볼록 집합

Convex set
약간 변형된 원처럼 보이는 볼록한 집합의 그림.위의 검은색으로 표시된 선분은 점 x와 y를 연결하는 것으로 녹색으로 표시된 세트 내에 완전히 배치됩니다.위의 집합 내에서 두 점의 잠재적 위치에 해당하므로 집합은 볼록합니다.
비볼록 세트 그림.상기의 선분에 의해, 검정색에서 빨강색으로 변화하고 있습니다.녹색으로 표시된 위의 세트가 볼록하지 않은 이유를 예시합니다.

기하학에서, 유클리드 공간의 부분집합, 또는 보다 일반적으로 실수의 아핀 공간은 부분집합에서 주어진 두 점이 그것들을 결합하는 전체 선분을 포함한다면 볼록하다.마찬가지로 볼록 집합 또는 볼록 영역은 모든 선을 단일 선분으로 교차하는 부분 집합입니다(공백할 [1][2]수도 있음).예를 들어, 솔리드 큐브는 볼록한 집합이지만, 속이 비어 있거나 움푹 들어간 것(예: 초승달 모양)은 볼록하지 않습니다.

볼록 집합의 경계는 항상 볼록 곡선입니다.유클리드 공간의 주어진 부분 집합 A를 포함하는 모든 볼록 집합의 교차점을 A의 볼록 선체라고 한다.이것은 A를 포함하는 가장 작은 볼록 집합이다.

볼록함수는 그 에피그래프(함수의 그래프 위 또는 위의 점 집합)가 볼록 집합이라는 특성을 가진 구간에서 정의된 실수값 함수입니다.볼록 최소화는 볼록 집합보다 볼록 함수를 최소화하는 문제를 연구하는 최적화의 하위 분야이다.볼록 집합과 볼록 함수의 특성에 대한 연구에 전념하는 수학의 한 분야를 볼록 분석이라고 한다.

볼록 집합의 개념은 다음과 같이 일반화할 수 있다.

정의들

함수는 비문(녹색)이 그래프 위의 영역(파란색)이 볼록 집합인 경우에만 볼록합니다.

S를 실수 위의 벡터 공간 또는 아핀 공간, 또는 보다 일반적으로 순서 있는 필드 위의 벡터 공간이라고 합니다.이것은 아핀 공간인 유클리드 공간을 포함한다.C의 모든 x와 y에 대해 x와 y를 연결하는 선분을 C에 포함하면 S의 서브셋 C는 볼록하다.즉, 아핀 조합(1 - t)x + ty는 C의 모든 x와 y에 대해 C에 속하며, 간격 [0, 1]에서는 t에 속합니다.이것은 아핀 변환에서 볼록함(볼록함 특성)이 불변함을 의미합니다.이는 또한 실제 또는 복잡한 위상 벡터 공간에서의 볼록 집합이 경로로 연결되고, 따라서 연결된다는 것을 암시한다.

끝점 이외의 x와 y를 연결하는 선분상의 모든 점이 C의 위상 내부일 경우 집합 C는 엄밀하게 볼록하다.닫힌 볼록 부분 집합은 각각의 경계점이 [3]극점일 경우에만 엄격하게 볼록하다.

집합 C는 볼록하고 평형이면 절대 볼록하다.

R의 볼록 부분 집합(실수 집합)은 R의 구간과 점입니다.유클리드 평면의 볼록 부분 집합의 예로는 솔리드 정다각형, 솔리드 삼각형, 솔리드 삼각형의 교차점이 있습니다.유클리드 3차원 공간의 볼록 부분 집합의 예로는 아르키메데스 고체와 플라톤 고체가 있다.케플러-포인소트 다면체는 비볼록 집합의 예입니다.

비볼록 세트

볼록하지 않은 집합을 비볼록 집합이라고 합니다.볼록 폴리곤이 아닌 폴리곤을 오목 [4]폴리곤이라고 부르기도 하며, 일부 출처는 일반적으로 볼록하지 않은 [5]집합을 의미하기 위해 오목 집합이라는 용어를 사용하지만 대부분의 권위에서는 이 [6][7]사용을 금지합니다.

오목함수의 비문과 같은 볼록 집합의 보완은, 특히 수학적 [8]최적화의 맥락에서, 때때로 역볼록 집합이라고 불립니다.

특성.

볼록 집합 S의 r점1 u, ..., ur 및 θ1 + ...와 같은 r 비음수 θ1, ..., θ가r 주어졌을 때 + λλr = 1, 아핀 조합

S에 속합니다.볼록 집합의 정의는 대소문자 r = 2이므로, 이 특성은 볼록 집합을 특징짓는다.

이러한 아핀 조합을 u, ..., u의1r 볼록 조합이라고 합니다.

교차로 및 조합

벡터 공간, 아핀 공간 또는 유클리드 공간의 볼록 부분 집합 집합 집합은 다음과 같은 특성을 [9][10]가진다.

  1. 빈 집합과 전체 공간이 볼록하다.
  2. 볼록 집합 집합의 교차점은 볼록하다.
  3. 일련의 볼록 집합의 결합은 만약 그것들이 포함을 위한 비감소 사슬을 형성한다면 볼록하다.두 볼록 집합의 결합이 볼록할 필요는 없기 때문에 이 특성에서 사슬에 대한 제약은 중요하다.

닫힌 볼록 집합

닫힌 볼록 집합은 모든 한계점을 포함하는 볼록 집합입니다.그것들은 닫힌 반공간(초평면의 한쪽에 있는 공간의 점 세트)의 교차점으로 특징지을 수 있다.

방금 말한 것을 보면, 그러한 교집합은 볼록하고 또한 닫힌 집합이 될 것이 분명하다.반대로, 즉 모든 닫힌 볼록 집합은 그러한 교차점으로 표현될 수 있으며, 주어진 닫힌 볼록 집합 C와 그 밖의 점 P에 대해 P가 아닌 C를 포함하는 닫힌 반공간 H가 있는 형태로 뒷받침하는 초평면 정리가 필요하다.뒷받침하는 초평면 정리는 기능 분석의 한-바나흐 정리의 특별한 경우이다.

볼록 집합 및 직사각형

C를 평면의 볼록체(내부가 비어 있지 않은 볼록 집합)라고 하자.우리는 R의 동질 복사 R이 C에 대해 제한되도록 직사각형 r을 C에 새길 수 있다.양의 균질성 비율은 최대 2이며 다음과 같습니다.[11]


블라슈케-산탈로 그림

모든 평면 볼록체의 세트 mathcal {K2})는 볼록체 직경 D, 볼록체에 포함되는 가장 큰 원 및 그 둘레 반지름 R(볼록체를 포함하는 가장 작은 원)으로 파라미터화할 수 있다.사실, 이 집합은 부등식의 집합으로[12][13] 설명될 수 있다.

(r/R, D/2R)에 의해 주어진 R점에2 볼록체를 매핑하는 함수 g의 이미지로 시각화할 수 있다.이 함수의 이미지는 (r, D, R) Blachke-Santalo [13]다이어그램으로 알려져 있습니다.

평면 볼록체에 대한 Blaschke-Santalo(r, D, R) 다이어그램. 은 , 3 \I}_ {}})은 등변 삼각형, T{는 릴레오 삼각형, 는 원 {B을 나타냅니다

또는 세트 2{\의 폭(다른 두 개의 평행 지원 하이퍼플레인 사이의 최소 거리), 주변 및 [12][13]면적에 따라 매개 변수를 지정할 수도 있습니다.

기타 속성

X를 위상 벡터 공간, X(\ C X를 볼록형이라고 합니다.

  • C \ { C\ { } 둘 다 볼록하다(즉, 볼록 집합의 폐쇄 및 내부는 볼록하다).
  • C{\displaystyleb\in \operatorname{당분이나 지방 말고도}C⁡ 만약 ∈ Int ⁡ C{\displaystylea\in \operatorname{Int}C}과 대한 largeenough∈ 당분이나 지방 말고도}그 경우, b경우 ⊆ Int ⁡ C{\displaystyle[a,b는 경우에는\,\subseteq \operatorname{Int}C}(어디에 있는 경우, b는 경우:={(1− r)+rb:0≤ r<1}{\displaystyle[a,b는 경우에는 \,:=\left\{(1-r)a+rb:0\leq r<, 1\right\}}.cm이다.
  • Int C \ { \ \ }인 경우:
    • "( ) Cl C { \ ( \{ \ )= \{ }
    • =i 서 표시 스타일 C^{는 C의 대수 내부이다

볼록 선체와 민코프스키의 합

볼록한 선체

주요 기사: 볼록 선체

벡터 공간의 모든 부분 집합 A는 가장 작은 볼록 집합(A의 볼록 선체라고 함), 즉 A를 포함하는 모든 볼록 집합의 교집합에 포함된다.colvex-hull 연산자 Conv()에는 다음과 같은 선체 연산자의 특성이 있습니다.

볼록-헐 연산은 볼록 집합의 집합이 격자를 형성하기 위해 필요하다. 여기서 "조인" 연산은 두 볼록 집합의 결합의 볼록 선체이다.

볼록 집합의 교집합은 그 자체로 볼록하기 때문에 (실제 또는 복소) 벡터 공간의 볼록 부분 집합은 완전한 격자를 형성한다.

민코프스키 덧셈

주요 기사:민코프스키 덧셈
Three squares are shown in the nonnegative quadrant of the Cartesian plane. The square Q1 = [0, 1] × [0, 1] is green. The square Q2 = [1, 2] × [1, 2] is brown, and it sits inside the turquoise square Q1+Q2=[1,3]×[1,3].
민코프스키 세트 추가.Q=[0,1]2와2 Q=[1,2]2의1 제곱합은 Q+Q2=[1,3]2입니다1.

실제 벡터 공간에서, 두2 개의 (빈 것이 아닌) 집합 S와1 S의 민코프스키 합은 합집합에서 벡터 요소-why의 덧셈에 의해 형성된 집합1 S + S로2 정의된다.

보다 일반적으로, (공백이 아닌) 집합n S의 유한족 민코프스키 합은 벡터의 요소별 덧셈에 의해 형성된 집합이다.

민코프스키 덧셈의 경우 0 벡터 0만을 포함하는 0 집합 {0}은(는) 특별한 중요성을 가집니다.벡터 공간의 모든 부분 집합 S에 대해

대수학 용어에서 {0}은 (빈 [14]집합이 아닌 집합의 집합에서) 민코프스키 덧셈의 항등 원소이다.

민코프스키 합계의 볼록 선체

민코프스키 덧셈은 다음 명제에서 알 수 있듯이 볼록 선체를 취합하는 연산에 관해 잘 동작한다.

S, S가2 실 벡터 공간의 부분 집합이라고 하자, 그들의1 민코프스키 합의 볼록 선체는 볼록 선체의 민코프스키 합이다.

이 결과는 일반적으로 비어 있지 않은 집합의 각 유한 집합에 대해 유지됩니다.

수학 용어에서, 민코프스키 합계와 볼록 선체를 형성하는 연산은 통근 [15][16]연산이다.

볼록 집합의 민코프스키 합

두 개의 콤팩트 볼록 집합의 민코프스키 합은 콤팩트하다.콤팩트 볼록 집합과 닫힌 볼록 집합의 합은 [17]닫힙니다.

1966년 Dieudonne에 의해 증명된 다음의 유명한 정리는 두 닫힌 볼록 부분 집합의 차이가 [18]닫히기에 충분한 조건을 제공한다.다음과 같이 정의된 비어 있지 않은 볼록 부분 집합 S의 후퇴 원뿔 개념을 사용한다.

여기서 이 세트는 S+ { S를 하는 볼록 원뿔입니다. S가 닫히고 볼록하면 S가 닫히고 가 닫힙니다

정리(Dieudonne).A와 B를 국소 볼록 위상 벡터 공간의 비어 있지 않고 닫힌 볼록 부분 집합으로 rec A recB\를 선형 부분 공간이라고 하자.A 또는 B가 국소적으로 콤팩트하면 A - B는 닫힙니다.

볼록부의 일반화 및 확장

유클리드 공간에서의 볼록성의 개념은 일부 또는 다른 측면에서 정의를 수정함으로써 일반화 될 수 있다.결과 객체가 볼록 집합의 특정 속성을 유지하기 때문에 "일반화된 볼록함"이라는 공통 이름이 사용됩니다.

별모양(별모양) 세트

주요 기사:스타 도메인

C를 실수 또는 복소 벡터 공간의 집합이라고 하자.C에 x가 존재하여0 C에 x에서0 임의의 점 y까지의 선분이 C에 포함되는 경우 C는 별 볼록(별 모양)이다.따라서 비어 있지 않은 볼록 집합은 항상 별 볼록하지만 별 볼록 집합이 항상 볼록한 것은 아니다.

직교 볼록함

주요 기사:직교 볼록 선체

일반화 볼록성의 예는 직교 볼록성이다.[19]

유클리드 공간의 집합 S는 S의 두 점을 연결하는 좌표축 중 하나에 평행한 세그먼트가 완전히 S 안에 있으면 직교 볼록 또는 직교 볼록이라고 한다.직각 볼록 집합 집합의 교차점이 직각 볼록하다는 것을 증명하는 것은 쉽다.볼록 집합의 다른 특성들도 유효하다.

비유클리드 기하학

볼록 집합과 볼록 선체의 정의는 지오데식 볼록 집합을 집합의 임의의 두 점을 연결하는 지오데식 집합을 포함하도록 정의함으로써 유클리드 이외의 기하학으로 자연스럽게 확장된다.

순서 토폴로지

순서 [20]위상을 부여받은 전순서 집합 X에 대해 볼록성을 확장할 수 있다.

Y x X로 하자.부분 공간 Y는 Y의 각 점 쌍 a, b에 대해 구간 [a, b] = {x a X a x x } b}이 Y에 포함되는 경우 볼록 집합이다.즉, Y는 Y의 모든 a, b에 대해 a b b가 [a, b] y Y를 의미하는 경우에만 볼록하다.

볼록 집합은 일반적으로 연결되어 있지 않습니다. Z의 부분 공간 {1,2,3}에 의해 반대 예가 제공되며, 둘 다 볼록하고 연결되지 않습니다.

볼록 공간

볼록성의 특정 특성이 공리로 선택되면 볼록성의 개념은 다른 물체로 일반화될 수 있다.

집합 X가 주어졌을 때, X 위의 볼록도는 다음 [9][10][21]공리를 만족하는 X의 부분 집합의 집합 δ이다.

  1. 빈 세트와 X는 𝒞에 있습니다.
  2. 𝒞로부터의 수집의 교차점은 𝒞에 있습니다.
  3. δ의 원소 사슬의 결합(포함 관계에 대하여)은 δ에 있다.

δ의 원소를 볼록 집합이라고 하고 쌍(X, δ)을 볼록 공간이라고 한다.보통 볼록성의 경우 첫 번째 두 개의 공리가 성립하고 세 번째 공리는 사소하다.

이산 기하학에 더 적합한 추상 볼록성의 대체 정의는 반양성체와 관련된 볼록 기하학을 참조하십시오.

「 」를 참조해 주세요.

레퍼런스

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외부 링크

무료 사전인 위키사전에서 볼록 세트를 찾아보세요.