윌슨 루프

양자장 이론에서 윌슨 고리는 닫힌 고리를 중심으로 게이지 변수의 평행 이동에서 발생하는 게이지 불변 연산자입니다.이들은 이론의 모든 게이지 정보를 인코딩하여 이러한 루프의 관점에서 게이지 이론을 완전히 설명하는 루프 표현의 구성을 가능하게 합니다.순수 게이지 이론에서 이들은 구속을 위한 명령 연산자의 역할을 수행하며, 여기서 영역 법칙이라고 알려진 것을 만족시킵니다.1974년 Kenneth G. Wilson에 의해 처음 공식화된 이들은 격자 게이지 이론의 기본 매개 변수인 링크와 플라톤을 만드는 데 사용되었습니다.^[1]윌슨 루프는 더 넓은 종류의 루프 연산자에 속하며, 다른 주목할 만한 예로는 윌슨 루프의 자기 이중성인 '후프트 루프'와 윌슨 루프의 열적 버전인 폴리아코프 루프가 있습니다.

정의.

게이지 이론에서 윌슨 루프를 적절하게 정의하려면 게이지 이론의 섬유 번들 공식을 고려해야 합니다.^[2]$여기$서 d ${\displaystyle d}$ - 차원$$ $시공간{\displaystyle }$ M ${\displaystyle M}$의 각 점에 대해 파이버 번들의 파이버라고 알려진 것을 구성하는$$ 게이지 그룹 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 복사본이 있습니다$$.이러한 섬유 번들을 주 번들이라고 합니다.국부적으로 결과 공간은 ${\displaystyle \mathrm{Rd}{}^{}}$× G ${\displaystyle \mathbb {R}^{d}\times G}$처럼 보이지만$$, 전체적으로 서로 다른 섬유가 접착되는 방식에 따라 약간의 꼬인 구조를 가질 수 있습니다.

윌슨 선이 해결하는 문제는 서로 다른 시공간 지점에서 섬유의 점을 비교하는 방법입니다.이는 다른 점의 접선 공간에 사는 접선 벡터를 비교하는 일반 상대성 이론의 평행 수송과 유사합니다.주 번들의 경우 연결을 통해 서로 다른 섬유 지점을 비교하는 자연스러운 방법이 있으며, 이는 게이지 필드를 도입하는 것과 같습니다.연결은 주 번들의 접선 공간을 수직 및 수평 부분 공간으로 알려진 두 개의 부분 공간으로 분리하는 방법이기 때문입니다.^[3]전자는 $섬유{\displaystyle }$ G ${\displaystyle G}$을 따라 가리키는 모든 벡터로 구성된 반면$$ 후자는 섬유에 수직인 벡터로 구성됩니다.이를 통해 접선 벡터가 항상 수평 부분 공간에 존재하는 주 번들의 곡선과 연결하여 서로 다른 시공간 지점에서 섬유 값을 비교할 수 있습니다. 따라서 곡선은 항상 주어진 섬유에 수직입니다.

시작 파이버가 아이덴티티 ${\displaystyle {gi}_{}}$ = ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle g_{i$}= $e}$의 시작점을 가진 좌표 ${\displaystyle x_{}}$ $i$ ${\$displaystyle g_{i}→ e}에 있는 경우$,$ 다른 시공간 $좌표$ x ${\displaystyle f_{}}${\$displaystyle x_{f}$로 이동할 때 이 값이 어떻게 변하는지 확인하려면 시공간 $곡선$ γ을 고려해야 합니다${\displaystyle .}$ :${\displaystyle }$[ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1}$ ]${\displaystyle }$→ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle$\gamma : $[0,$$1]$${\displaystyle {xi}_{}}$ ${\$와 ${\displaystyle {xf}_{}}$ ${\$ 사이의$\rightarrow$ M$}$입니다$.$γ(${\displaystyle t)}$ ${\displaystyle$ \gamma$(t)}$의 수평 양력으로 알려진 주 번들의 해당 곡선은$$곡선 γ ${\displaystyle \stackrel{}{~(}\mathrm{t}}$${\displaystyle )}$ ${\tilde {\$gamma }}($t)$ {\$displaystyle$ {\$tilde$ {\$tilde$ {\gamma $}}($t)이며 γ$~(0)$=$${i}이고 접벡터는 항상 수평 부분공간에 있습니다.게이지 이론의 섬유 다발 공식은 Li-대수 값 게이지 필드 ${\displaystyle A_{}}$ μ (${\displaystyle {}_{}}$x )${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mu }_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle T^{}}$ ${\displaystyle A_{\mu }(x$) =$A_{\mu }^{a}(x)T^{a}}$는 수평 부분 공간을 정의하는 연결과 같으므로 수평 리프트에 대한 미분 방정식으로 이어집니다.

${\displaystyle i{\frac {dg(t)}{dt}}=A_{\mu }(x){\frac {dx^{\mu }}{dt}}g(t)}$

이것은 두 점 사이에 윌슨 선이라는 독특한 공식적인 해를 가지고 있습니다.

${\displaystyle g_{f}(t_{f})=W[x_{i},x_{f}={\mathcal {P}}\exp {\bigg (}i\int_{x_{i}}^{x_{f}}A_{\mu }dx^{\mu }{\bigg}},}$

여기서 $P{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$는 경로 순서 연산자이며, 이것은 아벨리 이론에 필요하지 않습니다.아이덴티티가 아닌 일부 초기 섬유 지점에서 시작하는 수평 리프트는 단지 원래 수평 리프트의 초기 요소에 대한 곱셈을 필요로 합니다.보다 일반적으로, 만약${\displaystyle }$γ${\displaystyle {\stackrel{}{}}^{}}$~${\displaystyle {}^{}}$γ${\displaystyle \text{'}}$ (${\displaystyle 0)}$ =${\displaystyle \stackrel{}{}}$≥ ~ $)$g {\$tilde${\gamma }}'(0) = {\$tilde${\gamma }}($0)g}$이면 γ ${\displaystyle {\stackrel{}{~}}^{}}$ γ${\displaystyle \text{'}(t)}$ = gamma ${\displaystyle \stackrel{}{~}}$($t$ ${\displaystyle g}$$${\$tilde {\$tilde {\gamma }'(t)$$= {\tilde ${\$$tilde {\geq 0}$일 때 입니다$.$

로컬 게이지 변환 $g{\displaystyle (x)}$ ${\displaystyle g(x)}$에서 윌슨 선은 다음과 같이 변환됩니다.

${\displaystyle W[x_{i},x_{f}]\오른쪽 화살표 g(x_{f})W[x_{i},x_{f}]g^{-1}(x_{i}).}$

이 게이지 변환 속성은 종종 물질 필드 ϕ ${\displaystyle (x)}$ ${\displaystyle \phi(x)}$ 변환이 게이지 그룹의 기본 표현에서 윌슨 라인을 직접 도입하는 데 사용되는데, 여기서 윌슨 라인은 조합 ϕ${\displaystyle }$(${\displaystyle {}^{}{}_{}}$ † W${\displaystyle }$[ ${\displaystyle {xi}_{}}$ x ${\displaystyle f_{}}$ ]${\displaystyle {}_{}}$ϕ${\displaystyle }$(${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle f_{}}$ ${\displaystyle \phi(x_{i})$$^{\dagger }W[x_{i},x_{f}]\phi(x_{f})}$ 게이지$$ 불변량입니다.^[4]게이지 불변 방식으로 서로 다른 점에서 물질장을 비교할 수 있습니다.또는 게이지 그룹 아래에 무한히 무거운 테스트 입자를 추가하여 윌슨 라인을 도입할 수도 있습니다.그 전하는 양자화된 내부 힐버트 공간을 형성하며, 이 공간은 통합되어 윌슨 선을 시험 입자의 세계선으로 산출할 수 있습니다.^[5]양자장이론에서 이것은 실제로 이론에 어떤 물질 내용이 있든지 없든지 간에 작동합니다.그러나 완전성 추론으로 알려진 늪지대 추론은 일관된 양자 중력 이론에서 디랙 양자화 조건과 일치하는 특정 전하의 모든 윌슨 선과 '후프트 선'은 해당 전하의 해당 입자가 이론에 존재해야 한다고 주장합니다.^[6]무한 질량 한계를 이용하여 이 입자들을 분리하는 것은 블랙홀을 형성하기 때문에 더 이상 작동하지 않습니다.

닫힌 윌슨 선의 흔적은 윌슨 고리로 알려진 게이지 불변량입니다.

수학적으로 추적 내의 용어는 닫힌 고리를 따라 수평으로 들어올릴 때 섬유를 그 자체로 매핑하는 것을 설명하는 홀로노미라고 알려져 있습니다.모든 홀로노믹스의 집합 자체가 하나의 그룹을 형성하며, 주 번들의 경우 게이지 그룹의 부분군이어야 합니다.윌슨 루프는 모든 가능한 루프에 대한 윌슨 루프 집합을 알면 게이지 연결에 대한 모든 게이지 불변 정보를 재구성할 수 있는 재구성 속성을 만족합니다.^[7]공식적으로 모든 윌슨 고리의 집합은 가우스의 법칙 제약에 대한 해결책의 완전한 기초를 형성합니다.

모든 윌슨 선의 집합은 게이지 그룹의 표현과 일대일 대응 관계에 있습니다.이는 게이지 그룹 λ ${\displaystyle w_{}}$ ${\displaystyle \Lambda _{w}}$의 가중치 격자를 사용하여 Li 대수 언어로 재구성할 수 있습니다$.$ 이 경우 윌슨 루프 유형은 $W$ ${\displaystyle W}$가 Weyl 그룹인 λ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle \Lambda _{w}/W}$와 일대일 대응됩니다.

힐베르트 공간 연산자

윌슨 고리의 대안적인 관점은 민코프스키 기호에서 힐베르트 상태 공간에 작용하는 연산자로 간주하는 것입니다.^[5]힐베르트 공간은 한 번의 타임슬라이스 위에 살기 때문에, 이 공간에서 연산자 역할을 할 수 있는 유일한 윌슨 루프는 공간과 같은 루프를 사용하여 형성된 루프입니다.이러한 연산자 $W$ [${\displaystyle }$γ${\displaystyle }$] ${\displaystyle$W$[\gamma ]}$는 폐전류 루프를 생성하며, 이는 전기장 연산자 ${\displaystyle {Ei}^{}}$ ${\displaystyle E^{i}$가 루프 $Ei$ W [${\displaystyle }$γ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle 0}$ ⟩ ≠ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle$ E$^{i}$$W[\gamma$] $0\rangle \neq 0}$ 하지만$$ 다른 모든 곳에서 사라집니다.스토크스 정리를 사용하면 공간 루프가 루프를 통해 자속을 측정한다는 것을 알 수 있습니다.^[9]

발주자

시간적 윌슨 선들은 무한히 무거운 정지 쿼크들에 의해 생성된 구성에 해당하므로, 길이 T ${\displaystyle T}$의 두 시간적 성분과 길이 $r$ ${\displaystyle r}$의 두 공간적 성분을 갖는 직사각형 루프 γ ${\displaystyle$\gamma$}$와 연관된 윌슨 루프$,$고정된 분리에서 쿼크-antiqu마크 쌍으로 해석할 수 있습니다.윌슨 루프의 진공 기대치는 쿼크 사이의$$ 전위 $V{\displaystyle (r)}$ ${\displaystyle V(r)}$인 최소 에너지를 가진 상태를 크게 투영합니다.^[10]${\displaystyle \mathrm{에너지}}$ $V{\displaystyle (r)}$ +${\displaystyle }$δ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle V(r$) $+\DeltaE}$인 들뜬 상태는 시간에 따라 지수적으로 억제되므로 기대값은 다음과 같습니다.

${\displaystyle \langle W[\gamma ]\rangle \sime^{-TV(r)}(1+{\mathcal {O})(e^{-T\Delta E}),}$

윌슨 고리를 쿼크 쌍들 사이의 퍼텐셜을 계산하는데 유용하게 만드는 것.이 퍼텐셜은 반드시 쿼크 분리의 단조롭고 오목한 함수여야 합니다.^[11][12]윌슨 고리와 같은 공간은 시간적 고리와 근본적으로 다르지 않기 때문에 쿼크 퍼텐셜은 순수한 양-밀스 이론 구조와 직접적인 관련이 있으며 물질 내용과 무관한 현상입니다.^[13]

엘리츠르의 정리는 국소적 비게이지 불변 연산자가 0이 아닌 기대 값을 가질 수 없도록 보장합니다.대신 비국소 게이지 불변 연산자를 구속을 위한 순서 매개 변수로 사용해야 합니다.윌슨 고리는 순수한 양-밀스 이론에서 정확히 그러한 차수 매개변수이며, 구속 단계에서 기대값은 영역 법칙을^[14] 따릅니다.

${\displaystyle \langle W[\gamma ]\rangle \sime^{-aA[\gamma ]}}$

영역 $[$γ] {\$displaystyle A[\$gamma $]}$를 둘러싸는 루프의 경우$.$ 이는 구속 $단계$에서 선형${\displaystyle }$V${\displaystyle (r}$) ~ σ$$r {\$displaystyle$ V(r)\sim \$sigma$ r$}$이$($가) 문자열 장력으로 알려진 경우 선형 V$(r$) ~ σ r {\displaystyle V$(r$)\$sim$\$sigma$ r} 사이의 잠재력에서 동기가 부여됩니다.한편, 힉스 단계에서 기댓값은 둘레 법칙을 따릅니다.

${\displaystyle \langle W[\gamma ]\rangle \sime^{-bL[\gamma ]},}$

여기서 $L$ [${\displaystyle }$γ${\displaystyle }$] ${\displaystyle L[\gamma ]}$은 루프의 둘레 길이이고 $b$ ${\displaystyle b}$은(는) 일정합니다.윌슨 고리의 영역 법칙은 구속이 인스턴트온에 의해 구동되는 슈윙거 모델과 같은 특정 저차원 이론에서 구속을 직접 입증하는 데 사용될 수 있습니다.^[15]

격자 공식

격자장 이론에서 윌슨 선과 고리는 격자 위에 게이지 장을 형성하는 데 기본적인 역할을 합니다.격자 위에서 가장 작은 윌슨 선들, 인접한 두 격자점 사이의 선들을 링크라고 하며, $격자점{\displaystyle }$ n ${\displaystyle n}$에서 시작하는 하나의 링크는 $U{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mu }_{}}$(${\displaystyle n)}$ ${\displaystyle U_{\mu}(n)$로 표시되는 $\mu {\displaystyle }$ ${\$displaystyle \$mu }$ 방향으로$$ 진행됩니다$.$ 하나의 사각형 주위의 네 개의 링크를 플라켓이라고 합니다.그들의 흔적이 가장 작은 윌슨 고리를 형성하고 있습니다.^[16]윌슨 작용으로 알려진 격자 게이지 작용을 만드는 데 사용되는 것이 바로 이 플라켓들입니다.큰 윌슨 루프는 다음으로 표시되는 일부 루프 γ ${\displaystyle \gamma}$을(를) 따르는 링크 변수의 곱으로 표현됩니다$.$

${\displaystyle L[U]={\text{tr}}{\bigg [}\prod_{n\in \gamma }U_{\mu}(n){\bigg ]}}}$

이러한 윌슨 고리는 구속과 쿼크 퍼텐셜을 수치적으로 연구하는 데 사용됩니다.윌슨 루프의 선형 조합은 글루볼 상태를 발생시키는 보간 연산자로도 사용됩니다.^[18]그런 다음 글루볼 덩어리를 이 보간기 사이의 상관 함수에서 추출할 수 있습니다.^[19]

윌슨 루프의 격자 공식은 쿼크 루프가 무시되는 퀀칭 근사치를 가정할 때 강하게 결합된 위상에서 구속의 분석적 증명도 가능하게 합니다.^[20]이것은 ${\displaystyle \text{SU}}$ (${\displaystyle 3)}$에서 윌슨 고리의 기대 값의 첫 번째 사라지지 않는 항이 있는 플라톤의 멱급수로서 윌슨 작용을 확장함으로써 행해집니다. ${\displaystyle {\$$text${$SU}}}(3)}$ 게이지$$ 이론은 형태의^[21][22] 끈 장력을 갖는 영역 법칙을 생성합니다.

${\displaystyle \sigma =-{\frac {1}{a^{2}}\ln {\bigg}(}{\frac {\beta }{18}{\bigg )}(1+{\mathcal {O}(\beta )),}$

여기서 $\beta$ = ${\displaystyle 6}$/ ${\displaystyle g^{}}$ 2 ${\displaystyle$ \$$beta = $6$/ $g^{2}}$는 역결합 상수이고 ${\displaystyle a}$는 격자 간격입니다.이 주장은 아벨론적인 경우와 비 아벨론적인 경우 모두에 해당하지만, 콤팩트 전기역학은 강한 결합에서만 구속을 보이며,$$$\beta {\displaystyle }$~ ${\displaystyle 1.01}$ ${\displaystyle \beta \sim 1.01}$에서 쿨롱 위상으로 상전이가 일어나 약한 결합에서 이론이 구속되지 않습니다.^[23][24]${\displaystyle \text{SU}}$(${\displaystyle N)}$ ${\displaystyle {\text}$에 대해 이러한 위상 변환이 존재하지 않는 것으로 생각됩니다.$SU}}}(N)}$ 게이지$$ 이론은 0 온도에서, 대신 결합 상수의 모든 값에서 구속을 나타냅니다.

특성.

마케엔코-미그달 고리 방정식

함수의 함수에 작용하는 함수 도함수와 마찬가지로, 루프의 함수는 면적 도함수와 둘레 도함수라고 하는 두 종류의 도함수를 허용합니다.전자를 정의하려면, 윤곽$$gamma {\displaystyle \γ$}$과(와) 다른 윤곽 γ δ σ μ ν ${\displaystyle$\gamma _${\$delta$$\sigma \ν _${\mu \nu}}}$을(를) 생각해 보십시오. μ ${\displaystyle \mu }$의 $x${\$displaystyle x}$에서 동일한 윤곽선이지만 여분의 작은 루프가 있는 μ ${\displaystyle \nu$ ν $}$ 평면을 δ σ합니다$.$ ${\displaystyle {\mu }_{}}$ ∧ = d ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mu }_{}}$ ν ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle {}_{}}$ delta ${\displaystyle$\delta \$ma _{\mu \nu$ } $=$ $dx_{\mu }\wedge$ dx_${\nu$ 그렇다면 루프 함수 $F$의 넓이 미분${\displaystyle }$[$γ$$]$ {\$displaystyle$F[\$gamma ]}$는 두 루프의 함수 간의 정규화된 차이로서, 일반적인 미분과 동일한 사상을 통해 정의됩니다.

${\displaystyle {\frac {\delta F[\gamma ]}{\delta \sigma _{\mu \nu}(x)}}={\frac {1}{\delta \sigma \sigma _{\mu \nu}(x)}}}[F[\gamma _{\delta \sigma _{\mu \nu}}]-F[\gamma ]].$

둘레 도함수는 유사하게 정의되어 이제 γ δ ${\displaystyle {x_{}}_{}}$ μ ${\displaystyle \gamma$ _${\delta x_{\mu }}$는 $위치$ x ${\displaystyle x}$에서 $\mu$ ${\displaystyle$x_${\$mu } 방향으로 길이 δ ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle$\$delta$ $x_{\mu }$의 작은 돌출 루프가 있고 면적이 0인 등고선 γ ${\displaystyle \gamma}$의 약간 변형입니다.그런 다음 루프 함수의 둘레 도함수 ∂ ${\displaystyle {\mu }_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle \partial$ _${\mu}^{x}}$를 다음과 같이 정의합니다.

${\displaystyle \partial _{\mu}^{x}F[\gamma ]={\frac {1}{\delta x_{\mu}}}[F[\gamma _{\delta x_{\mu}}]-F[\gamma ]}}.$

큰 N-한계에서 윌슨 고리 진공 기댓값은 메이크엔코-미그달 방정식이라^[26] 불리는 닫힌 함수형태 방정식을 만족합니다.

${\displaystyle \partial _{\mu }^{x}{\frac {\delta }{\delta \sigma _{\mu \nu}(x)}}\lang W[\gamma ]\rangle =g^{2}N\point _{\gamma }dy_{\nu}}\delta ^{(D)}(x-y)\langle W[\gamma _{xx}]\rangle \lang W[\gamma _{xy}]\rangle.$

여기서 γ = γ x ${\displaystyle y_{}}$ ∪ γ ${\displaystyle y_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle$ x {gamma =\gamma _${$$xy$$}\cup$\gamma$$_${$$yx}}$는 $x$ ${\displaystyle x}$에서 $y$ ${\displaystyle$ y$}$까지 닫히지 않는 선이며$$두 점이 서로 가깝습니다.이 방정식은 $유한{\displaystyle }$N {\$displaystyle N}$에 대해서도 쓰여질 수 있지만$,$ 이 경우에는 인수분해가 되지 않고 윌슨 고리의 기대 값의 곱이 아닌 기대 값으로 이어집니다.^[27]이것은 슈윙거-다이슨 방정식과 유사한 다양한 윌슨 루프 기대 값에 대한 무한 연쇄 결합 방정식을 발생시킵니다.Makeenko-Migdal 방정식은 정확히 $2차원$ U (${\displaystyle \mathrm{}}$∞${\displaystyle )}$ ${\displaystyle {\text{$$U}}(\infty )}$ 이론입니다$$.^[28]

만델스팀 아이덴티티

$N{\displaystyle }$× ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N\times N}$ 행렬에서$$ 기본적인 표현을 허용하는 게이지 그룹은 만델스팀 정체성이라고 하는 일련의 정체성을 만족하는 윌슨 루프를 가지고 있으며, 이러한 정체성은 기본 게이지 그룹의 특정 속성을 반영합니다.^[29]아이덴티티는 2개 이상의 서브루프로 구성된 루프에 적용되며,${\displaystyle }$γ= ∘ γ 2 γ$$1 {\$displaystyle$\gamma $_{2$}\$circ$\gamma_${1$}}는 먼저 γ ${\displaystyle 1_{}}$ ${\displaystyle \$gamma$_{1}}$을 돌고 나서 gamma ${\displaystyle 2_{}}$ ${\displaystyle \$gamma$_{2}}$을 돌아 형성된 루프입니다$.$

첫 번째 종류의 만델스탐 항등식은 $W$ ${\displaystyle [}$γ ${\displaystyle 1_{}}$ ∘ γ ${\displaystyle 2_{}}$ ]${\displaystyle {}_{}}$= W${\displaystyle }$[γ ${\displaystyle 2_{}}$ ∘ γ ${\displaystyle 1_{}}$] ${\displaystyle$W$[\gamma _{1}\circ$\gamma $_{2$}] =$W[\gamma _{2}\circ \gamma _{1}},$임의의 차원의 게이지 그룹에 대해 이것이 유지됩니다.$N$ ${\displaystyle N}$차원에서 $N$ + 1${\displaystyle$ N$+1}$개의 완전한 반대칭 지수를 갖는 물체가 사라짐에 주목함으로써 두 번째 종류의 맨델스톰 항등식을 구합니다. 즉, δ${\displaystyle {}_{}^{}}$[${\displaystyle {{}_{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {1_{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {{}_{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {1_{}}_{}^{}}$ δ ${\displaystyle b_{}^{}}$ 2 ${\displaystyle {{}_{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {2_{}}_{}^{}}$ ⋯ δ ${\displaystyle {b_{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {N{}_{}}_{}^{}}$+ 1${\displaystyle {{}_{}}_{}^{}}$] ${\displaystyle {a_{}}_{}^{}}$+ ${\displaystyle {1_{}}_{}^{}}$ = 0 ${\displaystyle$\delta $_{b_{1}}^{a_{1}\$delta$_{b_{2}}^{a_{2}}\cdots$\delta $_{b_{N+1}}$$^{a_{N+1}}=0$기본 표현에서 윌슨 루프를 형성하는 데 사용되는 홀로노미는 게이지 그룹의 $N{\displaystyle }$× ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N\times N}$ 행렬$$ 표현입니다.델타 함수로 $N{\displaystyle }$+ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle N+1}$개의$$ 홀로노미를 수축시키면 윌슨 고리 사이의 동일성 집합이 생성됩니다.${\displaystyle M_{}}$ $1$${\displaystyle {}_{}}$[$$γ${\displaystyle }$] = W [ γ ]${\$displaystyle M_${K}}$ {\$displaystyle M_{1}[\gamma$ ] = ${\displaystyle \mathrm{객체}}$ ${\displaystyle {MK}_{}}$ {\displaystyle M_{1}}를 반복적으로 정의하는 용어로 작성할 수 있습니다.$W$$[\gamma ]}$ 및

${\displaystyle (K+1)M_{K+1}[\gamma _{1},\dots,\gamma _{K+1}]=W[\gamma _{K+1}]M_{K}[\gamma _{1},\dots,\gamma _{K}]-M_{K}[\gamma _{1}]\circ \gamma _{K+1},\gamma _{2},\dots,\gamma _{K}-\cdots -M_{K}[\gamma _{1},\gamma _{2},\dots,\gamma _{K}\circ \gamma _{K+1}}.$

이 표기법에서 두 번째 종류의 만델스탐 아이덴티티는^[30]

${\displaystyle M_{N+1}[\gamma _{1},\dots,\gamma _{N+1}]=0.}$

예를 들어 $U{\displaystyle }$(${\displaystyle 1)}$ ${\displaystyle {\$$text${$U}}}(1)}$ 게이지 그룹이 $W$ ${\displaystyle [}$$γ$ ${\displaystyle 1_{}}$]${\displaystyle W}$ [ $γ$ 2${\displaystyle {}_{}}$]${\displaystyle }$$=$ ${\displaystyle W}$[ $γ$ 1 $∘ γ$ ${\displaystyle 2_{}}$]$${\$displaystyle$ W [\$gamma$_{$1}]$$W[\gamma _{2}]=$$W[\gamma _$$1}\circ \gamma _{2}}.$

만약 기본적인 표현이 단위결정인자의 행렬이라면, ${\displaystyle {MN}_{}}$(γ${\displaystyle ,}$ …,${\displaystyle }$γ${\displaystyle )}$ =$$1 {\$displaystyle M_{$N}(\$gamma,\$dots$,\$gamma)=$1}$이라고도 합니다$.$ 예를 들어, ${\displaystyle \text{SU}}$(${\displaystyle 2)}$ ${\displaystyle {\text{$$SU$$}}}(2)}:$

${\displaystyle W[\gamma _{1}]W[\gamma _{2}]=W[\gamma _{1}\circ \gamma _{2}^{-1}]+W[\gamma _{1}\circ \gamma _{2}].$

$단일$ 행렬로 구성된 기본 표현은 W${\displaystyle }$[γ ]${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ ∗${\displaystyle {}^{}}$[γ -${\displaystyle 1^{}}$] ${\displaystyle$ W$[\gamma$ ]=$W^{*}[\gamma ^{-1$ 또한 $W$[${\displaystyle I]}$$=$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle$ W$[I$]$=$$N}$이(가) 기본 표현의 모든 게이지 그룹에 대해 성립하지만, 유니터리 그룹에 대해서는 ${\displaystyle W[}$ $γ$${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle \le }$ N ${\displaystyle W[\gamma] \leq$ N$}$이(가) 성립합니다$.$

재규격화

윌슨 루프는 게이지 필드의 연산자이기 때문에, 기본 양-밀스 이론 필드와 커플링의 정규화와 재규격화는 윌슨 루프가 추가적인 재규격화 수정을 요구하는 것을 막지 못합니다.재규격화된 양-밀스 이론에서 윌슨 고리가 재규격화되는 특정한 방법은 고려 중인 고리의 기하학에 따라 달라집니다.주요 특징은^{[31][32][33][34]}

• 부드러운 교차하지 않는 곡선:이것은 곱셈 재규격화를 통해 제거할 수 있는 등고선에 비례하는 선형 발산만 가질 수 있습니다.
• 첨자가 있는 교차하지 않는 원곡선:각 첨두는 첨두 각도 ϕ ${\displaystyle \phi}$에 따라 추가적인 국소 곱셈 재규격화 인자 $Z{\displaystyle }$[ϕ${\displaystyle }$] ${\displaystyle$Z$[\phi ]}$를 생성합니다$.$
• 자체 교차점:이로 인해 전체 루프와 관련된 윌슨 루프와 서브 루프 사이에 연산자 혼합이 발생합니다.
• 빛과 같은 세그먼트:이로 인해 로그 발산이 추가로 발생합니다.

추가 응용프로그램

산란 진폭

윌슨 고리는 산란 진폭 이론에서 역할을 하는데, 여기서 그들 사이의 일련의 이중성과 특수한 유형의 산란 진폭이 발견되었습니다.^[35]이는 AdS/CFT 대응을 이용한 강한 결합에서 처음 제안되었습니다.^[36]예를 들어, $N$ = ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle {\mathcal {$N}}=$4}$의 초대칭 양-밀스 이론에서 진폭을 위반하는 최대 헬리시티는 트리 레벨 성분과 루프 레벨 보정으로 인수분해됩니다.이 루프 레벨 보정은 입자의 헬리시티에 의존하지 않지만, 유한항까지 큰 $N{\displaystyle }$ ${\displaystyle N}$ 한계에서$$ 특정 다각형 윌슨 루프와 이중인 것으로 나타났습니다.이 이중성은 처음에 최대 헬리시티 위반 사례에서만 제시되었지만, 윌슨 루프의 적절한 초대칭 일반화를 정의함으로써 모든 헬리시티 구성으로 확장될 수 있다는 주장이 있습니다.^[38]

문자열 이론의 압축

압축 이론에서, 국소적으로 순수한 게이지 구성이지만 진공과 전역적으로 동등하지 않은 제로 모드 게이지 필드 상태는 압축 방향의 닫힌 윌슨 라인에 의해 매개 변수화됩니다.이것들이 압축된 열린 끈 이론에 존재하는 것은 T-이중성 하에서 윌슨 선에 의해 분리가 결정되는 비우연 D-브레인을 가진 이론과 동등합니다.^[39]윌슨 선은 또한 그 존재가 게이지 대칭 깨짐의 더 큰 제어로 이어지는 오비폴드 축소에서 역할을 하며, 최종 깨지지 않은 게이지 그룹에 대한 더 나은 핸들을 제공하고 또한 압축 후 남은 물질 다중의 수를 제어하는 메커니즘을 제공합니다.^[40]이러한 성질은 초끈 이론의 압축에서 윌슨 선을 중요하게 만듭니다.^[41][42]

위상장론

위상장이론에서 윌슨 고리의 기대값은 고리의 매끄러운 변형하에서는 변하지 않는데, 이는 장이론이 미터법에 의존하지 않기 때문입니다.^[43]이러한 이유로 윌슨 고리는 이 이론에서 핵심적으로 관찰 가능한 것이며 다양체의 전역적 특성을 계산하는 데 사용됩니다.$2{\displaystyle \mathrm{}}$+ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 2$+ $1}$ 차원에서$$ 이들은 매니폴드 구조와 루프가 서로 연결되는 방식에 따라 루프 제품의 기대 값을 갖는 매듭 이론과 밀접한 관련이 있습니다.이것은 에드워드 위튼에 의해 유명한 연결고리로 이어졌는데, 그는 그들의 분할 함수를 매듭 이론의 존스 다항식과 연관시키기 위해 천-사이먼 이론에서 윌슨 고리를 사용했습니다.^[44]

참고 항목

• 확률진공모형
• 권수

참고문헌