푸시포워드(차동)

차동 기하학에서 푸시포워드는 접선 공간의 부드러운 지도에 대한 선형 근사값이다. φ : M → N이 매끄러운 다지관들 사이의 부드러운 지도라고 가정하고, 그 다음 x 지점에서의$$φ, d ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle$ d$\varphi }$의 차이는 어떤 의미에서 x 근처에 있는 φ의 가장 좋은 선형 근사치라고 가정하자. 일반 미적분학의 총파생물을 일반화한 것으로 볼 수 있다. 명시적으로 차등도는 x의 M 탄젠트 공간에서 φ(x), $d{\displaystyle }$ ${\displaystyle \phi }$: ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$→ T ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$(${\displaystyle x_{}}$) N ${\displaystyle d\varphi$:$T_{x}M\to T_{\varphi (x)}N$ 따라서 M의 접선 벡터를 N의 접선 벡터로 앞으로 밀어넣는 데 사용할 수 있다. 지도 φ의 차이는 다양한 저자에 의해 φ의 파생상품 또는 총 파생상품이라고도 불린다.

동기

Let φ : U → V be a smooth map from an open subset U of ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ to an open subset V of ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. For any point x in U, the Jacobian of φ at x (with respect to the standard coordinates) is the matrix representation of the total derivative of φ at x, which is a linear 지도를 그리다

${\displaystyle d\barphi _{x}:\mathb {R} ^{m}\to \mathb {R} ^n}.}$

φ은 어떤 매끄러운 다지관 M과 N 사이의 매끄러운 기능인 경우에 이를 일반화하고자 한다.

스무스 맵의 차등

φ : M → N은 매끄러운 다지관의 매끄러운 지도가 되도록 한다. 일부 x ∈ M이 주어지면 x에서 φ의 차등분은 선형 지도다.

${\displaystyle d\varphi _{x}:T_{x}M\to T_{\varphi (x)}N\,}$

x의 M의 접선 공간으로부터 φ(x)의 N의 접선 공간까지. 접선 벡터 X에 dφ를_x 적용하는 것을 φ에 의한 X의 푸시포워드라고 부르기도 한다. 이 푸시포워드의 정확한 정의는 접선 벡터에 사용하는 정의에 따라 달라진다(다양한 정의는 접선 공간을 참조한다).

접선 벡터가 $\gamma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \gamma }$ ~ x의 곡선의 동등성 등급으로 정의되는 경우 다음과 같이 차등성이 주어진다.

${\displaystyle d\barphi _{x}(\varpi '(0))=(\varphi \barfi \barfi \varfi )(0)).}$

여기서 γ은 M의 곡선으로 x(0) = ${\displaystyle \mathrm{x}}$이고${\displaystyle }\gamma {\displaystyle {}^{}(}$0 ) ${\displaystyle \gamma '(0)}$은 0에서 γ의 접선 벡터다. 즉, 접선 벡터가 0에서 γ 곡선으로 향하는 푸시포워드(push forward)는 0에서$$ $\phi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \circ }$ ∘$${ {\$displaystyle \varphi \circamp \gamma }$의 곡선으로 가는 접선 벡터인 것이다.

또는 접선 벡터가 매끄러운 실제 값 함수에 작용하는 파생값으로 정의되는 경우, 다음과 같이 차등화가 주어진다.

${\displaystyle d\barphi _{x}(X)(f)=X(f\circle \varphi ),}$

for an arbitrary function ${\displaystyle f\in C^{\infty }(N)}$ and an arbitrary derivation ${\displaystyle X\in T_{x}M}$ at point ${\displaystyle x\in M}$ (a derivation is defined as a linear map ${\displaystyle X:$라이프니즈 규칙을 $만족$하는 C$^{\\nft }(M)\mathb {R}$에 대한 자세한 내용은 파생을 통한 접선 공간의 정의를 참조하십시오. 정의상 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 푸시포워드는 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\phi }_{}}$( ${\displaystyle x_{}}$) N ${\displaystyle T_{\varphi (x)}N}$에 있으므로$$$$ 그 자체는 파생, $d{\displaystyle }$ ${\displaystyle {\phi }_{}}$ x${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle X}$)${\displaystyle }$: ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\infty \mathrm{}}^{}}$( ${\displaystyle N}$)${\displaystyle }$→ ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\$$C^{\put$}(N$)\to \mathb$ {$R}$$}$ .

x 주위에 두 개의 차트와 around(x) 주위에 있는 차트를 선택한 후, φ은 매끄러운 지도에 의해 국소적으로 결정된다.

${\displaystyle {\widehat {\\varphi }}:U\to V}$

$R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$과(와$$) $R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$의 열린 집합 사이에서 dd는_x 표현(x)을 갖는다.

${\displaystyle d\barphi _{x}\왼쪽}\frac {\build u^{a}\b}\frac {\widehat{\b}{\b}{\b}{\frac {}{\b}}}}, }, }$

아인슈타인 합계 표기법에서, 부분파생물은 주어진 차트의 x에 해당하는 U의 지점에서 평가된다.

선형성에 의한 확장은 다음 행렬을 제공한다.

${\displaystyle \left(d\varphi _{x}\오른쪽)_{a}^{\b}={\fract {\widehat{\varphi }}}{b}{\b}}}}}.}$

따라서 미분류는 접선 공간 사이의 선형 변환이며, 각 지점의 평활도 to과 연관된다. 따라서 일부 선택된 국부좌표에서는 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$부터 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$까지의 해당 매끄러운 지도에 대한 Jacobian 행렬로 표현된다$.$ 일반적으로 미분류는 반전될 필요가 없다. 만약 φ이 국부적인 차이점형이라면, x에서 푸시포워드는 되돌릴 수 없고 그 역은 TN의_φ(x) 후퇴를 준다.

디퍼렌셜은 다음과 같은 다양한 다른 명칭을 사용하여 자주 표현된다.

${\displaystyle D\varphi _{x},\left(\varphi _{*}\right)_{x},\varphi '(x),T_{x}\varphi .}$

복합체의 차이는 미분들의 복합체라는 정의에서 따온 것이다(즉, functorial action). 이것이 원활한 지도를 위한 체인 룰이다.

또한, 국소적 차이점은 접선 공간의 선형 이형성이다.

접선 번들의 디퍼렌셜

매끄러운 지도 φ의 차이는, 명백한 방법으로, M의 접선다발에서 N의 접선다발까지 번들맵(사실 벡터다발 동형상)을 유도하고, dφ 또는 φ로_∗ 표시하며, 이는 다음과 같은 정류 도표에 들어맞는다.

여기서 π과_M π은_N 각각 M과 N의 접선다발의 묶음 투영을 나타낸다.

${\displaystyle \mathrm{d}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\daystyle \operatorname {d} \!\varphi }$을(를) 통해 TM에서 풀백^∗ 번들로 번들 맵을 유도함$$

${\displaystyle(m,v_{m})\mapsto(m,\d} \!\varphi(m,v_{m}),}$

${\displaystyle \mathrm{여기}}$서 $m{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ M ${\displaystyle m\in M}$ 및 v$$ ${\displaystyle m_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$. ${\displaystyle v_{m}\in T_{m}M.}$ M을 통한 벡터 번들 Hom(TM, φTN^∗)의 한 섹션으로 볼 수 있다. 번들 지도 dφ은 Tφ에 의해서도 표시되며 접선 지도라고도 한다. 이런 식으로 T는 functor이다.

벡터 필드의 푸시포워드

평활 지도 φ : M → N, M에 벡터 필드 X를 부여하면, 일반적으로 N에 어떤 벡터 필드 Y로 X의 푸시포워드를 φ으로 식별할 수 없다. 예를 들어 지도 φ이 허탈하지 않으면 φ의 이미지 바깥에서 그러한 푸시포워드를 정의할 수 있는 자연스러운 방법이 없다. 또한 φ이 주입되지 않으면 주어진 지점에서 푸시포워드를 둘 이상 선택할 수 있다. 그럼에도 불구하고 지도를 따라 벡터장 개념을 이용하여 이 난이도를 정밀하게 만들 수 있다.

M에 대한 tTN의^∗ 한 부분을 along을 따라 벡터장이라고 한다. 예를 들어, M이 N의 하위매니폴드이고 φ이 포함인 경우, φ을 따라가는 벡터 장은 M을 따라 N의 접선다발의 한 단면일 뿐, 특히 M의 벡터 장은 TN 내부의 TM의 포함을 통해 그러한 단면을 정의한다. 이 아이디어는 임의의 매끄러운 지도에 일반화된다.

X가 M의 벡터 필드, 즉 TM의 한 부분이라고 가정한다. 그러면 $d{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\daystyle \operatorname {d} \!\phi \circ$ X$}$을(를) 산출하는데$$, 위의 의미에서는 φ을 따라 있는 벡터 필드인 φforward φX_∗, 즉 M을 통한 φTN의^∗ 한 섹션이다.

N의 임의 벡터장 Y는 (φY^∗) = Y가 있는 φTN의^∗ 풀백^∗ 섹션 _xyY를_φ(x) 정의한다. M의 벡터장 X와 N의 벡터장 Y는 φ을 따라가는 벡터장으로서 φX_∗ = φY이면^∗ φ 관련성이 있다고 한다. 즉, M의 모든 x에 대해 dφ_x(X) = Y_φ(x).

어떤 상황에서는 M에 X 벡터 필드가 주어지며, N에는 X와 φ 관련되는 고유한 벡터 필드 Y가 있다. 특히 φ이 차이점형주의일 때 그렇다. 이 경우 푸시포워드는 다음과 같이 N에 벡터 필드 Y를 정의한다.

${\displaystyle Y_{y}=\phi _{*}\왼쪽(X_{\pi ^{-1(y)}\오른쪽).}$

보다 일반적인 상황은 φ이 허탈적일 때 발생한다(예를 들어 섬유다발의 묶음 투영). 그 다음 M의 벡터 필드 X는 N의 모든 y에 대해 dφ_x(X_x)가 φ⁻¹({y})의 x 선택과 무관하면 투영 가능하다고 한다. 이것은 정확하게 X의 푸시포워드가 N의 벡터장으로서 잘 정의되어 있음을 보장하는 조건이다.

참고 항목

• 풀백

참조

• Lee, John M. (2003). Introduction to Smooth Manifolds. Springer Graduate Texts in Mathematics. 218.
• Jost, Jürgen (2002). Riemannian Geometry and Geometric Analysis. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 3-540-42627-2. 섹션 1.6을 참조하십시오.
• Abraham, Ralph; Marsden, Jerrold E. (1978). Foundations of Mechanics. London: Benjamin-Cummings. ISBN 0-8053-0102-X. 섹션 1.7 및 2.3을 참조하십시오.