หมายเลขฟรูเด

ในกลศาสตร์ต่อเนื่องจำนวนฟรูด (Froude, ตามชื่อ William Froude, /ˈfruːd/ [ 1 ] ) เป็นจำนวนไร้มิติที่กำหนดให้^เป็นอัตราส่วนของความเฉื่อยของการไหลต่อสนามแรงภายนอก( หลังในหลาย ๆการใช้งานเกิดจากแรงโน้ม ถ่วง ) จำนวนฟรูดมีพื้นฐานมาจากอัตราส่วนความเร็วต่อความยาวซึ่งเขาได้กำหนดไว้ดังนี้: ^{[2] [3]} โดยที่uคือความเร็วการไหล ในพื้นที่ (เป็น m/s), g คือ สนามแรงโน้มถ่วงในพื้นที่(เป็น m/s2 ⁾และLคือความยาวลักษณะเฉพาะ (เป็น m) $${\displaystyle \mathrm {Fr} ={\frac {u}{\sqrt {gL}}}}$$

ค่า Froude มีความคล้ายคลึงกับค่า Machในพลศาสตร์ของไหลเชิง ทฤษฎี ค่า Froude ไม่ค่อยถูกนำมาพิจารณา เนื่องจากสมการมักจะถูกพิจารณาในค่า Froude Limit สูงของสนามภายนอกที่ไม่สำคัญ ทำให้เกิดสมการที่เป็นเนื้อเดียวกันซึ่งรักษาลักษณะทางคณิตศาสตร์เอาไว้ ตัวอย่างเช่นสมการออยเลอร์ ที่เป็นเนื้อเดียวกัน คือสมการการอนุรักษ์อย่างไรก็ตาม ในสถาปัตยกรรมทางเรือค่า Froude เป็นตัวเลขที่สำคัญที่ใช้เพื่อกำหนดความต้านทานของวัตถุที่จมอยู่ใต้น้ำบางส่วนที่เคลื่อนที่ผ่านน้ำ

ในการไหลของช่องเปิด Belanger 1828 ได้แนะนำอัตราส่วนของความเร็วของการไหลต่อรากที่สองของความเร่งโน้มถ่วงคูณความลึกของการไหลเป็นครั้งแรก เมื่ออัตราส่วนน้อยกว่า 1 การไหลจะมีลักษณะเหมือนการเคลื่อนที่ของแม่น้ำ (กล่าวคือ การไหลต่ำกว่าจุดวิกฤต) และเหมือนการเคลื่อนที่ของกระแสน้ำเชี่ยวเมื่ออัตราส่วนมากกว่า 1 ^[4]

การวัดค่าความต้านทานของวัตถุลอยน้ำโดยทั่วไปนั้นมักจะยกความดีความชอบให้กับวิลเลียม ฟรูดซึ่งใช้แบบจำลองขนาดต่างๆ เพื่อวัดค่าความต้านทานที่แบบจำลองแต่ละแบบมีเมื่อลากจูงด้วยความเร็วที่กำหนด เฟรเดอริก รีช ผู้สร้างเรือ ได้เสนอแนวคิดนี้ไว้ก่อนหน้านี้มากในปี 1852 เพื่อทดสอบเรือและใบพัด แต่ฟรูดไม่ทราบเรื่องนี้^{[5] อัตราส่วนความเร็วต่อความยาวถูกกำหนดโดยฟรูดใน} หนังสือ Law of Comparisonของเขาในปี 1868 โดยใช้มิติเป็นดังนี้:

$${\displaystyle {\text{อัตราส่วนความเร็ว–ความยาว}}={\frac {u}{\sqrt {\text{LWL}}}}}$$ที่ไหน:

• u = ความเร็วการไหล
• LWL = ความยาวของแนวน้ำ

คำศัพท์ดังกล่าวถูกแปลงเป็นคำศัพท์ที่ไม่มีมิติและได้รับชื่อของ Froude เพื่อเป็นการยกย่องผลงานที่เขาทำ ในฝรั่งเศส บางครั้งเรียกจำนวน Reech–Froudeตามชื่อ Frédéric Reech ^[6]

เพื่อแสดงให้เห็นว่าจำนวน Froude เชื่อมโยงกับกลศาสตร์ต่อเนื่องทั่วไปอย่างไร และไม่เพียงแต่กับอุทกพลศาสตร์ เท่านั้น เราจึงเริ่มต้นจากสมการโมเมนตัมโคชีในรูปแบบไร้มิติ (ไม่มีมิติ)

เพื่อให้สมการไม่มีมิติ จำเป็นต้องกำหนดความยาวลักษณะเฉพาะ r ₀และความเร็วลักษณะเฉพาะ u ₀ควรเลือกตัวแปรที่ไม่มีมิติทั้งหมดตามลำดับที่หนึ่ง ดังนั้นจึงได้ตัวแปรที่ไม่มีมิติดังต่อไปนี้:$${\displaystyle \rho ^{*}\equiv {\frac {\rho }{\rho _{0}}},\quad u^{*}\equiv {\frac {u}{u_{0}}},\quad r^{*}\equiv {\frac {r}{r_{0}}},\quad t^{*}\equiv {\frac {u_{0}}{r_{0}}}t,\quad \nabla ^{*}\equiv r_{0}\nabla ,\quad \mathbf {g} ^{*}\equiv {\frac {\mathbf {g} }{g_{0}}},\quad {\boldsymbol {\sigma }}^{*}\equiv {\frac {\boldsymbol {\sigma }}{p_{0}}},}$$

การแทนที่ความสัมพันธ์ผกผันเหล่านี้ในสมการโมเมนตัมของออยเลอร์ และคำจำกัดความของค่าฟรูเดอ และค่าออยเลอร์ : สมการจะถูกแสดงในที่สุด (ด้วยอนุพันธ์ของสารและตอนนี้ละเว้นดัชนี):$${\displaystyle \mathrm {Fr} ={\frac {u_{0}}{\sqrt {g_{0}r_{0}}}},}$$$${\displaystyle \mathrm {Eu} ={\frac {p_{0}}{\rho _{0}u_{0}^{2}}},}$$

สมการประเภทโคชีในขีดจำกัด Froude สูงFr → ∞ (สอดคล้องกับสนามภายนอกที่ละเลยได้) เรียกว่าสมการอิสระ ในทางกลับกัน ในขีดจำกัดออยเลอร์ต่ำEu → 0 (สอดคล้องกับความเค้นที่ละเลยได้) สมการโมเมนตัมโคชีทั่วไปจะกลายเป็นสมการเบอร์เกอร์ ที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกัน (ในที่นี้ เราทำให้อนุพันธ์ของวัสดุ ชัดเจนขึ้น ):

นี่คือสมการการพาความร้อน แบบบริสุทธิ์ที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกัน เช่นเดียวกับสมการสโตกส์ที่เป็นสมการการแพร่ แบบ บริสุทธิ์

สมการโมเมนตัมของออยเลอร์คือสมการโมเมนตัมของโคชี โดยที่กฎของปาสกาลเป็นความสัมพันธ์เชิงสร้างความเครียด ในรูปแบบลากรองจ์แบบไม่มีมิติ คือ:$${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=p\mathbf {I} }$$$${\displaystyle {\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}+\mathrm {Eu} {\frac {\nabla p}{\rho }}={\frac {1}{\mathrm {Fr} ^{2}}}{\hat {g}}}$$

สมการออยเลอร์แบบอิสระเป็นสมการเชิงอนุรักษ์นิยม ขีดจำกัดของจำนวนฟรูเดอที่สูง (สนามภายนอกต่ำ) จึงเป็นที่น่าสังเกตและสามารถศึกษาได้ด้วยทฤษฎีการรบกวน

สมการโมเมนตัม Navier–Stokes ที่ไม่สามารถบีบอัดได้เป็นสมการโมเมนตัม Cauchy โดยที่กฎของปาสกาลและกฎของสโตกส์เป็นความสัมพันธ์เชิงองค์ประกอบความเค้น ในรูปแบบการพาความร้อนแบบไม่มีมิติคือ^[7] โดยที่Reคือหมายเลขเรย์โนลด์สสมการ Navier–Stokes แบบอิสระเป็นสมการเชิงกระจาย (ไม่อนุรักษ์นิยม)$${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=p\mathbf {I} +\mu \left(\nabla \mathbf {u} +(\nabla \mathbf {u} )^{\mathsf {T}}\right)}$$$${\displaystyle {\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}+\mathrm {Eu} {\frac {\nabla p}{\rho }}={\frac {1}{\mathrm {Re} }}\nabla ^{2}u+{\frac {1}{\mathrm {Fr} ^{2}}}{\hat {g}}}$$

ในการใช้งานอุทกพลศาสตร์ทางทะเล มักอ้างอิงหมายเลข Froude โดยใช้สัญลักษณ์Fnและกำหนดเป็นดังนี้: ^[8] โดยที่uคือความเร็วการไหลสัมพันธ์ระหว่างทะเลกับเรือ โดยgคือความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วง โดยเฉพาะ และLคือความยาวของเรือที่ระดับแนวน้ำ หรือL _wl ในบางสัญลักษณ์ ถือเป็นพารามิเตอร์ที่สำคัญเมื่อเทียบกับ แรง ต้าน ของเรือโดยเฉพาะอย่างยิ่งในแง่ของความ ต้านทานต่อการเกิดคลื่น$${\displaystyle \mathrm {Fn} _{L}={\frac {u}{\sqrt {gL}}},}$$

ในกรณีของเรือไสไม้ ซึ่งความยาวแนวน้ำขึ้นอยู่กับความเร็วมากจนไม่มีความหมาย ค่า Froude ควรกำหนดให้เป็นค่า Froude ตามการกระจัดและความยาวอ้างอิงควรเป็นรากที่สามของการกระจัดเชิงปริมาตรของตัวถังเรือ:$${\displaystyle \mathrm {Fn} _{V}={\frac {u}{\sqrt {g{\sqrt[{3}]{V}}}}}.}$$

สำหรับคลื่นน้ำตื้น เช่นสึนามิและการกระโดดของไฮโดรลิกความเร็วลักษณะเฉพาะUคือ ความเร็วของการไหล เฉลี่ยเฉลี่ยตามหน้าตัดที่ตั้งฉากกับทิศทางการไหล ความเร็วคลื่นที่เรียกว่าความเร่งcมีค่าเท่ากับรากที่สองของความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วงgคูณพื้นที่หน้าตัดA หาร ด้วยความกว้างของพื้นผิวB ดังนั้นค่า Froude ในน้ำตื้นคือ: สำหรับ หน้าตัดรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีความลึกสม่ำเสมอdค่า Froude สามารถย่อให้ง่ายขึ้นได้ดังนี้: สำหรับFr < 1การไหลจะเรียกว่าการไหลต่ำกว่าจุดวิกฤตนอกจากนี้ สำหรับFr > 1การไหลจะถูกกำหนดลักษณะเป็นการไหลเหนือจุดวิกฤตเมื่อFr ≈ 1การไหลจะถูกแสดงเป็นการไหลวิกฤต$${\displaystyle c={\sqrt {g{\frac {A}{B}}}},}$$$${\displaystyle \mathrm {Fr} ={\frac {U}{\sqrt {g{\dfrac {A}{B}}}}}.}$$$${\displaystyle \mathrm {Fr} ={\frac {U}{\sqrt {gd}}}.}$$

เมื่อพิจารณาผลกระทบของลมต่อโครงสร้างที่มีความอ่อนไหวต่อพลวัต เช่น สะพานแขวน บางครั้งจำเป็นต้องจำลองผลกระทบรวมของมวลสั่นสะเทือนของโครงสร้างกับแรงลมที่ผันผวน ในกรณีดังกล่าว ควรคำนึงถึงค่า Froude ในทำนองเดียวกัน เมื่อจำลองกลุ่มควันร้อนรวมกับลมธรรมชาติ จำเป็นต้องใช้การปรับมาตราส่วนค่า Froude เพื่อรักษาสมดุลที่ถูกต้องระหว่างแรงลอยตัวและโมเมนตัมของลม

จำนวนฟรูเดอยังถูกนำไปใช้ในอัลโลเมตรีเพื่อศึกษาการเคลื่อนที่ของสัตว์บก^[9]รวมถึงแอนทีโลป^[10]และไดโนเสาร์^[11]

การไหลของมวลทางธรณีฟิสิกส์ เช่นหิมะถล่มและเศษซากต่างๆเกิดขึ้นบนเนินลาดเอียง จากนั้นจะรวมเข้าด้วยกันเป็นโซนไหลออกที่ราบเรียบและนุ่มนวล^[12]

ดังนั้น การไหลเหล่านี้จึงสัมพันธ์กับความสูงของความลาดชันของภูมิประเทศที่เหนี่ยวนำพลังงานศักย์โน้มถ่วงร่วมกับพลังงานศักย์ความดันในระหว่างการไหล ดังนั้น ค่า Froude แบบคลาสสิกจึงควรมีผลเพิ่มเติมนี้ สำหรับสถานการณ์ดังกล่าว จำเป็นต้องกำหนดค่า Froude ใหม่ ค่า Froude แบบขยายถูกกำหนดให้เป็นอัตราส่วนระหว่างพลังงานจลน์และพลังงานศักย์: โดยที่uคือความเร็วการไหลเฉลี่ยβ = gK cos ζ ( Kคือค่าสัมประสิทธิ์ความดันพื้นโลกζคือความลาดชัน) s _g = g sin ζ x คือตำแหน่งทางลาดลงของช่องทาง และ คือระยะทางจากจุดที่มวลถูกปลดปล่อยไปตามช่อง ทางไปยังจุดที่การไหลกระทบกับข้อมูลอ้างอิงแนวนอนE$${\displaystyle \mathrm {Fr} ={\frac {u}{\sqrt {\beta h+s_{g}\left(x_{d}-x\right)}}},}$$${\displaystyle x_{d}}$^พี
_หม้อ= βhและE^จีพอ
_ต= s _g ( x _d − x )คือพลังงานศักย์ความดันและพลังงานศักย์แรงโน้มถ่วงตามลำดับ ในนิยามคลาสสิกของการไหลในน้ำตื้นหรือการไหลแบบเม็ดเล็ก หมายเลขฟรูด พลังงานศักย์ที่สัมพันธ์กับระดับความสูงของผิวน้ำE^จีพอ
_ตไม่ได้รับการพิจารณา ค่า Froude ที่ขยายออกไปนั้นแตกต่างอย่างมากจากค่า Froude แบบคลาสสิกสำหรับระดับความสูงของพื้นผิวที่สูงขึ้น คำว่าβhเกิดขึ้นจากการเปลี่ยนแปลงของรูปทรงเรขาคณิตของมวลที่เคลื่อนที่ไปตามความลาดชัน การวิเคราะห์มิติแสดงให้เห็นว่าสำหรับการไหลตื้นβh ≪ 1ในขณะที่uและs _g ( x _d − x )ทั้งคู่มีลำดับที่หนึ่ง หากมวลตื้นและมีพื้นผิวอิสระขนานกับพื้นจริงβhก็สามารถละเลยได้ ในสถานการณ์นี้ หากไม่คำนึงถึงศักย์โน้มถ่วงFrก็จะไม่มีขอบเขตแม้ว่าพลังงานจลน์จะมีขอบเขตก็ตาม ดังนั้น เมื่อพิจารณาอย่างเป็นทางการถึงการมีส่วนสนับสนุนเพิ่มเติมอันเนื่องมาจากพลังงานศักย์โน้มถ่วง ภาวะเอกฐานใน Fr จะถูกลบออก

ในการศึกษาถังกวน ค่า Froude จะควบคุมการก่อตัวของกระแสน้ำวนบนพื้นผิว เนื่องจากความเร็วปลายใบพัดคือωr ( การเคลื่อนที่แบบวงกลม ) โดยที่ωคือความถี่ของใบพัด (โดยปกติเป็นรอบต่อนาที ) และrคือรัศมีของใบพัด (ในทางวิศวกรรม เส้นผ่านศูนย์กลางมักถูกใช้บ่อยกว่ามาก) ค่า Froude จึงอยู่ในรูปแบบต่อไปนี้: ค่า Froude ยังถูกนำไปใช้ในเครื่องผสมผงในลักษณะเดียวกันอีกด้วย โดยจะถูกใช้เพื่อกำหนดว่าเครื่องผสมทำงานในโหมดการผสมแบบใด หาก Fr<1 อนุภาคจะถูกกวนเท่านั้น แต่ถ้า Fr>1 แรงเหวี่ยงที่กระทำกับผงจะเอาชนะแรงโน้มถ่วง และชั้นของอนุภาคจะกลายเป็นของไหล อย่างน้อยก็ในบางส่วนของเครื่องผสม ส่งเสริมการผสม^[13]$${\displaystyle \mathrm {Fr} =\omega {\sqrt {\frac {r}{g}}}.}$$

เมื่อใช้ในบริบทของการประมาณค่า BoussinesqจำนวนFroude เชิงความหนาแน่นจะถูกกำหนดเป็น โดย ที่g ′คือแรงโน้มถ่วงที่ลดลง:$${\displaystyle \mathrm {Fr} ={\frac {u}{\sqrt {g'h}}}}$$$${\displaystyle g'=g{\frac {\rho _{1}-\rho _{2}}{\rho _{1}}}}$$

โดยทั่วไปแล้ว นักสร้างแบบจำลองมักนิยมใช้ค่า Froude แบบความหนาแน่นสูง เนื่องจากต้องการกำหนดความเร็วแบบไม่เป็นมิติให้กับค่า Richardsonซึ่งมักพบเห็นได้ทั่วไปเมื่อพิจารณาชั้นเฉือนแบบแบ่งชั้น ตัวอย่างเช่น ขอบด้านหน้าของกระแสแรงโน้มถ่วงจะเคลื่อนที่ไปพร้อมกับค่า Froude ด้านหน้าที่ประมาณ 1

หมายเลข Froude อาจใช้ในการศึกษาแนวโน้มของรูปแบบการเดินของสัตว์ ในการวิเคราะห์พลวัตของการเคลื่อนไหวของขา มักจะจำลองขาที่เดินเป็นลูกตุ้มคว่ำซึ่งจุดศูนย์กลางมวลเคลื่อนผ่านส่วนโค้งวงกลมที่มีศูนย์กลางอยู่ที่เท้า^[14]หมายเลข Froude คืออัตราส่วนของแรงสู่ศูนย์กลางรอบจุดศูนย์กลางของการเคลื่อนไหว เท้า และน้ำหนักของสัตว์ที่เดิน โดยที่mคือมวลlคือความยาวลักษณะเฉพาะgคือความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วงและvคือความเร็วความยาวลักษณะเฉพาะlอาจถูกเลือกให้เหมาะสมกับการศึกษาที่กำลังศึกษาอยู่ ตัวอย่างเช่น การศึกษาบางกรณีใช้ระยะทางแนวตั้งของข้อต่อสะโพกจากพื้น^[15]ในขณะที่การศึกษาอื่นๆ ใช้ความยาวขาทั้งหมด^{[14] [16]}$${\displaystyle \mathrm {Fr} ={\frac {\text{centripetal force}}{\text{gravitational force}}}={\frac {\;{\frac {mv^{2}}{l}}\;}{mg}}={\frac {v^{2}}{gl}}}$$

หมายเลข Froude สามารถคำนวณได้จากความถี่ก้าวfดังต่อไปนี้: ^[15]$${\displaystyle \mathrm {Fr} ={\frac {v^{2}}{gl}}={\frac {(lf)^{2}}{gl}}={\frac {lf^{2}}{g}}.}$$

หากใช้ความยาวขาโดยรวมเป็นความยาวลักษณะเฉพาะ ความเร็วสูงสุดตามทฤษฎีของการเดินจะมีค่า Froude เท่ากับ 1.0 เนื่องจากค่าใดๆ ที่สูงกว่าจะส่งผลให้ออกตัวและเท้าไม่แตะพื้น ความเร็วการเปลี่ยนผ่านทั่วไปจากการเดินสองขาไปเป็นการวิ่งจะเกิดขึ้นเมื่อค่า Fr ≈ 0.5 [ ^17] RM Alexander พบว่าสัตว์ที่มีขนาดและมวลต่างกันที่เดินทางด้วยความเร็วต่างกัน แต่มีค่า Froude เท่ากัน จะแสดงการเดินที่คล้ายคลึงกันอย่างสม่ำเสมอ การศึกษาครั้งนี้พบว่าสัตว์มักจะเปลี่ยนจากการเดินช้าๆ ไปเป็นการเดินแบบสมมาตร (เช่น การวิ่งเหยาะๆ หรือการเดินเร็ว) เมื่อค่า Froude เท่ากับ 1.0 พบว่าชอบการเดินแบบไม่สมมาตร (เช่น การวิ่งเหยาะๆ การวิ่งในแนวขวาง การวิ่งแบบหมุน การวิ่งแบบกระโจน หรือการเดินแบบพนมมือ) เมื่อค่า Froude อยู่ระหว่าง 2.0 ถึง 3.0 ^[15]

ค่า Froude Number นำมาใช้เพื่อเปรียบเทียบความต้านทานการสร้างคลื่นระหว่างวัตถุที่มีขนาดและรูปร่างต่างกัน

ในการไหลแบบผิวอิสระ ลักษณะของการไหล ( เหนือวิกฤตหรือต่ำกว่าวิกฤต) จะขึ้นอยู่กับว่าค่า Froude number มากกว่าหรือต่ำกว่า 1

สามารถมองเห็นเส้นการไหล "วิกฤต" ในอ่างล้างจานในห้องครัวหรือห้องน้ำได้อย่างง่ายดาย ถอดปลั๊กออกแล้วเปิดน้ำทิ้งไว้ บริเวณใกล้จุดที่น้ำไหลกระทบอ่างล้างจาน การไหลจะอยู่ในระดับวิกฤตมาก การไหลจะ "เกาะ" กับผิวน้ำและเคลื่อนตัวอย่างรวดเร็ว บนขอบด้านนอกของรูปแบบการไหล การไหลจะอยู่ในระดับต่ำกว่าวิกฤต การไหลนี้จะหนากว่าและเคลื่อนตัวช้ากว่า ขอบเขตระหว่างสองพื้นที่นี้เรียกว่า "การกระโดดของไฮดรอลิก" การกระโดดจะเริ่มขึ้นเมื่อการไหลอยู่ในระดับวิกฤตพอดี และหมายเลข Froude มีค่าเท่ากับ 1.0

จำนวนฟรูเดอถูกนำมาใช้เพื่อศึกษาแนวโน้มในการเคลื่อนไหวของสัตว์เพื่อให้เข้าใจดีขึ้นว่าเหตุใดสัตว์จึงมีรูปแบบการเดินที่แตกต่างกัน^[15]เช่นเดียวกับการสร้างสมมติฐานเกี่ยวกับการเดินของสัตว์สายพันธุ์ที่สูญพันธุ์^[16]

นอกจากนี้ พฤติกรรมของชั้นอนุภาคสามารถวัดได้โดยใช้หมายเลขฟรูเดอ (Fr) เพื่อกำหนดหน้าต่างการทำงานที่เหมาะสมที่สุด^[18]

• ความเร็วการไหล  – สนามเวกเตอร์ซึ่งใช้ในการอธิบายการเคลื่อนที่ของคอนตินิวอัมทางคณิตศาสตร์
• แรงของร่างกาย  – แรงที่กระทำตลอดปริมาตรของร่างกาย
• สมการโมเมนตัมโคชี
• สมการเบอร์เกอร์  – สมการเชิงอนุพันธ์ย่อย
• สมการออยเลอร์ (พลศาสตร์ของไหล)  – ชุดสมการไฮเปอร์โบลิกกึ่งเชิงเส้นที่ควบคุมการไหลแบบอะเดียแบติกและแบบไม่หนืด
• หมายเลขเรย์โนลด์  – อัตราส่วนของแรงเฉื่อยต่อแรงหนืดที่กระทำต่อของเหลว

• https://web.archive.org/web/20070927085042/http://www.qub.ac.uk/waves/fastferry/reference/MCA457.pdf