근접다지관

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미분 기하학의 수학적 분야에서 거의 접촉하는 구조는 매끄러운 다지관의 어떤 종류의 기하학적 구조다.그러한 구조물은 1960년 사사키 시게오에 의해 도입되었다.

정확하게, 부드러운 다지관 M ,${\displaystyle$ $M$$,}$을(를) 볼 때, 거의 접촉$$ 구조는 Q ,${\displaystyle }$${\displaystyle$ Q$,$ ${\displaystyle Q,}$의 거의$$$$ 복합 구조 $J{\displaystyle }$ ${\displaysty$ J$}$와 $Q$ .${\displaystystyle$에 가로로$$ 구성된 벡터 필드 $\xi {\displaystyle }$ ${\\\\daystypage$}로 구성된다$.$$Q.}$ That is, for each point ${\displaystyle p}$ of ${\displaystyle M,}$ one selects a codimension-one linear subspace ${\displaystyle Q_{p}}$ of the tangent space ${\displaystyle T_{p}M,}$ a linear map ${\displaystyle \varphi _{p}:$$Q_{p}\to Q_{p}}$ such that ${\displaystyle J_{p}\circ J_{p}=-\operatorname {id} _{Q_{p}},}$ and an element ${\displaystyle \xi _{p}}$ of ${\displaystyle T_{p}M}$ which is not contained in ${\displaystyle Q_{p}.$$}$

이러한 데이터를 고려할 때, 각 p ${\displaystyle p}$의 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle M}$ 선형$$ 지도 ${\displaystyle {map}_{}}$ p${\displaystyle {}_{}}$: T ${\displaystyle p_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$→ R ${\$에 ${\displaystyle 대해\mathbb{}}$ 정의할 수 있다.$T_{p}M\to \mathb {R}$및 선형$$ 지도 ${\displaystyle {\phi }_{}}$ p${\displaystyle {}_{}}$: T ${\displaystyle {}_{}}$ M${\displaystyle }$→ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \varphi _{p}:$$T_{p}M\to T_{p}M}$ by$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\eta _{p}(u)&=0{\text{ if }}u\in Q_{p}\\\eta _{p}(\xi _{p})&=1\\\varphi _{p}(u)&=J_{p}(u){\text{ if }}u\in Q_{p}\\\varphi _{p}(\xi )&=0.\end{정렬}}}$$

This defines a one-form${\displaystyle \eta }$ and (1,1)-tensor field${\displaystyle \varphi }$ on ${\displaystyle M,}$ and one can check directly, by decomposing ${\displaystyle v}$ relative to the direct sum decomposition ${\displaystyle T_{p}M=Q_{p}\oplus$$\left\{k\xi _{p:k\in \mathb {R} \right\}}$이(가)

$${\displaystyle {\regated}\eta _{p}(v)\xi _{p}&=\varphi _{p}\varphi _{p}(v)+v\end}}}}}$$

$T{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle p_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$. ${\displaystyle T_{p}M.}$의 v ${\displaystyle v$$}$에 대해 반대로 거의 접촉하는 구조를$$ 두 조건을 만족하는 3중$({\displaystyle \xi ,}$ η, ${\displaystyle \eta ,}$η$η$ )으로 정의할 수 있다.

• ${\displaystyle {}_{}}$$\eta {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}v}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle p_{}}$ =${\displaystyle {}_{}\phi }$ p${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle p_{}}$ ${\displaystyle {}_{}v}$ ${\displaystyle )}$+ v ${\displaystyle \eta _{p}(v)\xi _{p}=\varphi \circircle \$${\displaystyle {vpvi}_{}}$$$$\\displaysty v\in T_{p}M$}
• ${\displaystyle \eta _{p}(\xi _{p}=1}$

Then one can define ${\displaystyle Q_{p}}$ to be the kernel of the linear map ${\displaystyle \eta _{p},}$ and one can check that the restriction of ${\displaystyle \varphi _{p}}$ to ${\displaystyle Q_{p}}$ is valued in ${\displaystyle Q_{p},}$ thereby defining ${\displaystyle J_p.}$${\displaystyle J_{p}.$$}$

참조

• 데이비드 E.블레어, 리만족의 기하학적 접촉과 동정적 다양성제2판.수학의 진보, 203.Birkhauser Boston, Ltd., Boston, MA, 2010.16+343 페이지 ISBN978-0-8176-4958-6, doi:10.1007/978-0-8176-4959-3
• 사사키 시게오.거의 접촉 구조와 밀접하게 관련된 특정 구조물이 있는 서로 다른 다지관. I. 토호쿠 수학. J. J. J. 12 (1960), 459–476.