等周定理

数学における等周定理（とうしゅうていり）とは、表面積と体積に関する幾何学的不等式である。$n$次元空間 $\mathbb {R} ^{n}$ の物体 $S\subset \mathbb {R} ^{n}$ においてその表面積を $\mathrm {surf} (S)$、体積を $\mathrm {vol} (S)$ で表すと、以下の不等式が成り立つ。

$\mathrm {surf} (S)\geq n\mathrm {vol} (S)^{\frac {n-1}{n}}\mathrm {vol} (B_{1})^{\frac {1}{n}}$,

この式の $B_{1}\subset \mathbb {R} ^{n}$ は単位球である。等号は $S$ が $n$次元の球体であるときに成り立つ。

$n=2$、即ち平面の時には、閉曲線の長さとそれによって囲まれる領域の面積の関係となる。周長を L、領域の面積を A とすると以下の式が成り立つ。

$4\pi A\leq L^{2},$

等号は領域が円の時のみ成り立つ。