균일한 구체의 밀착형

HCP(왼쪽) 격자와 FCC(오른쪽) 격자에서 동일한 구체의 근접 패킹 그림

기하학에서, 등구체의 근접 패킹은 무한하고 규칙적인 배열(또는 격자)에서 합동 구체의 조밀한 배열이다.칼 프리드리히 가우스는 격자 패킹에 의해 달성될 수 있는 가장 높은 평균 밀도, 즉 구가 차지하는 공간의 가장 큰 부분이 다음과 같은 것을 증명했다.

{\frac {\pi }{3{\sqrt {2}}}}\approx 0.74048

3

{\frac {\pi }{3{\sqrt {2}}}}\approx 0.74048

0 .

74048

（

displaystyle

）。{ 3

displaystyle

{

pi

} { 3

displayrt

{ } } \ 0 .

74048

。

동일한 패킹 밀도는 스태킹 방향으로 비주기적인 구조를 포함하여 동일한 면의 면 밀착형 구를 번갈아 쌓는 방법으로도 달성할 수 있습니다.케플러의 추측은 이것이 규칙적이든 불규칙적이든 구체의 배열에 의해 달성될 수 있는 가장 높은 밀도라고 말한다.이 추측은 T. C.^[1]^[2] 헤일스에 의해 증명되었다.가장 높은 밀도는 1, 2, 3, 8, 및 24 ^[3]차원에서만 알려져 있습니다.

많은 결정 구조는 단일 종류의 원자를 밀착하거나 큰 이온을 밀착시켜 그 사이의 공간을 채우는 작은 이온을 기반으로 합니다.입방정 및 육각형 배열은 에너지 면에서 서로 매우 가깝기 때문에 첫 번째 원리로 어떤 형태가 선호될지 예측하기 어려울 수 있습니다.

FCC 및 HCP 격자

4중 축 방향으로 FCC 배치

FCC		HCP

FCC 배치는 정사각형 또는 삼각형의 두 개의 다른 평면에서 방향을 지정할 수 있습니다.이것들은 하나의 중심구 주위에 있는 12개의 인접 구체의 위치를 나타내는 12개의 정점이 있는 정육면체에서 볼 수 있다.HCP 배열은 삼각형 방향에서 볼 수 있지만, 삼각형 직소성 우폴라 배열에서 구체의 두 위치를 번갈아 볼 수 있습니다.

이 가장 높은 평균 밀도를 달성하는 두 개의 단순한 규칙 격자가 있습니다.대칭에 따라 면중심입방체(FCC)와 육각형밀착(HCP)이라고 불립니다.둘 다 삼각형 타일링의 정점에 배치된 구체의 시트를 기반으로 합니다. 시트가 서로 겹쳐지는 방식이 다릅니다.FCC 격자는 수학자들에게 A 루트₃ ^[4]시스템에 의해 생성된 격자로도 알려져 있습니다.

포탄 문제

포탄은 양쪽 FCC 격자로 삼각형(전면)과 직사각형(후면) 베이스에 쌓였습니다.

구체의 밀착 포장 문제는 1587년 경 토마스 해리어트에 의해 수학적으로 처음 분석되었는데, 이는 선박에 대포알을 쌓는 것에 대한 질문이 미국 ^[5]원정에서 월터 롤리 경에 의해 제기된 이후였다.대포알은 보통 직사각형 또는 삼각형의 나무틀에 쌓여서 3면 또는 4면 피라미드를 형성했다.두 배치 모두 지면과 다른 방향을 가진 면 중심의 입방체 격자를 생성합니다.육각형의 밀착은 육각형의 밑면을 가진 육각형의 피라미드를 만들 것이다.

눈싸움을 준비하기 위해 눈덩이가 쌓였다.전면 피라미드는 육각형으로 촘촘히 채워져 있고 후면은 면 중심의 입방체이다.

캐논볼 문제는 어떤 평평한 사각형 배열의 캐논볼을 사각형 피라미드로 쌓을 수 있는지 물어봅니다.에두아르 루카스는 디오판틴 방정식 $\sum _{n=1}^{N}n^{2}=M^{2}$ θ $\sum _{n=1}^{N}n^{2}=M^{2}$ $\sum _{n=1}^{N}n^{2}=M^{2}$ $\sum _{n=1}^{N}n^{2}=M^{2}$ $\sum _{n=1}^{N}n^{2}=M^{2}$ n 2 $\sum _{n=1}^{N}n^{2}=M^{2}$ $\sum _{n=1}^{N}n^{2}=M^{2}$ ({ $displaystyle \sum$ _ { $n=1$ }^{N $} n^{$ 2} $=$ ${\frac {1}{6}}N(N+1)(2N+1)=M^{2}$ ( ${\frac {1}{6}}N(N+1)(2N+1)=M^{2}$ N + ${\frac {1}{6}}N(N+1)(2N+1)=M^{2}$ ) ${\frac {1}{6}}N(N+1)(2N+1)=M^{2}$ ${\frac {1}{6}}N(N+1)(2N+1)=M^{2}$ ${\frac {1}{6}}N(N+1)(2N+1)=M^{2}$ $(\$ $displaystyle {frac})$ 로 문제를 공식화했다. $M^{2}}$ 및 ${\frac {1}{6}}N(N+1)(2N+1)=M^{2}$ 유일한 솔루션은 N $N=1,M=1,$ , M $N=1,M=1,$ , $N=1,M=1,$ {\ $displaystyle$ N $=1,$ M $=1,$ $N=24,M=70$ N $N=24,M=70$ $N=24,M=70$ $N=24,M=70$ $N=24,M=70$ $(\displaystyle$ N $=24, M=70$ 이라고 추측됩니다. $N$ 서 N $({displaystyle$ N $}$ 은 $N$ 피라미드 스태킹 배열의 레이어 $,$ M({ $displaystyle$ M})은 $M$ 플랫 정사각형 배열의 가장자리를 따른 캐논볼 수입니다.

위치 및 간격

FCC와 HCP 모두 각 구에는 12개의 네이버가 있습니다.모든 구에 대해 6개의 구(팔면체)로 둘러싸인 1개의 갭과 4개의 구(사면체)로 둘러싸인 2개의 작은 갭이 있습니다.이러한 격차를 센터로 주변의 중심으로부터의 거리 .frac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.frac.num,.mw-parser-output.frac .den{:80%;line-height:0;vertical-align:슈퍼 font-size}.mw-parser-output.frac .den{vertical-align:서브}.mw-parser-output .sr-only{√.mw-parser-output 있다.국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}3⁄2은 tetrahedral을 위해 만들어 주고 octahedral에 √2 때 범위를 반경은 1.

위치 결정 A를 가지는 기준층에 대해서, 2개의 위치 결정 B, C가 더 가능하다.A, B, C의 모든 시퀀스는 같은 것을 즉시 반복하지 않고 가능하며, 주어진 반지름의 구에 대해 균등하게 밀도가 높은 패킹을 제공한다.

가장 일반적인 것은

FCC = ABC ABC...(3층마다 동일)
HCP = AB AB AB...(기타 레이어는 모두 동일합니다).

무수한 무질서한 평면 배열이 있다(예: ABCACB).ABABAC...) 결정학자 윌리엄 ^[6]바로우의 이름을 따서 통칭하여 '바로우 패킹'으로 불리기도 한다.

근접 패킹에서 xy 평면에서 구체의 중심에서 중심까지의 간격은 하나의 구 직경의 피치(구 중심 간 거리)를 가진 단순한 벌집 모양의 테셀레이션입니다.z(수직) 축에 투영되는 구 중심 사이의 거리는 다음과 같습니다.

{\text{pitch}_{Z}=sqrt {6}}\cdot {d \over 3)\약 0.816,496,58d,

여기서 d는 구체의 직경이며, 이는 촘촘한 구체의 사면체 배열에서 비롯됩니다.

HCP와 FCC의 조정 번호는 12이며, 그 Atomic Packing Factor(APF; 원자 패킹 계수)는 상기의 수치인 0.74와 같습니다.

HCP와 FCC의 비교

그림 1 – HCP 격자(왼쪽)와 FCC 격자(오른쪽)각 브라바 격자의 윤곽은 빨간색으로 표시됩니다.문자는 어떤 레이어가 동일한지 나타냅니다.HCP 매트릭스에는 모든 구가 같은 위치에 있는 두 개의 "A" 레이어가 있습니다.FCC 스택의 3개 레이어는 모두 다릅니다.FCC 스태킹은 파선으로 둘러싸인 윤곽과 같이 맨 위 구면 변환에 의해 HCP 스태킹으로 변환될 수 있습니다.


그림 2 – 그림 1에 표시된 HCP 격자의 11개 구(球)의 스택을 나타냅니다.HCP 스택은 그림 3에 나타낸 FCC 스택의 상위 3계층과 하위 계층에서만 다릅니다.적절한 회전 또는 변환을 통해 FCC로 변경할 수 있습니다.	그림 3 – Thomas Harriot (1585년경)은 FCC 격자를 가진 포탄 배열 또는 포탄 스택의 수학을 먼저 고려했다.스택을 둘러싼 정4면체의 각 모서리를 따라 인접한 볼이 모두 서로 직접 접촉하는 방법에 유의하십시오.이것은 그림 2와 같이 HCP 격자에서는 발생하지 않는다.

격자 생성

구체 패킹 격자를 형성할 때 가장 먼저 주목해야 할 점은 두 개의 구가 접촉점을 교차하는 구 중심에서 다른 구 중심까지 직선을 그릴 수 있다는 것이다.따라서 최단 경로를 따라 중심 사이의 거리는 직선이 r₁₂ + r이 됩니다. 여기서 r은 첫 번째 구체의 반지름이고₂ r은 두 번째 구체의 반지름입니다₁.면밀한 패킹에서는 모든 구가 공통 반지름 r을 공유한다.따라서 두 개의 중심은 단순히 거리 2r을 가집니다.

단순 HCP 격자

밀착 격자 생성 애니메이션입니다.주의: 세 번째 레이어(표시되지 않음)가 첫 번째 레이어 바로 위에 있는 경우 HCP 격자가 구축됩니다.세 번째 레이어가 첫 번째 레이어의 구멍 위에 배치되면 FCC 격자가 생성됩니다.

A-B-A-B-B-B를 형성하기 위해서...구체의 육각형 근접 패킹, 격자의 좌표점이 구체의 중심이 됩니다.HCP에 따라 상자를 구로 채우는 것이 목표라고 가정합니다.이 상자는 x-y-z 좌표 공간에 배치됩니다.

먼저 구의 열을 형성합니다.중앙은 모두 일직선으로 놓여 있습니다.구체의 각 중심 간 거리가 2r이므로 x 좌표는 2r씩 변합니다.y 좌표와 z 좌표는 동일합니다.단순하게 하기 위해 공이 첫 번째 행이고 y 및 z 좌표가 단순히 r이므로 표면이 제로 평면에 놓여 있다고 가정합니다.첫 번째 행의 중심 좌표는 (2r, r, r), (4r, r), (6r, r, r), (8r, r, r), ...와 같습니다.

이제, 다음 줄의 구를 형성하세요.다시 말하지만 중심은 모두 x좌표 차이가 2r인 직선상에 있지만 이 행의 모든 구의 중심이 첫 번째 행에서 두 개의 구가 접촉하는 x좌표와 일치하도록 거리 r의 이동이 발생합니다.이렇게 하면 새 행의 모든 구가 첫 번째 행의 두 구에 닿을 때까지 새 행의 구가 첫 번째 행에 더 가깝게 슬라이드할 수 있습니다.새로운 구들은 두 개의 구와 접촉하기 때문에, 그들의 중심은 두 개의 이웃의 중심과 등변 삼각형을 형성한다.변의 길이는 모두 2r이므로 각 행의 높이 또는 y좌표 차이는 3r 이하입니다.따라서 이 행에는 다음과 같은 좌표가 있습니다.

(\displaystyle \left(r,r+{\signrt {3}r,r\right), \left(5r,r+{\signrt {3}r,r\right), \left(7r,r+{\signrt {3}rt {3}r,r\r\r\r\right},\right}).

이 행의 첫 번째 구면에는 원래 행의 한 구면만 닿지만 그 위치는 나머지 행과 함께 따라갑니다.

다음 행은 x좌표를 r만큼, y좌표를 θ3만큼 이동하는 패턴을 따릅니다.상자의 x 및 y 최대 경계에 도달할 때까지 행을 추가합니다.

A-B-A-B-... 적층 패턴에서는 홀수 구면의 좌표는 정확히 동일하지만 z 좌표의 피치 차이는 제외되며 짝수 구면의 x 좌표와 y 좌표는 동일합니다.두 유형의 평면이 위에서 설명한 패턴을 사용하여 형성되지만 첫 번째 행의 첫 번째 구면 시작 위치가 다릅니다.

위에서 평면 #1로 정확히 설명된 평면을 사용하여 A 평면의 세 구에 닿도록 이 평면 위에 구를 배치합니다.세 개의 구는 이미 서로 맞닿아 있고, 등변삼각형을 형성하고 있으며, 모두 새로운 구에 맞닿아 있기 때문에 네 개의 중심은 정사면체를 ^[7]형성한다.모든 변이 두 개의 구와 맞닿아 형성되기 때문에 모든 변은 2r과 같다.높이 또는 두 "평면" 사이의 z 좌표 차이는6r2/3. 이것은 x 좌표와 y 좌표의 오프셋과 조합하여 B 평면의 첫 번째 행의 중심을 나타낸다.

\displaystyle \left(r,r+{\frac {{\fracrt {3}r},r+{\frac {6}r2}{3}},\right,\left(3r,r+{\frac {3}},r+{\frac {\frac {\frac {\frcrcrcr6}r}r2}r}{{{3}r},\left}{{{{{}}}}}}},\r},\r},\right}{{{{{{}}}}}}}}

두 번째 행의 좌표는 위에서 처음 설명한 패턴을 따르며 다음과 같습니다.

\displaystyle \left(2r,r+{\frac {4sqrt {3}r},r+{\frac {6}r2}{3}\right},\left(4r,r+{\frac {4sqrt {3}},r+{\frac {3}right}},\frac {\frac {3}right},right},

다음 평면인 A 평면과의 차이는 다시 z 방향에서 6r2/3 이상이고 첫 번째 A ^[8]평면의 x 좌표와 y 좌표와 일치하도록 x와 y의 시프트입니다.

일반적으로 구심 좌표는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

{\bmatrix}2i+((j\+\k){\bmod {2}})\left[j+{\frac {1}{3}}(kbmod {2}}\right]\\{\frac {2gcrt {6}}{3}}k\end {bmatrix}}r

여기서 i, j 및 k는 x, y 및 z-표시에 대해 0에서 시작하는 지수이다.

밀러 지수

HCP 격자에 대한 밀러-브라바이스 지수

벡터 및 원자 평면 패밀리와 같은 HCP 시스템의 결정학적 특성은 4값 밀러 지수 표기법(hkil)을 사용하여 설명할 수 있다. 여기서 세 번째 지수 i는 -h - k와 같은 편리하지만 퇴화 성분을 나타낸다.h, i 및 k 지수 방향은 120°만큼 떨어져 있으므로 직교하지 않습니다. l 성분은 h, i 및 k 지수 방향과 서로 수직입니다.

남은 공간 채우기

FCC 및 HCP 패킹은 대칭이 가장 높은 균일한 구(최소 반복 단위)의 밀도가 가장 높은 것으로 알려진 패킹입니다.밀도가 높은 구면 패킹은 알려져 있지만, 구면 패킹이 동일하지 않습니다.패킹 밀도가 1이면 공간을 완전히 채울 수 있으며 벌집과 같은 비구면 형상이 필요합니다.

두 구간의 각 접점을 접촉구의 중심을 연결하는 가장자리로 치환하면 모서리 길이가 같은 사면체와 팔면체가 생성된다.FCC는 사면체-팔면체 벌집을 생산한다.HCP 배열은 회전하는 사면체-팔면체 벌집을 생성합니다.대신, 모든 구체가 다른 구보다 더 가까운 공간의 점으로 증가하면, FCC의 경우 마름모꼴 12면체 벌집과 HCP의 경우 트라페조-마름모꼴 12면체 벌집인 벌집이 생성됩니다.

FCC 또는 HCP 배열의 비눗물에 구형의 기포가 나타나는 것은 기포 사이의 틈새에 있는 물이 빠지면입니다.이 패턴은 마름모꼴 12면체 벌집 또는 트라페조-마름모꼴 12면체 벌집에도 접근합니다.그러나 이러한 FCC나 HCP의 액체 함량이 매우 작은 발포 기포는 Plato의 법칙을 만족시키지 못하기 때문에 불안정합니다.켈빈 거품이랑 와인...Phelan 폼은 매우 작은 액체 ^[9]함량의 한계에서 더 작은 계면 에너지를 가지고 있어 더 안정적입니다.

hcp 및 fcc 구성에는 사면체와 팔면체 보이드의 두 가지 유형의 구멍이 남아 있습니다.4개의 구가 사면체 구멍을 둘러싸고 있으며 3개의 구가 한 층에 있고 다음 층에서 한 구가 있습니다.6개의 구가 한 층에서 세 개의 구와 다음 층에서 세 개의 구로 이루어진 팔면체 공간을 둘러싸고 있습니다.예를 들어, 많은 단순한 화학 화합물의 구조는 종종 더 큰 원자로 구성된 닫힌 충전 시스템에서 사면체 또는 팔면체 구멍을 차지하는 작은 원자의 관점에서 설명된다.

층상구조는 빈 팔면체와 채워진 팔면체면을 번갈아 가면서 형성된다.두 개의 팔면체 층은 보통 FCC 패킹 시스템의 hpc에 의해 채워질 수 있는 네 개의 구조 배치를 허용합니다.사면체 구멍을 메울 때 완전한 메우는 FCC 필드 어레이로 이어집니다.유닛 셀의 경우 홀 충전으로 인해 HCP와 FCC ^[10]레이어링이 혼재된 다면체 어레이가 발생할 수 있습니다.

「」를 참조해 주세요.

메모들

^ Hales, T. C. (1998). "An overview of the Kepler conjecture". arXiv:math/9811071v2.
^ Szpiro, George (2003). "Mathematics: Does the proof stack up?". Nature. 424 (6944): 12–13. Bibcode:2003Natur.424...12S. doi:10.1038/424012a. PMID 12840727.
^ Cohn, H.; Kumar, A.; Miller, S. D.; Radchenko, D.; Viazovska, M. (2017). "The sphere packing problem in dimension 24". Annals of Mathematics. 185 (3): 1017–1033. arXiv:1603.06518. doi:10.4007/annals.2017.185.3.8. S2CID 119281758.
^ Conway, John Horton; Sloane, Neil James Alexander; Bannai, Eiichi (1999). Sphere packings, lattices, and groups. Springer. Section 6.3. ISBN 9780387985855.
^ Darling, David. "Cannonball Problem". The Internet Encyclopedia of Science.
^ Barlow, William (1883). "Probable Nature of the Internal Symmetry of Crystals". Nature. 29 (738): 186–188. Bibcode:1883Natur..29..186B. doi:10.1038/029186a0.
^ "on Sphere Packing". Grunch.net. Retrieved 2014-06-12.
^ Weisstein, Eric W. "Hexagonal Close Packing". MathWorld.
^ Cantat, Isabelle; Cohen-Addad, Sylvie; Elias, Florence; Graner, François; Höhler, Reinhard; Flatman, Ruth; Pitois, Olivier (2013). Foams, Structure and Dynamics. Oxford: Oxford University Press. ISBN 9780199662890.
^ Woodward, Patrick M.; Karen, Pavel; Evans, John S. O.; Vogt, Thomas (2021). Solid State Materials Chemistry. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 9780521873253.

외부 링크

P. Krishna & D. Pandey, University College Cardiff Press의 "Close-Packed Structures" 국제 결정학 연합.카디프, 웨일스PDF

[1] Hales, T. C. (1998). "An overview of the Kepler conjecture". arXiv:math/9811071v2.

[2] Szpiro, George (2003). "Mathematics: Does the proof stack up?". Nature. 424 (6944): 12–13. Bibcode:2003Natur.424...12S. doi:10.1038/424012a. PMID 12840727.

[3] Cohn, H.; Kumar, A.; Miller, S. D.; Radchenko, D.; Viazovska, M. (2017). "The sphere packing problem in dimension 24". Annals of Mathematics. 185 (3): 1017–1033. arXiv:1603.06518. doi:10.4007/annals.2017.185.3.8. S2CID 119281758.

[4] Conway, John Horton; Sloane, Neil James Alexander; Bannai, Eiichi (1999). Sphere packings, lattices, and groups. Springer. Section 6.3. ISBN 9780387985855.

[5] Darling, David. "Cannonball Problem". The Internet Encyclopedia of Science.

[6] Barlow, William (1883). "Probable Nature of the Internal Symmetry of Crystals". Nature. 29 (738): 186–188. Bibcode:1883Natur..29..186B. doi:10.1038/029186a0.

[7] "on Sphere Packing". Grunch.net. Retrieved 2014-06-12.

[8] Weisstein, Eric W. "Hexagonal Close Packing". MathWorld.

[9] Cantat, Isabelle; Cohen-Addad, Sylvie; Elias, Florence; Graner, François; Höhler, Reinhard; Flatman, Ruth; Pitois, Olivier (2013). Foams, Structure and Dynamics. Oxford: Oxford University Press. ISBN 9780199662890.

[10] Woodward, Patrick M.; Karen, Pavel; Evans, John S. O.; Vogt, Thomas (2021). Solid State Materials Chemistry. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 9780521873253.

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v t 포장 문제
추상 포장	빈 세트
서클 패킹	원/정삼각형/등변삼각형/직각삼각형으로 아폴로 개스킷 원 패킹 정리 Tammes 문제(구면)
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