| dbo:abstract
|
- Im Teilgebiet Topologie der Mathematik ist ein polnischer Raum ein separabler und vollständig metrisierbarer topologischer Raum. Dabei bedeutet vollständig metrisierbar, dass es eine Metrik auf gibt, die die Topologie induziert und zugleich vollständig ist, das heißt, dass jede Cauchy-Folge bezüglich konvergiert.(Eine Metrik induziert die Topologie auf , wenn wir die offenen Mengen von durch offene Kugeln bezüglich erklären können.)Man beachte, dass die Vollständigkeit von der Metrik abhängt: Ist der Raum bezüglich einer Metrik vollständig, so kann es andere Metriken geben, die dieselbe Topologie erzeugen, und nicht vollständig sind.Es wird hier gefordert, dass es wenigstens eine vollständige Metrik gibt, die die Topologie erzeugt. Ein topologischer Raum heißt separabel, wenn es eine abzählbare und dichte Teilmenge gibt, das heißt ist gleichmächtig zur Menge der natürlichen Zahlen und es gilt .Durch diese Eigenschaft werden polnische Räume in ihrer Größe eingeschränkt, sie sind daher auch maßtheoretischen Methoden zugänglich. Polnische Räume sind gleichwertig dadurch charakterisiert, dass sie vollständig metrisierbar sind und ihre Topologie eine abzählbare Basis hat. Separable und vollständig metrisierbare topologische Räume werden zu Ehren der polnischen Mathematiker, die sich als erste mit ihnen beschäftigten (Sierpiński, Kuratowski, Tarski), polnisch genannt. Die Terminologie geht auf Nicolas Bourbaki zurück. Polnische Räume sind zentraler Untersuchungsgegenstand der deskriptiven Mengenlehre und spielen eine wichtige Rolle in der Maßtheorie, etwa im Zusammenhang mit Radon-Maßen. (de)
- En mathématiques, un espace métrisable à base dénombrable (ou séparable, cela revient au même pour un espace métrisable) est un espace polonais si sa topologie peut être définie par une distance qui en fait un espace complet. Tout espace compact métrisable, tout sous-espace fermé ou ouvert d'un espace polonais, tout produit dénombrable d'espaces polonais, tout espace de Banach séparable est un espace polonais. Cette terminologie a été introduite par le groupe Bourbaki, dans le volume sur la topologie générale de ses Éléments de mathématique. C'est en fait Roger Godement, qui fut membre du groupe, qui en est à l'origine à la suite de sa proposition en 1949. De son propre aveu c'était, à la fois, humoristique et un hommage aux travaux des mathématiciens polonais dans le domaine de la topologie, notamment Casimir Kuratowski, Alfred Tarski et Wacław Sierpiński. (fr)
- In the mathematical discipline of general topology, a Polish space is a separable completely metrizable topological space; that is, a space homeomorphic to a complete metric space that has a countable dense subset. Polish spaces are so named because they were first extensively studied by Polish topologists and logicians—Sierpiński, Kuratowski, Tarski and others. However, Polish spaces are mostly studied today because they are the primary setting for descriptive set theory, including the study of Borel equivalence relations. Polish spaces are also a convenient setting for more advanced measure theory, in particular in probability theory. Common examples of Polish spaces are the real line, any separable Banach space, the Cantor space, and the Baire space. Additionally, some spaces that are not complete metric spaces in the usual metric may be Polish; e.g., the open interval (0, 1) is Polish. Between any two uncountable Polish spaces, there is a Borel isomorphism; that is, a bijection that preserves the Borel structure. In particular, every uncountable Polish space has the cardinality of the continuum. Lusin spaces, Suslin spaces, and Radon spaces are generalizations of Polish spaces. (en)
- 일반위상수학에서 폴란드 공간(Poland空間, 영어: Polish space)은 지나치게 크지 않으며, 완비 거리 공간과 유사하여 측도론 및 기술적 집합론을 쉽게 전개할 수 있는 위상 공간이다. (ko)
- In matematica, uno spazio polacco è una struttura topologica astratta, che deve il suo nome alla scuola di matematici polacchi che all'inizio del XX secolo ne studiarono le proprietà. I principali risultati riguardanti spazi polacchi sono infatti legati ai nomi di Wacław Sierpiński, Kazimierz Kuratowski e Alfred Tarski. Oggi l'interesse degli spazi polacchi risiede principalmente nel fatto che essi sono la struttura naturale su cui studiare la teoria descrittiva degli insiemi, ed in particolare le . Inoltre, la maggior parte dei risultati della teoria della probabilità riguardano misure di probabilità su spazi polacchi, rendendone l'uso piuttosto diffuso in questo settore della matematica. (it)
- 数学の位相空間論において、ポーランド空間（ポーランドくうかん）とは、可分で完備距離づけ可能な位相空間のことである。すなわち、可算な稠密部分集合をもつ完備距離空間と同相な空間のことである。名前の由来は、この空間が著名なポーランド人研究者達（例えば、シェルピニスキ, クラトフスキ, タルスキ等）によって研究され始めたことによる。今日では、等の研究を含んだ記述集合論の研究のための基礎としても重要視されている。 ポーランド空間の例としては、実数直線, 可分なバナッハ空間, カントール空間, ベール空間がある。さらに言えば、普通の距離づけでは完備でないがポーランド空間ではあるようなものも存在する。例えば開区間 (0, 1) はポーランド空間である。 いかなる二つの不可算なポーランド空間の間にも、が存在する。すなわち、全単射でボレル構造を保つものが存在する。特に、不可算なポーランド空間の濃度は必ず連続体濃度となる。 (ja)
- In de topologie, een deelgebied van de wiskunde, is een Poolse ruimte een scheidbare volledig metriseerbare topologische ruimte, dat wil zeggen een ruimte die homeomorf is aan een volledige metrische ruimte, die een telbare dichte deelverzameling heeft. Poolse ruimten zijn zo genoemd, omdat zij voor het eerst uitgebreid werden bestudeerd door Poolse topologen en logici - Wacław Sierpiński, Kazimierz Kuratowski, Alfred Tarski en anderen. Pools ruimten worden vandaag de dag vooral bestudeerd omdat zij het juiste kader bieden voor de studie van de beschrijvende verzamelingenleer, met inbegrip van de studie van . Bekende voorbeelden van Poolse ruimten zijn de reële lijn, de Cantor-ruimte, en de Baire-ruimte. In aanvulling hierop kunnen sommige ruimtes, die in de gebruikelijke topologie geen volledige metrische ruimten zijn, wel Poolse ruimten zijn; het open interval (0, 1) is bijvoorbeeld een Poolse ruimte. Tussen elke twee overaftelbare Poolse ruimten bestaat een Borel isomorfisme; dat wil zeggen een bijectie, die de Borel-structuur bewaart. In het bijzonder heeft elke overaftelbare Poolse ruimte de kardinaliteit van het continuüm. Veralgemeningen van Poolse ruimten zijn onder andere de Lusin-ruimten, de Suslin-ruimten en de Radon-ruimtes. (nl)
- Przestrzeń polska – ośrodkowa przestrzeń topologiczna, która jest metryzowalna w sposób zupełny. Pojęcie przestrzeni polskiej ma charakter topologiczny, a nie metryczny (metryka wyznaczająca topologię przestrzeni polskiej nie jest wyznaczona jednoznacznie) i jako takie jest przedmiotem badań topologii ogólnej i opisowej teorii mnogości. Nazwa pojęcia została wprowadzona dla uhonorowania wkładu polskiej szkoły matematycznej w rozwój tych dziedzin. Pierwsze intensywne badania w tym kierunku zostały powzięte przez polskich logików i topologów – Wacława Sierpińskiego, Kazimierza Kuratowskiego, Alfreda Tarskiego i innych. W pierwszej połowie XX wieku, przestrzenie polskie odgrywały istotną rolę w analizie funkcjonalnej i teorii miary, później były głównym obiektem zainteresowania w opisowej teorii mnogości, a w ostatnich latach są kluczowym elementem w badaniach borelowskich relacji równoważności oraz działań grup. W ostatnim zastosowaniu szczególną pozycję zajmują tzw. grupy polskie, czyli grupy topologiczne będące przy tym przestrzeniami polskimi. Przestrzeń polska jest doskonała, gdy nie ma ona punktów izolowanych, czyli jednopunktowych zbiorów otwartych. Ponieważ głównym obiektem zainteresowania większości badań są doskonałe przestrzenie polskie, niektórzy autorzy używają terminu „przestrzeń polska” mając na myśli doskonałą przestrzeń polską. Należy więc uważnie zapoznać się z używaną przez autora terminologią. (pl)
- Польський простір — топологічний простір, гомеоморфний повному метричному простору із зліченною щільною підмножиною. (uk)
- Польское пространство — пространство, гомеоморфное полному метрическому пространству со счётным плотным подмножеством. (ru)
|
| rdfs:comment
|
- 일반위상수학에서 폴란드 공간(Poland空間, 영어: Polish space)은 지나치게 크지 않으며, 완비 거리 공간과 유사하여 측도론 및 기술적 집합론을 쉽게 전개할 수 있는 위상 공간이다. (ko)
- 数学の位相空間論において、ポーランド空間（ポーランドくうかん）とは、可分で完備距離づけ可能な位相空間のことである。すなわち、可算な稠密部分集合をもつ完備距離空間と同相な空間のことである。名前の由来は、この空間が著名なポーランド人研究者達（例えば、シェルピニスキ, クラトフスキ, タルスキ等）によって研究され始めたことによる。今日では、等の研究を含んだ記述集合論の研究のための基礎としても重要視されている。 ポーランド空間の例としては、実数直線, 可分なバナッハ空間, カントール空間, ベール空間がある。さらに言えば、普通の距離づけでは完備でないがポーランド空間ではあるようなものも存在する。例えば開区間 (0, 1) はポーランド空間である。 いかなる二つの不可算なポーランド空間の間にも、が存在する。すなわち、全単射でボレル構造を保つものが存在する。特に、不可算なポーランド空間の濃度は必ず連続体濃度となる。 (ja)
- Польський простір — топологічний простір, гомеоморфний повному метричному простору із зліченною щільною підмножиною. (uk)
- Польское пространство — пространство, гомеоморфное полному метрическому пространству со счётным плотным подмножеством. (ru)
- Im Teilgebiet Topologie der Mathematik ist ein polnischer Raum ein separabler und vollständig metrisierbarer topologischer Raum. Dabei bedeutet vollständig metrisierbar, dass es eine Metrik auf gibt, die die Topologie induziert und zugleich vollständig ist, das heißt, dass jede Cauchy-Folge bezüglich konvergiert.(Eine Metrik induziert die Topologie auf , wenn wir die offenen Mengen von durch offene Kugeln bezüglich erklären können.)Man beachte, dass die Vollständigkeit von der Metrik abhängt: Ist der Raum bezüglich einer Metrik vollständig, so kann es andere Metriken geben, die dieselbe Topologie erzeugen, und nicht vollständig sind.Es wird hier gefordert, dass es wenigstens eine vollständige Metrik gibt, die die Topologie erzeugt. (de)
- In the mathematical discipline of general topology, a Polish space is a separable completely metrizable topological space; that is, a space homeomorphic to a complete metric space that has a countable dense subset. Polish spaces are so named because they were first extensively studied by Polish topologists and logicians—Sierpiński, Kuratowski, Tarski and others. However, Polish spaces are mostly studied today because they are the primary setting for descriptive set theory, including the study of Borel equivalence relations. Polish spaces are also a convenient setting for more advanced measure theory, in particular in probability theory. (en)
- En mathématiques, un espace métrisable à base dénombrable (ou séparable, cela revient au même pour un espace métrisable) est un espace polonais si sa topologie peut être définie par une distance qui en fait un espace complet. Tout espace compact métrisable, tout sous-espace fermé ou ouvert d'un espace polonais, tout produit dénombrable d'espaces polonais, tout espace de Banach séparable est un espace polonais. (fr)
- In matematica, uno spazio polacco è una struttura topologica astratta, che deve il suo nome alla scuola di matematici polacchi che all'inizio del XX secolo ne studiarono le proprietà. I principali risultati riguardanti spazi polacchi sono infatti legati ai nomi di Wacław Sierpiński, Kazimierz Kuratowski e Alfred Tarski. (it)
- In de topologie, een deelgebied van de wiskunde, is een Poolse ruimte een scheidbare volledig metriseerbare topologische ruimte, dat wil zeggen een ruimte die homeomorf is aan een volledige metrische ruimte, die een telbare dichte deelverzameling heeft. Poolse ruimten zijn zo genoemd, omdat zij voor het eerst uitgebreid werden bestudeerd door Poolse topologen en logici - Wacław Sierpiński, Kazimierz Kuratowski, Alfred Tarski en anderen. Pools ruimten worden vandaag de dag vooral bestudeerd omdat zij het juiste kader bieden voor de studie van de beschrijvende verzamelingenleer, met inbegrip van de studie van . (nl)
- Przestrzeń polska – ośrodkowa przestrzeń topologiczna, która jest metryzowalna w sposób zupełny. Pojęcie przestrzeni polskiej ma charakter topologiczny, a nie metryczny (metryka wyznaczająca topologię przestrzeni polskiej nie jest wyznaczona jednoznacznie) i jako takie jest przedmiotem badań topologii ogólnej i opisowej teorii mnogości. (pl)
|
