ฟังก์ชันคลื่น

ในฟิสิกส์ควอนตัมฟังก์ชันคลื่น (หรือฟังก์ชันคลื่น ) คือคำอธิบายทางคณิตศาสตร์ของสถานะควอนตัมของระบบควอนตัม ที่แยกออกมา สัญลักษณ์ทั่วไปที่สุดสำหรับฟังก์ชันคลื่นคืออักษรกรีกψและΨ (อักษรกรีกตัวพิมพ์เล็กและอักษรกรีกตัวพิมพ์ใหญ่psiตามลำดับ) ฟังก์ชันคลื่นมีค่าเป็นจำนวนเชิงซ้อนตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันคลื่นอาจกำหนดหมายเลขเชิงซ้อนให้กับแต่ละจุดในบริเวณของอวกาศกฎบอร์น^{[1] [2] [3]}ให้วิธีการเปลี่ยนแอมพลิจูดความน่าจะ เป็นเชิงซ้อนเหล่านี้ ให้เป็นความน่าจะเป็นที่แท้จริง ในรูปแบบทั่วไปหนึ่ง ระบุว่าโมดูลัสกำลังสองของฟังก์ชันคลื่นที่ขึ้นอยู่กับตำแหน่งคือความหนาแน่นของความน่าจะ เป็น ในการวัดอนุภาคในตำแหน่งที่กำหนด อินทิกรัลของโมดูลัสกำลังสองของฟังก์ชันคลื่นเหนือองศาอิสระทั้งหมดของระบบจะต้องเท่ากับ 1 ซึ่งเป็นเงื่อนไขที่เรียกว่าการทำให้เป็นมาตรฐานเนื่องจากฟังก์ชันคลื่นมีค่าเป็นจำนวนเชิงซ้อน จึงสามารถวัดได้เฉพาะเฟสสัมพันธ์และขนาดสัมพันธ์เท่านั้น ค่าของมันไม่ได้บอกอะไรเกี่ยวกับขนาดหรือทิศทางของค่าที่วัดได้แบบแยกส่วน เราต้องนำตัวดำเนินการควอนตัมซึ่งค่าลักษณะเฉพาะสอดคล้องกับชุดผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ของการวัดไปใช้กับฟังก์ชันคลื่นψและคำนวณการแจกแจงทางสถิติสำหรับปริมาณที่วัดได้

ฟังก์ชันคลื่นสามารถเป็นฟังก์ชันของตัวแปรอื่นที่ไม่ใช่ตำแหน่ง เช่นโมเมนตัมข้อมูลที่แสดงโดยฟังก์ชันคลื่นซึ่งขึ้นอยู่กับตำแหน่งสามารถแปลงเป็นฟังก์ชันคลื่นที่ขึ้นอยู่กับโมเมนตัมและในทางกลับกัน โดยใช้การแปลงฟูเรียร์อนุภาคบางอนุภาค เช่นอิเล็กตรอนและโฟตอนมีสปิน ที่ไม่เป็นศูนย์ และฟังก์ชันคลื่นสำหรับอนุภาคดังกล่าวมีสปินเป็นองศาอิสระแบบแยกส่วนโดยเนื้อแท้ ตัวแปรแยกส่วนอื่นๆ ก็สามารถรวมอยู่ด้วยได้ เช่นไอโซสปินเมื่อระบบมีองศาอิสระภายใน ฟังก์ชันคลื่นที่แต่ละจุดในองศาอิสระต่อเนื่อง (เช่น จุดในอวกาศ) จะกำหนดจำนวนเชิงซ้อนสำหรับค่า ที่เป็นไปได้ แต่ละค่าขององศาอิสระแบบแยกส่วน (เช่น องค์ประกอบ z ของสปิน) ค่าเหล่านี้มักจะแสดงในเมทริกซ์คอลัมน์ (เช่น เวกเตอร์คอลัมน์ 2 × 1สำหรับอิเล็กตรอนที่ไม่สัมพันธ์กับสปิน1 ⁄ 2 )

ตามหลักการซ้อนทับของกลศาสตร์ควอนตัม ฟังก์ชันคลื่นสามารถบวกเข้าด้วยกันและคูณด้วยจำนวนเชิงซ้อนเพื่อสร้างฟังก์ชันคลื่นใหม่และสร้างปริภูมิฮิลเบิร์ตผลคูณภายในระหว่างฟังก์ชันคลื่นสองฟังก์ชันเป็นการวัดการทับซ้อนระหว่างสถานะทางกายภาพที่สอดคล้องกันและใช้ในการตีความความน่าจะเป็นพื้นฐานของกลศาสตร์ควอนตัมกฎบอ ร์น ซึ่งเชื่อมโยงความน่าจะเป็นของการเปลี่ยนผ่านกับผลคูณภายใน สม การชเรอดิงเงอร์กำหนดว่าฟังก์ชันคลื่นจะพัฒนาไปอย่างไรเมื่อเวลาผ่านไป และฟังก์ชันคลื่นมีพฤติกรรมเชิงคุณภาพเหมือนคลื่น อื่นๆ เช่นคลื่นน้ำ หรือคลื่นในสาย เพราะสมการชเรอดิงเงอร์เป็น สมการคลื่นประเภทหนึ่งทางคณิตศาสตร์สิ่งนี้จึงอธิบายชื่อ "ฟังก์ชันคลื่น" และทำให้เกิดทวิลักษณ์คลื่น-อนุภาคอย่างไรก็ตาม ฟังก์ชันคลื่นในกลศาสตร์ควอนตัมอธิบายถึงปรากฏการณ์ทางกายภาพชนิดหนึ่ง ซึ่งจนถึงปี 2023 ยังคงเปิดให้ตีความ ได้หลายแบบ ซึ่งแตกต่างโดยพื้นฐานจากคลื่นกลศาสตร์แบบคลาสสิก^{[4] [5] [6] [7] [8] [9] [10]}

ส่วนหนึ่งของชุดบทความเกี่ยวกับ
กลศาสตร์ควอนตัม
${\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}|\Psi \rangle ={\hat {H}}|\Psi \rangle }$ สมการของชเรอดิงเงอร์
การแนะนำ คำศัพท์ ประวัติศาสตร์
พื้นหลัง กลศาสตร์คลาสสิก ทฤษฎีควอนตัมเก่า สัญกรณ์บรา-เกต แฮมิลตัน การรบกวน
พื้นฐาน ความสมบูรณ์แบบ การสูญเสียความสอดคล้อง การพันกัน ระดับพลังงาน การวัด ความไม่เฉพาะถิ่น เลขควอนตัม สถานะ การซ้อนทับ สมมาตร การขุดอุโมงค์ ความไม่แน่นอน ฟังก์ชันคลื่น ทรุด
การทดลอง ความไม่เท่าเทียมของเบลล์ ความไม่เท่าเทียมของ CHSH เดวิสสัน–เกอร์เมอร์ ช่องผ่าคู่ เอลีเซอร์–ไวด์แมน แฟรงค์-เฮิรตซ์ ความไม่เท่าเทียมของเลกเกตต์ ความไม่เท่าเทียมระหว่าง Leggett และ Garg มัค-เซนเดอร์ ป๊อปเปอร์ ยางลบควอนตัม การเลือกที่ล่าช้า แมวของชเรอดิงเงอร์ สเติร์น-เกอร์ลาช การเลือกที่ล่าช้าของวีลเลอร์
สูตรการผสม ภาพรวม ไฮเซนเบิร์ก ปฏิสัมพันธ์ เมทริกซ์ เฟสสเปซ ชเรอดิงเงอร์ ผลรวมของประวัติ (อินทิกรัลเส้นทาง)
สมการ ดิรัก ไคลน์-กอร์ดอน เปาลี ริดเบิร์ก ชเรอดิงเงอร์
การตีความ เบย์เซียน ประวัติศาสตร์ที่สอดคล้องกัน โคเปนเฮเกน เดอ บรอยล์–โบห์ม วงดนตรี ตัวแปรที่ซ่อนอยู่ ท้องถิ่น ลัทธิการกำหนดล่วงหน้า หลายโลก วัตถุประสงค์-การล่มสลาย ตรรกะควอนตัม ความสัมพันธ์ การทำธุรกรรม ฟอน นอยมันน์–วิกเนอร์
หัวข้อขั้นสูง กลศาสตร์ควอนตัมเชิงสัมพันธภาพ ทฤษฎีสนามควอนตัม วิทยาศาสตร์ข้อมูลควอนตัม การคำนวณแบบควอนตัม ความโกลาหลควอนตัม ความขัดแย้ง EPR เมทริกซ์ความหนาแน่น ทฤษฎีการกระเจิง กลศาสตร์สถิติควอนตัม การเรียนรู้ของเครื่องควอนตัม
นักวิทยาศาสตร์ อาฮาโรนอฟ กระดิ่ง เบเธ แบล็กเก็ตต์ บล็อค โบห์ม โบร์ เกิด โบส เดอ บรอยล์ คอมป์ตัน ดิรัก เดวิสสัน เดอบาย เอเรนเฟสต์ ไอน์สไตน์ เอเวอเร็ตต์ ฟ็อก แฟร์มี ไฟน์แมน กลอเบอร์ กัตซ์วิลเลอร์ ไฮเซนเบิร์ก ฮิลเบิร์ต จอร์แดน ครามเมอร์ส เนื้อแกะ ลันเดา เลาเอ โมเสลีย์ มิลลิแกน ออนเนส เปาลี พลังค์ ราบี รามัน ริดเบิร์ก ชเรอดิงเงอร์ ซิมมอนส์ ซอมเมอร์เฟลด์ ฟอน นอยมันน์ ไวล์ เวียนนา วิกเนอร์ ซีมาน ไซลิงเกอร์
วี ที อี

ในปี 1900 มักซ์ พลังค์ได้ตั้งสมมติฐานเกี่ยวกับความเป็นสัดส่วนระหว่างความถี่ของโฟตอนและพลังงานของมัน, , ^{[11] [12]} และในปี 1916 ความสัมพันธ์ที่สอดคล้องกันระหว่างโมเมนตัม ของโฟตอน และความยาวคลื่น, , ^[13] โดยที่คือค่าคงที่ของพลังค์ในปี 1923 เดอ บรอยล์เป็นคนแรกที่เสนอว่าความสัมพันธ์ซึ่งปัจจุบันเรียกว่าความสัมพันธ์เดอ บรอยล์มีผลกับ อนุภาค ที่มีมวลมากโดยเบาะแสหลักคือ ความ คงตัว ของ ลอเรนซ์^[14]และนี่สามารถมองได้ว่าเป็นจุดเริ่มต้นของการพัฒนาของกลศาสตร์ควอนตัมสมัยใหม่ สมการแสดงถึงความเป็นคู่คลื่น-อนุภาคสำหรับอนุภาคที่มีมวลและไม่มีมวล${\displaystyle f}$${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E=hf}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda ={\frac {h}{p}}}$${\displaystyle h}$${\displaystyle \lambda ={\frac {h}{p}}}$

ในช่วงทศวรรษปี ค.ศ. 1920 และ 1930 กลศาสตร์ควอนตัมได้รับการพัฒนาโดยใช้แคลคูลัสและพีชคณิตเชิงเส้นผู้ที่ใช้เทคนิคแคลคูลัส ได้แก่หลุยส์ เดอ บรอยล์เออร์วิน ชเรอดิงเงอร์และคนอื่นๆ ซึ่งพัฒนา " กลศาสตร์คลื่น " ผู้ที่นำวิธีการของพีชคณิตเชิงเส้นไปใช้ ได้แก่แวร์เนอร์ ไฮเซนเบิร์ก มักซ์ บอร์นและคนอื่นๆ ซึ่งพัฒนา " กลศาสตร์เมทริกซ์ " ต่อมาชเรอดิงเงอร์ได้แสดงให้เห็นว่าวิธีการทั้งสองนั้นเทียบเท่ากัน^[15]

ในปี 1926 ชเรอดิงเงอร์ได้ตีพิมพ์สมการคลื่นที่มีชื่อเสียงซึ่งปัจจุบันตั้งชื่อตามเขาสมการชเรอดิงเงอร์สมการนี้ใช้หลักการอนุรักษ์พลังงานแบบคลาสสิก โดยใช้ ตัวดำเนินการควอนตัม และความสัมพันธ์ของเดอบรอยล์ และคำตอบของสมการคือฟังก์ชันคลื่นของระบบควอนตัม^[16]อย่างไรก็ตาม ไม่มีใครชัดเจนว่าจะตีความสมการนี้อย่างไร^[17]ในตอนแรก ชเรอดิงเงอร์และคนอื่นๆ คิดว่าฟังก์ชันคลื่นแสดงถึงอนุภาคที่กระจายออกไป โดยส่วนใหญ่ของอนุภาคอยู่ในบริเวณที่มีฟังก์ชันคลื่นขนาดใหญ่^[18]ซึ่งแสดงให้เห็นว่าไม่เข้ากันกับการกระเจิงแบบยืดหยุ่นของกลุ่มคลื่น (ซึ่งแสดงถึงอนุภาค) ออกจากเป้าหมาย โดยจะกระจายออกไปในทุกทิศทาง^[1] แม้ว่าอนุภาคที่กระเจิงอาจกระเจิงไปในทิศทางใดก็ได้ แต่จะไม่แตกออกและเคลื่อนออกไปในทุกทิศทาง ในปี 1926 บอร์นได้ให้มุมมองของ แอมพลิ จูดความน่าจะเป็น^{[1] [2] [19]}ซึ่งเกี่ยวข้องกับการคำนวณของกลศาสตร์ควอนตัมโดยตรงกับการสังเกตการทดลองเชิงความน่าจะเป็น ซึ่งได้รับการยอมรับว่าเป็นส่วนหนึ่งของการตีความกลศาสตร์ควอนตัมของโคเปนเฮเกนมีการตีความกลศาสตร์ควอนตัม อื่นๆ อีกมากมาย ในปี 1927 HartreeและFockได้ก้าวไปสู่ขั้นตอนแรกในการพยายามแก้ ฟังก์ชันคลื่น N -bodyและพัฒนาวงจรความสอดคล้องของตนเอง : อัลกอริทึมแบบวนซ้ำเพื่อประมาณค่าของคำตอบ ปัจจุบันรู้จักกันในชื่อวิธี Hartree–Fockด้วย^[20]ตัวกำหนด Slaterและค่าถาวร (ของเมทริกซ์ ) เป็นส่วนหนึ่งของวิธีนี้ ซึ่งจัดทำโดยJohn C. Slater

ชเรอดิงเงอร์พบสมการสำหรับฟังก์ชันคลื่นที่เป็นไปตามการอนุรักษ์พลังงานตามทฤษฎีสัมพันธภาพก่อนที่เขาจะตีพิมพ์สมการที่ไม่เกี่ยวกับทฤษฎีสัมพันธภาพ แต่ได้ละทิ้งสมการนี้ไปเนื่องจากสมการนี้ทำนาย ความน่า จะ เป็นเชิงลบ และพลังงาน เชิงลบได้ ในปี 1927 ไคลน์กอร์ดอนและฟ็อกก็พบสมการนี้เช่นกัน แต่ได้รวมปฏิสัมพันธ์แม่เหล็กไฟฟ้า และพิสูจน์ว่าเป็นค่าคงที่ของลอเรนซ์เดอ บรอยล์ก็ได้สมการเดียวกันนี้ในปี 1928 สมการคลื่นตามทฤษฎีสัมพันธภาพนี้เป็นที่รู้จักกันทั่วไปในปัจจุบันว่าสมการไคลน์–กอร์ดอน [ ^21]

ในปี 1927 เพาลีได้ค้นพบสมการที่ไม่สัมพันธ์กับทฤษฎีสัมพันธภาพเชิงปรากฏการณ์เพื่ออธิบายอนุภาคสปิน 1/2 ในสนามแม่เหล็กไฟฟ้า ซึ่งปัจจุบันเรียกว่าสมการของเพาลี [ ^22]เพาลีพบว่าฟังก์ชันคลื่นไม่ได้อธิบายด้วยฟังก์ชันเชิงซ้อนเดียวของอวกาศและเวลา แต่ต้องใช้จำนวนเชิงซ้อนสองจำนวน ซึ่งสอดคล้องกับสถานะสปิน +1/2 และ −1/2 ของเฟอร์มิออนตามลำดับ ไม่นานหลังจากนั้นในปี 1928 ดิแรกก็พบสมการจากการรวมสัมพันธภาพพิเศษและกลศาสตร์ควอนตัมที่ประสบความสำเร็จครั้งแรกที่นำไปใช้กับอิเล็กตรอนซึ่งปัจจุบันเรียกว่าสมการของดิ แรก ในสมการนี้ ฟังก์ชันคลื่นเป็นสปินอร์ที่แสดงด้วยส่วนประกอบที่มีค่าเชิงซ้อนสี่ส่วน: ^[20]สองตัวสำหรับอิเล็กตรอน และสองตัวสำหรับแอนติอนุภาค ของอิเล็กตรอน ซึ่งก็คือโพซิตรอน ในขีดจำกัดที่ไม่สัมพันธ์กับ ทฤษฎีสัมพันธภาพ ฟังก์ชันคลื่นของดิแรกจะคล้ายกับฟังก์ชันคลื่นของเพาลีสำหรับอิเล็กตรอน ต่อมามีการค้นพบ สมการคลื่นเชิงสัมพันธภาพ อื่นๆ

สมการคลื่นทั้งหมดนี้มีความสำคัญอย่างยิ่ง สมการของชเรอดิงเงอร์และสมการของเพาลีนั้นถือเป็นสมการโดยประมาณที่ยอดเยี่ยมสำหรับตัวแปรเชิงสัมพันธภาพในหลายๆ สถานการณ์ สมการเหล่านี้สามารถแก้ปัญหาในทางปฏิบัติได้ง่ายกว่าสมการเชิงสัมพันธภาพมาก

สมการไคลน์-กอร์ดอนและสมการของดิแรกนั้นแม้จะเป็นเชิงสัมพัทธภาพ แต่ก็ไม่ได้แสดงถึงการประสานกันอย่างสมบูรณ์ระหว่างกลศาสตร์ควอนตัมและสัมพัทธภาพพิเศษ สาขาของกลศาสตร์ควอนตัมที่สมการเหล่านี้ได้รับการศึกษาในลักษณะเดียวกับสมการของชเรอดิงเงอร์ ซึ่งมักเรียกว่ากลศาสตร์ควอนตัมเชิงสัมพัทธภาพถึงแม้จะประสบความสำเร็จอย่างมาก แต่ก็มีข้อจำกัด (ดูตัวอย่างเช่นการเลื่อนของแลมบ์ ) และปัญหาเชิงแนวคิด (ดูตัวอย่างเช่นทะเลของดิแรก )

ทฤษฎีสัมพันธภาพทำให้หลีกเลี่ยงไม่ได้ที่จำนวนอนุภาคในระบบจะไม่คงที่ เพื่อการประนีประนอมที่สมบูรณ์จำเป็นต้องใช้ทฤษฎีสนามควอนตัม^[23] ในทฤษฎีนี้ สมการคลื่นและฟังก์ชันคลื่นมีที่ทางของมันเอง แต่ในรูปแบบที่แตกต่างกันเล็กน้อย วัตถุหลักที่น่าสนใจไม่ใช่ฟังก์ชันคลื่น แต่เป็นตัวดำเนินการที่เรียกว่าตัวดำเนินการฟิลด์ (หรือเพียงแค่ฟิลด์ที่เข้าใจว่า "ตัวดำเนินการ") บนพื้นที่ฮิลเบิร์ตของสถานะ (จะอธิบายในหัวข้อถัดไป) ปรากฏว่าสมการคลื่นสัมพันธภาพดั้งเดิมและคำตอบของสมการเหล่านั้นยังคงมีความจำเป็นในการสร้างพื้นที่ฮิลเบิร์ต ยิ่งไปกว่านั้นตัวดำเนินการฟิลด์อิสระกล่าวคือ เมื่อถือว่าปฏิสัมพันธ์ไม่มีอยู่ กลายเป็นว่า (อย่างเป็นทางการ) ตอบสนองสมการเดียวกันกับฟิลด์ (ฟังก์ชันคลื่น) ในหลายๆ กรณี

ดังนั้นสมการ Klein–Gordon (สปิน0 ) และสมการ Dirac (สปิน1 ⁄ 2 ) ในรูปแบบนี้จึงยังคงอยู่ในทฤษฎี แอนะล็อกสปินที่สูงกว่าได้แก่สมการ Proca (สปิน1 ) สมการ Rarita–Schwinger (สปิน3 ⁄ 2 ) และโดยทั่วไปสมการ Bargmann–Wignerสำหรับฟิลด์อิสระไร้มวล ตัวอย่างสองตัวอย่างคือ สมการแมกซ์เว ลล์ของฟิลด์อิสระ (สปิน1 ) และสม การไอน์ สไตน์ ของฟิลด์อิสระ (สปิน2 ) สำหรับตัวดำเนินการฟิลด์^[24] ทั้งหมดนี้เป็นผลโดยตรงจากข้อกำหนดของความคงตัวของลอเรนซ์โซลูชันของพวกเขาจะต้องแปลงภายใต้การแปลงลอเรนซ์ในลักษณะที่กำหนด กล่าวคือ ภายใต้การแสดงเฉพาะของกลุ่มลอเรนซ์และเมื่อรวมกับความต้องการที่สมเหตุสมผลอื่นๆ ไม่กี่อย่าง เช่นคุณสมบัติการแยกคลัสเตอร์ [ 25 ^] ซึ่งมีผลสำหรับความเป็นเหตุเป็นผลก็เพียงพอที่จะแก้ไขสมการได้

สิ่งนี้ใช้ได้กับสมการสนามอิสระ ไม่รวมปฏิสัมพันธ์ หากมีความหนาแน่นของลากรองจ์ (รวมถึงปฏิสัมพันธ์) แสดงว่ารูปแบบลากรองจ์จะให้สมการการเคลื่อนที่ในระดับคลาสสิก สมการนี้อาจซับซ้อนมากและไม่เหมาะกับการหาคำตอบ คำตอบใดๆ ก็ตามจะหมายถึง อนุภาคจำนวน คงที่และจะไม่คำนึงถึงคำว่า "ปฏิสัมพันธ์" ตามที่อ้างถึงในทฤษฎีเหล่านี้ ซึ่งเกี่ยวข้องกับการสร้างและการทำลายอนุภาค ไม่ใช่ศักย์ภายนอกตามทฤษฎีควอนตัม "เชิงปริมาณแรก" ทั่วไป

ในทฤษฎีสตริงสถานการณ์ยังคงคล้ายคลึงกัน ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันคลื่นในปริภูมิโมเมนตัมมีบทบาทของสัมประสิทธิ์การขยายตัวของฟูเรียร์ในสถานะทั่วไปของอนุภาค (สตริง) ที่มีโมเมนตัมที่ไม่ถูกกำหนดอย่างชัดเจน^[26]

This section does not cite any sources. Please help improve this section by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed. (May 2021) (Learn how and when to remove this message)

ในตอนนี้ ให้พิจารณากรณีง่ายๆ ของอนุภาคเดี่ยวที่ไม่สัมพันธ์กับทฤษฎีสัมพันธภาพ โดยไม่มีสปินในมิติเชิงพื้นที่หนึ่งๆ กรณีทั่วไปอื่นๆ จะกล่าวถึงด้านล่าง

ตามสมมติฐานของกลศาสตร์ควอนตัมสถานะของระบบทางกายภาพ ณ เวลาที่กำหนดจะกำหนดโดยฟังก์ชันคลื่นที่อยู่ในปริภูมิฮิลเบิร์ตเชิงซ้อนที่แยกจากกันได้^{[27] [28]}ดังนั้นผลคูณภายในของฟังก์ชันคลื่นสองฟังก์ชันΨ ₁และΨ ₂จึงสามารถกำหนดเป็นจำนวนเชิงซ้อน (ที่เวลาt ) ^{[nb 1]}${\displaystyle t}$

${\displaystyle (\Psi _{1},\Psi _{2})=\int _{-\infty }^{\infty }\,\Psi _{1}^{*}(x,t)\Psi _{2}(x,t)\,dx<\infty }$-

รายละเอียดเพิ่มเติมมีให้ด้านล่าง อย่างไรก็ตาม ผลคูณภายในของฟังก์ชันคลื่นΨกับตัวมันเอง

${\displaystyle (\Psi ,\Psi )=\|\Psi \|^{2}}$-

เป็น จำนวนจริงบวก เสมอจำนวน‖ Ψ ‖ (ไม่ใช่‖ Ψ ‖ ² ) เรียกว่าบรรทัดฐานของฟังก์ชันคลื่นΨพื้นที่ฮิลเบิร์ตที่แยกจากกันได้ที่กำลังพิจารณาอยู่นี้มีมิติอนันต์^{[nb 2]}ซึ่งหมายความว่าไม่มีชุดจำกัดของฟังก์ชันที่รวมเข้าเป็นกำลังสอง ซึ่งสามารถรวมเข้าด้วยกันในรูปแบบต่างๆ เพื่อสร้าง ฟังก์ชันที่รวมเข้าเป็นกำลังสองที่ เป็นไปได้ทั้งหมด

สถานะของอนุภาคดังกล่าวอธิบายได้อย่างสมบูรณ์ด้วยฟังก์ชันคลื่นโดยที่xคือตำแหน่งและtคือเวลา นี่คือฟังก์ชันค่าเชิงซ้อนของตัวแปรจริงสองตัวคือ xและt$${\displaystyle \Psi (x,t)\,,}$$

สำหรับอนุภาคที่ไม่มีสปินในมิติเดียว หากฟังก์ชันคลื่นได้รับการตีความว่าเป็นแอมพลิจูดความ น่าจะเป็น โมดู ลัส กำลังสองของฟังก์ชันคลื่น จำนวนจริงบวก จะได้รับการตีความว่าเป็นความหนาแน่นของความน่าจะเป็นสำหรับการวัดตำแหน่งของอนุภาคในเวลาที่กำหนดtเครื่องหมายดอกจันระบุคอนจูเกตเชิงซ้อน หาก วัดตำแหน่งของอนุภาคได้ตำแหน่งของอนุภาคจะไม่สามารถระบุได้จากฟังก์ชันคลื่น แต่สามารถอธิบายได้โดยการแจกแจงความน่าจะเป็น$${\displaystyle \left|\Psi (x,t)\right|^{2}=\Psi ^{*}(x,t)\Psi (x,t)=\rho (x),}$$

ความน่าจะเป็นที่ตำแหน่งxจะอยู่ในช่วงa ≤ x ≤ bคืออินทิกรัลของความหนาแน่นในช่วงนี้ โดยที่tคือเวลาที่วัดอนุภาค สิ่งนี้นำไปสู่เงื่อนไขการทำให้เป็นมาตรฐานเนื่องจาก หากวัดอนุภาคแล้ว จะมีความน่าจะเป็น 100% ที่อนุภาคจะอยู่ที่ใดที่หนึ่ง$${\displaystyle P_{a\leq x\leq b}(t)=\int _{a}^{b}\,|\Psi (x,t)|^{2}dx}$$$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\,|\Psi (x,t)|^{2}dx=1\,,}$$

สำหรับระบบที่กำหนด เซตของฟังก์ชันคลื่นที่ปรับให้เป็นปกติได้ทั้งหมดที่เป็นไปได้ (ในเวลาที่กำหนดใดๆ ก็ตาม) จะสร้างปริภูมิเวกเตอร์ ทางคณิตศาสตร์เชิงนามธรรม ซึ่งหมายความว่าเป็นไปได้ที่จะรวมฟังก์ชันคลื่นต่างๆ เข้าด้วยกัน และคูณฟังก์ชันคลื่นด้วยจำนวนเชิงซ้อน ในทางเทคนิค ฟังก์ชันคลื่นจะสร้างรังสีในปริภูมิฮิลเบิร์ตแบบโปรเจกทีฟแทนที่จะเป็นปริภูมิเวกเตอร์ธรรมดา

ในช่วงเวลาหนึ่ง ค่าทั้งหมดของฟังก์ชันคลื่นΨ( x , t )เป็นส่วนประกอบของเวกเตอร์ มีจำนวนมากมายอย่างนับไม่ถ้วน และใช้การอินทิเกรตแทนการหาผลรวม ในสัญกรณ์ Bra–ketเวกเตอร์นี้เขียน และเรียกว่า "เวกเตอร์สถานะควอนตัม" หรือเรียกง่ายๆ ว่า "สถานะควอนตัม" การทำความเข้าใจฟังก์ชันคลื่นในฐานะตัวแทนองค์ประกอบของปริภูมิเวกเตอร์นามธรรมมีข้อดีหลายประการ:$${\displaystyle |\Psi (t)\rangle =\int \Psi (x,t)|x\rangle dx}$$

• เครื่องมืออันทรงพลังทั้งหมดของพีชคณิตเชิงเส้นสามารถนำมาใช้เพื่อจัดการและทำความเข้าใจฟังก์ชันคลื่นได้ ตัวอย่างเช่น:
  • พีชคณิตเชิงเส้นอธิบายว่าปริภูมิเวกเตอร์สามารถกำหนดฐาน ได้อย่างไร จากนั้นเวกเตอร์ใดๆ ในปริภูมิเวกเตอร์ก็สามารถแสดงด้วยฐานนั้นได้ ซึ่งจะอธิบายความสัมพันธ์ระหว่างฟังก์ชันคลื่นในปริภูมิตำแหน่งและฟังก์ชันคลื่นในปริภูมิโมเมนตัม และแสดงให้เห็นว่ายังมีความเป็นไปได้อื่นๆ อีกด้วย
  • สัญลักษณ์ Bra–ketสามารถนำไปใช้เพื่อจัดการฟังก์ชันคลื่นได้
• แนวคิดที่ว่าสถานะควอนตัมเป็นเวกเตอร์ในปริภูมิเวกเตอร์นามธรรมนั้นเป็นแนวคิดทั่วไปอย่างสมบูรณ์ในทุกแง่มุมของกลศาสตร์ควอนตัมและทฤษฎีสนามควอนตัมในขณะที่แนวคิดที่ว่าสถานะควอนตัมเป็นฟังก์ชัน "คลื่น" ที่มีค่าเป็นเชิงซ้อนของปริภูมินั้นเป็นจริงในสถานการณ์บางอย่างเท่านั้น

พารามิเตอร์เวลาถูกระงับบ่อยครั้ง และจะอยู่ในที่ต่อไปนี้ พิกัด xเป็นดัชนีต่อเนื่อง| x ⟩เรียกว่าเวกเตอร์ไม่เหมาะสมซึ่งต่างจากเวกเตอร์เหมาะสมที่สามารถปรับให้เป็นมาตรฐานได้เป็น 1 แต่สามารถปรับให้เป็นมาตรฐานได้เฉพาะกับฟังก์ชันเดลต้าของดิแรกเท่านั้น^{[nb 3] [nb 4] [29]} ดังนั้น และ ซึ่งทำให้ ตัวดำเนินการเอกลักษณ์ซึ่งคล้ายคลึงกับความสัมพันธ์ความสมบูรณ์ของฐานมุมฉากในปริภูมิฮิลเบิร์ตมิติ N ชัดเจนขึ้น$${\displaystyle \langle x'|x\rangle =\delta (x'-x)}$$$${\displaystyle \langle x'|\Psi \rangle =\int \Psi (x)\langle x'|x\rangle dx=\Psi (x')}$$$${\displaystyle |\Psi \rangle =\int |x\rangle \langle x|\Psi \rangle dx=\left(\int |x\rangle \langle x|dx\right)|\Psi \rangle }$$$${\displaystyle I=\int |x\rangle \langle x|dx\,.}$$

การค้นหาตัวดำเนินการระบุตัวตนในพื้นฐานจะทำให้สามารถแสดงสถานะนามธรรมได้อย่างชัดเจนในพื้นฐาน และยิ่งกว่านั้น (ผลคูณภายในระหว่างเวกเตอร์สถานะสองตัวและตัวดำเนินการอื่นๆ สำหรับค่าที่สังเกตได้ สามารถแสดงได้ในพื้นฐาน)

อนุภาคยังมีฟังก์ชันคลื่นในปริภูมิโมเมนตัม อีกด้วย โดย ที่pคือโมเมนตัมในมิติเดียว ซึ่งสามารถเป็นค่าใดก็ได้ตั้งแต่−∞ถึง+∞และtคือเวลา$${\displaystyle \Phi (p,t)}$$

คล้ายกับกรณีตำแหน่ง ผลคูณภายในของฟังก์ชันคลื่นสองตัวΦ ₁ ( p , t )และΦ ₂ ( p , t )สามารถกำหนดได้ดังนี้:$${\displaystyle (\Phi _{1},\Phi _{2})=\int _{-\infty }^{\infty }\,\Phi _{1}^{*}(p,t)\Phi _{2}(p,t)dp\,.}$$

วิธีแก้ปัญหาเฉพาะอย่างหนึ่งสำหรับสมการชเรอดิงเงอร์ที่ไม่ขึ้นกับเวลาคือ คลื่นระนาบซึ่งสามารถใช้ในการอธิบายอนุภาคที่มีโมเมนตัมเท่ากับp ได้พอดี เนื่องจากเป็นฟังก์ชันลักษณะเฉพาะของตัวดำเนินการโมเมนตัม ฟังก์ชันเหล่านี้ไม่สามารถทำให้เป็นมาตรฐานได้เท่ากับ 1 (ไม่สามารถหาปริพันธ์กำลังสองได้) ดังนั้นจึงไม่ใช่องค์ประกอบที่แท้จริงของปริภูมิฮิลเบิร์ตทางกายภาพ เซตนี้ สร้างสิ่งที่เรียกว่าพื้นฐานของโมเมนตัม "พื้นฐาน" นี้ไม่ใช่พื้นฐานในความหมายทางคณิตศาสตร์ทั่วไป ประการหนึ่ง เนื่องจากฟังก์ชันไม่สามารถทำให้เป็นมาตรฐานได้ จึงทำให้ฟังก์ชันเหล่านี้ ถูกทำให้เป็นมาตรฐานเป็น ฟังก์ชันเดลต้า แทน ^{[หมายเหตุ 4]}$${\displaystyle \Psi _{p}(x)=e^{ipx/\hbar },}$$$${\displaystyle \{\Psi _{p}(x,t),-\infty \leq p\leq \infty \}}$$$${\displaystyle (\Psi _{p},\Psi _{p'})=\delta (p-p').}$$

อีกประการหนึ่ง แม้ว่าพวกมันจะเป็นอิสระเชิงเส้น แต่ก็มีมากเกินไป (พวกมันสร้างเซตที่นับไม่ได้) สำหรับใช้เป็นพื้นฐานของปริภูมิฮิลเบิร์ตทางกายภาพ พวกมันยังคงใช้แสดงฟังก์ชันทั้งหมดในปริภูมินั้นได้โดยใช้การแปลงฟูเรียร์ตามที่อธิบายไว้ต่อไปนี้

การ แสดงค่า xและpคือ$${\displaystyle {\begin{aligned}|\Psi \rangle =I|\Psi \rangle &=\int |x\rangle \langle x|\Psi \rangle dx=\int \Psi (x)|x\rangle dx,\\|\Psi \rangle =I|\Psi \rangle &=\int |p\rangle \langle p|\Psi \rangle dp=\int \Phi (p)|p\rangle dp.\end{aligned}}}$$

ตอนนี้ใช้การฉายภาพของสถานะΨลงบนฟังก์ชันลักษณะเฉพาะของโมเมนตัมโดยใช้การแสดงออกสุดท้ายในสมการทั้งสอง$${\displaystyle \int \Psi (x)\langle p|x\rangle dx=\int \Phi (p')\langle p|p'\rangle dp'=\int \Phi (p')\delta (p-p')dp'=\Phi (p).}$$

จากนั้นใช้การแสดงออกที่ทราบสำหรับสถานะลักษณะเฉพาะของโมเมนตัมที่ได้รับการทำให้เป็นมาตรฐานอย่างเหมาะสมในโซลูชันการแสดงตำแหน่งของสมการชเรอดิงเงอร์อิสระ จะได้$${\displaystyle \langle x|p\rangle =p(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}e^{{\frac {i}{\hbar }}px}\Rightarrow \langle p|x\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}e^{-{\frac {i}{\hbar }}px},}$$$${\displaystyle \Phi (p)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\int \Psi (x)e^{-{\frac {i}{\hbar }}px}dx\,.}$$

ในทำนองเดียวกันการใช้ฟังก์ชันลักษณะเฉพาะของตำแหน่ง$${\displaystyle \Psi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\int \Phi (p)e^{{\frac {i}{\hbar }}px}dp\,.}$$

พบว่าฟังก์ชันคลื่นของตำแหน่ง-ปริภูมิและโมเมนตัม-ปริภูมิเป็นการแปลงฟูเรียร์ของกันและกัน^[30]ทั้งสองเป็นการแสดงสถานะเดียวกันสองแบบ ซึ่งประกอบไปด้วยข้อมูลเดียวกัน และอย่างใดอย่างหนึ่งก็เพียงพอที่จะคำนวณคุณสมบัติใดๆ ของอนุภาคได้

ในทางปฏิบัติ ฟังก์ชันคลื่นของตำแหน่ง-ปริภูมิถูกใช้บ่อยกว่าฟังก์ชันคลื่นของโมเมนตัม-ปริภูมิมาก ศักย์ไฟฟ้าที่เข้าสู่สมการที่เกี่ยวข้อง (ชเรอดิงเงอร์ ดิแรก เป็นต้น) จะกำหนดว่าคำอธิบายนั้นง่ายที่สุดบนพื้นฐานใด สำหรับออส ซิลเล เตอร์ฮาร์มอนิกxและpจะเข้าสู่สมการแบบสมมาตร ดังนั้น จึงไม่สำคัญว่าจะใช้คำอธิบายใด สมการเดียวกัน (ค่าคงที่โมดูโล) จะให้ผลลัพธ์เดียวกัน จากนี้ เมื่อพิจารณาในภายหลังเล็กน้อย จะได้คำตอบของสมการคลื่นของออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิกเป็นฟังก์ชันลักษณะเฉพาะของการแปลงฟูเรียร์ในL 2 ^{[ nb 5]}

ต่อไปนี้คือรูปแบบทั่วไปของฟังก์ชันคลื่นสำหรับระบบที่มีมิติที่สูงกว่าและมีอนุภาคมากขึ้น ตลอดจนรวมถึงองศาอิสระอื่น ๆ ที่มากกว่าพิกัดตำแหน่งหรือส่วนประกอบโมเมนตัม

แม้ว่า เดิมที ปริภูมิฮิลเบิร์ต จะหมายถึง ปริภูมิผลคูณภายในสมบูรณ์ มิติอนันต์แต่ตามนิยามแล้ว ปริภูมิดังกล่าวจะรวมถึงปริภูมิผลคูณภายในสมบูรณ์ มิติจำกัด ด้วยเช่นกัน^[31] ในฟิสิกส์ มักเรียกปริภูมิฮิลเบิร์ตมิติจำกัดว่า^[32]สำหรับปริภูมิฮิลเบิร์ตมิติจำกัดทุกปริภูมิ จะมีฐานมุมฉาก (orthonormal ket) ที่ครอบคลุมปริภูมิฮิลเบิร์ตทั้งหมด

หากเซตมิติNเป็นแบบมุมฉาก ตัวดำเนินการฉายภาพสำหรับพื้นที่ที่ครอบคลุมโดยสถานะเหล่านี้จะกำหนดโดย:${\textstyle \{|\phi _{i}\rangle \}}$

$${\displaystyle P=\sum _{i}|\phi _{i}\rangle \langle \phi _{i}|=I}$$โดยที่การฉายภาพนั้นเทียบเท่ากับตัวดำเนินการระบุตัวตนเนื่องจากครอบคลุมพื้นที่ฮิลเบิร์ตทั้งหมด ดังนั้นจึงปล่อยให้เวกเตอร์ใดๆ จากพื้นที่ฮิลเบิร์ตไม่เปลี่ยนแปลง ซึ่งเรียกอีกอย่างว่าความสัมพันธ์ความสมบูรณ์ของพื้นที่ฮิลเบิร์ตที่มีมิติจำกัด${\textstyle \{|\phi _{i}\rangle \}}$

ฟังก์ชันคลื่นจะกำหนดโดย:

$${\displaystyle |\psi \rangle =I|\psi \rangle =\sum _{i}|\phi _{i}\rangle \langle \phi _{i}|\psi \rangle }$$โดยที่เป็นชุดของจำนวนเชิงซ้อนที่สามารถใช้สร้างฟังก์ชันคลื่นได้โดยใช้สูตรข้างต้น${\textstyle \{\langle \phi _{i}|\psi \rangle \}}$

หากเซตเป็นค่าลักษณะเฉพาะของค่าที่สังเกตได้ แบบไม่ เสื่อมที่มีค่าลักษณะเฉพาะตามสมมติฐานของกลศาสตร์ควอนตัมความน่าจะเป็นในการวัดค่าที่สังเกตได้จะกำหนดตามกฎของบอร์นดังนี้: ^[33]${\textstyle \{|\phi _{i}\rangle \}}$ ${\textstyle \lambda _{i}}$${\textstyle \lambda _{i}}$

$${\displaystyle P_{\psi }(\lambda _{i})=|\langle \phi _{i}|\psi \rangle |^{2}}$$

สำหรับค่าที่ไม่เสื่อมของค่าที่สังเกตได้บางค่า หากค่าลักษณะเฉพาะมีเซ็ตย่อยของเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่มีป้ายกำกับว่าโดยสมมุติฐานของกลศาสตร์ควอนตัมความน่าจะเป็นในการวัดค่าที่สังเกตได้จะกำหนดโดย:${\textstyle \{|\phi _{i}\rangle \}}$${\textstyle \lambda }$${\textstyle \{|\lambda ^{(j)}\rangle \}}$${\textstyle \lambda _{i}}$

$${\displaystyle P_{\psi }(\lambda )=\sum _{j}|\langle \lambda ^{(j)}|\psi \rangle |^{2}=|{\widehat {P}}_{\lambda }|\psi \rangle |^{2}}$$โดยที่เป็นตัวดำเนินการฉายภาพของสถานะไปยังพื้นที่ย่อยที่ครอบคลุมโดยความเท่าเทียมกันเกิดขึ้นเนื่องจากลักษณะมุมฉากของ${\textstyle {\widehat {P}}_{\lambda }=\sum _{j}|\lambda ^{(j)}\rangle \langle \lambda ^{(j)}|}$${\textstyle \{|\lambda ^{(j)}\rangle \}}$${\textstyle \{|\phi _{i}\rangle \}}$

ดังนั้นซึ่งระบุถึงสถานะของระบบกลศาสตร์ควอนตัม มีขนาดที่กำลังสองซึ่งเป็นความน่าจะเป็นในการวัดสถานะ ที่เกี่ยวข้อง${\textstyle \{\langle \phi _{i}|\psi \rangle \}}$${\textstyle |\phi _{i}\rangle }$

ในขณะที่เฟสสัมพันธ์กันมีผลที่สังเกตได้ในการทดลอง แต่เฟสโดยรวมของระบบนั้นไม่สามารถแยกแยะได้จากการทดลอง ตัวอย่างเช่น ในอนุภาคที่มีการซ้อนทับของสองสถานะ เฟสโดยรวมของอนุภาคนั้นไม่สามารถแยกแยะได้โดยการหาค่าคาดหวังของสิ่งที่สังเกตได้หรือความน่าจะเป็นของการสังเกตสถานะที่แตกต่างกัน แต่เฟสสัมพันธ์กันสามารถส่งผลต่อค่าคาดหวังของสิ่งที่สังเกตได้

แม้ว่าเฟสโดยรวมของระบบจะถือว่าเป็นแบบไร้หลักเกณฑ์ แต่เฟสสัมพันธ์สำหรับแต่ละสถานะของสถานะที่เตรียมไว้ในการซ้อนทับสามารถกำหนดได้โดยอาศัยความหมายทางกายภาพของสถานะที่เตรียมไว้และความสมมาตรของสถานะนั้น ตัวอย่างเช่น การสร้างสถานะของสปินตามทิศทาง x เป็นการซ้อนทับของสถานะสปินตามทิศทาง z สามารถทำได้โดยใช้การแปลงการหมุนที่เหมาะสมกับสปินตามสถานะ z ซึ่งจะให้เฟสที่เหมาะสมของสถานะที่สัมพันธ์กัน${\textstyle |\phi _{i}\rangle }$

ตัวอย่างของปริภูมิฮิลเบิร์ตมิติจำกัดสามารถสร้างได้โดยใช้ลักษณะเฉพาะของสปินของอนุภาคสปิน - ซึ่งสร้างปริภูมิฮิลเบิร์ตมิติอย่างไรก็ตาม ฟังก์ชันคลื่นทั่วไปของอนุภาคที่อธิบายสถานะได้อย่างสมบูรณ์นั้นมักจะมาจากปริภูมิฮิลเบิร์ต มิติอนันต์ เนื่องจากเกี่ยวข้องกับผลคูณเทนเซอร์กับ ปริภูมิ ฮิลเบิร์ตที่เกี่ยวข้องกับตำแหน่งหรือโมเมนตัมของอนุภาค อย่างไรก็ตาม เทคนิคที่พัฒนาขึ้นสำหรับปริภูมิฮิลเบิร์ตมิติจำกัดนั้นมีประโยชน์ เนื่องจากเทคนิคเหล่านี้สามารถนำไปปฏิบัติได้แบบอิสระหรือพิจารณาโดยคำนึงถึงความเป็นเส้นตรงของผลคูณเทนเซอร์${\textstyle s}$${\textstyle 2s+1}$

เนื่องจากตัวดำเนินการหมุนสำหรับอนุภาค -สปินที่กำหนดนั้นสามารถแสดงเป็นเมทริกซ์ จำกัด ที่ทำหน้าที่กับส่วนประกอบของเวกเตอร์สปินอิสระ ดังนั้น โดยทั่วไปแล้วจะดีกว่าที่จะแสดงส่วนประกอบของสปินโดยใช้สัญลักษณ์เมทริกซ์/คอลัมน์/แถวตามที่เหมาะสม${\textstyle s}$${\textstyle (2s+1)^{2}}$ ${\textstyle 2s+1}$

ตัวอย่างเช่น แต่ละ| s _z ⟩มักจะระบุเป็นเวกเตอร์คอลัมน์:$${\displaystyle |s\rangle \leftrightarrow {\begin{bmatrix}1\\0\\\vdots \\0\\0\\\end{bmatrix}}\,,\quad |s-1\rangle \leftrightarrow {\begin{bmatrix}0\\1\\\vdots \\0\\0\\\end{bmatrix}}\,,\ldots \,,\quad |-(s-1)\rangle \leftrightarrow {\begin{bmatrix}0\\0\\\vdots \\1\\0\\\end{bmatrix}}\,,\quad |-s\rangle \leftrightarrow {\begin{bmatrix}0\\0\\\vdots \\0\\1\\\end{bmatrix}}}$$

แต่เป็นการใช้สัญลักษณ์ในทางที่ผิดที่พบบ่อย เนื่องจาก kets | s _z ⟩ไม่เหมือนกันหรือเท่ากับเวกเตอร์คอลัมน์ เวกเตอร์คอลัมน์เป็นเพียงวิธีที่สะดวกในการแสดงองค์ประกอบของสปิน

ตามสัญกรณ์ ตัวดำเนินการหมุนองค์ประกอบ z สามารถเขียนได้ดังนี้:$${\displaystyle {\frac {1}{\hbar }}{\hat {S}}_{z}={\begin{bmatrix}s&0&\cdots &0&0\\0&s-1&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&\cdots &-(s-1)&0\\0&0&\cdots &0&-s\end{bmatrix}}}$$

เนื่องจากเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของตัวดำเนินการสปินองค์ประกอบ z คือเวกเตอร์คอลัมน์ด้านบน โดยที่ค่าลักษณะเฉพาะคือเลขควอนตัมสปินที่สอดคล้องกัน

เพื่อให้สอดคล้องกับสัญกรณ์ เวกเตอร์จากปริภูมิฮิลเบิร์ตที่มีมิติจำกัดดังกล่าวจึงแสดงเป็น:

$${\displaystyle |\phi \rangle ={\begin{bmatrix}\langle s|\phi \rangle \\\langle s-1|\phi \rangle \\\vdots \\\langle -(s-1)|\phi \rangle \\\langle -s|\phi \rangle \\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\varepsilon _{s}\\\varepsilon _{s-1}\\\vdots \\\varepsilon _{-s+1}\\\varepsilon _{-s}\\\end{bmatrix}}}$$โดยที่เป็นจำนวนเชิงซ้อนที่สอดคล้องกัน${\textstyle \{\varepsilon _{i}\}}$

ในการอภิปรายต่อไปนี้ซึ่งเกี่ยวข้องกับสปิน ฟังก์ชันคลื่นที่สมบูรณ์จะถือเป็นผลคูณเทนเซอร์ของสถานะสปินจากปริภูมิฮิลเบิร์ตที่มีมิติจำกัดและฟังก์ชันคลื่นที่ได้รับการพัฒนาก่อนหน้านี้ พื้นฐานของปริภูมิฮิลเบิร์ตนี้จึงได้รับการพิจารณาดังนี้:${\displaystyle |\mathbf {r} ,s_{z}\rangle =|\mathbf {r} \rangle |s_{z}\rangle }$

ฟังก์ชันคลื่นตำแหน่ง-ปริภูมิของอนุภาคเดี่ยวที่ไม่มีสปินในสามมิติเชิงพื้นที่นั้นคล้ายคลึงกับกรณีของมิติเชิงพื้นที่หนึ่งข้างต้นโดยที่rคือเวกเตอร์ตำแหน่งในปริภูมิสามมิติ และtคือเวลา ตามปกติแล้วΨ( r ,  t )เป็นฟังก์ชันค่าเชิงซ้อนของตัวแปรจริง โดยเป็นเวกเตอร์เดี่ยวในสัญกรณ์ของดิ แรก$${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)}$$$${\displaystyle |\Psi (t)\rangle =\int d^{3}\!\mathbf {r} \,\Psi (\mathbf {r} ,t)\,|\mathbf {r} \rangle }$$

ข้อสังเกตทั้งหมดก่อนหน้านี้เกี่ยวกับผลคูณภายใน ฟังก์ชันคลื่นของอวกาศโมเมนตัม การแปลงฟูเรียร์ และอื่นๆ ขยายไปถึงมิติที่สูงกว่า

สำหรับอนุภาคที่มีสปินโดยไม่คำนึงถึงองศาอิสระของตำแหน่ง ฟังก์ชันคลื่นจะเป็นฟังก์ชันของสปินเท่านั้น (เวลาเป็นพารามิเตอร์) โดยที่s _zคือหมายเลขควอนตัมการฉายสปินตาม แกน z ( แกน zเป็นตัวเลือกโดยพลการ แกนอื่นสามารถใช้แทนได้หากฟังก์ชันคลื่นถูกแปลงอย่างเหมาะสม ดูด้านล่าง) พารามิเตอร์ s _zซึ่งแตกต่างจากrและtคือตัวแปรแยกส่วนตัวอย่างเช่น สำหรับอนุภาคสปิน 1/2 s _z สามารถเป็น +1/2หรือ−1/2เท่านั้นและไม่สามารถเป็นค่าอื่นใดได้ (โดยทั่วไป สำหรับสปินs s _zสามารถเป็นs , s − 1, ..., − s + 1, − s ) การแทรกหมายเลขควอนตัมแต่ละหมายเลขจะให้ฟังก์ชันที่มีค่าเชิงซ้อนของปริภูมิและเวลา ซึ่งมีอยู่2 s + 1ซึ่งสามารถจัดเรียงเป็นเวกเตอร์คอลัมน์ได้$${\displaystyle \xi (s_{z},t)}$$

$${\displaystyle \xi ={\begin{bmatrix}\xi (s,t)\\\xi (s-1,t)\\\vdots \\\xi (-(s-1),t)\\\xi (-s,t)\\\end{bmatrix}}=\xi (s,t){\begin{bmatrix}1\\0\\\vdots \\0\\0\\\end{bmatrix}}+\xi (s-1,t){\begin{bmatrix}0\\1\\\vdots \\0\\0\\\end{bmatrix}}+\cdots +\xi (-(s-1),t){\begin{bmatrix}0\\0\\\vdots \\1\\0\\\end{bmatrix}}+\xi (-s,t){\begin{bmatrix}0\\0\\\vdots \\0\\1\\\end{bmatrix}}}$$

ในสัญกรณ์ bra–ketสิ่งเหล่านี้สามารถจัดเรียงเป็นส่วนประกอบของเวกเตอร์ได้อย่างง่ายดาย:$${\displaystyle |\xi (t)\rangle =\sum _{s_{z}=-s}^{s}\xi (s_{z},t)\,|s_{z}\rangle }$$

เวกเตอร์ξ ทั้งหมด เป็นคำตอบของสมการของชเรอดิงเงอร์ (โดยใช้แฮมิลโทเนียนที่เหมาะสม) ซึ่งคลี่คลายออกมาเป็นระบบที่มีคู่กันของสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ2 s + 1 ที่มีคำตอบ ξ ( s , t ), ξ ( s − 1, t ), ..., ξ (− s , t )ผู้เขียนบางคนใช้คำว่า "ฟังก์ชันสปิน" แทน "ฟังก์ชันคลื่น" ซึ่งเป็นการเปรียบเทียบคำตอบของฟังก์ชันคลื่นในปริภูมิตำแหน่ง โดยพิกัดตำแหน่งเป็นองศาอิสระที่ต่อเนื่องกัน เนื่องจากสมการของชเรอดิงเงอร์จะมีรูปแบบเป็นสมการคลื่น

โดยทั่วไปแล้ว สำหรับอนุภาคในสามมิติที่มีสปินใดๆ ฟังก์ชันคลื่นสามารถเขียนใน "ตำแหน่ง-ปริภูมิสปิน" ได้ดังนี้: และสามารถจัดเรียงเป็นเวกเตอร์คอลัมน์ได้เช่นกัน โดยที่การพึ่งพาสปินจะถูกวางไว้ในการจัดทำดัชนีรายการ และฟังก์ชันคลื่นเป็นฟังก์ชันค่าเวกเตอร์ที่ซับซ้อนของปริภูมิและเวลาเท่านั้น$${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,s_{z},t)}$$$${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)={\begin{bmatrix}\Psi (\mathbf {r} ,s,t)\\\Psi (\mathbf {r} ,s-1,t)\\\vdots \\\Psi (\mathbf {r} ,-(s-1),t)\\\Psi (\mathbf {r} ,-s,t)\\\end{bmatrix}}}$$

ค่าทั้งหมดของฟังก์ชันคลื่น ไม่เพียงแต่สำหรับตัวแปรแบบไม่ต่อเนื่องเท่านั้น แต่ยังรวมถึงตัวแปรต่อเนื่องด้วยจะถูกรวบรวมเป็นเวกเตอร์เดียว$${\displaystyle |\Psi (t)\rangle =\sum _{s_{z}}\int d^{3}\!\mathbf {r} \,\Psi (\mathbf {r} ,s_{z},t)\,|\mathbf {r} ,s_{z}\rangle }$$

สำหรับอนุภาคเดี่ยวผลคูณเทนเซอร์ ⊗ของเวกเตอร์สถานะตำแหน่ง| ψ ⟩และเวกเตอร์สถานะสปิน| ξ ⟩จะให้เวกเตอร์สถานะตำแหน่ง-สปินประกอบ ที่มีการระบุ$${\displaystyle |\psi (t)\rangle \!\otimes \!|\xi (t)\rangle =\sum _{s_{z}}\int d^{3}\!\mathbf {r} \,\psi (\mathbf {r} ,t)\,\xi (s_{z},t)\,|\mathbf {r} \rangle \!\otimes \!|s_{z}\rangle }$$$${\displaystyle |\Psi (t)\rangle =|\psi (t)\rangle \!\otimes \!|\xi (t)\rangle }$$$${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,s_{z},t)=\psi (\mathbf {r} ,t)\,\xi (s_{z},t)}$$$${\displaystyle |\mathbf {r} ,s_{z}\rangle =|\mathbf {r} \rangle \!\otimes \!|s_{z}\rangle }$$

การแยกตัวประกอบผลคูณเทนเซอร์ของสถานะลักษณะเฉพาะของพลังงานนั้นทำได้เสมอหากโมเมนตัมเชิงมุมของวงโคจรและสปินของอนุภาคสามารถแยกออกจากกันได้ในตัวดำเนินการแฮมิลโทเนียนที่อยู่เบื้องหลังพลวัตของระบบ (กล่าวอีกนัยหนึ่ง แฮมิลโทเนียนสามารถแยกออกเป็นผลรวมของเงื่อนไขวงโคจรและสปินได้^[34] ) การพึ่งพาเวลาสามารถวางไว้ในปัจจัยใดปัจจัยหนึ่งได้ และสามารถศึกษาวิวัฒนาการของเวลาของแต่ละปัจจัยแยกจากกันได้ ภายใต้แฮมิลโทเนียนดังกล่าว สถานะผลคูณเทนเซอร์ใดๆ จะพัฒนาไปเป็นสถานะผลคูณเทนเซอร์อีกสถานะหนึ่ง ซึ่งโดยพื้นฐานแล้วหมายความว่าสถานะที่ไม่พันกันใดๆ จะยังคงไม่พันกันภายใต้วิวัฒนาการของเวลา กล่าวกันว่าสิ่งนี้เกิดขึ้นเมื่อไม่มีปฏิสัมพันธ์ทางกายภาพระหว่างสถานะของผลคูณเทนเซอร์ ในกรณีของแฮมิลโทเนียนที่แยกจากกันไม่ได้ สถานะลักษณะเฉพาะของพลังงานจะกล่าวได้ว่าเป็นการรวมกันเชิงเส้นของสถานะดังกล่าว ซึ่งไม่จำเป็นต้องแยกตัวประกอบได้ ตัวอย่างเช่น อนุภาคในสนามแม่เหล็กและการจับคู่สปิน-วงโคจร

การอภิปรายข้างต้นไม่ได้จำกัดอยู่แค่สปินในฐานะตัวแปรแยกจากกัน โมเมนตัมเชิงมุม รวม Jอาจใช้ได้เช่นกัน^[35]องศาอิสระแยกจากกันอื่นๆ เช่นไอโซสปินสามารถแสดงในลักษณะเดียวกับกรณีของสปินข้างต้น

หากมีอนุภาคจำนวนมาก โดยทั่วไปจะมีฟังก์ชันคลื่นเพียงฟังก์ชันเดียว ไม่มีฟังก์ชันคลื่นแยกสำหรับแต่ละอนุภาค ความจริงที่ว่า ฟังก์ชันคลื่น หนึ่งอธิบายอนุภาคจำนวนมากได้ เป็นสิ่งที่ทำให้ พันกันของควอนตัมและความขัดแย้งของ EPRเป็นไปได้ ฟังก์ชันคลื่นตำแหน่ง-ปริภูมิสำหรับ อนุภาค Nอนุภาคเขียนได้ดังนี้: ^[20] โดยที่r _iคือตำแหน่งของ อนุภาคที่ iในปริภูมิสามมิติ และtคือเวลา โดยรวมนี่คือฟังก์ชันค่าเชิงซ้อนของตัวแปรจริง N + 1 ตัว 3 ตัว$${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}\cdots \mathbf {r} _{N},t)}$$

ในกลศาสตร์ควอนตัม มีความแตกต่างพื้นฐานระหว่างอนุภาคที่เหมือนกันและ อนุภาค ที่สามารถแยกแยะได้ตัวอย่างเช่น อิเล็กตรอนสองตัวใดๆ จะเหมือนกันและแยกแยะกันไม่ได้โดยพื้นฐาน กฎของฟิสิกส์ทำให้ไม่สามารถ "ประทับหมายเลขประจำตัว" ลงบนอิเล็กตรอนตัวใดตัวหนึ่งเพื่อติดตามอิเล็กตรอนตัวนั้นได้^[30]ซึ่งแปลว่าเป็นข้อกำหนดสำหรับระบบของอนุภาคที่เหมือนกัน โดยที่ เครื่องหมาย +จะเกิดขึ้นหากอนุภาคทั้งหมดเป็นโบซอนและ เครื่องหมาย - จะเกิดขึ้นหาก อนุภาคทั้งหมดเป็น เฟอร์มิออน กล่าว อีกนัยหนึ่ง ฟังก์ชันคลื่นจะสมมาตรอย่างสมบูรณ์ในตำแหน่งของโบซอน หรือสมมาตรที่ไม่สมมาตรอย่างสมบูรณ์ในตำแหน่งของเฟอร์มิออน^[36]การแลกเปลี่ยนอนุภาคทางกายภาพสอดคล้องกับการสลับอาร์กิวเมนต์ทางคณิตศาสตร์ในฟังก์ชันคลื่น คุณสมบัติที่ไม่สมมาตรของฟังก์ชันคลื่นเฟอร์มิออนนำไปสู่หลักการของเพาลีโดยทั่วไป ข้อกำหนดสมมาตรโบซอนและเฟอร์มิออนเป็นการแสดงออกถึงสถิติของอนุภาคและปรากฏอยู่ในรูปแบบสถานะควอนตัมอื่นๆ$${\displaystyle \Psi \left(\ldots \mathbf {r} _{a},\ldots ,\mathbf {r} _{b},\ldots \right)=\pm \Psi \left(\ldots \mathbf {r} _{b},\ldots ,\mathbf {r} _{a},\ldots \right)}$$

สำหรับ อนุภาค ที่สามารถแยกแยะได้N อนุภาค (ไม่มีอนุภาคใดที่เหมือนกันกล่าวคือ ไม่มีอนุภาคใดที่มีชุดเลขควอนตัมชุดเดียวกัน) ไม่จำเป็นต้องให้ฟังก์ชันคลื่นเป็นแบบสมมาตรหรือแอนตี้สมมาตร

สำหรับกลุ่มของอนุภาค ซึ่งบางส่วนมีพิกัดเหมือนกันคือr ₁ , r ₂ , ...และบางส่วนสามารถแยกแยะได้คือx ₁ , x ₂ , ... (ไม่เหมือนกันและไม่เหมือนกับอนุภาคที่เหมือนกันดังที่กล่าวข้างต้น) ฟังก์ชันคลื่นจะสมมาตรหรือไม่สมมาตรในพิกัดของอนุภาคที่เหมือนกันคือr _iเท่านั้น:$${\displaystyle \Psi \left(\ldots \mathbf {r} _{a},\ldots ,\mathbf {r} _{b},\ldots ,\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2},\ldots \right)=\pm \Psi \left(\ldots \mathbf {r} _{b},\ldots ,\mathbf {r} _{a},\ldots ,\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2},\ldots \right)}$$

อีกครั้ง ไม่มีข้อกำหนดความสมมาตรสำหรับพิกัดของอนุภาคที่สามารถแยกแยะได้ x _i

ฟังก์ชันคลื่นสำหรับ อนุภาค Nที่มีสปินแต่ละตัวคือฟังก์ชันค่าเชิงซ้อน$${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}\cdots \mathbf {r} _{N},s_{z\,1},s_{z\,2}\cdots s_{z\,N},t)}$$

การรวบรวมส่วนประกอบทั้งหมดเหล่านี้เข้าเป็นเวกเตอร์เดียว

$${\displaystyle |\Psi \rangle =\overbrace {\sum _{s_{z\,1},\ldots ,s_{z\,N}}} ^{\text{discrete labels}}\overbrace {\int _{R_{N}}d^{3}\mathbf {r} _{N}\cdots \int _{R_{1}}d^{3}\mathbf {r} _{1}} ^{\text{continuous labels}}\;\underbrace {{\Psi }(\mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{N},s_{z\,1},\ldots ,s_{z\,N})} _{\begin{array}{c}{\text{wave function (component of }}\\{\text{ state vector along basis state)}}\end{array}}\;\underbrace {|\mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{N},s_{z\,1},\ldots ,s_{z\,N}\rangle } _{\text{basis state (basis ket)}}\,.}$$

สำหรับอนุภาคที่เหมือนกัน ข้อกำหนดด้านสมมาตรจะใช้กับทั้งอาร์กิวเมนต์ตำแหน่งและสปินของฟังก์ชันคลื่น เพื่อให้มีความสมมาตรโดยรวมที่ถูกต้อง

สูตรสำหรับผลคูณภายในคืออินทิกรัลของพิกัดหรือโมเมนตัมทั้งหมด และผลรวมของเลขควอนตัมสปินทั้งหมด สำหรับกรณีทั่วไปของ อนุภาค Nตัวที่มีสปินใน 3 มิติ นี่คืออินทิกรัลปริมาตรสามมิติ ทั้งหมด N ตัวและ ผลรวม Nตัวเหนือสปิน องค์ประกอบปริมาตรเชิงอนุพันธ์d ³ r _iยังเขียนเป็น " dV _i " หรือ " dx _i dy _i dz _i " อีกด้วย$${\displaystyle (\Psi _{1},\Psi _{2})=\sum _{s_{z\,N}}\cdots \sum _{s_{z\,2}}\sum _{s_{z\,1}}\int \limits _{\mathrm {all\,space} }d^{3}\mathbf {r} _{1}\int \limits _{\mathrm {all\,space} }d^{3}\mathbf {r} _{2}\cdots \int \limits _{\mathrm {all\,space} }d^{3}\mathbf {r} _{N}\Psi _{1}^{*}\left(\mathbf {r} _{1}\cdots \mathbf {r} _{N},s_{z\,1}\cdots s_{z\,N},t\right)\Psi _{2}\left(\mathbf {r} _{1}\cdots \mathbf {r} _{N},s_{z\,1}\cdots s_{z\,N},t\right)}$$

การแปลงฟูเรียร์หลายมิติของฟังก์ชันคลื่นอวกาศตำแหน่งหรือสปินตำแหน่งจะให้ผลลัพธ์เป็นฟังก์ชันคลื่นอวกาศโมเมนตัมหรือสปินโมเมนตัม

สำหรับกรณีทั่วไปของอนุภาคN ที่มีสปินใน 3 มิติ ถ้า Ψถูกตีความว่าเป็นแอมพลิจูดความน่าจะเป็น ความหนาแน่นของความน่าจะเป็นคือ$${\displaystyle \rho \left(\mathbf {r} _{1}\cdots \mathbf {r} _{N},s_{z\,1}\cdots s_{z\,N},t\right)=\left|\Psi \left(\mathbf {r} _{1}\cdots \mathbf {r} _{N},s_{z\,1}\cdots s_{z\,N},t\right)\right|^{2}}$$

และความน่าจะเป็นที่อนุภาค 1 จะอยู่ในบริเวณ_R1 ที่มีสปิน_s z _{1 =} m 1 _และ อนุภาค 2 จะอยู่ในบริเวณR2ที่มีสปินs _{z 2} = m ₂เป็นต้น ที่เวลาtคืออินทิกรัลของความหนาแน่นของความน่าจะเป็นเหนือบริเวณเหล่านี้และประเมินที่หมายเลขสปินเหล่านี้:

${\displaystyle P_{\mathbf {r} _{1}\in R_{1},s_{z\,1}=m_{1},\ldots ,\mathbf {r} _{N}\in R_{N},s_{z\,N}=m_{N}}(t)=\int _{R_{1}}d^{3}\mathbf {r} _{1}\int _{R_{2}}d^{3}\mathbf {r} _{2}\cdots \int _{R_{N}}d^{3}\mathbf {r} _{N}\left|\Psi \left(\mathbf {r} _{1}\cdots \mathbf {r} _{N},m_{1}\cdots m_{N},t\right)\right|^{2}}$

ในกลศาสตร์ควอนตัมที่ไม่สัมพันธ์กับทฤษฎีสัมพันธภาพ สามารถแสดงได้โดยใช้สมการคลื่นที่ขึ้นกับเวลาของชเรอดิงเงอร์ว่าสมการ:

$${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {J} =0}$$เป็นไปตามที่เป็นความหนาแน่นของความน่าจะเป็น และเป็นที่รู้จักกันในชื่อฟลักซ์ความน่าจะเป็นตามรูปแบบสมการความต่อเนื่องของสมการข้างต้น${\textstyle \rho (\mathbf {x} ,t)=|\psi (\mathbf {x} ,t)|^{2}}$${\textstyle \mathbf {J} (\mathbf {x} ,t)={\frac {\hbar }{2im}}(\psi ^{*}\nabla \psi -\psi \nabla \psi ^{*})={\frac {\hbar }{m}}{\text{Im}}(\psi ^{*}\nabla \psi )}$

โดยใช้การแสดงออกต่อไปนี้สำหรับฟังก์ชันคลื่น: โดยที่เป็นความหนาแน่นของความน่าจะเป็น และเป็นเฟสของฟังก์ชันคลื่น สามารถแสดงได้ว่า:$${\displaystyle \psi (\mathbf {x} ,t)={\sqrt {\rho (\mathbf {x} ,t)}}\exp {\frac {iS(\mathbf {x} ,t)}{\hbar }}}$$${\textstyle \rho (\mathbf {x} ,t)=|\psi (\mathbf {x} ,t)|^{2}}$${\textstyle S(\mathbf {x} ,t)}$

$${\displaystyle \mathbf {J} (\mathbf {x} ,t)={\frac {\rho \nabla S}{m}}}$$

ดังนั้นการเปลี่ยนแปลงเชิงพื้นที่ของเฟสจึงเป็นลักษณะเฉพาะของ ฟลักซ์ ความ น่าจะเป็น

ในความคล้ายคลึงแบบคลาสสิก สำหรับปริมาณจะคล้ายคลึงกับความเร็ว โปรดทราบว่าสิ่งนี้ไม่ได้หมายความถึงการตีความตามตัวอักษรของเป็นความเร็ว เนื่องจากความเร็วและตำแหน่งไม่สามารถกำหนดได้พร้อมกันตามหลักความไม่แน่นอนแทนรูปแบบของฟังก์ชันคลื่นในสมการคลื่นที่ขึ้นกับเวลาของชเรอดิงเงอร์ และใช้ลิมิตแบบคลาสสิก:${\textstyle \mathbf {J} =\rho \mathbf {v} }$${\textstyle {\frac {\nabla S}{m}}}$${\textstyle {\frac {\nabla S}{m}}}$${\textstyle \hbar |\nabla ^{2}S|\ll |\nabla S|^{2}}$

$${\displaystyle {\frac {1}{2m}}|\nabla S(\mathbf {x} ,t)|^{2}+V(\mathbf {x} )+{\frac {\partial S}{\partial t}}=0}$$

ซึ่งคล้ายคลึงกับสมการแฮมิลตัน-จาโคบีจากกลศาสตร์คลาสสิก การตีความนี้สอดคล้องกับ ทฤษฎีแฮ มิลตัน-จาโคบีซึ่งSคือฟังก์ชันหลักของแฮมิลตัน^[37]${\textstyle \mathbf {P} _{\text{class.}}=\nabla S}$

สำหรับระบบที่มีศักย์อิสระตามเวลา ฟังก์ชันคลื่นสามารถเขียนเป็นฟังก์ชันขององศาอิสระคูณด้วยปัจจัยเฟสที่ขึ้นกับเวลา ซึ่งรูปแบบจะกำหนดโดยสมการของชเรอดิงเงอร์ สำหรับ อนุภาค Nพิจารณาเฉพาะตำแหน่งของอนุภาคเหล่านั้นและระงับองศาอิสระอื่นๆ โดยที่Eคือค่าลักษณะเฉพาะของพลังงานของระบบที่สอดคล้องกับสถานะลักษณะเฉพาะΨฟังก์ชันคลื่นในรูปแบบนี้เรียกว่าสถานะคงที่$${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\ldots ,\mathbf {r} _{N},t)=e^{-iEt/\hbar }\,\psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\ldots ,\mathbf {r} _{N})\,,}$$

ความสัมพันธ์ของเวลาของสถานะควอนตัมและตัวดำเนินการสามารถวางได้ตามการแปลงเอกภาพของตัวดำเนินการและสถานะ สำหรับสถานะควอนตัม|Ψ⟩และตัวดำเนินการOในภาพชเรอดิงเงอร์|Ψ( t )⟩จะเปลี่ยนแปลงตามเวลาตามสมการชเรอดิงเงอร์ในขณะที่Oคงที่ ในภาพไฮเซนเบิร์ก ความสัมพันธ์จะตรงกันข้าม|Ψ⟩คงที่ในขณะที่O ( t )พัฒนาตามเวลาตามสมการการเคลื่อนที่ของไฮเซนเบิร์ก ในภาพดิแรก (หรือปฏิสัมพันธ์) ความสัมพันธ์จะอยู่ระหว่างกลาง ความสัมพันธ์ของเวลาจะอยู่ในทั้งตัวดำเนินการและสถานะที่พัฒนาตามสมการการเคลื่อนที่ มีประโยชน์โดยเฉพาะในการคำนวณ องค์ประกอบเมท ริกซ์ S ^[38]

ต่อไปนี้เป็นวิธีแก้สมการของชเรอดิงเงอร์สำหรับอนุภาคไม่มีสปินที่ไม่สัมพันธ์กับทฤษฎีหนึ่งตัว

คุณลักษณะที่โดดเด่นที่สุดประการหนึ่งของกลศาสตร์คลื่นคือความเป็นไปได้ที่อนุภาคจะไปถึงตำแหน่งที่มีศักย์แรง ที่จำกัด (ในกลศาสตร์คลาสสิก) แบบจำลองทั่วไปคือ " อุปสรรคศักย์ " กรณีมิติเดียวมีศักย์ และคำตอบสถานะคงที่ของสมการคลื่นมีรูปแบบ (สำหรับค่าคงที่k , κ บางตัว )$${\displaystyle V(x)={\begin{cases}V_{0}&|x|<a\\0&|x|\geq a\end{cases}}}$$$${\displaystyle \Psi (x)={\begin{cases}A_{\mathrm {r} }e^{ikx}+A_{\mathrm {l} }e^{-ikx}&x<-a,\\B_{\mathrm {r} }e^{\kappa x}+B_{\mathrm {l} }e^{-\kappa x}&|x|\leq a,\\C_{\mathrm {r} }e^{ikx}+C_{\mathrm {l} }e^{-ikx}&x>a.\end{cases}}}$$

โปรดทราบว่าฟังก์ชันคลื่นเหล่านี้ไม่ได้รับการทำให้เป็นมาตรฐาน โปรดดูทฤษฎีการกระเจิงเพื่อการอภิปราย

การตีความมาตรฐานของสิ่งนี้คือการปล่อยอนุภาคจากขั้นตอนด้านซ้าย (ทิศทางของx ลบ ): การกำหนดA _r = 1สอดคล้องกับการปล่อยอนุภาคทีละตัว เงื่อนไขที่มีA _rและC _rหมายถึงการเคลื่อนที่ไปทางขวา ในขณะที่A _lและC _l – ไปทางซ้าย ภายใต้การตีความลำแสงนี้ ให้กำหนดC _l = 0เนื่องจากไม่มีอนุภาคใดมาจากด้านขวา ด้วยการใช้ความต่อเนื่องของฟังก์ชันคลื่นและอนุพันธ์ที่ขอบเขต จึงสามารถกำหนดค่าคงที่ข้างต้นได้

ในผลึก เซมิคอนดักเตอร์ ที่มีรัศมีเล็กกว่าขนาดของเอกไซตอนของโบ ร์เอกไซตอนจะถูกบีบจนเกิดการจำกัดควอนตัมจากนั้นจึงสามารถสร้างแบบจำลองระดับพลังงานโดยใช้ แบบจำลอง อนุภาคในกล่องซึ่งพลังงานของสถานะต่างๆ จะขึ้นอยู่กับความยาวของกล่อง

ฟังก์ชันคลื่นสำหรับออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิกควอนตัมสามารถแสดงได้ในรูปของพหุนามเฮอร์ไมต์ H _nซึ่งคือ โดยที่n = 0, 1, 2, ...$${\displaystyle \Psi _{n}(x)={\sqrt {\frac {1}{2^{n}\,n!}}}\cdot \left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{1/4}\cdot e^{-{\frac {m\omega x^{2}}{2\hbar }}}\cdot H_{n}{\left({\sqrt {\frac {m\omega }{\hbar }}}x\right)}}$$

ฟังก์ชันคลื่นของอิเล็กตรอนในอะตอมไฮโดรเจนแสดงในรูปของฮาร์โมนิกทรงกลมและพหุนามลาเกอร์ทั่วไป (ซึ่งผู้เขียนแต่ละคนให้คำจำกัดความไว้ต่างกัน—ดูบทความหลักเกี่ยวกับฟังก์ชันคลื่นดังกล่าวและอะตอมไฮโดรเจน)

สะดวกในการใช้งานพิกัดทรงกลม และฟังก์ชันคลื่นสามารถแยกออกเป็นฟังก์ชันของแต่ละพิกัดได้^[39] โดยที่Rคือฟังก์ชันรัศมีและY$${\displaystyle \Psi _{n\ell m}(r,\theta ,\phi )=R(r)\,\,Y_{\ell }^{m}\!(\theta ,\phi )}$$^ม
_{. ℓ}( θ , φ )เป็นฮาร์มอนิกทรงกลมที่มีดีกรีℓและลำดับmนี่เป็นอะตอมเดียวเท่านั้นที่สมการชเรอดิงเงอร์ได้รับการแก้อย่างถูกต้อง อะตอมที่มีอิเล็กตรอนหลายตัวต้องการวิธีการประมาณ กลุ่มของคำตอบคือ: ^[40] โดยที่a ₀ = 4 πε ₀ ħ ² / m _e e ²คือรัศมีของโบร์ L$${\displaystyle \Psi _{n\ell m}(r,\theta ,\phi )={\sqrt {{\left({\frac {2}{na_{0}}}\right)}^{3}{\frac {(n-\ell -1)!}{2n[(n+\ell )!]}}}}e^{-r/na_{0}}\left({\frac {2r}{na_{0}}}\right)^{\ell }L_{n-\ell -1}^{2\ell +1}\left({\frac {2r}{na_{0}}}\right)\cdot Y_{\ell }^{m}(\theta ,\phi )}$$^{2 ℓ + 1}
_{n − ℓ − 1}เป็นพหุนามลาเกอร์ทั่วไปของดีกรีn − ℓ − 1 , n = 1, 2, ...คือเลขควอนตัมหลัก , ℓ = 0, 1, ..., n − 1คือเลขควอนตัมเชิงมุม , m = − ℓ , − ℓ + 1, ..., ℓ − 1, ℓ คือ เลขควอนตัมแม่เหล็ก อะตอมที่คล้ายไฮโดรเจนมีคำตอบที่คล้ายกันมาก

วิธีนี้ไม่ได้คำนึงถึงการหมุนของอิเล็กตรอน

ในรูปของออร์บิทัลไฮโดรเจน ภาพย่อยทั้ง 19 ภาพเป็นภาพของฟังก์ชันคลื่นในปริภูมิตำแหน่ง (นอร์มยกกำลังสอง) ฟังก์ชันคลื่นแสดงถึงสถานะนามธรรมที่มีลักษณะเป็นเลขควอนตัมสามตัว( n , ℓ , m )ที่มุมขวาล่างของแต่ละภาพ เลขควอนตัมหลัก เลขควอนตัมโมเมนตัมเชิงมุมของวงโคจร และเลขควอนตัมแม่เหล็ก เมื่อรวมกับเลขควอนตัมการฉายสปินของอิเล็กตรอนหนึ่งตัว ก็จะได้ชุดค่าที่สังเกตได้สมบูรณ์

รูปภาพนี้สามารถใช้เพื่อแสดงคุณสมบัติเพิ่มเติมของปริภูมิฟังก์ชันของฟังก์ชันคลื่นได้

• ^{ในกรณีนี้ ฟังก์ชันคลื่นสามารถอินทิเกรตได้เป็นกำลังสอง โดยเบื้องต้นเราสามารถใช้พื้นที่ฟังก์ชัน เป็น}พื้นที่ของฟังก์ชันอินทิเกรตได้เป็นกำลังสอง ซึ่งโดยปกติจะแสดงเป็นL2
• ฟังก์ชันที่แสดงเป็นคำตอบของสมการชเรอดิงเงอร์ เห็นได้ชัดว่าไม่ใช่ทุกฟังก์ชันในL ²ที่สอดคล้องกับสมการชเรอดิงเงอร์สำหรับอะตอมไฮโดรเจน ดังนั้น ปริภูมิฟังก์ชันจึงเป็นปริภูมิย่อยของL ²
• ฟังก์ชันที่แสดงนั้นเป็นส่วนหนึ่งของฐานสำหรับปริภูมิฟังก์ชัน สำหรับแต่ละไตรภาค( n , ℓ , m )จะมีฟังก์ชันคลื่นพื้นฐานที่สอดคล้องกัน หากคำนึงถึงสปินแล้ว จะมีฟังก์ชันพื้นฐานสองฟังก์ชันสำหรับแต่ละไตรภาค ดังนั้นปริภูมิฟังก์ชันจึงมีฐานที่นับได้
• ฟังก์ชันพื้นฐานจะตั้งฉาก กัน ซึ่ง กันและกัน

แนวคิดของปริภูมิฟังก์ชันนั้นเข้ามาเกี่ยวข้องในการอภิปรายเกี่ยวกับฟังก์ชันคลื่นโดยธรรมชาติ ปริภูมิฟังก์ชันคือชุดของฟังก์ชัน ซึ่งโดยปกติแล้วจะมีข้อกำหนดบางอย่างสำหรับฟังก์ชัน (ในกรณีนี้คือฟังก์ชันเหล่านั้นสามารถอินทิเกรตได้เป็นกำลังสอง ) บางครั้งอาจมีโครงสร้างพีชคณิตบนเซต (ในกรณีนี้คือ โครงสร้าง ปริภูมิเวกเตอร์ที่มีผลคูณภายใน ) ร่วมกับโทโพโลยีบนเซต จะใช้โทโพโลยีแบบหลังนี้เพียงเล็กน้อยในที่นี้ ซึ่งจำเป็นเพียงเพื่อให้ได้คำจำกัดความที่ชัดเจนของความหมายของเซตย่อยของปริภูมิฟังก์ชันที่จะปิดเท่านั้น จะสรุปได้ด้านล่างว่าปริภูมิฟังก์ชันของฟังก์ชันคลื่นคือปริภูมิฮิลเบิร์ต การสังเกตนี้เป็นรากฐานของการกำหนดสูตรทางคณิตศาสตร์ที่โดดเด่นของกลศาสตร์ควอนตัม

ฟังก์ชันคลื่นเป็นองค์ประกอบของปริภูมิฟังก์ชันซึ่งมีลักษณะเฉพาะบางส่วนตามคำอธิบายที่เป็นรูปธรรมและนามธรรมดังต่อไปนี้

• สมการของชเรอดิงเงอร์เป็นเชิงเส้น ซึ่งหมายความว่าคำตอบของสมการนั้น ซึ่งก็คือฟังก์ชันคลื่น สามารถบวกและคูณด้วยสเกลาร์เพื่อสร้างคำตอบใหม่ได้ ชุดคำตอบของสมการของชเรอดิงเงอร์คือปริภูมิเวกเตอร์
• หลักการซ้อนทับของกลศาสตร์ควอนตัม ถ้าΨและΦเป็นสองสถานะในปริภูมินามธรรมของสถานะในระบบกลศาสตร์ควอนตัม และaและbเป็นจำนวนเชิงซ้อนสองจำนวนใดๆ ก็ตาม ดังนั้นΨ + b Φก็เป็นสถานะที่ถูกต้องเช่นกัน (ไม่ว่าเวกเตอร์ว่างจะนับเป็นสถานะที่ถูกต้อง ("ไม่มีระบบอยู่") หรือไม่นั้นยังเป็นเรื่องของคำจำกัดความ เวกเตอร์ว่างไม่สามารถ อธิบาย สถานะสุญญากาศ ในทฤษฎีสนามควอนตัม ได้แต่อย่างใด) เซตของสถานะที่อนุญาตคือปริภูมิเวกเตอร์

ความคล้ายคลึงนี้ไม่ใช่เรื่องบังเอิญอย่างแน่นอน นอกจากนี้ ยังมีข้อแตกต่างระหว่างพื้นที่ที่ต้องคำนึงถึงด้วย

สถานะพื้นฐานนั้นมีลักษณะเฉพาะด้วยชุดของเลขควอนตัม ซึ่งเป็นชุดของค่าลักษณะเฉพาะของชุดค่าสูงสุดของค่าที่สังเกตได้ที่มีการสับเปลี่ยน ค่าที่สังเกตได้ทางกายภาพนั้นแสดงโดยตัวดำเนินการเชิงเส้น ซึ่งเรียกอีกอย่างว่าค่าที่สังเกตได้ บนปริภูมิเวกเตอร์ ค่าสูงสุดหมายความว่าไม่สามารถเพิ่มค่าที่สังเกตได้อิสระทางพีชคณิตที่สับเปลี่ยนกับค่าที่มีอยู่แล้วลงในชุดได้ การเลือกชุดดังกล่าวอาจเรียกว่าการเลือกการแสดง

• เป็นสมมติฐานของกลศาสตร์ควอนตัมที่ว่าปริมาณที่สังเกตได้ทางกายภาพของระบบ เช่น ตำแหน่ง โมเมนตัม หรือสปิน จะแสดงโดยตัวดำเนินการเฮอร์มิเชียน เชิงเส้น บนพื้นที่สถานะ ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ของการวัดปริมาณคือค่าลักษณะเฉพาะของตัวดำเนินการ^[18]ในระดับที่ลึกกว่านั้น สิ่งที่สังเกตได้ส่วนใหญ่ หรือบางทีอาจทั้งหมด เกิดขึ้นเป็นตัวสร้างสมมาตร[ ^{18] [41] [nb 6]}
• การตีความทางกายภาพก็คือ ชุดดังกล่าวแสดงถึงสิ่งที่สามารถวัดได้พร้อมกันด้วยความแม่นยำตามอำเภอใจในทางทฤษฎีความสัมพันธ์ความไม่แน่นอนของไฮเซนเบิร์กทำให้ไม่สามารถวัดค่าที่สังเกตได้สองค่าที่ไม่สับเปลี่ยนได้ในเวลาเดียวกัน
• เซตนี้ไม่ซ้ำกัน ตัวอย่างเช่น เซตนี้อาจเป็นตำแหน่งและสปินของ_การฉายภาพz ( x , Sz )หรืออาจเป็นโมเมนตัมและสปินของการฉายภาพy ( p , Sy )ในกรณีนี้ ตัวดำเนินการที่สอดคล้องกับตำแหน่ง ( ตัวดำเนินการคูณ_ในการแสดงตำแหน่ง) และตัวดำเนินการที่สอดคล้องกับโมเมนตัม ( ตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ในการแสดงตำแหน่ง) จะไม่สับเปลี่ยน
• เมื่อเลือกการแสดงแล้ว ยังคงมีความไม่แน่นอนอยู่ เหลือเพียงการเลือกระบบพิกัด ซึ่งอาจสอดคล้องกับการเลือก แกน x , yและzหรือการเลือกพิกัดเส้นโค้งตามตัวอย่างพิกัดทรง กลม ที่ใช้สำหรับฟังก์ชันคลื่นอะตอมไฮโดรเจน การเลือกขั้นสุดท้ายนี้ยังกำหนดพื้นฐานในปริภูมิฮิลเบิร์ตเชิงนามธรรมอีกด้วย สถานะพื้นฐานจะถูกกำหนดด้วยเลขควอนตัมที่สอดคล้องกับชุดสูงสุดของค่าที่สังเกตได้จากการสับเปลี่ยนและระบบพิกัดที่เหมาะสม^{[nb 7]}

สถานะนามธรรมเป็น "นามธรรม" เฉพาะในกรณีที่ไม่มีการระบุตัวเลือกโดยพลการที่จำเป็นสำหรับ คำอธิบาย ที่ชัดเจน เฉพาะ เจาะจงของสถานะนั้น ซึ่งเหมือนกับการบอกว่าไม่มีการระบุตัวเลือกของชุดสูงสุดของค่าที่สังเกตได้จากการสับเปลี่ยน สิ่งนี้เปรียบได้กับปริภูมิเวกเตอร์ที่ไม่มีพื้นฐานที่ระบุ ดังนั้น ฟังก์ชันคลื่นที่สอดคล้องกับสถานะจึงไม่ซ้ำกัน ความซ้ำกันนี้สะท้อนถึงความซ้ำกันในการเลือกชุดสูงสุดของค่าที่สังเกตได้จากการสับเปลี่ยน สำหรับอนุภาคสปินหนึ่งอนุภาคในมิติเดียว ฟังก์ชันคลื่นสองฟังก์ชันจะสอดคล้องกับสถานะเฉพาะ คือΨ( x , S _z )และΨ( p , S _y )ซึ่งทั้งคู่อธิบายสถานะ เดียวกัน

• สำหรับแต่ละตัวเลือกของชุดการสับเปลี่ยนสูงสุดของสิ่งที่สังเกตได้สำหรับพื้นที่สถานะนามธรรมนั้น จะมีการแสดงที่สอดคล้องกันซึ่งเชื่อมโยงกับพื้นที่ฟังก์ชันของฟังก์ชันคลื่น
• ระหว่างพื้นที่ฟังก์ชันที่แตกต่างกันทั้งหมดเหล่านี้และพื้นที่สถานะนามธรรมนั้น มีความสอดคล้องกันแบบหนึ่งต่อหนึ่ง (ในที่นี้ ไม่คำนึงถึงการทำให้เป็นมาตรฐานและปัจจัยเฟสที่สังเกตไม่ได้) โดยตัวส่วนร่วมในที่นี้คือสถานะนามธรรมเฉพาะ ความสัมพันธ์ระหว่างฟังก์ชันคลื่นของพื้นที่โมเมนตัมและตำแหน่ง เช่น การอธิบายสถานะเดียวกัน เรียกว่าการแปลงฟูเรียร์

ตัวเลือกการแสดงแต่ละตัวเลือกควรได้รับการพิจารณาว่าเป็นการระบุพื้นที่ฟังก์ชันเฉพาะที่ฟังก์ชันคลื่นที่สอดคล้องกับตัวเลือกการแสดงนั้นอยู่ ความแตกต่างนี้ควรคงไว้แม้ว่าเราอาจโต้แย้งได้ว่าพื้นที่ฟังก์ชันสองพื้นที่ดังกล่าวเท่ากันทางคณิตศาสตร์ เช่น เป็นเซตของฟังก์ชันที่หาปริพันธ์ได้กำลังสอง จากนั้นเราสามารถคิดถึงพื้นที่ฟังก์ชันเป็นสำเนาที่แตกต่างกันสองชุดของเซตนั้น

มีโครงสร้างพีชคณิตเพิ่มเติมในปริภูมิเวกเตอร์ของฟังก์ชันคลื่นและพื้นที่สถานะนามธรรม

• ในทางกายภาพ ฟังก์ชันคลื่นที่แตกต่างกันจะถูกตีความว่าทับซ้อนกันในระดับหนึ่ง ระบบในสถานะΨที่ไม่ทับซ้อนกันกับสถานะΦไม่สามารถพบว่าอยู่ในสถานะΦเมื่อทำการวัด แต่ถ้าΦ ₁ , Φ ₂ , … ทับซ้อนกันใน ระดับ หนึ่งก็มีโอกาสที่การวัดระบบที่อธิบายโดยΨจะพบได้ในสถานะΦ ₁ , Φ ₂ , …นอกจากนี้กฎการเลือกยังถูกนำไปใช้ด้วย โดยปกติแล้วกฎเหล่านี้จะถูกกำหนดไว้ในการรักษาจำนวนควอนตัมบางจำนวน ซึ่งหมายความว่ากระบวนการบางอย่างที่อนุญาตจากมุมมองบางอย่าง (เช่น การอนุรักษ์พลังงานและโมเมนตัม) จะไม่เกิดขึ้นเนื่องจาก ฟังก์ชันคลื่น รวม เริ่มต้นและสุดท้าย ไม่ทับซ้อนกัน
• ทางคณิตศาสตร์ ปรากฏว่าคำตอบของสมการชเรอดิงเงอร์สำหรับศักย์เฉพาะ นั้น ตั้งฉากกันในลักษณะหนึ่ง ซึ่งโดยปกติจะอธิบายด้วยอินทิกรัลโดยที่m , nคือ (ชุดของ) ดัชนี (จำนวนควอนตัม) ที่กำหนดให้คำตอบต่างๆ ฟังก์ชันบวกอย่างเคร่งครัดwเรียกว่าฟังก์ชันน้ำหนัก และδ _mnคือเดลต้าของโครเนกเกอร์การอินทิกรัลจะครอบคลุมพื้นที่ที่เกี่ยวข้องทั้งหมด$${\displaystyle \int \Psi _{m}^{*}\Psi _{n}w\,dV=\delta _{nm},}$$

สิ่งนี้เป็นแรงบันดาลใจให้มีการนำผลคูณภายในมาใช้กับปริภูมิเวกเตอร์ของสถานะควอนตัมนามธรรม ซึ่งสอดคล้องกับการสังเกตทางคณิตศาสตร์ข้างต้นเมื่อส่งต่อไปยังการแสดง โดยแสดงด้วย(Ψ, Φ)หรือในสัญกรณ์ Bra–ket ⟨Ψ|Φ⟩ซึ่งจะให้จำนวนเชิงซ้อน เมื่อมีผลคูณภายใน พื้นที่ฟังก์ชันจะ เป็นปริภูมิ ผลคูณภายในลักษณะที่ชัดเจนของผลคูณภายใน (โดยปกติคืออินทิกรัลหรือผลรวมของอินทิกรัล) ขึ้นอยู่กับการเลือกการแสดง แต่จำนวนเชิงซ้อน(Ψ, Φ)จะไม่เป็นเช่นนั้น การตีความทางกายภาพของกลศาสตร์ควอนตัมส่วนใหญ่มีต้นกำเนิดมาจากกฎบอร์นซึ่งระบุว่าความน่าจะ เป็น pของการค้นพบสถานะΦ เมื่อวัด โดยกำหนดระบบให้อยู่ในสถานะΨคือ โดยที่ΦและΨถือว่าได้รับการทำให้เป็นมาตรฐาน พิจารณาการทดลองการกระเจิง ในทฤษฎีสนามควอนตัม ถ้าΦ _outอธิบายสถานะใน "อนาคตอันไกลโพ้น" ("สถานะออก") หลังจากปฏิสัมพันธ์ระหว่างอนุภาคที่กระเจิงหยุดลง และΨ _ใน "สถานะเข้า" ใน "อดีตอันไกลโพ้น" ดังนั้นปริมาณ(Φ _out , Ψ _in )โดยที่Φ _outและΨ _inแปรผันไปตามชุดสถานะเข้าและสถานะออกที่สมบูรณ์ตามลำดับ เรียกว่าเมทริกซ์ Sหรือเมทริกซ์กระเจิงความรู้เกี่ยวกับเมทริกซ์ดังกล่าวนั้นเท่ากับว่าได้แก้ทฤษฎีที่มีอยู่แล้วได้อย่างมีประสิทธิผล อย่างน้อยก็เท่าที่ทำนายได้ ปริมาณที่วัดได้ เช่นอัตราการสลายตัวและหน้าตัดการกระเจิงนั้นสามารถคำนวณได้จากเมทริกซ์ S ^[42]$${\displaystyle p=|(\Phi ,\Psi )|^{2},}$$

ข้อสังเกตข้างต้นสรุปสาระสำคัญของพื้นที่ฟังก์ชันซึ่งฟังก์ชันคลื่นเป็นองค์ประกอบ อย่างไรก็ตาม คำอธิบายยังไม่สมบูรณ์ มีข้อกำหนดทางเทคนิคเพิ่มเติมเกี่ยวกับพื้นที่ฟังก์ชัน ซึ่งก็คือความสมบูรณ์ซึ่งช่วยให้สามารถกำหนดขีดจำกัดของลำดับในพื้นที่ฟังก์ชันได้ และมั่นใจได้ว่าหากมีขีดจำกัดนั้น จะเป็นองค์ประกอบของพื้นที่ฟังก์ชัน พื้นที่ผลคูณภายในที่สมบูรณ์เรียกว่าพื้นที่ฮิลเบิร์ต คุณสมบัติของความสมบูรณ์มีความสำคัญอย่างยิ่งในการประมวลผลและการประยุกต์ใช้ขั้นสูงของกลศาสตร์ควอนตัม ตัวอย่างเช่น การมีอยู่ของตัวดำเนินการการฉายหรือการฉายมุมฉากนั้นขึ้นอยู่กับความสมบูรณ์ของพื้นที่^[43]ตัวดำเนินการการฉายเหล่านี้มีความจำเป็นสำหรับการระบุและการพิสูจน์ทฤษฎีบทที่มีประโยชน์มากมาย เช่นทฤษฎีบทสเปกตรัมไม่สำคัญมากในกลศาสตร์ควอนตัมเบื้องต้น และอาจพบรายละเอียดทางเทคนิคและลิงก์ในเชิงอรรถ เช่น เชิงอรรถต่อไปนี้^{[หมายเหตุ 8]} ช่องว่างL2 คือช่องว่างฮิลเบิร์ ^ตโดยผลคูณภายในจะแสดงไว้ในภายหลัง ช่องว่างฟังก์ชันของตัวอย่างในรูปคือช่องว่างย่อยของL2 ช่องว่างย่อยของช่องว่างฮิลเบิร์ตจะเป็นช่องว่างฮิลเบิร์ต ^หากเป็นช่องว่างปิด

โดยสรุป เซตของฟังก์ชันคลื่นที่สามารถทำให้เป็นปกติได้ทั้งหมดที่เป็นไปได้สำหรับระบบที่มีตัวเลือกพื้นฐานที่เฉพาะเจาะจง ร่วมกับเวกเตอร์ศูนย์ จะสร้างเป็นปริภูมิฮิลเบิร์ต

ฟังก์ชันที่น่าสนใจไม่ใช่องค์ประกอบทั้งหมดของปริภูมิฮิลเบิร์ต เช่น^L2 ตัวอย่างที่เห็นได้ชัดเจนที่สุดคือเซตของฟังก์ชันe ^{2 πi p · x ⁄ h} ฟังก์ชัน เหล่านี้เป็นคำตอบของคลื่นระนาบของสมการชเรอดิงเงอร์สำหรับอนุภาคอิสระ แต่ไม่สามารถปรับให้เป็นมาตรฐานได้ ดังนั้นจึงไม่สามารถอยู่ใน^L2 ได้แต่ฟังก์ชันเหล่านี้ยังคงเป็นพื้นฐานสำหรับการอธิบาย เราสามารถแสดงฟังก์ชันที่สามารถปรับให้เป็นมาตรฐานได้โดยใช้แพ็กเก็ตคลื่นในแง่หนึ่ง ฟังก์ชันเหล่านี้เป็นพื้นฐาน (แต่ไม่ใช่พื้นฐานปริภูมิฮิลเบิร์ตหรือพื้นฐานของฮาเมล ) ที่สามารถแสดงฟังก์ชันคลื่นที่น่าสนใจได้ นอกจากนี้ยังมีสิ่งประดิษฐ์ "การปรับให้เป็นมาตรฐานของฟังก์ชันเดลต้า" ซึ่งมักใช้เพื่อความสะดวกในการแสดงสัญลักษณ์ ดูด้านล่าง ฟังก์ชันเดลต้าเองก็ไม่สามารถอินทิเกรตกำลังสองได้เช่นกัน

คำอธิบายข้างต้นของพื้นที่ฟังก์ชันที่มีฟังก์ชันคลื่นส่วนใหญ่ได้รับแรงบันดาลใจทางคณิตศาสตร์ พื้นที่ฟังก์ชันนั้นมีขนาดใหญ่ มาก ในความหมายหนึ่งเนื่องมาจากความสมบูรณ์ ไม่ใช่ฟังก์ชันทั้งหมดที่จะอธิบายระบบทางกายภาพได้อย่างแท้จริง ตัวอย่างเช่น ในพื้นที่ฟังก์ชันL ²สามารถพบฟังก์ชันที่มีค่า0สำหรับจำนวนตรรกยะทั้งหมด และ-iสำหรับจำนวนอตรรกยะในช่วง[0, 1] ฟังก์ชันนี้ สามารถ อินทิเกรตกำลังสองได้^{[nb 9] แต่แทบจะไม่} สามารถ แสดงสถานะทางกายภาพได้

ในขณะที่พื้นที่ของโซลูชันโดยรวมเป็นพื้นที่ฮิลเบิร์ต ก็ยังมีพื้นที่ฮิลเบิร์ตอื่นๆ อีกมากมายที่มักเกิดขึ้นเป็นส่วนผสม

• ฟังก์ชันค่าเชิงซ้อนที่บูรณาการได้กำลังสองบนช่วง[0, 2 π ]เซต{ e ^int /2 π , n ∈ Z }เป็นพื้นฐานของปริภูมิฮิลเบิร์ต กล่าวคือ เซตมุมฉากสูงสุด
• การแปลงฟูเรียร์ใช้ฟังก์ชันในปริภูมิข้างต้นเป็นองค์ประกอบของl2 ( Z ) ^ซึ่ง เป็น ปริภูมิของฟังก์ชัน ที่ หาผลรวมกำลังสองZ → C ปริภูมิหลังเป็นปริภูมิฮิลเบิร์ต และการแปลงฟูเรี ยร์เป็นไอโซมอร์ฟิซึมของปริภูมิฮิลเบิร์ต[ _{หมายเหตุ} ^10]พื้นฐานคือ{ e _i , i∈ Z }โดยที่e i ₍ j ) = δij , i , j∈ Z
• ตัวอย่างพื้นฐานที่สุดของพหุนามแบบขยายคือในพื้นที่ของฟังก์ชันที่บูรณาการได้แบบกำลังสองบนช่วง[–1, 1]ซึ่งพหุนามเลอฌ็องดร์เป็นพื้นฐานของพื้นที่ฮิลเบิร์ต (เซตออร์โธนอร์มัลสมบูรณ์)
• ฟังก์ชันที่รวมได้ในรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนทรงกลมหน่วย S2คือปริภูมิฮิลเบิร์ต ฟังก์ชันพื้นฐานในกรณีนี้คือฮาร์^มอนิกทรงกลม พหุนามเลอฌ็องดร์เป็นส่วนประกอบในฮาร์มอนิกทรงกลม ปัญหาส่วนใหญ่เกี่ยวกับสมมาตรการหมุนจะมีคำตอบ "แบบเดียวกัน" (ที่ทราบ) เมื่อเทียบกับสมมาตรนั้น ดังนั้น ปัญหาเดิมจึงลดลงเหลือเพียงปัญหาที่มีมิติต่ำกว่า
• พหุนาม Laguerre ที่เกี่ยวข้องปรากฏในปัญหาฟังก์ชันคลื่นไฮโดรเจนหลังจากแยกตัวประกอบฮาร์มอนิกทรงกลมออก พหุนามเหล่านี้ครอบคลุมปริภูมิฮิลเบิร์ตของฟังก์ชันที่รวมได้กำลังสองบนช่วงกึ่งอนันต์[0, ∞ )

โดยทั่วไปแล้ว อาจพิจารณาแนวทางการแก้ไขแบบรวมของคำตอบพหุนามลำดับที่สองทั้งหมดสำหรับ สม การ Sturm–Liouvilleในบริบทของปริภูมิฮิลเบิร์ต ซึ่งรวมถึงพหุนามของเลอฌ็องดร์และลาแกร์ ตลอดจนพหุนามเชบีเชฟพหุนามจาโคบีและพหุนามเฮอร์ไมต์ทั้งหมดนี้ปรากฏในปัญหาทางฟิสิกส์จริง ๆ โดยปัญหาหลังอยู่ในออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิกและสิ่งที่เป็นเขาวงกตของคุณสมบัติของฟังก์ชันพิเศษ ที่น่าสับสน ก็กลายมาเป็นข้อเท็จจริงที่จัดระเบียบแล้ว สำหรับเรื่องนี้ โปรดดู Byron & Fuller (1992, บทที่ 5)

นอกจากนี้ ยังเกิดช่องว่างฮิลเบิร์ตที่มีมิติจำกัดอีกด้วย ช่องว่างC ⁿคือช่องว่างฮิลเบิร์ตที่มีมิติnผลคูณภายในคือผลคูณภายในมาตรฐานบนช่องว่างเหล่านี้ ในช่องว่างดังกล่าวจะมี "ส่วนสปิน" ของฟังก์ชันคลื่นอนุภาคเดี่ยวอยู่

• ในการอธิบายแบบไม่สัมพันธ์กันของอิเล็กตรอน เราจะได้ว่าn = 2และฟังก์ชันคลื่นรวมเป็นคำตอบของสมการของเพาลี
• ในการบำบัดเชิงสัมพันธภาพที่สอดคล้องกันn = 4และฟังก์ชันคลื่นจะแก้สมการของดิแรก

เมื่อมีอนุภาคมากขึ้น สถานการณ์จะซับซ้อนมากขึ้น เราต้องใช้ผลคูณเทนเซอร์และใช้ทฤษฎีการแสดงแทนของกลุ่มสมมาตรที่เกี่ยวข้อง ( กลุ่มการหมุนและกลุ่มลอเรนซ์ตามลำดับ) เพื่อดึงช่องว่างที่ฟังก์ชันคลื่นสปิน (ทั้งหมด) อยู่ออกมาจากผลคูณเทนเซอร์ (ปัญหาเพิ่มเติมเกิดขึ้นในกรณีสัมพันธภาพ เว้นแต่อนุภาคจะเป็นอิสระ^[44]ดูสมการเบเธ–ซัลปีเตอร์ ) ข้อสังเกตที่เกี่ยวข้องใช้ได้กับแนวคิดของไอโซสปินซึ่งกลุ่มสมมาตรคือSU(2)แบบจำลองของแรงนิวเคลียร์ในยุค 60 (ยังคงมีประโยชน์ในปัจจุบัน ดูแรงนิวเคลียร์ ) ใช้กลุ่มสมมาตรSU(3)ในกรณีนี้ ส่วนหนึ่งของฟังก์ชันคลื่นที่สอดคล้องกับสมมาตรภายในจะอยู่ในC ⁿหรือช่องว่างย่อยของผลิตภัณฑ์เทนเซอร์ของช่องว่างดังกล่าว

• ในทฤษฎีสนามควอนตัม ปริภูมิฮิลเบิร์ตที่เป็นพื้นฐานคือปริภูมิฟ็อกซึ่งสร้างขึ้นจากสถานะอนุภาคเดี่ยวอิสระ เช่น ฟังก์ชันคลื่นเมื่อเลือกการแสดง และสามารถรองรับจำนวนอนุภาคที่จำกัดซึ่งไม่จำเป็นต้องคงที่ตามเวลา ไดนามิกที่น่าสนใจ (หรือที่เข้าใจได้)ไม่ได้อยู่ที่ฟังก์ชันคลื่น แต่อยู่ที่ตัวดำเนินการสนามซึ่งเป็นตัวดำเนินการที่กระทำบนปริภูมิฟ็อก ดังนั้นภาพของไฮเซนเบิร์ก จึง เป็นตัวเลือกที่พบได้บ่อยที่สุด (สถานะคงที่ ตัวดำเนินการที่เปลี่ยนแปลงตามเวลา)

เนื่องจากระบบมีมิติไม่สิ้นสุด เครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่เหมาะสมจึงเป็นหัวข้อในการศึกษาวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน

หนังสือเรียนเบื้องต้นไม่ได้นำแนวทางที่ยาวไกลและแนะนำเครื่องจักรในอวกาศของฮิลเบิร์ตทั้งหมด แต่เน้นที่สมการชเรอดิงเงอร์ที่ไม่สัมพันธ์กับความสัมพันธ์ในการแสดงตำแหน่งสำหรับศักย์มาตรฐานบางตัว ข้อจำกัดต่อไปนี้เกี่ยวกับฟังก์ชันคลื่นบางครั้งถูกกำหนดไว้อย่างชัดเจนเพื่อให้การคำนวณและการตีความทางกายภาพสมเหตุสมผล: ^{[45] [46]}

• ฟังก์ชันคลื่นจะต้องสามารถอินทิเกรตกำลังสองได้ซึ่งได้รับแรงบันดาลใจจากการตีความฟังก์ชันคลื่นแบบโคเปนเฮเกนว่าเป็นแอมพลิจูดของความน่าจะเป็น
• จะต้องมีความต่อเนื่อง ทุกที่ และสามารถหาอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่อง ทุกที่ ซึ่งได้รับแรงกระตุ้นจากสมการของชเรอดิงเงอร์สำหรับศักยภาพที่สมเหตุสมผลในทางกายภาพส่วนใหญ่

เป็นไปได้ที่จะผ่อนปรนเงื่อนไขเหล่านี้บ้างเพื่อวัตถุประสงค์พิเศษ^{[nb 11]} หากไม่เป็นไปตามข้อกำหนดเหล่านี้ จะไม่สามารถตีความฟังก์ชันคลื่นเป็นแอมพลิจูดของความน่าจะเป็นได้^[47]โปรดทราบว่าข้อยกเว้นอาจเกิดขึ้นกับกฎความต่อเนื่องของอนุพันธ์ที่จุดที่ไม่ต่อเนื่องของสนามศักย์ ตัวอย่างเช่น ในอนุภาคในกล่องซึ่งอนุพันธ์ของฟังก์ชันคลื่นอาจไม่ต่อเนื่องที่ขอบเขตของกล่องซึ่งศักย์นั้นทราบว่ามีความไม่ต่อเนื่องไม่สิ้นสุด

สิ่งนี้จะไม่เปลี่ยนแปลงโครงสร้างของปริภูมิฮิลเบิร์ตที่ฟังก์ชันคลื่นเฉพาะเหล่านี้อาศัยอยู่ แต่ปริภูมิย่อยของฟังก์ชันที่บูรณาการกำลังสองL ²ซึ่งเป็นปริภูมิฮิลเบิร์ตที่ตอบสนองข้อกำหนดที่สองจะไม่ถูกปิดในL ²ดังนั้นจึงไม่ใช่ปริภูมิฮิลเบิร์ตในตัวมันเอง^{[หมายเหตุ 12]} ฟังก์ชันที่ไม่ตอบสนองข้อกำหนดยังคงมีความจำเป็นทั้งด้วยเหตุผลทางเทคนิคและทางปฏิบัติ^{[หมายเหตุ 13] [หมายเหตุ 14]}

ดังที่ได้สาธิตให้เห็นแล้วว่าเซตของฟังก์ชันคลื่นที่เป็นไปได้ทั้งหมดในการแสดงบางอย่างสำหรับระบบประกอบเป็น ปริภูมิฮิลเบิร์ต มิติอนันต์ โดยทั่วไป เนื่องจากมีตัวเลือกที่เป็นไปได้หลายตัวสำหรับฐานในการแสดง ปริภูมิฮิลเบิร์ตเหล่านี้จึงไม่ซ้ำกัน ดังนั้น เราจึงพูดถึงปริภูมิฮิลเบิร์ตเชิงนามธรรมปริภูมิสถานะซึ่งตัวเลือกของการแสดงและฐานนั้นไม่ได้ถูกกำหนดไว้ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สถานะแต่ละสถานะจะแสดงเป็นเวกเตอร์เชิงนามธรรมในปริภูมิสถานะ^[48]สถานะควอนตัม|Ψ⟩ในการแสดงใดๆ โดยทั่วไปจะแสดงเป็นเวกเตอร์ โดยที่$${\displaystyle |\Psi \rangle =\sum _{\boldsymbol {\alpha }}\int d^{m}\!{\boldsymbol {\omega }}\,\,\Psi ({\boldsymbol {\alpha }},{\boldsymbol {\omega }},t)\,|{\boldsymbol {\alpha }},{\boldsymbol {\omega }}\rangle }$$

• | α , ω ⟩เวกเตอร์พื้นฐานของการแสดงที่เลือก
• d ^m ω = dω ₁ dω ₂ ... dω _m a "องค์ประกอบปริมาตรเชิงอนุพันธ์ " ในระดับความเป็นอิสระที่ต่อเนื่อง
• Ψ( α , ω , t )ส่วนประกอบของเวกเตอร์|Ψ⟩เรียกว่าฟังก์ชันคลื่นของระบบ
• α = ( α ₁ , α ₂ , ..., α _n )จำนวนควอนตัมแบบแยกส่วนที่ไม่มีมิติ
• ω = ( ω ₁ , ω ₂ , ..., ω _m )ตัวแปรต่อเนื่อง (ไม่จำเป็นต้องไม่มีมิติ)

ตัวเลขควอนตัมเหล่านี้สร้างดัชนีส่วนประกอบของเวกเตอร์สถานะ นอกจากนี้α ทั้งหมด อยู่ในเซตnมิติA = A ₁ × A ₂ × ... × A _n โดยที่ A _iแต่ละอันคือเซตของค่าที่อนุญาตสำหรับα _i ส่วน ωทั้งหมดอยู่ใน"ปริมาตร" มิติm คือ Ω ⊆ ℝ ^mโดยที่Ω = Ω ₁ × Ω ₂ × ... × Ω _mและΩ _i แต่ละ อันคือเซตของค่าที่อนุญาตสำหรับω i _ซึ่งเป็นเซตย่อยของจำนวนจริงRโดยทั่วไปแล้วnและmไม่จำเป็นต้องเท่ากัน

ตัวอย่าง:

ความหนาแน่นของความน่าจะเป็นในการค้นหาระบบในเวลาที่สถานะ| α , ω ⟩คือ${\displaystyle t}$$${\displaystyle \rho _{\alpha ,\omega }(t)=|\Psi ({\boldsymbol {\alpha }},{\boldsymbol {\omega }},t)|^{2}}$$

ความน่าจะเป็นในการค้นหาระบบที่มีαในรูปแบบตัวแปรแยกส่วนที่เป็นไปได้บางส่วนหรือทั้งหมดD ⊆ Aและωในรูปแบบตัวแปรต่อเนื่องที่เป็นไปได้บางส่วนหรือทั้งหมดC ⊆ Ωคือผลรวมและอินทิกรัลเหนือความหนาแน่น^{[nb 15]}$${\displaystyle P(t)=\sum _{{\boldsymbol {\alpha }}\in D}\int _{C}\rho _{\alpha ,\omega }(t)\,\,d^{m}\!{\boldsymbol {\omega }}}$$

เนื่องจากผลรวมของความน่าจะเป็นทั้งหมดจะต้องเป็น 1 เงื่อนไขการทำให้เป็นมาตรฐาน จะต้องคงอยู่ตลอดเวลาในระหว่างวิวัฒนาการของระบบ$${\displaystyle 1=\sum _{{\boldsymbol {\alpha }}\in A}\int _{\Omega }\rho _{\alpha ,\omega }(t)\,d^{m}\!{\boldsymbol {\omega }}}$$

เงื่อนไขการทำให้เป็นมาตรฐานต้องการให้ρ d ^m ωเป็นแบบไร้มิติ โดยการ วิเคราะห์มิติ Ψจะต้องมีหน่วยเดียวกับ( ω ₁ ω ₂ ... ω _m ) ^−1/2

ฟังก์ชันคลื่นมีอยู่จริงหรือไม่ และฟังก์ชันคลื่นแสดงถึงอะไร เป็นคำถามสำคัญในการตีความกลศาสตร์ควอนตัมนักฟิสิกส์ที่มีชื่อเสียงหลายคนในรุ่นก่อนรู้สึกสับสนกับปัญหานี้ เช่นเออร์วิน ชเรอดิงเงอร์ อัลเบิร์ต ไอน์สไตน์และนีลส์ โบร์บางคนสนับสนุนการกำหนดสูตรหรือรูปแบบต่างๆ ของการตีความโคเปนเฮเกน (เช่น โบร์ยูจีน วิกเนอร์และจอห์น ฟอน นอยมันน์ ) ในขณะที่บางคน เช่นจอห์น อาร์ชิบัลด์ วีลเลอร์หรือเอ็ดวิน ทอมป์สัน เจย์นส์ใช้แนวทางคลาสสิกมากกว่า^[49]และถือว่าฟังก์ชันคลื่นแสดงถึงข้อมูลในจิตใจของผู้สังเกต ซึ่งเป็นการวัดความรู้ของเราเกี่ยวกับความเป็นจริง บางคน รวมทั้งชเรอดิงเงอร์เดวิด โบห์มฮิวจ์ เอเวอเร็ตต์ที่ 3และคนอื่นๆ โต้แย้งว่าฟังก์ชันคลื่นจะต้องมีการดำรงอยู่ทางกายภาพที่เป็นวัตถุประสงค์ ไอน์สไตน์คิดว่าคำอธิบายที่สมบูรณ์ของความเป็นจริงทางกายภาพควรอ้างถึงปริภูมิและเวลาทางกายภาพโดยตรง ซึ่งแตกต่างจากฟังก์ชันคลื่นซึ่งหมายถึงปริภูมิทางคณิตศาสตร์ที่เป็นนามธรรม^[50]

• กลศาสตร์ควอนตัมสำหรับวิศวกร
• ฟังก์ชันคลื่นสปิน NYU
• อนุภาคที่เหมือนกันทบทวนใหม่โดยไมเคิลฟาวเลอร์
• ธรรมชาติของฟังก์ชันคลื่นอิเล็กตรอนจำนวนมาก
• กลศาสตร์ควอนตัมและการคำนวณแบบควอนตัมที่ BerkeleyX เก็บถาวร 2013-05-13 ที่เวย์แบ็กแมชชีน
• ไอน์สไตน์ ทฤษฎีควอนตัมของรังสี