복합다지관

홀로모르픽 지도

미분 기하학 및 복합 기하학에서 복합 다지관은 전환 지도가 홀모픽이 되도록 $\mathbb {C} ^{n}$ ${\$ ^{ $n}}$ 의 오픈 유닛 디스크에^[1] 대한 차트의 아틀라스가 있는 다지관이다 $\mathbb {C} ^{n}$

복합다지관(complex dargin)이라는 용어는 위의 의미(통합형 복합다지관으로 지정할 수 있음)에서 복합다지관과 거의 복합다지관을 의미하기 위해 다양하게 사용된다.

복합구조의 시사점

홀로모르픽 기능은 부드러운 기능보다 훨씬 더 강하기 때문에 매끄럽고 복잡한 다지관의 이론은 매우 다른 맛을 가지고 있다: 콤팩트한 복합다지관은 다른 다지관에 비해 대수적 변종에 훨씬 가깝다.

예를 들어 휘트니 임베딩 정리는 모든 매끄러운 n차원 다지관이 R의²ⁿ 매끄러운 하위매니폴드로서 임베디드 될 수 있는 반면, 복합 다지관이 C에ⁿ 홀로모르픽 임베디드 하는 것은 "레이어"라고 말해준다. 예를 들어, 콤팩트하게 연결된 복합 다지관 M: 그 위에 있는 모든 홀로모르프 함수는 리우빌의 정리에 의해 일정하다. 만약 우리가 M을 C에ⁿ 포함시킨다면, C의ⁿ 좌표함수는 M의 비정규적인 홀로모르픽 함수로 제한될 것이고, 압축성과 모순될겁니다. M이 단지 점일 뿐인 경우를 제외하고. C에ⁿ 내장될 수 있는 복합다지관은 스타인다지관이라고 불리며, 예를 들어 매끄러운 복합 아핀 대수 품종을 포함한 매우 특별한 다지관을 형성한다.

복잡한 다지관의 분류는 다른 다지관의 분류보다 훨씬 더 미묘하다. 예를 들어, 4개 치수가 아닌 다른 치수에 있는 동안, 주어진 위상학적 다지관은 가장 미세하게 많은 부드러운 구조물을 가지고 있으며, 복잡한 구조를 지지하는 위상학적 다지관은 헤아릴 수 없이 많은 복잡한 구조물을 지원할 수 있고 종종 지원한다. 리만 표면은 복잡한 구조를 갖춘 2차원 다지관으로서, 속(속)에 의해 토폴로 분류되는 것이 이러한 현상의 중요한 예다. 주어진 방향성 표면의 복잡한 구조 집합인 modulo biholorphic equality 그 자체는 moduli space라고 불리는 복잡한 대수적 다양성을 형성하고, 그 구조는 활발한 연구의 영역으로 남아 있다.

도표 간 전환 지도가 바이홀모픽이기 때문에, 특히 복잡한 다지관은 매끄럽고 성론적으로 (방향성뿐만 아니라) (방향성: (의 부분집합) C에ⁿ 대한 바이홀모픽 지도가 방향을 제시하는데, 이는 바이홀모픽 지도가 방향을 보존하기 때문이다.

복합 다지관의 예

리만 표면.
칼라비-야우 다지관.
두 개의 복잡한 다지관의 데카르트 제품.
홀로모르픽 지도의 중요하지 않은 값의 역 영상.

매끄러운 복합 대수학 품종

매끄러운 복합 대수학 품종은 다음을 포함하는 복합 다지관이다.

복잡한 벡터 공간.
복잡한 투영 공간,^[2] Pⁿ(C)
복잡한 그라스만족.
GL(n, C) 또는 Sp(n, C)와 같은 복합 Lie 그룹.

이와 유사하게, 이것들의 쿼터니오닉 아날로그도 복잡한 다지관이다.

단순연결

단순하게 연결된 1차원 복합 다지관은 다음 중 하나에 이형성이다.

Δ, 단위 디스크(C)
C, 복합면
ĉ, 리만 구

이들 사이에는 Δ ⊆ C ⊆ ⊆ ĉ ĉ as 로 포함되지만, 다른 방향에는 리우빌의 정리로는 일정하지 않은 지도가 없다는 점에 유의한다.

디스크 vs. 공간 vs. 폴리디스크

다음 공간은 복합 다지관으로서 서로 다르며, (매끄러운 다지관과 비교하여) 복합 다지관의 보다 견고한 기하학적 특성을 보여준다.

복합 공간 $\mathbb {C} ^{n}$ ${\$
유닛 디스크 또는 오픈 볼

\displaystyle \left\{z\in \mathb {C} ^{n}:\ z\ <1\right\}.}

다면체

\displaystyle \left\{z=(z_{1},\dots,z_{n})\in \mathb {C}^:\vert z_{j}\vert <1\ \ forall j=1,\dots,n\right\}.}

거의 복잡한 구조물

실제 2n-manifold의 거의 복잡한 구조는 GL(n, C) 구조물이다. 즉, 접선 번들은 선형 복합 구조를 갖추고 있다.

구체적으로는 이것이 -I인 접선다발의 내형성이다; 이 내형성은 상상의 숫자 i에 의한 곱셈과 유사하며, J(정체성 매트릭스 I와의 혼동을 피하기 위해)로 표기된다. 거의 복잡한 다지관은 반드시 고른 차원이다.

거의 복잡한 구조는 복잡한 구조보다 약하다: 어떤 복잡한 다지관은 거의 복잡한 구조를 가지고 있지만, 거의 모든 복잡한 구조가 복잡한 구조에서 오는 것은 아니다. 모든 이븐 차원 실제 다지관은 로컬 좌표도에서 로컬로 정의된 거의 복잡한 구조를 가지고 있다는 점에 유의하십시오. 문제는 이 복잡한 구조가 세계적으로 정의될 수 있느냐다. 복잡한 구조에서 나오는 거의 복잡한 구조를 통합형이라고 하는데, 거의 복잡한 구조와 반대로 복잡한 구조를 특정하고 싶을 때는 통합형 복합형 구조라고 말한다. 통합 가능한 복잡한 구조의 경우 소위 니젠후이스 텐서(Nijenhuis tensor)는 사라진다. 이 텐서는 벡터 필드 쌍(X, Y)에 대해 정의된다.

N_{J}(X,Y)=[X,Y]+J[JX,Y]+J[X,JY]-[JX,JY]\ .

예를 들어 6차원 구 S는⁶ 8진법의 단위 구에 있는 i의 직교보완물이라는 사실에서 생기는 자연적으로 거의 복잡한 구조를 가지고 있지만, 이것은 복잡한 구조가 아니다. (그것이 복잡한 구조를 가지고 있는지에 대한 질문은 하인츠 홉프 이후의 홉프 문제로 알려져 있다.)^[3] 거의 복잡한 구조를 이용하면 우리는 홀로모르픽 지도를 이해할 수 있고 다지관에 홀로모르픽 좌표의 존재에 대해 물어볼 수 있다. 홀로모픽 좌표의 존재는 다지관이 복잡하다고 말하는 것과 동등하다(차트 정의에 따르면 그것이다).

접선 보따리를 복잡한 숫자로 팽팽하게 조이면 복잡한 접선 보따리를 얻게 되는데, 복잡한 숫자에 의한 곱셈이 이치에 맞는다(진짜 다지관으로 시작했다고 해도). 거의 복잡한 구조물의 고유값은 ±i이며, Eigenspaces는 TM과^0,1 TM이^1,0 나타내는 하위 분들을 형성한다. 뉴랜더-니렌버그 정리는 이러한 서브번들이 비자발적으로, 즉 벡터장의 리 브라켓 아래에서 닫혔을 때, 거의 복잡한 구조가 실제로 복잡한 구조라는 것을 보여준다. 그리고 그러한 거의 복잡한 구조를 통합형 구조라고 부른다.

칼러와 칼라비-야우 다지관

복잡한 다지관에 대한 리만 메트릭스의 아날로그를 은둔자 메트릭이라고 정의할 수 있다. 리만 메트릭스처럼, 은둔자 메트릭스는 접선 번들 위에 부드럽게 변화하고 긍정적인 확실한 내적 생산물로 구성되는데, 이것은 각 지점의 접선 공간의 복잡한 구조와 관련하여 에르미트인 것이다. 리만니안의 경우와 마찬가지로 그러한 지표는 어떤 복잡한 다지관에도 항상 풍부하게 존재한다. 그러한 측정 기준의 기울기 대칭 부분이, 즉 닫힘 및 비감발성인 경우, 측정 기준을 Kahler라고 한다. 케흘러 구조물은 훨씬 더 구하기 어렵고 훨씬 더 단단하다.

Kahler 다지관의 예로는 부드러운 투영 품종과 보다 일반적으로 Kahler 다지관의 복잡한 하위 품종을 포함한다. Hopf 다지관은 Kahler가 아닌 복잡한 다지관의 예들이다. 하나를 구성하려면 원점을 뺀 복잡한 벡터 공간을 취하고 exp(n)에 의한 곱셈에 의한 이 공간에 대한 정수 그룹의 작용을 고려한다. 그 몫은 복잡한 다지관인데, 그 첫번째 베티 수가 1이므로, 호지 이론에 의하면 케흘러가 될 수 없다.

A칼라비-Yau 매니폴드는 소형 Ricci-flat Kahler 다지관 또는 동등하게 최초의 체르누스 등급이 사라지는 다지관으로 정의할 수 있다.

참고 항목

각주

^ $\mathbb {C} ^{n}$ {\ $displaystyle \mathb {C} ^{n}$ 의 오픈 유닛 디스크를 실제 다지관과 달리 이형체가 아니기 때문에 $\mathbb {C} ^{n}$ $\mathbb {C} ^{n}$ ${\$ 대신 모델 공간으로 사용해야 $\mathbb {C} ^{n}$ 한다.
^ 이는 모든 복잡한 투영 공간은 실제 사례와 대조적으로 방향을 잡을 수 있다는 것을 의미한다.
^ Agricola, Ilka; Bazzoni, Giovanni; Goertsches, Oliver; Konstantis, Panagiotis; Rollenske, Sönke (2018). "On the history of the Hopf problem". Differential Geometry and Its Applications. 57: 1–9. arXiv:1708.01068. doi:10.1016/j.difgeo.2017.10.014. S2CID 119297359.

참조

Kodaira, Kunihiko (17 November 2004). Complex Manifolds and Deformation of Complex Structures. Classics in Mathematics. Springer. ISBN 3-540-22614-1.

[1] $\mathbb {C} ^{n}$ {\ $displaystyle \mathb {C} ^{n}$ 의 오픈 유닛 디스크를 실제 다지관과 달리 이형체가 아니기 때문에 $\mathbb {C} ^{n}$ $\mathbb {C} ^{n}$ ${\$ 대신 모델 공간으로 사용해야 $\mathbb {C} ^{n}$ 한다.

[2] 이는 모든 복잡한 투영 공간은 실제 사례와 대조적으로 방향을 잡을 수 있다는 것을 의미한다.

[3] Agricola, Ilka; Bazzoni, Giovanni; Goertsches, Oliver; Konstantis, Panagiotis; Rollenske, Sönke (2018). "On the history of the Hopf problem". Differential Geometry and Its Applications. 57: 1–9. arXiv:1708.01068. doi:10.1016/j.difgeo.2017.10.014. S2CID 119297359.

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