초공간

초공간은 초대칭성을 나타내는 이론의 좌표 공간이다. 그러한 공식에는 일반 공간 치수 x, y, z, ...와 함께 좌표가 실제 숫자가 아닌 그라스만 숫자로 표시된 "반공칭" 치수도 있다. 보통의 공간 치수는 자유도에 해당하고, 반공차원은 자유도에 해당한다.

존 휠러(John Wheeler)는 일반 상대성 이론의 구성 공간을 설명하기 위해 관련 없는 의미로 처음 사용되었는데, 예를 들어, 이러한 용법은 1973년 그의 교과서 중력에서 볼 수 있다.

비공식 토론

이와 유사하지만 등가하지는 않은 초공간 정의가 몇 가지 있으며, 수학 및 물리학 문헌에서 계속 사용되고 있다. 그러한 사용법 중 하나는 슈퍼 민코스키 공간의 동의어다.^[1] 이 경우, 일반적인 민코프스키 공간을 차지하고, 로렌츠 그룹과 연관된 클리포드 대수학에서 나온 반커밍 웨일 스피너로 취해진 반커밍 페르미온적 자유도로 확장한다. 동등하게 슈퍼 민코스키 공간은 로렌츠 그룹의 대수인 슈퍼 푸앵카레 대수 모듈로의 몫으로 이해할 수 있다. 그러한 공간의 좌표에 대한 대표적인 표기법은${\displaystyle }$(${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle \theta ,\theta \stackrel{}{}}$ ){\$displaystyle (x,\theta,{\bar{\theta}})$이며, 오버라인은 슈퍼 민코스키 공간이 의도된 공간이라는 기브어웨이가 된다.

초공간은 또한 초벡터 공간의 동의어로도 사용된다. 이것은 그라스만 대수에서 가져온 추가 좌표, 즉 그라스만 숫자인 좌표 방향과 함께 일반적인 벡터 공간으로 간주된다. 사용 중인 슈퍼 벡터 공간을 구축하기 위한 몇 가지 규칙이 있다.^[3] 이 중 두 가지는 로저스와^[2] 드위트에 의해 설명된다.

"초공간"이라는 용어의 세 번째 용어는 슈퍼맨홀드의 동의어로서 다지관의 초대칭 일반화다. 슈퍼 민코프스키 공간과 슈퍼 벡터 공간은 모두 슈퍼노폴드의 특별한 경우로 간주될 수 있다는 점에 유의한다.

네 번째, 그리고 전혀 관련이 없는 의미는 일반상대성이론에서 간략하게 사용되었고, 이것은 하단에서 더 자세히 논의되었다.

예

아래에 몇 가지 예가 제시되어 있다. 첫 번째 소수는 초공간을 초벡터공간으로 정의한다고 가정한다. 이것은^{m n} 짝수 서브 스페이스로 R을^m, 홀수 서브 스페이스로 R을, 홀수 서브 스페이스로 R을ⁿ Z 그라데이션₂ 벡터 스페이스로 나타낸다. C에도^{m n} 동일한 정의가 적용된다.

4차원적인 예들은 초공간이 초민코스키 공간이 된다. 벡터 공간과 유사하지만, 이것은 많은 중요한 차이점을 가지고 있다. 우선 기원을 나타내는 특별한 포인트가 없는 아핀 공간이다. 다음으로, 페르미온 좌표는 그라스만 숫자가 아니라 클리포드 대수에서 나온 반 커밍 웨일 스피너로 간주된다. 여기서의 차이점은 클리포드 대수학이 그라스만 수보다 상당히 풍부하고 미묘한 구조를 가지고 있다는 것이다. 그래서 그라스만 숫자는 외부 대수학의 요소로서 클리포드 대수학은 외부 대수학과의 이형성을 가지고 있지만, 스핀 표현을 구성하는 데 사용되는 직교 그룹과 스핀 그룹과의 관계는 깊은 기하학적 의미를 부여한다.(예를 들어 스핀 그룹은 리만 연구의 정상적인 부분을 형성한다.니안 기하학,^[4] 물리학의 일반적인 한계와 관심사를 완전히 벗어난다.)

사소한 예

가장 작은 초공간은 보소닉 방향도 페르미온 방향도 없는 지점이다. 다른 사소한 예로는 n-차원 실제 평면 R을ⁿ 들 수 있는데, 이것은 n real, bosonic direction으로 확장된 벡터 공간이며, 페르미온적인 방향은 없다. 벡터 공간 R^{0 n}, 즉 n차원 리얼 그라스만 대수학이다. 1 짝수 방향과 1 홀수 방향의^{1 1} 공간 R은 윌리엄 클리퍼드가 1873년에 도입한 이중 숫자의 공간으로 알려져 있다.

초대칭 양자역학의 초공간

초대칭 양자역학은 종종 초공간 R에서^{1 2N} 공식화되는데, 여기에는 시간 t로 식별되는 하나의 실제 방향 t와 1에서 N까지 이어지는 θ과_i θ으로^*_i 확장되는 N 복합 그래스만 방향이 포함된다.

특수 사례 N = 1을 고려하십시오. 초공간 R은^{1 2} 3차원 벡터 공간이다. 따라서 주어진 좌표는 3중(t, θ, θ^*)으로 쓸 수 있다. 좌표는 Lie superalgebra를 형성하는데, 여기서 t의 그라데이션 정도는 짝수이고 θ과^* θ의 그라데이션도는 홀수다. 즉, 이 벡터 공간의 어떤 두 요소 사이에 브래킷이 정의될 수 있으며, 이 브래킷은 두 개의 짝수 좌표와 두 개의 홀수 좌표에서 반코무터인 동안 한 개의 짝수 좌표와 한 개의 홀수 좌표에서 정류자로 감소한다. 이 초공간은 아벨리안 리 초알지브라(Abelian Lie superalgebra)로, 앞서 말한 괄호 모두가 사라진다는 뜻이다.

${\displaystyle \left[t,t\right]=\left[t,\theta \right]=\left[t,\theta ^{*}\right]=\left\{\theta ,\theta \right\}=\left\{\theta ,\theta ^{*}\right\}=\left\{\theta ^{*},\theta ^{*}\right\}=0}$

여기서${\displaystyle }$[ ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [a,b]}$은(는) a와 b의 정류자이고$,{\displaystyle }$ { ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle b\}}${\$displaystyle$\{$a,b\}}$은(는) a와 b의 안티코무터다.

이 벡터 공간에서 그 자체로 함수를 정의할 수 있는데, 이것을 슈퍼필드라고 한다. 위의 대수적 관계는 우리가 θ과 θ에서^* 파워 시리즈로서 슈퍼필드를 확장하면 θ² = θ^*2 = 0이기 때문에 0eth와 첫 번째 순서에서만 항을 찾을 수 있다는 것을 암시한다. 따라서 슈퍼필드는 2개의 그래스만 좌표에서 0eth와 첫 번째 순서 항을 곱한 t의 임의 함수로 쓸 수 있다.

${\displaystyle \Phi \left(t,\theta ,\teta ^{*}\right)=\phi(t)+\Teta \PSI (t)-\Teta ^{*}\Phi ^{*}(t)+\Teta \Teta ^{*}F(t)}$

초공간 초대칭의 표현인 슈퍼필드(Superfields)는 보소닉 공간의 회전군 표현인 텐서(tensor) 개념을 일반화한다.

그런 다음, 0eth 명령어까지 슈퍼필드의 확장에 있어서 첫 번째 순서 용어를 취하고 0eth 명령어를 소멸시키는 그라스만 방향의 파생상품을 정의할 수 있다. 파생상품이 반공관계를 충족시키는 수화 규약을 선택할 수 있다.

${\displaystyle \left\{\frac {\partial }{\partial \theta \theta \}}}}\partial \ipt\{\partial }{*}}\theta ^{*}\right\}=1}{\partial }}}}}}}}}}}}}}}}=1}$

이러한 파생상품은 초과금으로 조립될 수 있다.

${\displaystyle Q={\frac {\partial }{\partial \theta}}-i\Theta ^{*}{\frac {\partial t}{\partial t}}{\partial t}\quad {\text{and}}\quad Q^{\dager }={\partial \fracta ^{*}}}+i\세타 {\frac {\partial }{\partial t}}$

대칭대칭대수의 페르미온 생성기로 식별되는 해독기

${\displaystyle \left\{Q,Q^{\doger }\,\right\}=2i{\frac {\partial t}}}}$

여기서 i 곱하기 시간 파생상품은 양자역학에서 해밀턴 연산자다. Q와 그 부호인 안티코뮤트 둘 다 자신들과 함께. 초대칭변수 ε의 초대칭변수 ε을 갖는 초대칭변동은 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle \delta _{\epsilon }\Phi =(\\epsilon ^{*}Q+\epsilon Q^{\dager }}\Phi.}$

우리는 슈퍼필드에서 Q의 작용을 이용하여 이러한 변동을 평가할 수 있다.

${\displaystyle \왼쪽[Q,\Phi \오른쪽]=\왼쪽({\frac {\partial \partial \}{\partial \theta }\,-i\theta ^}{*}{\frac {\partial t}\partial t}\오른쪽)\\\Phi =\psi +\theta ^{*}\왼쪽(F-i{\dot{\phi }}\i\theta ^{*}{\dot {\psi }}).}$

마찬가지로 초공간에서 공변량 파생상품을 정의할 수 있다.

${\displaystyle D={\frac {\partial }{\partial \theta }}-i\theta ^{*}{\frac {\partial }{\partial t}}\quad {\text{and}}\quad D^{\dagger }={\frac {\partial }{\partial \theta ^{*}}}-i\theta {\frac {\partial }{\partial t}}}$

초대칭 대수학에서 잘못된 부호 초대칭 대수를 만족시키고 초임률 대수를 만족시키는 것.

${\displaystyle \{D,}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {†}^{}}$ }${\displaystyle {}^{}\}}$ = - 2 ${\displaystyle i}$ $display$ t {\${\displaystyle \frac{\mathrm{displaystyle}}{}}$ $\left$\{$D,^{D,d$^{}\$dager }\$right$\}=-2i{\frac {\partial$ }{\$partial t$

공변량 파생상품과 슈퍼차이와의 반공변형 파생상품이 대칭변형 변환을 의미한다는 사실은 동일한 슈퍼차이전드의 동일한 초대칭변형 변환의 공변형 파생상품과 동일하다. 따라서 텐서로부터 텐서를 구성하는 보소닉 기하학에서 공변량 파생상품을 일반화하면 초공간 공변량 파생상품은 슈퍼필드로부터 슈퍼필드를 구성한다.

4차원 N = 1 초공간

아마도 물리학에서 가장 인기 있는 초공간은 d=4 N=1 슈퍼 민코우스키 공간^{4 4} R일 것이다. 이 공간은 4개의 실제 보소닉 치수와 4개의 실제 그라스만 치수를 직접 합한 것이다(페르미온 치수로도 알려져 있다).^[5] 초대칭 양자장 이론에서, 초대칭 대수라고 불리는 Lie 초대칭 양자장의 표현을 제공하는 초대칭 양자장 이론에 관심이 있다. 초대칭 대수학의 보소닉 부분은 푸앵카레 대수인 반면 페르미오닉 부분은 그라스만 숫자의 스피너를 사용하여 구성된다.

이러한 이유로 물리적 적용에서는 R의^{4 4} 네 가지 페르미오닉 방향에서 초대칭 대수학의 작용을 고려하여 푸앵카레 아발지브라 아래에서 스피너로 변환한다. 4차원에는 3개의 뚜렷한 불분명한 4성분 스피너가 있다. Majorana 스피너, 왼손잡이 Weyl 스피너, 오른손잡이 Weyl 스피너 등이 있다. CPT 정리는 S-매트릭스가 단일체 매트릭스이고 점근성 외측상태에서와 같은 Poincaré 발생기가 점근성 내측상태에서 작용하는 이론인 단일체 푸앵카레 불변성 이론에서 초대칭 대수에는 반드시 동일한 수의 좌손 및 우손 웨일 스피너(Weyl spinternor)를 포함해야 함을 내포하고 있다. 단, 각각의 Weyl Spinor는 4개의 성분을 가지고 있기 때문에, 만약 한 성분이 Weyl Spinor를 포함한다면, 8개의 페르미온 방향을 가져야 한다는 것을 의미한다. 이러한 이론은 초대칭이 확장되었다고 하며, 그러한 모델들은 많은 주목을 받았다. 예를 들어, 8개의 초임율과 기본 물질을 가진 초대칭 게이지 이론은 나단 세이버그와 에드워드 비튼에 의해 해결되었다. 세이버그-비튼 게이지 이론을 참조하라. 그러나 이 하위섹션에서 우리는 4개의 페르미온 구성요소를 가진 초공간을 고려하고 있으므로 어떤 Weyl 스피너도 CPT 정리와 일관되지 않는다.

참고: 많은 간판 규약이 사용되고 있으며 이는 그 중 하나일 뿐이다.

이것은 우리에게 하나의 가능성을 남겨주는데, 4개의 페르미온 방향은 Majorana 스피너 θ로_α 변형된다. 우리는 또한 공극 스피너를 형성할 수 있다.

${\displaystyle {\theta}}\\\stackrel {\mathrm {def}{}}}}{=}\da ^{\dager }\gamma ^0}=-\teta ^{\perp }C}$

여기서 C는 전하 결합 행렬로, 감마 행렬을 결합할 때 감마 행렬이 부정되고 전치되는 속성에 의해 정의된다. 첫 번째 평등은 θ의 정의인 반면 두 번째 평등은 Majorana spinor 조건 condition^* = iγCθ의₀ 결과물이다. 공극 스피너는 위 방정식에서^{1 2} 나타난 Majorana^* 조건이 equation과 θ이^* 독립적이지 않다고 부과하는 것을 제외하고 초공간 R에서 independent과 유사한 역할을 한다.

특히 우리는 초과금을 건설할 수 있다.

${\displaystyle Q=-{\frac {\partial }{\partial }{\partial }{\partial }{\theta }}+\gamma ^{\mu }}}}}}}$

초대칭 대수를 만족시키는 것

${\displaystyle \{Q,Q\right\}=\left\{\c}{\overline {Q},Q\right\}C=2\gamma ^{\mu ^{\i_{\mu }C}$

여기서 $P{\displaystyle }$= ${\displaystyle i{\mathrm{}}_{}}$μ ${\displaystyle {\mu }_{}}$ ${\$은(는) 4-모멘텀 연산자다. 다시 공변량 파생상품은 슈퍼차지처럼 정의되지만 두 번째 항은 부정되고 그것은 슈퍼차지(supercharge)와 반공칭된다. 따라서 슈퍼멀티플릿의 공변량 파생상품은 또 다른 슈퍼멀티플릿이다.

일반 상대성에서는

미스너, 쏘른, 휠러의 중력이라는 책에서도 "초공간"이라는 단어는 전혀 다른 의미와 무관한 의미로 사용되고 있다. 그곳에서 일반상대성이론의 구성공간을 가리키며, 특히 중력을 기하학적 역학으로 보는 시각, 일반상대성이론을 역동적 기하학의 한 형태로 해석하는 시각을 가리킨다. 현대적인 용어로, "초공간"이라는 이 특별한 아이디어는 이론적, 실제적, 예를 들어 숫자 시뮬레이션에서와 같이 다양한 환경에서 아인슈타인 방정식을 풀 때 사용되는 몇 가지 다른 형식주의 중 하나에 포착된다. 여기에는 주로 ADM 형식주의뿐만 아니라 해밀턴-자코비-아인슈타인 방정식과 휠러-디윗 방정식을 둘러싼 아이디어가 포함된다.

참고 항목

• 치랄 초공간
• 조화 초공간
• 투사형 초공간
• 슈퍼그룹

메모들

참조

• Duplij, Steven; Siegel, Warren; Bagger, Jonathan, eds. (2005), Concise Encyclopedia of Supersymmetry And Noncommutative Structures in Mathematics and Physics, Berlin, New York: Springer, ISBN 978-1-4020-1338-6 (2차 인쇄)