몰입(수학)
Immersion (mathematics)
수학에서 몰입은 차등(또는 푸시포워드)이 주입되는 모든 곳에 있는 서로 다른 다지관들 사이에서 차별화할 수 있는 기능이다.[1] 명시적으로 f : M → N은 다음과 같은 경우 몰입이다.
M의 모든 지점 p에서 주입 함수p(TX는 X에서 지점 p에서 다지관 X의 접선 공간을 나타냄)이다. 동등하게, f는 그 파생상품이 M:[2]의 치수와 같은 일정한 순위를 갖는다면 몰입이다.
함수 f 자체는 주입될 필요가 없으며, 그 파생상품만 주입되어야 한다.
관련 개념은 임베딩의 개념이다. 매끄러운 임베딩은 주입침입 f : M → N으로 위상학적 임베딩이 되어 M이 N의 이미지와 다른 형상을 갖도록 하는 것이다. 몰입은 정확히 국부 임베딩이다. 즉, 어떤 지점 x ∈ M에 대해서도, f : U → N이 임베딩이고, 반대로 국부 임베딩은 임베딩인 x의 이웃인 U ⊆ M이 있다.[3] 무한 치수 다지관의 경우, 이것은 몰입의 정의로 간주되기도 한다.[4]
M이 콤팩트하면 주입 몰입이 임베딩이지만, M이 콤팩트하지 않으면 주입 임베딩이 필요하지 않다. 지속적인 바이어스 대 동형성 대비.
일반 호모토피
A regular homotopy between two immersions f and g from a manifold M to a manifold N is defined to be a differentiable function H : M × [0,1] → N such that for all t in [0, 1] the function Ht : M → N defined by Ht(x) = H(x, t) for all x ∈ M is an immersion, with H0 = f, H1 = g. A regular homotopy is thus a homotopy through immersions.
분류
하슬러 휘트니는 1940년대, 2m에 n+1f:음 → Nnm-dimensional 다양한 다차원 매니폴드에 모든 지도 몰입, 그리고 2m<>에 대한던 1가지 이슈 때문이었습니다;n. 이것들은 휘트니 몰입 정리와 휘트니 포매 theore 실제로는 것이다 homotopic은<>를 증명하는 담금과 규칙적인 homotopies의 체계적 연구에 착수했다.m
Stephen Smale은 특정 Stiefel 다지관의 호모토피 그룹으로서 몰입 f : Mm → R의n 규칙적인 호모토피 클래스를 표현했다. 구역을 기피하는 것은 특히 두드러진 결과였다.
모리스 허쉬는 어떤 n차원 다지관 N에서 어떤 m차원n 다지관 M의 몰입의 규칙적인m 호모토피 계급에 대한 호모토피 이론 설명에 스몰의 표현을 일반화했다.
몰입에 대한 허쉬-스마일 분류는 미하일 그로모프에 의해 일반화되었다.
존재
몰입의 존재에 대한 일차적 장애물 im : M → R은n M의 특성계급, 특히 Stiefel–에 의해 감지되는 M의 안정적인 정상다발이다.휘트니 수업. 즉, R은n 평행할 수 있으므로 접선다발의 M에 대한 풀백은 사소한 것이며, 이 풀백은 치수 m이 있는 M, TM에 (내부적으로 정의된) 접선다발의 직접적인 합이므로 치수 n - m이 있는 몰입 i의 정상적인 번들 ν의 ν가 있어야 M의 코디멘션 k몰입이 가능하기 때문에 벡터가 있어야 한다. TM ⊕ ξk ξ이 사소한 것일 정도로 정상적인 번들 ν을 위해 서 있는 치수 k, ξ의k 묶음. 반대로, 그러한 묶음으로 볼 때, 이 정상적인 묶음으로 M의 몰입은 이 묶음의 전체 공간에 대한 코디멘션 0의 몰입에 해당하는데, 이것은 개방된 다지관이다.
안정적 정상다발은 정상다발+사소한 다발의 등급이므로, 안정적 정상다발에는 공생학적 차원 k가 있으면 k보다 작은 차원의 (불안정적) 정상다발에서 나올 수 없다. 따라서 안정적 정상다발의 코호몰로지 차원은 가장 높은 비파니싱 특성 등급에 의해 감지되는 대로 몰입에 방해가 된다.
특성 등급은 벡터 번들의 직접적인 합에 따라 증분하기 때문에, 이 방해물은 본질적으로 공간 M과 그것의 접선 번들 및 코호몰로지 대수학의 관점에서 명시될 수 있다. 이 방해물은 휘트니에 의해 (안정적인 정상 묶음이 아닌 접선 묶음으로) 명시되었다.
예를 들어 뫼비우스 스트립은 비종교 탄젠트 번들을 가지고 있기 때문에 코디멘션 1(R3)에 내장되지만 코디멘션 0(R2)에 담글 수 없다.
윌리엄 S. 매시(1960)는 이러한 특성계급(스티펠-)을 보여주었다.안정적 정상다발의 휘트니 등급)은 n - α(n) 이상으로 사라지는데, 여기서 α(n)는 n이 2진법으로 쓰여질 때 "1"자리의 숫자인데, 이 바운드는 실제 투영 공간에 의해 실현된 것처럼 날카롭다. 이것은 몰입 추측, 즉 모든 n-manifold가 codimension n - α(n), 즉 R에2n−α(n) 담길 수 있다는 증거를 제공했다. 이 추측은 랄프 코헨(1985)에 의해 증명되었다.
코디멘션 0
코다이멘션 0의 임팩트는 동등하게 상대적인 차원 0의 서브메이드로서, 서브메이드라고 더 잘 생각한다. 폐쇄형 다지관의 0몰입은 정밀하게 커버 지도, 즉 0차원(분해) 섬유로 된 섬유다발이다. 에레스만의 정리, 필립스의 잠수정 정리 등에 의해 다지관의 적절한 잠수정이 섬유다발이기 때문에 코디멘션/상대차원 0 몰입/하위체는 잠수정처럼 작용한다.
또한, 코디멘션 0의 임팩션은 다른 임팩션과 같이 동작하지 않으며, 이는 안정적 정상다발에 의해 결정된다. 코디멘션 0에서는 기본적인 등급과 커버 공간의 문제가 있다. 예를 들어, 원은 평행할 수 있음에도 불구하고 코디멘션 0몰입 S1 → R은1 존재하지 않으며, 이는 라인에 기본 등급이 없기 때문에 상위 코호몰로지에서는 요구되는 지도를 얻지 못하기 때문에 증명될 수 있다. 대신에, 이것은 도메인의 침입에 의한 것이다. 마찬가지로, S와3 3-토러스 T는3 모두 평행할 수 있지만, 몰입3 T3 → S는 없다. 구가 단순하게 연결되어 있기 때문에 어떤 지점에서는 그러한 커버를 래밍해야 할 것이다.
이를 이해하는 또 다른 방법은 다지관의 코디멘션 k몰입이 k-차원 벡터다발의 코디멘션 0몰입에 해당하며, 코디멘션 0에서 코디멘션 0(원래 다지관이 닫힌 경우)의 닫힌 다지관이다.
다중점
A k-tuple point (double, triple, etc.) of an immersion f : M → N is an unordered set {x1, ..., xk} of distinct points xi ∈ M with the same image f(xi) ∈ N. If M is an m-dimensional manifold and N is an n-dimensional manifold then for an immersion f : M → N in general position the set of k-tuple points is an (n − k(n − m))-dimensional manifold. 모든 임베딩은 복수의 포인트(여기서 k > 1)가 없는 몰입이다. 그러나 역은 거짓이라는 점에 유의하십시오. 임베딩이 아닌 주입적 몰입이 있다는 점에 유의하십시오.
다중 점의 특성은 임팩트를 분류한다. 예를 들어, 평면 내 원의 임팩트는 이중 점수로 정규 호모토피까지 분류된다.
수술 이론의 핵심 지점에서 2m 차원 다지관의 m-sphere의m 몰입 f : S → N이2m 임베딩에 규칙적으로 균일하게 작용하는지 결정할 필요가 있으며, 이 경우 수술에 의해 사망할 수 있다. N의 범용 커버에서 f의 이중 포인트를 카운트하는 기본 그룹 링 Z[π1(N)]의 지수에서 불변 μ(f)와 연관된 벽. m > 2의 경우, f는 휘트니 트릭에 의해 μ(f) = 0인 경우에만 임베딩에 대한 규칙적인 동음극성이다.
몰입은 분류하기 쉽기 때문에 임베딩은 "다득점 없는 임베지션"으로 공부할 수 있다. 따라서, 다른 특이점들을 도입하지 않고 이것을 할 수 있는지, 즉 "다중분열"을 연구하면서, 몰입에서 시작하여 여러 점을 제거하려고 할 수 있다. 이것은 안드레 해플피거에 의해 처음 이루어졌으며, 이러한 접근법은 코디네이션 3 이상에서 결실을 맺는다 – 수술 이론의 관점에서 볼 때, 매듭 이론에서와 같이 매듭짓는 차원인 코디네이션 2와는 달리 "높은 (코)디멘션"이다. 그것은 토마스 굿윌리, 존 클라인, 그리고 마이클 S의 "환자의 미적분"을 통해 분류적으로 연구된다. 와이스.
예제 및 속성
- k 꽃잎이 있는 수학적 장미는 하나의 k-tuple 포인트를 가진 평면에서 원의 몰입이다; k는 홀수일 수 있지만, 만약 4의 배수가 되어야 한다면, 그림 8은 장미가 아니다.
- 클라인 병과 기타 모든 방향성이 없는 닫힌 표면은 3개의 공간에 담글 수 있지만 내장되지는 않는다.
- 휘트니-그루스타인 정리(Whitney-Graustain organe organe organization)에 의해 평면에 있는 원의 몰입에 대한 규칙적인 호모토피 클래스는 구불구불한 숫자로 분류되는데, 이는 또한 대수적으로 계산된 이중 점의 수(즉 부호가 있는 수)이기도 하다.
- 구체는 안쪽으로 돌릴 수 있다: 표준 내장0 f : S2 → R은3 임팩션1t f : S2 → R의3 규칙적인 호모토피에 의해 f = -f0 : S2 → R과3 관련이 있다.
- 보이의 표면은 3-공간에서 실제 투영면의 몰입이다. 따라서 구형의 2-1-몰입도 된다.
- 모린 표면은 구체의 몰입이다; 그것과 보이의 표면은 구면 회피의 중간 모델로 나타난다.
담근 평면 곡선
담금면 곡선은 회전수가 잘 정의되어 있으며, 이는 총 곡률을 2㎛로 나눈 값으로 정의할 수 있다. 이것은 정기적인 호모토피에 따라, 휘트니-그루스타인 정리 - 토폴로지로는 가우스 지도의 정도, 또는 동등하게 원점에 대한 단위 접선의 구불구불한 수(소멸하지 않음)이다. 또한 이것은 완전한 불변수 집합이다. 동일한 회전수를 가진 두 개의 평면 곡선은 규칙적인 동음이의어이다.
모든 담근 평면 곡선은 교차점을 분리하여 내장된 공간 곡선으로 상승하는데, 이는 더 높은 차원에서는 사실이 아니다. 추가된 데이터(어떤 가닥이 위에 있는지)로, 담근 평면 곡선은 매듭 이론의 중심적 관심사인 매듭 다이어그램을 산출한다. 일반 호모토피에 이르는 잠기는 평면 곡선은 회전수에 의해 결정되지만, 매듭은 매우 풍부하고 복잡한 구조를 가지고 있다.
3공간에 잠긴 표면
3공간의 담근 표면 연구는 4공간의 매듭(임베딩) 표면의 연구와 밀접하게 연관되어 있으며, 3공간의 매듭도(임베딩) 표면의 이론과 유사하다. 3공간의 매듭이 있는 표면의 경우 4공간의 담근 표면으로 투영할 수 있다. 3-공간에 잠긴 표면을 볼 때, 4-공간의 매듭이 있는 표면이 4-공간의 돌출부인가? 이것은 이 물건들에 대한 질문들을 연관시킬 수 있게 해준다.
평면 곡선의 경우와는 대조적으로 기본적인 결과는 모든 물에 잠긴 표면이 매듭이 있는 표면으로 올라가지 않는다는 것이다.[5] 코쇼르케의 예처럼 방해물이 2-torion인 경우도 있는데,[6] 이것은 (3개의 뫼비우스 띠로 이루어져 있고, 3개의 점이 있다) 매듭이 있는 표면으로 들어올리지 않는 담금면이지만, 들어올리는 이중 커버를 가지고 있다. 상세한 분석은 카터&사이토(1998a)에서, 보다 최근의 조사는 카터·카마다·사이토(2004)에서 하고 있다.
일반화
광범위한 잠입 이론의 일반화는 호모토피 원리로서, 기능의 부분적 파생상품의 관점에서 진술할 수 있듯이 몰입 조건(파생물의 등급은 항상 k이다)을 부분적 차등관계(PDR)로 생각할 수 있다. 그렇다면 Smale-Hirsch 몰입 이론은 이것이 호모토피 이론으로 감소하는 결과인데, 호모토피 원리는 PDR이 호모토피 이론으로 감소할 수 있는 일반적인 조건과 이유를 제시한다.
참고 항목
메모들
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- ^ 이 정의는 Rrin & Pirani 1994, 페이지 243, Spivak 1999, 페이지 46에 의해 주어진다.
- ^ 이러한 종류의 정의는 지역적 차이점들에 기초하여 비숍 & 골드버그 1968, 페이지 40, 랭 1999, 페이지 26에 의해 주어진다.
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참조
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