트에 있다는 것을 증명하기에 충분하다.

예

$R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$의 모든 열린 간격에 대한 set 집합은 $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$의 유클리드 위상에 대한 기초를 형성한다$.$ 집합 X의 모든 위상 τ은 그 자체에 대한 기초(즉, τ은 basis의 기초)이다. 이 때문에, 어떤 정리의 가설에서 위상 τ에 어떤 기초 has이 있다고 가정하면, 이 정리는 = := τ을 사용하여 적용할 수 있다.

X에서 π-system이라고 하는 2개 이상의 세트의 유한 교차로에 의해 닫히는 세트 X의 비 빈 하위 집합 계열은 X를 커버하는 경우에만 X의 위상에 대한 베이스가 된다. 정의에 따르면 모든 σ-알지브라, 모든 필터(특히 모든 주변 필터), 그리고 모든 위상은 system-system을 포괄하는 것이므로 위상의 기초가 된다. 실제로 γ이 X의 필터라면, { ∅ } } } }은 X의 위상이고 γ은 그 기초가 된다. 토폴로지의 기초는 한정된 교차로에서 닫힐 필요가 없으며 많은 교차로들은 그렇지 않다. 그러나 그럼에도 불구하고 많은 토폴로지는 유한 교차점에 의해서도 폐쇄되는 베이스에 의해 정의된다. 예를 들어$,$ $다음$과 같은$$R {\$displaystyle \mathb$ {$R}$의 하위 집합 각각은 유한 교차로에서 닫히므로$$, 각 $집합$은 R$${\$displaystyle \mathb {R}}$의 일부< 위상에 대한 기초를 형성한다$.$

• $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$의 모든 경계 개방 간격에 대한 γ 집합은 $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$에 일반적인 유클리드 위상을 생성한다$.$
• $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$의 모든 경계 폐쇄 간격의 set 집합은 R ${\$ {R$}$에 이산 위상을 생성하므로$$$$ 유클리드 위상은 이 위상의 하위 집합이다. 이것은 γ이 부분집합 σ이 아님에도 불구하고 이다. 따라서 $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$의 유클리드 위상인 Ⅱ에 의해 생성된 위상은$$Ⅱ에 의해 생성된 위상보다 더 거세다. 사실, σ은 유클리드 위상에서는 절대 열리지 않는 비빈 콤팩트 세트를 포함하고 있기 때문에 더 엄격하다.
• 구간의 양쪽 끝점이 모두 합리적인 숫자인_{${\displaystyle \mathbb {Q} }$} γ의 모든 구간에 대해 γ을 설정하면 γ과 동일한 위상이 생성된다. 기호 γ의 각 인스턴스가 by으로 대체되더라도 이는 그대로 유지된다.
• σ_∞ = { [r, ∞) : r ∈ $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$}}}$$은(는) σ에서 생성되는 위상보다 엄격히 응고되는 위상을 생성한다. $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$의 유클리드 위상에는 of의_∞ 요소가 열려 있지 않다$.$
• γ_∞ = { (r, ∞): r ∈ $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$R$} }$ $$}}은(는) 유클리드 위상과 σ에서_∞ 생성된 위상 둘 다보다 엄격히 공차인 위상을 생성한다. σ과_∞ γ_∞ 세트는 분리되어 있지만, 그럼에도 불구하고 γ은_∞ σ이_∞ 생성하는 위상의 하위 집합이다.

기초 단위로 정의된 객체

• 순서 위상은 일반적으로 개방형 인터벌 유사 집합 집합의 집합에 의해 생성된 위상으로서 정의된다.
• 미터법 위상은 보통 열린 공의 집합에 의해 생성된 위상으로 정의된다.
• 두 번째로 셀 수 있는 공간은 셀 수 있는 기반이 있는 공간이다.
• 이산 위상은 단골격을 기본으로 한다.
• 그룹의 확실한 위상은 유한 지수의 모든 정상 하위 그룹의 컬렉션을 아이덴티티의 개방된 이웃의 기준으로 삼음으로써 정의된다.

링의 스펙트럼에 있는 자리스키 위상은 특정한 유용한 특성을 가진 오픈 세트로 구성된 베이스를 가지고 있다. 이 위상의 일반적인 기초에서, 기본 원소의 모든 유한 교차점은 기본 원소가 된다. 따라서 베이스는 때때로 유한한 교차로에 의해 안정되어야 한다.^{[citation needed]}

• $C{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$의 자리스키 위상은 대수 집합이 닫힌 집합으로 있는 위상이다$$. 그것은 대수적 초능력들의 집합적 보완에 의해 형성된 기초를 가지고 있다.
• 반지의 스펙트럼의 자리스키 위상(원초적 이상들의 집합)은 각 원소가 반지의 주어진 요소를 포함하지 않는 모든 주요 이상으로 구성될 수 있는 근거를 가지고 있다.

정리

• 개방형 집합 U의 각 점 x에 대해, x를 포함하고 U에 포함된 기본 요소가 있다.
• 위상 T는₂ x를 포함하는₁ T의₁ 각 x와 각 기본 요소 B에 대해 x를 포함하는 T의₂ 기본 요소가 있는 경우에만 위상 T보다 더 미세하다.
• If ${\displaystyle B_{1},B_{2},\ldots ,B_{n}}$ are bases for the topologies ${\displaystyle T_{1},T_{2},\ldots ,T_{n}}$ then the set product ${\displaystyle B_{1}\times B_{2}\times \cdots \times B_{n}}$ is a base for the product topology T ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 2_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \times }$ × ${\displaystyle \times }$ × × × ${\displaystyle {}_{}}$ × $\\\displaystyle T_{1}\time T_{2}\time$\cdots $\time$ time T_${n}}}$ 무한 제품의$$ 경우, 이는 여전히 적용되며, 완전히 다른 기본 요소들이 공간이어야 한다.
• B를 X의 베이스가 되게 하고 Y를 X의 서브 스페이스가 되게 한다. 그리고 나서 우리가 B의 각 원소를 Y와 교차시키면, 결과 집합의 집합은 하위 공간 Y의 기초가 된다.
• 함수 $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:X\to$ Y$}$가 X의 모든 기본 요소를 개방형 Y 집합에 매핑하면$$ 개방형 맵이다. 마찬가지로 Y의 기본 요소의 모든 사전 이미지가 X로 열려 있는 경우, f는 연속적이다.
• X의 하위 집합 모음은 X가 스스로 생성되는 경우에만 위상이다.
• B는 위상학적 공간 X의 기초가 되는 경우에만 X의 임의 지점 X에 대해 x를 포함하는 B 원소의 하위 집합이 x에 로컬 베이스를 형성한다.

닫힌 집합의 기준

닫힌 세트는 공간의 토폴로지를 설명하는 데 똑같이 능숙하다. 따라서 닫힌 위상학적 공간의 집합에 대한 베이스의 이중 개념이 있다. 위상학적 공간 $X{\displaystyle }$, ${\displaystyle$ X$}$이(가) 주어진 경우 닫힌 집합 $C{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$ 각 $집합$에 대해 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $A$$}$이(가) 없고$$ 각 포인트 $x{\displaystyle }$ ${\displaysty$ $x$$}$에 C ${\$의 요소가 있는 경우에만 닫힌 집합의 기반이 된다$$.$tyle {\mathcal {C}}}$ containing ${\displaystyle A}$ but not containing ${\displaystyle x.}$ A family ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ is a base for the closed sets of ${\displaystyle X}$ if and only if its dual in ${\displaystyle X,}$ denoted by ${\displayst$$yle X\setminus {\mathcal{C}:$$=\{X\setminus C:$$C\in {\mathcal {C}\}}}$은^[7](는) $X{\displaystyle }$; ${\displaystyle$ X$;}$의 오픈 세트의 베이스로, 즉 $C{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$ {$C}$ 멤버의 보완 제품군이 $X$의 오픈 세트의 베이스인 경우에만 해당된다${\displaystyle .}$ ${\displaystystyle$ X$.}$

$C{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$을(를) 닫힌 $X{\displaystyle }$ 집합의 기본이 되도록$$ 하십시오${\displaystyle .}$ ${\displaystyle$ X$}$ 그러면$$

1. ${\displaystyle \bigcap {\mathcal {C}=\varnothing }$
2. For each ${\displaystyle C_{1},C_{2}\in {\mathcal {C}}}$ the union ${\displaystyle C_{1}\cup C_{2}}$ is the intersection of some subfamily of ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ (that is, for any ${\displaystyle x\in X}$ not in ${\displaystyle C$$_{1}{\text{또는 }}}C_{2}}:$ C 1 ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ C ${\$$}}$에 C ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ C$$2 {\$displaystyle C_{1$}\$cup$ $C_{$2}}을$$$$ 포함하고 $x$를 포함하지 않는 $일부{\displaystyle {}_{}}$ C ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ C ${\displaystylean$ {\${\displaystyle c\_\mathcal{}}${{3$}$이 있다$$.$$

이러한 속성을 만족하는$$ $집합{\displaystyle }$ X ${\$$displaystyle X}$의 하위 집합 모음은 $X$에 있는 위상의 닫힌 집합에 대한 기초를 형성한다$.$ 이$$ 위상의 닫힌 집합은 정확하게 $C{\displaystyle \mathcal{}}$. ${\displaystyle {\mathcal {C}$의 멤버들의 교차점이다.$}$

경우에 따라서는 오픈 세트보다 클로즈드 세트의 베이스를 사용하는 것이 더 편리하다. 예를 들어, 0이 닫힌 세트의 베이스를 형성하는 경우에만 공간이 완전히 정규적이다. 위상학적 공간 $X{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle$ $X$$,}$을(를) 감안할 때, 0$$ 세트는 $X$에 있는 일부 위상의 폐쇄된 집합에 대한 기초를 형성한다${\displaystyle .}$ ${\$$displaystyle$ $X$$}$ 이$$ 위상은 원래 위상보다 $X{\displaystyle }$ {\$displaystyle$ X$}$에 있는 완전 정규 위상 중 가장 우수한 위상이 될 것이다. 비슷한 맥락에서 A의ⁿ 자리스키 위상은 닫힌 세트의 기준으로 다항함수 0 세트를 취함으로써 정의된다.

무게와 성격

우리는 (Egelking 1977, 페이지 122, 페이지 127-128)에 확립된 개념으로 작업할 것이다.

위상학적 공간을 X로 수정하십시오. Here, a network is a family ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ of sets, for which, for all points x and open neighbourhoods U containing x, there exists B in ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ for which ${\displaystyle x\in B\subseteq U.}$ Note that, unlike a basis, the sets in a network need not be open.

우리는 가중치 w(X)를 기초의 최소 카디널리티로 정의하고, 네트워크 가중치 nw(X)를 네트워크의 최소 카디널리티로 정의하며, 포인트의 문자 $\chi {\displaystyle (x}$, X${\displaystyle }$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle \chi(x,X)$는 X의 인접성 기준의 최소 카디널리티로$$ 정의하며, X의 문자는 X가 되어야 한다.

성격과 무게를 계산하는 포인트는 어떤 종류의 기초와 지역 기초가 존재할 수 있는지 알 수 있는 것이다. 우리는 다음과 같은 사실을 가지고 있다.

• nw(X) ≤ w(X).
• X가 이산형인 경우 w(X) = nw(X) = X.
• X가 Hausdorff인 경우, X가 유한 이산인 경우에만 nw(X)가 유한하다.
• B가 X의 기본이라면 B 크기 ${\displaystyle B}$의 기본$$ $B{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle$ B$'\subseteq B}$이(${\displaystyle 가)}$ 있다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle B' \leq w(X).$$}$
• 만약 X에서 X에 대한 인접성 기준이 없다면 N 크기 ${\displaystyle N}$의 $N{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ N ${\displaystyle \{}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle$ N$'\subseteq N}$이($)$ 있다. N 크기 N ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\displaystyle \le \chi }$ ( X ,${\displaystyle X).}$ ${\displaysty N' \leq \chi (X,$X, X).$}$
• $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ Y ${\displaystyle f:X\to Y}$이(가) 연속적인 추리라면, nw(Y) w w(X). (간단히 Y-network $f{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {‴}^{}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \triangleq }${ ${\displaystyle {}^{}f}$ U${\displaystyle }$: ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle :}$ ${\displaystyle B\}}$ ${\displaysty$ f$'B\triangleq \{f$'F$'U:$X의 각 기준 B에 $대해$ U$\in$ B$\})$
• if ${\displaystyle (X,\tau )}$ is Hausdorff, then there exists a weaker Hausdorff topology ${\displaystyle (X,\tau ')}$ so that ${\displaystyle w(X,\tau ')\leq nw(X,\tau ).$$}$ fortiori, X도 작다면 그러한 위상이 일치하고 따라서 우리는 첫 번째 사실과 결합하여 nw(X) = w(X)를 얻었다.
• $만약{\displaystyle }$f :${\displaystyle X}$ → Y$${\$displaystyle f:X\to$ Y$}$ 콤팩트한 메트리스타일 공간에서 하우스도르프 스페이스로 이어지는 연속적인 허탈 지도라면$$, Y는 콤팩트 메트리스가 가능하다.

The last fact follows from f(X) being compact Hausdorff, and hence ${\displaystyle nw(f(X))=w(f(X))\leq w(X)\leq \aleph _{0}}$ (since compact metrisable spaces are necessarily second countable); as well as the fact that compact Hausdorff spaces are metrisable exactly in case they are second 셀 수 있는 (예를 들어, 이것의 적용은 하우스도르프 공간의 모든 경로가 컴팩트하게 보정될 수 있다는 것이다.

오픈 세트의 체인 증가

위의 표기법을 사용하여 w(X) ≤ 일부 무한 추기경이라고 가정한다. 그 다음에 길이 ≥의⁺ 오픈 세트(폐쇄 세트 순서가 동등하게 감소)의 엄밀하게 증가하는 순서는 존재하지 않는다.

(선택 공리 없이) 이 항목을 보려면 수정하십시오.

오픈 세트의 기초로서 그리고 만약 대척점에 대해 생각해보면, 오픈 세트의 순서가 엄격히 증가했었죠 이 말은

을 위해

우리는_γ U ⊆ V에서_α x가 있는 U를_γ 찾기 위해 기초를 사용할 수 있다. 이러한 방법으로 우리는 지도를 잘 정의할 수 있다, f : κ⁺ → κ 각 α를 U_γ ⊆ V와_α 만나는 최소 γ에 매핑할 수 있다.

이 지도는 주입식이며, 그렇지 않으면 α < β와 f(α) = f(β) = α가 있을 것이며, 이는 U_γ ⊆ V를_α 더욱 암시하지만 또한 충족시킬 것이다.

그건 모순이야 그러나 이것은 κ⁺ ≤ κ, 모순이라는 것을 보여 줄 것이다.

참고 항목

• 에세닌-볼핀 정리
• 접착공리
• 근린제도
• 서브베이스

메모들

참조

참고 문헌 목록