플랫 다지관

수학에서, 리만 곡률 텐서가 0 도처에 있다면 리만 다지관은 평평하다고 한다.직관적으로 평면 다지관은 거리와 각도에서 유클리드 공간과 "로컬하게" 보이는 공간이다. 예를 들어 삼각형의 내부 각도는 최대 180°가 된다.null

완전한 평면 다지관의 보편적 커버는 유클리드 공간이다.이것은 모든 콤팩트한 평면 다지관이 토리에 의해 미세하게 덮여 있다는 비버바흐(1911, 1912)의 정리를 증명하는 데 사용될 수 있다; 3차원 사례는 쇤파리(1891)에 의해 일찍이 증명되었다.null

예

다음과 같은 다지관은 평평한 지표를 부여할 수 있다.이것은 그들의 '표준' 메트릭이 아닐 수 있다는 점에 유의하십시오(예를 들어, 2차원 토러스의 평면 메트릭은 $\mathbb {R} ^{3}$ 3 ${\$ null

치수 1

모든 1차원 리만 다양체는 평평하다.반대로 연결된 모든 1차원 평활 다지관이 R ${\$ 또는 $\mathbb {R}$ $S^{1},$ $S^{1},$ , $S^{1$ 에 차이가 있다는 점을 고려하면, 모든 $S^{1},$ 1차원 리만 다지관은 (각각각 표준 리만 구조와 함께) 다음 중 하나에 등축적이라는 것을 쉽게 알 수 있다.요소:

실선
$(0,x)$ 숫자 $x>0$ > $x>0$ 에 대한 $(0,x)$ 열린 간격 $(0,x)$ , x $(0,x)$ ) ${\$ $displaystyle$ $($ $0,x)}$
열린 간격 $(0,\infty )$ , $(0,\infty )$ ) $(0,\infit )$
$\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:x^{2}+y^{2}=r^{2}\}$ { $\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:x^{2}+y^{2}=r^{2}\}$ ( $\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:x^{2}+y^{2}=r^{2}\}$ , y $\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:x^{2}+y^{2}=r^{2}\}$ ) $\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:x^{2}+y^{2}=r^{2}\}$ $\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:x^{2}+y^{2}=r^{2}\}$ $\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:x^{2}+y^{2}=r^{2}\}$ : $\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:x^{2}+y^{2}=r^{2}\}$ $\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:x^{2}+y^{2}=r^{2}\}$ + $\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:x^{2}+y^{2}=r^{2}\}$ $\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:x^{2}+y^{2}=r^{2}\}$ = r $\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:x^{2}+y^{2}=r^{2}\}$ ${\displaystyle \{{(x,y)\in \mathb {R}^{2}:x^{2}+y^{2$ } $}}=r^{2}\}$ 반경 $r,$ $r,$ 의 $\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:x^{2}+y^{2}=r^{2}\}$ $r,$ 일부 $r>0.$ r > $r>0.$ ${\displaystyle r>0$ . {\displaystyle r>0 $.$ $}$

첫 번째와 마지막만이 완성되었다.경계선이 있는 리만 다지관을 포함하는 경우, 반쯤 열린 간격과 닫힌 간격도 포함되어야 한다.null

이 경우에 완전한 서술의 단순성은 모든 1차원 리만 다지관은 부드러운 단위 길이 벡터장을 가지고 있으며, 위의 모델 예들 중 하나에서 나온 이등분법이 적분 곡선을 고려함으로써 제공된다는 사실에서 기인할 수 있다.null

치수 2

5가지 가능성, 차이점형성까지

If $(M,g)$ is a smooth two-dimensional connected complete flat Riemannian manifold, then $M$ must be diffeomorphic to $\mathbb {R} ^{2},$ $S^{1}\times \mathbb {R} ,$ ${\displaystyle S^{1}\times S^{$ $1}},$ 뫼비우스 스트립 또는 $S^{1}\times S^{1},$ 클라인 병.Note that the only compact possibilities are $S^{1}\times S^{1}$ and the Klein bottle, while the only orientable possibilities are $\mathbb {R} ^{2},$ $S^{1}\times \mathbb {R} ,$ and ${\displaystyle S^{1}\times S$ $^{1}.}$

이 공간들에 대한 뚜렷한 완전한 리만족 지표를 설명하기 위해서는 더 많은 노력이 필요하다.예를 들어, $S^{1}\times S^{1}$ $S^{1}\times S^{1}$ $S^{1}\times S^{1}$ $S^{1}\times S^{1}$ 1 ${\$ S $^{1}\times$ S $^{1}$ 는 두 요소를 서로 다른 반지름을 가질 수 있기 때문에, 이 공간은 스케일 팩터까지 등축이 아닌 서로 다른 평판 제품 메트릭을 가질 수 있기 때문에, 다양한 평판 제품 메트릭도 $S^{1}\times S^{1}$ 가지고 있다.다섯 가지 가능성에 대해 한결같이 이야기하기 위해서, 특히 뫼비우스 스트립과 클라인 병을 추상 다지기로 구체적으로 작업하기 위해서는 집단 행동의 언어를 사용하는 것이 유용하다.null

5가지 가능성, 등각도 측정까지

Given $(x_{0},y_{0})\in \mathbb {R} ^{2},$ let $T_{(x_{0},y_{0})}$ denote the translation $\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ given by ${\displays$ $tyle (x,y)\mapsto (x+x_{0},y+y_{0}).$ $}$ $R$ $R$ 은 $R$ $\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ (는 $)$ $\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ 2 $\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ → $\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ 2 ${\$ $(x,y)\mapsto (x,-y).$ ( $(x,y)\mapsto (x,-y).$ $(x,y)\mapsto (x,-y).$ $(x,y)\mapsto (x,-y).$ ) $(x,y)\mapsto (x,-y).$ ( $(x,y)\mapsto (x,-y).$ $(x,y)\mapsto (x,-y).$ - y $(x,y)\mapsto (x,-y).$ ) $(x,y)\mapsto (x,-y).$ . ${\displaystyle (x,-y)\mapso.$ $}},$ $b$ , $a,b,$ 두 개의 양수를 지정하면 $(x,y)\mapsto (x,-y).$ , 다음과 같은 $\mathbb {R} ^{2}$ $\operatorname {Isom} (\mathbb {R} ^{2}),$ $\operatorname {Isom} (\mathbb {R} ^{2}),$ ( $\operatorname {Isom} (\mathbb {R} ^{2}),$ 2 $\operatorname {Isom} (\mathbb {R} ^{2}),$ ) $\operatorname {Isom} (\mathbb {R} ^{2}),$ ${\displaystyle$ $\$ $operatorname {Isom}(\mathb {R}$ ^{ $2}),$ R $\mathbb {R} ^{2}$ 의 등계 그룹 $\operatorname {Isom} (\mathbb {R} ^{2}),$ ${\$ {R $}{{{R}{{}}}}}}}}}}}}}}{{{}}$ 의 표준 메트릭을 고려하십시오 $a,b,$ .null

$G_{e}=\{T_{(0,0)}\}}\$
$G_{\text{cyl}}(a)=\{T_{(an,0)}:n\in \mathb {Z} \}}$
$G_{\text{tor}}(a,b)=\{T_{(na,mb)}:m,n\in \mathbb {Z} \}$ $G_{\text{tor}}(a,b)=\{T_{(na,mb)}:m,n\in \mathbb {Z} \}$ ( $G_{\text{tor}}(a,b)=\{T_{(na,mb)}:m,n\in \mathbb {Z} \}$ , b $G_{\text{tor}}(a,b)=\{T_{(na,mb)}:m,n\in \mathbb {Z} \}$ ) $G_{\text{tor}}(a,b)=\{T_{(na,mb)}:m,n\in \mathbb {Z} \}$ = $G_{\text{tor}}(a,b)=\{T_{(na,mb)}:m,n\in \mathbb {Z} \}$ { $G_{\text{tor}}(a,b)=\{T_{(na,mb)}:m,n\in \mathbb {Z} \}$ $G_{\text{tor}}(a,b)=\{T_{(na,mb)}:m,n\in \mathbb {Z} \}$ $G_{\text{tor}}(a,b)=\{T_{(na,mb)}:m,n\in \mathbb {Z} \}$ , $G_{\text{tor}}(a,b)=\{T_{(na,mb)}:m,n\in \mathbb {Z} \}$ $G_{\text{tor}}(a,b)=\{T_{(na,mb)}:m,n\in \mathbb {Z} \}$ ) $G_{\text{tor}}(a,b)=\{T_{(na,mb)}:m,n\in \mathbb {Z} \}$ : m $G_{\text{tor}}(a,b)=\{T_{(na,mb)}:m,n\in \mathbb {Z} \}$ , $G_{\text{tor}}(a,b)=\{T_{(na,mb)}:m,n\in \mathbb {Z} \}$ $G_{\text{tor}}(a,b)=\{T_{(na,mb)}:m,n\in \mathbb {Z} \}$ Z $G_{\text{tor}}(a,b)=\{T_{(na,mb)}:m,n\in \mathbb {Z} \}$ ${\displaystyle G_{\text{tor}}(a,b)=\{T_{(na,mb)}:m,n\in \$ $mathb{$ $}}}}}}}}$ 는 < $b$ $}$
$G_{\text{Moeb}}(a)=\{T_{{T}\cup \{T_{(n+1)a,0)}\circule R:n\in \mathb {Z}\}}}}$
$G_{\text}{KB}}=\{T_{{T_{{T}\cup{T_{(n+1)a,bm)}\circule R:n,m\in \mathb {Z}\}}}}}}:$

이들은 모두 $\mathbb {R} ^{2},$ $\mathbb {R} ^{2},$ , ${\displaystyle \mathb {$ $\mathbb {R} ^{2}/G$ $} ^{2}}$ 에서 자유롭고 적절하게 불연속적으로 작용하는 그룹들이기 때문에 $\mathbb {R} ^{2},$ 다양한 코스켓 공간 R $\mathbb {R} ^{2}/G$ / $\mathbb {R} ^{2}/G$ G $\mathb {R} ^{2}/G$ 모두 자연스레 $\mathbb {R} ^{2}/G$ 2차원 완전 평면 리만 다지붕의 구조를 가지고 있다.그들 중 어느 것도 서로 등축적이지 않고, 어떤 부드러운 2차원 완전 평면도 리만 다지관 등축과 그 중 하나를 연결했다.null

오비폴즈

오비폴드에 관한 기사에는 17개의 벽지 그룹에 해당하는 평면 미터법(토러스, 클라인 병 포함)을 가진 17개의 콤팩트 2차원 오비폴드가 있다.null

언급

도너츠로서 토러스(torus)의 표준 '그림'은 중심에서 가장 멀리 떨어진 점들은 양의 곡률을 갖는 반면 중심에서 가장 가까운 점들은 음의 곡률을 가지기 때문에 평평한 미터법으로 나타내지 않는다는 점에 유의한다.According to Kuiper's formulation of the Nash embedding theorem, there is a $C^{1}$ embedding $S^{1}\times S^{1}\to \mathbb {R} ^{3}$ which induces any of the flat product metrics which exist on $S^{1}\times S^{1},$ but these쉽게 시각화되지 않는다.Since $S^{1}$ is presented as an embedded submanifold of $\mathbb {R} ^{2},$ any of the (flat) product structures on $S^{1}\times S^{1}$ are naturally presented as submanifolds of ${\displaystyle \mathbb$ ${R} ^{2}\time \mathb {R} ^{2}=\mathb {R}$ ^ $4}$ 마찬가지로 $\mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}=\mathbb {R} ^{4}.$ 클라인 병의 표준 3차원 시각화도 평탄한 메트릭을 나타내지 않는다.뫼비우스 스트립의 표준적인 구조는, 종이 조각의 끝을 함께 붙임으로써, 실제로 평평한 지표를 제공하지만, 완전하지는 않다.null

치수 3

6개의 방향성 및 4개의 방향성이 없는 콤팩트한 평면 3-매니폴드가 있으며, 모두 세이퍼트 섬유 공간이다.^[1] 이들은 10개의 비틀림 없는 결정체 그룹에 의한 $\mathbb {R} ^{3}$ R $\mathbb {R} ^{3}$ ${\$ 의 지수 그룹이다.^[2]또한 방향성이 있는 4개의 공간과 방향성이 없는 4개의 비 컴팩트 공간도 있다.^[3]null

오리엔테이블

10개의 방향성 플랫 3-매니폴드는 다음과 같다.^[3]

유클리드 3-공간, $\mathbb {R} ^{3}$ $\mathbb {R} ^{3}$ ${\$
3-토러스 $T^{3}$ ${\$ 큐브의 반대쪽 면을 접착하여 만든 제품이다 $T^{3}$
한 쌍에 1/2 꼬임으로 큐브의 반대 면에 접착하여 만든 다지관.
한 쌍에 1/4 꼬임으로 큐브의 반대 면에 접착하여 만든 다지관.
육각 프리즘의 반대 면에 1/3 꼬임으로 붙여서 만든 다지관.
육각 프리즘의 반대 면에 6분의 1의 꼬임으로 붙여서 만든 다지관.
한티체-완트 다지관.
다지관 $S^{1}\times \mathbb {R} ^{2}$ $S^{1}\times \mathbb {R} ^{2}$ $S^{1}\times \mathbb {R} ^{2}$ $S^{1}\times \mathbb {R} ^{2}$ $S^{1}\times \mathbb {R} ^{2}$ ${\$ 개가 서로 접착된 두 개의 평행 평면 사이의 공간으로 만들어졌다 $S^{1}\times \mathbb {R} ^{2}$ .
다지관 $T^{2}\times \mathbb {R}$ $T^{2}\times \mathbb {R}$ $T^{2}\times \mathbb {R}$ $T^{2}\times \mathbb {R}$ ${\$ 무한 사각 굴뚝의 반대쪽 벽을 붙여서 만들었다 $T^{2}\times \mathbb {R}$ .
무한사각형 굴뚝의 반대편 벽을 한 쌍에 1/2 꼬임으로 붙여서 만든 다지관.

방향성이 없음

방향성이 없는 3-매니폴드 8개는 다음과 같다.^[4]

원과 클라인 병의 데카르트 제품, $S^{1}\times K$ $S^{1}\times K$ $S^{1}\times K$ $S^{1}\times K$ ${\displaystyle$ S $^{1}\time$ K $S^{1}\times K$
앞서 언급한 것과 유사하지만 활공면과 평행한 한 방향으로 변환적으로 오프셋되는 다지관. 이 방향으로 이동하면 다지관의 반대편으로 되돌아간다.
다지관은 두 개의 페렌디컬 글라이드 평면에 걸쳐 한 점을 반사하고 세 번째 방향을 따라 번역함으로써 만들어졌다.
앞서 언급한 것과 유사하지만 한 방향에서 하나의 활공면과 평행하게 오프셋되는 다지관. 이 방향으로 이동하면 다지관의 반대편으로 되돌아간다.
원과 뫼비우스 스트립의 데카르트 제품.
다지관 $K\times \mathbb {R}$ $K\times \mathbb {R}$ $K\times \mathbb {R}$ ${\$ 은(는) 한 축을 따라 점을 번역하여 수직 활공면에 반사함으로써 만들어졌다 $K\times \mathbb {R}$ .
다지관은 한 축을 따라 점을 번역하여 평행 활공면에 반사하여 만들었다.
다지관은 두 개의 수직 활공 평면에 걸쳐 한 점을 반사하여 만들어졌다.

상위 치수

유클리드 공간
토리
평면 다지관 제품
그룹이 자유롭게 행동하는 플랫 다지관의 인용구.

어메니빌리티와의 관계

비양성 단면 곡률을 가진 모든 폐쇄형 다지관 중에서 평평한 다지관은 정확히 수용 가능한 기본 그룹을 가진 다지관으로 특징지어진다.null

이것은 아담스-볼만 정리(1998)의 결과로서,^[5] 이 특성화는 하다마드 공간의 등각류 등각류 집단의 훨씬 일반적인 설정에서 확립된다.이것은 비버바흐의 정리에 대한 광범위한 일반화를 제공한다.null

아담스-발만 정리에서는 불명확한 가정이 필수적이다. 그렇지 않으면, 분류에는 대칭적인 공간, 브루하트-티츠 건물, 그리고 카프라스-모노드의 "비구체적인" 비버바흐 정리 관점에서 배스-세레 나무가 포함되어야 한다.^[6]null

참고 항목

참조

Bieberbach, L. (1911), "Über die Bewegungsgruppen der Euklidischen Räume I", Mathematische Annalen, 70 (3): 297–336, doi:10.1007/BF01564500, S2CID 124429194.

Bieberbach, L. (1912), "Über die Bewegungsgruppen der Euklidischen Räume II: Die Gruppen mit einem endlichen Fundamentalbereich", Mathematische Annalen, 72 (3): 400–412, doi:10.1007/BF01456724, S2CID 119472023.

Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1996), Foundations of differential geometry. Vol. I (Reprint of the 1963 original ed.), New York: John Wiley & Sons, Inc., pp. 209–224, ISBN 0-471-15733-3
Schoenflies, A. (1891), Kristallsysteme und Kristallstruktur, Teubner.

Vinberg, E.B. (2001) [1994], "Crystallographic group", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press

외부 링크

Weisstein, Eric W. "Flat Manifold". MathWorld.

참조

^ 피터 스콧 , 3마니폴드의 기하학이지(errata), Bull. 런던 수학. Soc. 15 (1983년), 5, 401–487번.
^ Miatello, R. J.; Rossetti, J. P. (29 October 1999). "Isospectral Hantzsche-Wendt manifolds". Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (Crelles Journal). 1999 (515): 1–23. doi:10.1515/crll.1999.077. ISSN 1435-5345.
^ ^a ^b The early universe and the cosmic microwave background : theory and observations. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. 2003. pp. 166–169. ISBN 978-1-4020-1800-8.
^ 봇이 곧 이 인용문을 완성할 것이다.대기열 arXiv:0311476을 건너뛰려면 여기를 클릭하십시오.
^ Adams, S.; Ballmann, W. (1998). "Amenable isometry groups of Hadamard spaces". Math. Ann. 312 (1): 183–195. doi:10.1007/s002080050218. S2CID 15874907.
^ Caprace, P.-E.; Monod, N. (2015). "An indiscrete Bieberbach theorem: from amenable CAT(0) groups to Tits buildings". J. École Polytechnique. 2: 333–383. doi:10.5802/jep.26.

[1] 피터 스콧 , 3마니폴드의 기하학이지(errata), Bull. 런던 수학. Soc. 15 (1983년), 5, 401–487번.

[2] Miatello, R. J.; Rossetti, J. P. (29 October 1999). "Isospectral Hantzsche-Wendt manifolds". Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (Crelles Journal). 1999 (515): 1–23. doi:10.1515/crll.1999.077. ISSN 1435-5345.

[flatori3-3] The early universe and the cosmic microwave background : theory and observations. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. 2003. pp. 166–169. ISBN 978-1-4020-1800-8.

[conway-4] 봇이 곧 이 인용문을 완성할 것이다.대기열 arXiv:0311476을 건너뛰려면 여기를 클릭하십시오.

[5] Adams, S.; Ballmann, W. (1998). "Amenable isometry groups of Hadamard spaces". Math. Ann. 312 (1): 183–195. doi:10.1007/s002080050218. S2CID 15874907.

[6] Caprace, P.-E.; Monod, N. (2015). "An indiscrete Bieberbach theorem: from amenable CAT(0) groups to Tits buildings". J. École Polytechnique. 2: 333–383. doi:10.5802/jep.26.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

Search