원형 앙상블

랜덤 행렬 이론에서 원형 앙상블은 프리먼 다이슨이 가우스 행렬 앙상블의 ^[1]변형으로 도입한 단일 행렬의 공간에 대한 측정값입니다.세 가지 주요 예는 대칭 유니터리 행렬의 원형 직교 앙상블(COE), 유니터리 행렬의 원형 유니터리 앙상블(CUE) 및 자가 이중 유니터리 4분위 행렬의 원형 심플렉틱 앙상블(CSE)이다.

확률 분포

유니터리 원형 앙상블 CUE(n)의 분포는 유니터리 그룹 U(n)에 대한 Haar 측정값이다.U가 CUE(n)의 랜덤 요소일 경우 UU는^T COE(n)의 랜덤 요소이며, U가 CUE(2n)의 랜덤 요소일 경우 UU는^R CSE(n)의 랜덤 요소이다.

$\displaystyle U^{R}=\left({\begin{array}{cccccc}0&&&1&&&\&0&\&0&\&0&\&0&\&0&\&0&\&0&\&0&\&0&\&\&0&\&0&\&\&\&\&0&\&\&0&\&&\&\&\&\&\&&&\&&\&&\&\&\&\&&&&\&\&\&\&&&&&&&&U^{T}\left({\begin{array}{cccccc}0&&1&&&\&1&0&&\&0&\&0&\&0&\&0&\&0&\&&\&&\&&\&\&\&\&\&\&\&\&\&\&\&\&\&\&\&&\&\&&&\&&1&&&&&&&&&&&&&&&$

는 θ k{\displaystyle \theta_{k}}도 eigen로 알려져 있는 원형 앙상블의 각 요소는 단위 행렬, 그래서 그것은 단 위원에 eigenvalues다:λ k=나는}}0≤θ k<>로 k{\displaystyle \lambda_{k}=e^{i\theta_{k}θ e;2π{\displaystyle 0\leq \theta_{k}<, 2\pi}k=1,2에,...,.각도또는 고유 단계입니다.CSE에서는 이들 n개의 고유값이 각각2회 표시됩니다.분포는 다음과 같이 주어진 고유각에 대한 밀도를 가진다.

$(\displaystyle p(\theta _{1},\cdots,\theta _{n})=flac {1}{Z_{n,\beta}}}\display_1\leq k<j\leq n}) e^{i\theta _{j}}-e^{i\theta _{\ta _{j}}}~})$

$R$[ ${\displaystyle 0_{}^{}}$, ${\displaystyle 2_{}^{}}$ ${\displaystyle {]}_{}^{}}$ ]${\displaystyle {}_{}^{}}${ $displaystyle \mathbb {R} _{$ [$0$ ,$2$ \ $pi$] }^{n$}$ (크라이징 버전). 여기서 COE의 경우 β=1, CUE의 경우 β=2, CSE의 경우 β=4이다.정규화 상수_n,β Z는 다음과 같습니다.

${\displaystyle Z_{n,\beta}=(2\pi)^{n}{\frac {Gamma(\gamma(\gamma/2+1)}{\left(\Gamma(\gamma/2+1)\오른쪽)}^{n}}~,}$

셀버그의 적분 공식이나 콤팩트 라이 그룹에 대한 바일의 적분 공식을 통해 확인할 수 있다.

일반화

원형 앙상블의 일반화는 U의 행렬 요소를 실수(U가 직교군 O(n)에 속하도록) 또는 실수(U가 심플렉틱군 Sp(2n)에 속하도록)로 제한한다.직교 그룹에 대한 Haar 측정치는 원형 실 앙상블(CRE)을 생성하고 심플렉틱 그룹에 대한 Haar 측정치는 원형 사분위 앙상블(CQE)을 생성합니다.

직교 행렬의 고유값은 복합 켤레 쌍 ${\displaystyle e^{}}$ {\$$ {\$displaystyle$ e$^{i\theta$ _${k}}}$ 및$$${\displaystyle {}^{}}e{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{-i}}^{}}$ ${\displaystyle {k_{}}^{}}$k {\$display$ e$^{-i\theta$ _${k$로 나타나며, +1 또는 -1로 고정된 고유값으로 보완될 수 있다.n=2m 짝수 및 det U=1의 경우 고정 고유값이 없으며 위상 θ는_k 확률 분포를 가진다.

$\displaystyle p(\theta _{1},\cdots,\theta _{m})=C\prod _{1\leq k<j\leq m}(\cos \theta _{k}-\cos \theta _{j})^{2}~,}$

C는 지정되지 않은 정규화 상수입니다.n=2m+1 홀수의 경우 ±1과 같은 고정 고유값 θ=det U가 하나 있습니다.위상이 분포되어 있다.

$\displaystyle p(\theta _{1},\cdots,\theta _{m})=C\prod _{1\leq i\leq m}(1-\cos \cos \theta _{i})\cos \leq k <j\leq m}(\cos \theta _{k}-\cos \theta _{j}^{2}~}).$

n=2m+2 짝수 및 det U=-1의 경우 +1과 -1에 고정된 고유값 쌍이 있는 반면 위상은 분포를 가진다.

$\displaystyle p(\theta _{1},\cdots,\theta _{m})=C\prod _{1\leq i\leq m}(1-\cos ^{2}\theta _{i})\cos _{1\leq k<j\leq m}(\cos \theta _{k}-\cos \theta _{j}^{2}~}~}).$

이것은 또한 Sp(2m)에서 행렬의 고유값 분포입니다.

이러한 확률 밀도 함수는 랜덤 행렬 이론에서 야코비 분포로 언급되는데, 왜냐하면 상관 함수는 야코비 다항식으로 표현될 수 있기 때문이다.

계산

원형 앙상블 내 매트릭스 요소의 곱의 평균은 와인가텐 함수를 사용하여 계산할 수 있다.행렬의 큰 치수의 경우 이러한 계산은 실용적이지 않으며 수치적 방법이 유리합니다.원형 앙상블에는 예를 들어 Ginibre 매트릭스에서 QR 분해를 수행하여 랜덤 매트릭스를 생성하는 효율적인 알고리즘이 존재합니다.^[3]

레퍼런스

소프트웨어 구현

• "Wolfram Mathematica circular ensembles". Wolfram Language.
• Suezen, Mehmet (2017). "Bristol: A Python package for Random Matrix Ensembles (Parallel implementation of circular ensemble generation)". doi:10.5281/zenodo.579642. {{cite journal}}:Cite 저널 요구 사항 journal=(도움말)
  • "Bristol: A Python package for Random Matrix Ensembles". pypi.

외부 링크

• Mehta, Madan Lal (2004), Random matrices, Pure and Applied Mathematics (Amsterdam), vol. 142 (3rd ed.), Elsevier/Academic Press, Amsterdam, ISBN 978-0-12-088409-4, MR 2129906
• Forrester, Peter J. (2010), Log-gases and random matrices, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-12829-0