Ізопериметрична нерівність

Ізопериметричною нерівністю в математиці називають геометричну нерівність, в якій використовується площа поверхні множини та її об'єм. В $n$-вимірному просторі $\mathbb {R} ^{n}$ нижня межа нерівності площі поверхні $\mathrm {surf} (S)$ множини $S\subset \mathbb {R} ^{n}$ через її об'єм $\mathrm {vol} (S)$:

$\mathrm {surf} (S)\geqslant n\mathrm {vol} (S)^{\frac {n-1}{n}}\mathrm {vol} (B_{1})^{\frac {1}{n}}$,

де $B_{1}\subset \mathbb {R} ^{n}$ — це одинична куля. Рівність досягається, коли $S$ буде кулею в $\mathbb {R} ^{n}$.

Зокрема, на евклідовій площині для замкненої кривої довжини L та обмеженою нею області площі А, виконується нерівність

$4\pi A\leqslant L^{2},$

і рівність має місце тоді і лише тоді, коли крива є колом.

Див. також

• Ізопериметричне відношення
• Теорема про планарне розбиття