아핀 다지관

차동 기하학에서 아핀 다지관은 평평하고 비틀림이 없는 연결부가 장착된 가변 다지관이다.

동등하게, 그것은 (연결된 경우) ${\mathbb {R} }^{n}$ ${\$ 의 ${\mathbb {R} }^{n}$ 열린 부분 집합에 의해 덮인 다지관이며, 부착 변환에 의한 모노드로미 작용한다.이 등가성은 카르탄-암브로즈-의 쉬운 상관관계다.힉스 정리.

마찬가지로, 그것은 도표들 사이의 모든 전환 기능이 부착된 아틀라스가 장착된 다지관이다. 즉, 일정한 야코비안 매트릭스를 가지고 있다.^[1] 두 아틀라스가 두 아틀라스에서 작은 아틀라스로의 전환과 함께 둘 다에 예속된 아틀라스를 허용하는 경우, 두 아틀라스는 동등하다.아핀 구조가 뚜렷한 다지관을 아핀다지관이라 하고, 아핀 구조와 아핀으로 관련이 있는 차트를 아핀다지관이라 한다.각 부속 좌표 도메인에서 좌표 벡터 필드는 해당 도메인의 병렬화를 형성하므로 각 도메인에는 관련 연결이 있다.이러한 국지적으로 정의된 연결은 겹치는 부분에서도 동일하므로 부속 구조와 관련된 고유한 연결이 있다.선형 연결(어핀 연결이라고도 함)과 웹 사이에 링크가 있다는 점에 유의하십시오.

형식 정의

An affine manifold $M\,$ is a real manifold with charts $\psi _{i}\colon U_{i}\to {\mathbb {R} }^{n}$ such that $\psi _{i}\circ \psi _{j}^{-1}\in \operatorname {Aff} ({\mathbb {R} }^{n})$ for all $i,j\,,$ $i,j\,,$ $i,j\,,$ , $i,j\$ 여기서 $\operatorname {Aff} ({\mathbb {R} }^{n})$ aff $\operatorname {Aff} ({\mathbb {R} }^{n})$ ( $\operatorname {Aff} ({\mathbb {R} }^{n})$ ) ${\displaystyle \operatorname {Aff}({\mathb {R} }^{n})$ 은 $\operatorname {Aff} ({\mathbb {R} }^{n})$ appine 변환의 Lie 그룹을 나타낸다.좀 더 쉽게 말하면 $X=\mathbb {R} ^{n}$ = R $X=\mathbb {R} ^{n}$ ${\$ $G$ ${\displaystyle$ G $}$ 은(는) 부착 변형 그룹이다 $G$ .

아핀 다지관은 그 범용 덮개가 ${\mathbb {R} }^{n}$ ${\$ {\ $mathb{R}}^{n$ 에 대해 동형인 경우 완전하다고 불린다.

콤팩트한 아핀 $다지관$ M ${\displaystyle M$ 의 경우 $G$ {\ $displaystyle$ G}을 $G$ (를) $M$ {\ $displaystyle M$ }의 기본 그룹으로 ${\widetilde {M}}$ M ${\widetilde {M}}$ ~ ${\$ {\ $widetilde{M}}}$ 을(를) 범용 커버로 ${\widetilde {M}}$ 한다.One can show that each $n$ -dimensional affine manifold comes with a developing map $D\colon {\widetilde {M}}\to {\mathbb {R} }^{n}$ , and a homomorphism $\varphi \colon G\to \operatorname {Aff} ({\mathbb {R} }^{n})$ , such th $d$ $D$ 은 $D$ (는) $\varphi$ $\varphi$ 에 대한 몰입과 등가변이다 $\varphi$

컴팩트한 완전 평면 아핀 다지관의 기본 그룹을 아핀 결정체라고 한다.판막집단의 분류는 해결되기는커녕 난해한 문제다.리만니안 결정학 그룹(Bieberbach 그룹이라고도 알려져 있음)은 루트비히 비버바흐가 데이비드 힐버트가 제기한 질문에 답하면서 분류되었다.힐베르트의 18번째 문제에 대한 그의 연구에서, 비버바흐는 어떤 리만 결정학 그룹도 유한 지수의 아벨리안 하위 그룹을 포함하고 있다는 것을 증명했다.

중요한 오랜 추측

아핀 다지관의 기하학적 구조는 본질적으로 오랜 추측의 네트워크다. 대부분은 낮은 차원이나 다른 특별한 경우에서 증명되었다.

그 중 가장 중요한 것은 다음과 같다.

마커스 추측(1962)은 콤팩트 아핀 다지관이 평행 부피일 경우에만 완성된다고 말한다.차원 2에서 알려져 있다.
아우슬랜더 추정(1964)은 모든 부속 결정 그룹이 유한 지수의 다순환 부분군을 포함하고 있다고 말한다.^[2]^[3]최대 6의 치수와 플랫 ^[4]연결의 홀노미가 로렌츠 메트릭을 보존할 때 알려져 있다.^[5]사실상 모든 다순환 결정체 집단은 볼륨 형태를 보존하기 때문에, 아우슬랜더 추측은 마커스 추측의 "Only if" 부분을 내포하고 있다.^[6]
체른 추측(1955)아핀 다지관의 오일러 클래스는 사라진다.^[7]

메모들

^ 비숍 & 골드버그 1968 페이지 223–224.
^ Auslander, Louis (1964). "The structure of locally complete affine manifolds". Topology. 3 (Supplement 1): 131–139. doi:10.1016/0040-9383(64)90012-6.
^ Fried, Davis; Goldman, William M. (1983). "Three dimensional affine crystallographic groups". Advances in Mathematics. 47 (1): 1–49. doi:10.1016/0001-8708(83)90053-1.
^ Abels, Herbert; Margulis, Grigori A.; Soifer, Grigori A. (2002). "On the Zariski closure of the linear part of a properly discontinuous group of affine transformations". Journal of Differential Geometry. 60: 315–344. doi:10.4310/jdg/1090351104.
^ Goldman, William M.; Kamishima, Yoshinobu (1984). "The fundamental group of a compact flat Lorentz space form is virtually polycyclic". Journal of Differential Geometry. 19 (1): 233–240. doi:10.4310/jdg/1214438430.
^ Abels, Herbert (2001). "Properly Discontinuous Groups of Affine Transformations: A Survey". Geometriae Dedicata. 87: 309–333. doi:10.1023/A:1012019004745.
^ Kostant, Bertram; Sullivan, Dennis (1975). "The Euler characteristic of an affine space form is zero". Bulletin of the American Mathematical Society. 81 (5): 937–938. doi:10.1090/S0002-9904-1975-13896-1.

참조

Nomizu, Katsumi; Sasaki, Takeshi (1994), Affine Differential Geometry, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-44177-3
Sharpe, Richard W. (1997). Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program. New York: Springer. ISBN 0-387-94732-9.
Bishop, Richard L.; Goldberg, Samuel I. (1968). Tensor Analysis on Manifolds (First Dover 1980 ed.). The Macmillan Company. ISBN 0-486-64039-6.

[FOOTNOTEBishopGoldberg1968223–224-1] 비숍 & 골드버그 1968 페이지 223–224.

[2] Auslander, Louis (1964). "The structure of locally complete affine manifolds". Topology. 3 (Supplement 1): 131–139. doi:10.1016/0040-9383(64)90012-6.

[3] Fried, Davis; Goldman, William M. (1983). "Three dimensional affine crystallographic groups". Advances in Mathematics. 47 (1): 1–49. doi:10.1016/0001-8708(83)90053-1.

[4] Abels, Herbert; Margulis, Grigori A.; Soifer, Grigori A. (2002). "On the Zariski closure of the linear part of a properly discontinuous group of affine transformations". Journal of Differential Geometry. 60: 315–344. doi:10.4310/jdg/1090351104.

[5] Goldman, William M.; Kamishima, Yoshinobu (1984). "The fundamental group of a compact flat Lorentz space form is virtually polycyclic". Journal of Differential Geometry. 19 (1): 233–240. doi:10.4310/jdg/1214438430.

[6] Abels, Herbert (2001). "Properly Discontinuous Groups of Affine Transformations: A Survey". Geometriae Dedicata. 87: 309–333. doi:10.1023/A:1012019004745.

[7] Kostant, Bertram; Sullivan, Dennis (1975). "The Euler characteristic of an affine space form is zero". Bulletin of the American Mathematical Society. 81 (5): 937–938. doi:10.1090/S0002-9904-1975-13896-1.

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