계산 가능한 집합

계산가능성 이론에서, 숫자를 입력으로 가져가고, 한정된 시간(아마도 주어진 숫자에 따라 달라짐) 후에 종료되고, 숫자가 집합에 속하는지 아닌지를 정확하게 결정하는 알고리즘이 있으면 자연수 집합을 계산가능, 재귀 또는 해독가능이라고 한다.

계산할 수 없는 집합을 비컴퓨팅 또는 불분명한 집합이라고 한다.

계산 가능한 집합보다 더 일반적인 집합의 클래스는 계산적으로 열거할 수 있는 집합(예: semidecable set)으로 구성되며, 이를 세미디렉티브 집합이라고도 한다. 이러한 집합의 경우, 집합에 숫자가 있을 때를 정확하게 결정하는 알고리즘만 있으면 된다. 알고리즘은 집합에 없는 숫자에 대해 (오답은 아니지만) 답을 주지 않을 수 있다.

형식 정의

A subset ${\displaystyle S}$ of the natural numbers is called computable if there exists a total computable function ${\displaystyle f}$ such that ${\displaystyle f(x)=1}$ if ${\displaystyle x\in S}$ and ${\displaystyle f(x)=0}$ if ${\displaystyle x\notin S}$. In other words, 표시기 함수 1 ${\displaystyle {}_{}}$$[\$1$} _{S}$가 계산 가능한 경우에만 설정된 S$${\$displaystyle S}$을(를) 계산할 수 있다$$.

예시 및 비예시

예:

• 자연수의 모든 유한한 부분집합은 계산 가능하다. 여기에는 다음과 같은 특별한 경우가 포함된다.
  • 빈 세트를 계산할 수 있다.
  • 자연수의 전체 집합은 계산 가능하다.
  • 각 자연수(표준 집합 이론에서 정의한 대로)는 계산할 수 있다. 즉, 주어진 자연수보다 적은 자연수 집합을 계산할 수 있다.
• 소수점 하위집합은 계산 가능하다.
• 재귀언어는 공식언어의 계산 가능한 하위집합이다.
• Kurt Gödel의 논문 "Frincipia Mathematica와 관련 시스템 I의 공식적으로 확인되지 않은 명제에 대하여"에 기술된 산술 증명서의 괴델 수 세트는 계산 가능하다. 괴델의 불완전성 정리를 참조하라.

비예시:

• 정지하는 튜링 기계 세트는 계산이 불가능하다.
• 유한 단순화 복합체 2개의 이형성 등급은 계산이 불가능하다.
• 바쁜 비버 챔피언 세트는 계산이 불가능하다.
• 힐버트의 10번째 문제는 계산할 수 없다.

특성.

A가 계산 가능한 집합인 경우, A의 보완은 계산 가능한 집합이다. A와 B가 계산 가능한 세트인 경우, A ∩ B, A b B와 캔터 페어링 함수에 따른 A × B의 영상이 계산 가능한 세트다.

A는 A와 A의 보수가 모두 c. 즉, 둘 다일 경우에만 계산할 수 있는 집합이다. 총 계산 가능한 함수에서 계산 가능한 집합의 사전 이미지는 계산 가능한 집합이다. 총 계산 가능한 편향 하에서 계산 가능한 집합의 이미지는 계산 가능하다. (일반적으로 계산 가능한 함수에 따라 계산 가능한 집합의 이미지는 c. 즉, 계산은 가능하지만 계산은 불가능할 수 있다.)

A는 산술적 계층 구조의$$ $\Delta {\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ 1 ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$ 수준일 경우에만 계산할 수 있는 집합이다.

A는 감소하지 않는 총 계산 가능 함수의 범위 또는 빈 집합인 경우에만 계산 가능한 집합이다. 감소하지 않는 총 계산 가능 함수에 따른 계산 가능 집합의 영상은 계산 가능하다.

참조

• 커틀랜드, N. 연산성. 캠브리지 대학 출판부, 1980년 뉴욕. ISBN0-521-22384-9; ISBN0-521-29465-7
• 로저스, H. MIT 출판사의 재귀적 기능과 유효 계산가능성 이론. ISBN 0-262-68052-1; ISBN 0-07-053522-1
• Soare, R. 반복적으로 셀 수 있는 세트와 도. 수학 논리의 관점. 1987년 베를린 스프링거-베를라크 ISBN 3-540-15299-7

외부 링크

• Sakharov, Alex. "Recursive Set". MathWorld.