등각군

Conformal group
대수구조 → 그룹 이론
집단 이론
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기본 개념
집단동형성
유한군
유한단순군 분류
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  • PSL(2, )
  • SL(2, )
위상학 및 눕기 그룹
무한 치수 리 그룹
  • 오(∞)
  • SU(수)
  • Sp(()
대수군

수학에서, 공간의 일치된 그룹은 공간으로부터 그 자체로 각도를 보존하는 변환의 그룹이다. 좀 더 형식적으로 말하자면 공간의 일치 형상을 보존하는 것이 변혁의 집단이다.

몇 가지 특정 정합성 보장 그룹이 특히 중요하다.

  • 등정 직교 그룹. V가 2차 형식Q의 벡터 공간인 경우, 정합 직교 그룹 CO(V, Q)는 V의 모든 x에 대해 스칼라 λ이 존재하는 V의 선형 변환 T 그룹이다.
명확한 2차 형태의 경우, 등정직교 그룹은 직교 그룹에 확장 그룹을 곱한 것과 동일하다.

모든 정규 그룹은 Lie 그룹이다.

각도 분석

유클리드 기하학에서는 표준 원형 각도가 특징적일 것으로 예상할 수 있지만, 유사 유클리드 공간에서는 쌍곡각도 있다. 특수 상대성 연구에서는 정지 프레임에 대한 속도 변화에 대한 다양한 기준 프레임은 쌍곡선인 급도에 의해 관련된다. 로렌츠 부스트를 설명하는 한 가지 방법은 급도 사이의 차등 각도를 보존하는 쌍곡선 회전이다. 따라서 쌍곡선 각도에 대한 순응적 변환이다.

적절한 정합집단을 생성하는 방법은 뫼비우스 집단의 단계를 일반 복합 평면의 정합집단으로 모방하는 것이다. 유사-유클리드 기하학은 점이 분할 복합 번호 또는 이중 번호인 대체 복합 평면에 의해 지원된다. 뫼비우스 집단이 완전한 설명을 위해 콤팩트 공간인 리만 구를 필요로 하듯이, 대안적인 복합 평면은 순응적인 매핑의 완전한 설명을 위해 콤팩트화가 필요하다. 그럼에도 불구하고, 각 경우의 등정 그룹은 적절한 평면의 선형 부분 변환에 의해 주어진다.[2]

일정한 스페이스 시간 그룹

1908년, 해리 베이트먼과 에버니 저 커닝엄, 리버플 대학에서 두 젊은 연구자들,, 비록 spacetime[3][4][5]의 그들은 블랙 홀의 2차 형식을 보존하다는 운동학 단체들에게는 필연과 직교 변환에 비슷하다 정각이 있다고 주장했다는 공형 그룹의 생각을 꺼냈다 한 등방성과 관련해quadratic 형식. 전자기장의 자유는 운동운동에 국한되지 않고 오히려 2차 형태를 보존하는 변환에 국소적으로 비례해야 한다. 1910년 해리 베이트먼의 논문은 라이트콘을 보존하는 변형의 자코비안 행렬을 연구했고 그것이 (형식 보존기에 비례하는) 등정형 속성을 가지고 있다는 것을 보여주었다.[6] 베이트먼과 커닝햄은 이 등정 집단이 "맥스웰의 방정식을 구조적으로 불변하게 하는 가장 큰 변형 집단"[7]이라는 것을 보여주었다. 일정 시간 간격 그룹이 C(1,[8]3)로 표시됨

Isaak Yaglom은 분할 복합과 이중 숫자의 스팩타임 일치 변환의 수학에 기여했다.[9] 분할 복합 숫자와 이중 숫자가 필드가 아닌 링을 형성하기 때문에, 선형 부분 변환은 링 위에 투영된 선이 바이어시적 매핑이 되어야 한다.

1914년 루드윅 실버슈타인이 로렌츠 집단을 대표하기 위해 바이쿼터니온의 고리를 사용한 이래 전통적이었다. 스페이스 타임 등각 그룹의 경우, 해당 링 위의 투영 라인에서 선형 부분 변환을 고려하는 것으로 충분하다. 스페이스 타임 등각 그룹의 원소들은 베이트맨에 의해 구형파 변환이라고 불렸다. 스페이스타임 2차 형태 연구의 세부 사항은 리 구 기하학으로 흡수되었다.

A. O. 바루트는 1985년 물리학에 대한 지속적인 관심을 언급하면서 "순응집단에 관심을 갖는 주된 이유 중 하나는 아마도 푸앵카레 집단을 포함하는 더 큰 집단 중 가장 중요한 집단이기 때문"[10]이라고 썼다.

참고 항목

참조

  1. ^ Jayme Vaz, Jr.; Roldão da Rocha, Jr. (2016). An Introduction to Clifford Algebras and Spinors. Oxford University Press. p. 140. ISBN 9780191085789.
  2. ^ 츠루사부로 다카스(1941) "게메인사메 베한드룽스웨이스 데어 타원리스첸 콘포르멘, 하이퍼볼리스첸 콘포르멘과 파라볼리스첸 콘포르멘 차동게오메트리", 2, 제국아카데미 17(8) : 330–8, 프로젝트 유클리드, MR14282에서 링크
  3. ^ Bateman, Harry (1908). "The conformal transformations of a space of four dimensions and their applications to geometrical optics" . Proceedings of the London Mathematical Society. 7: 70–89. doi:10.1112/plms/s2-7.1.70.
  4. ^ Bateman, Harry (1910). "The Transformation of the Electrodynamical Equations" . Proceedings of the London Mathematical Society. 8: 223–264. doi:10.1112/plms/s2-8.1.223.
  5. ^ Cunningham, Ebenezer (1910). "The principle of Relativity in Electrodynamics and an Extension Thereof" . Proceedings of the London Mathematical Society. 8: 77–98. doi:10.1112/plms/s2-8.1.77.
  6. ^ Warwick, Andrew (2003). Masters of theory: Cambridge and the rise of mathematical physics. Chicago: University of Chicago Press. pp. 416–24. ISBN 0-226-87375-7.
  7. ^ 로버트 길모어 (1994) [1974] 거짓말 그룹, 리 알헤브라스 및 그 응용 프로그램 349페이지, 로버트 E. 크리거 출판 ISBN 0-89464-759-8 MR12755999
  8. ^ 보리스 코시아코프(2007) 구글북스를 통해 216페이지 스프링어 북 소개
  9. ^ Isaak Yaglom (1979) 간단한 비유클리드 기하학과 그 물리적 기반인 Springer, ISBN 0387-90332-1, MR520230
  10. ^ A. O. 바루트 & H.D. Dobner(1985) 표준 그룹 및 관련 대칭: 물리학적 결과와 수학 배경, 물리학의 강의 노트 #261 스프링어 책, 인용문은 서문을 참조하라.

추가 읽기

  • Kobayashi, S. (1972). Transformation Groups in Differential Geometry. Classics in Mathematics. Springer. ISBN 3-540-58659-8. OCLC 31374337.
  • Sharpe, R.W. (1997), Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program, Springer-Verlag, New York, ISBN 0-387-94732-9.
  • 피터 셔크(1960) "일부 정합 기하학의 개념", 미국 수학 월간 67(1): 1-30 doi: 10.2307/2308920