ฟังก์ชันเดลต้าของดิแรก

ในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ฟังก์ชันเดลต้าของดิแรก (หรือการแจกแจงδ ) หรือที่เรียกว่าแรงกระตุ้นต่อหน่วย^[1]เป็นฟังก์ชันทั่วไปของจำนวนจริงซึ่งมีค่าเป็นศูนย์ทุกที่ยกเว้นที่ศูนย์ และอินทิกรัล ของฟังก์ชันนี้ เหนือเส้นจำนวนจริงทั้งหมดมีค่าเท่ากับหนึ่ง^{[2] [3] [4]}ดังนั้น จึงสามารถแสดงเป็นฮิวริสติกได้ดังนี้

$${\displaystyle \delta (x)={\begin{cases}0,&x\neq 0\\{\infty },&x=0\end{cases}}}$$

เช่นนั้น

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\delta (x)=1.}$$

เนื่องจากไม่มีฟังก์ชันที่มีคุณสมบัติดังกล่าว การสร้างแบบจำลอง "ฟังก์ชัน" เดลต้าจึงต้องใช้ขีดจำกัดอย่างเข้มงวดหรือ อย่างที่มักพบในทางคณิตศาสตร์ คือทฤษฎีการวัดและทฤษฎีการแจกแจง

ฟังก์ชันเดลต้าได้รับการแนะนำโดยนักฟิสิกส์Paul Diracและตั้งแต่นั้นมาก็ถูกนำไปใช้อย่างแพร่หลายในฟิสิกส์และวิศวกรรมศาสตร์เพื่อสร้างแบบจำลองมวลจุดและแรงกระตุ้นทันที ฟังก์ชันนี้เรียกว่าฟังก์ชันเดลต้าเนื่องจากเป็นอนาล็อกต่อเนื่องของ ฟังก์ชัน เดลต้าของ Kroneckerซึ่งโดยปกติแล้วจะกำหนดบนโดเมนแยกส่วนและมีค่า 0 และ 1 ความเข้มงวดทางคณิตศาสตร์ของฟังก์ชันเดลต้าถูกโต้แย้งจนกระทั่งLaurent Schwartzพัฒนาทฤษฎีการแจกแจง ซึ่งกำหนดให้เป็นรูปแบบเชิงเส้นที่กระทำกับฟังก์ชัน

กราฟ ของเดลต้าของดิแรก นั้นโดยทั่วไปจะคิดว่าเป็นไปตาม แกน x ทั้งหมด และแกนy บวก ^{[5] : 174}เดลต้าของดิแรกนั้นใช้เพื่อสร้างแบบจำลองฟังก์ชันสไปค์สูงแคบ ( แรงกระตุ้น ) และการแยกส่วน ที่คล้ายคลึงกันอื่นๆ เช่นประจุจุดมวลจุดหรือจุดอิเล็กตรอนตัวอย่างเช่น ในการคำนวณพลวัตของลูกบิลเลียดที่ถูกตี เราสามารถประมาณแรงของการกระแทกด้วยเดลต้าของดิแรกได้ เมื่อทำเช่นนี้ เราไม่เพียงแต่ทำให้สมการง่ายขึ้น แต่เราสามารถคำนวณการเคลื่อนที่ของลูกบอลได้ด้วยการพิจารณาแรงกระตุ้นทั้งหมดของการชนเท่านั้น โดยไม่ต้องมีแบบจำลองโดยละเอียดของการถ่ายโอนพลังงานยืดหยุ่นทั้งหมดในระดับย่อยอะตอม (ตัวอย่างเช่น)

ให้เจาะจง สมมติว่าลูกบิลเลียดอยู่นิ่ง ในขณะนั้นลูกบิลเลียดถูกลูกอื่นตี ทำให้ลูกบิลเลียดเกิดโมเมนตัมPซึ่งมีหน่วยเป็น kg⋅m⋅s ⁻¹การแลกเปลี่ยนโมเมนตัมนั้นไม่ได้เกิดขึ้นทันที เนื่องจากเกิดจากกระบวนการยืดหยุ่นในระดับโมเลกุลและระดับอะตอม แต่ในทางปฏิบัติแล้ว สะดวกกว่าที่จะพิจารณาว่าการถ่ายเทพลังงานนั้นเกิดขึ้นทันที ดังนั้น แรงจึงเป็นP δ ( t )ส่วนหน่วยของδ ( t )คือ s ⁻¹${\displaystyle t=0}$

เพื่อจำลองสถานการณ์นี้ให้เข้มงวดยิ่งขึ้น ให้ลองสมมติว่าแรงนั้นกระจายอย่างสม่ำเสมอในช่วงเวลาสั้นๆนั่นคือ${\displaystyle \Delta t=[0,T]}$

$${\displaystyle F_{\Delta t}(t)={\begin{cases}P/\Delta t&0<t\leq T,\\0&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$$

จากนั้นโมเมนตัมในเวลาใดๆtจะพบได้จากการอินทิเกรต:

$${\displaystyle p(t)=\int _{0}^{t}F_{\Delta t}(\tau )\,d\tau ={\begin{cases}P&t\geq T\\P\,t/\Delta t&0\leq t\leq T\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$$

ขณะนี้ สถานการณ์จำลองของการถ่ายโอนโมเมนตัมทันทีต้องใช้ลิมิตเป็นΔ t → 0ซึ่งจะให้ผลลัพธ์ทุกที่ ยกเว้นที่0 :

$${\displaystyle p(t)={\begin{cases}P&t>0\\0&t<0.\end{cases}}}$$

ที่นี่ฟังก์ชันเหล่านี้ถือเป็นการประมาณที่มีประโยชน์ต่อแนวคิดของการถ่ายโอนโมเมนตัมทันที${\displaystyle F_{\Delta t}}$

ฟังก์ชันเดลต้าช่วยให้เราสร้างลิมิตในอุดมคติของการประมาณค่าเหล่านี้ได้ น่าเสียดายที่ลิมิตจริงของฟังก์ชัน (ในความหมายของการบรรจบกันตามจุด ) คือศูนย์ทุกที่ ยกเว้นจุดเดียวที่เป็นอนันต์ เพื่อให้เข้าใจเดลต้าของดิแรกได้อย่างเหมาะสม เราควรยืนกรานว่าคุณสมบัติของฟังก์ชันนั้น${\textstyle \lim _{\Delta t\to 0^{+}}F_{\Delta t}}$

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }F_{\Delta t}(t)\,dt=P,}$$

ซึ่งใช้ได้กับทุกค่าควรคงอยู่ในลิมิตต่อไป ดังนั้น ในสมการจะเข้าใจได้ว่าลิมิตจะอยู่ภายนอกอินทิกรัลเสมอ${\displaystyle \Delta t>0}$${\textstyle F(t)=P\,\delta (t)=\lim _{\Delta t\to 0}F_{\Delta t}(t)}$

ในทางคณิตศาสตร์ประยุกต์ ดังที่เราได้ทำไว้ที่นี่ ฟังก์ชันเดลต้ามักถูกจัดการให้เป็นลิมิตชนิดหนึ่ง ( ลิมิตที่อ่อนแอ ) ของลำดับฟังก์ชัน โดยที่สมาชิกแต่ละตัวจะมีค่าสไปก์สูงที่จุดกำเนิด ตัวอย่างเช่น ลำดับของการแจกแจงแบบเกาส์เซียนที่มีศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด โดยที่ความแปรปรวน มีแนวโน้ม เข้าใกล้ศูนย์

เดลต้าของดิแรกไม่ใช่ฟังก์ชันอย่างแท้จริง อย่างน้อยก็ไม่ใช่ฟังก์ชันปกติที่มีโดเมนและเรนจ์เป็นจำนวนจริงตัวอย่างเช่น วัตถุf ( x ) = δ ( x )และg ( x ) = 0เท่ากันทุกที่ ยกเว้นที่x = 0แต่มีอินทิกรัลที่แตกต่างกัน ตามทฤษฎีอินทิกรัลของเลอเบสก์หากfและgเป็นฟังก์ชันที่f = g เกือบทุกที่ดังนั้นfจะอินทิ กรัลได้ก็ต่อเมื่อ gสามารถอินทิกรัลได้และอินทิกรัลของfและg เหมือนกัน เท่านั้น แนวทางที่เข้มงวดในการมองว่าฟังก์ชันเดลต้าของดิแรกเป็นวัตถุทางคณิตศาสตร์ในตัวของมันเองต้องใช้ทฤษฎีการวัดหรือ ทฤษฎีการแจกแจง

โจเซฟ ฟูริเยร์ได้นำเสนอสิ่งที่เรียกกันในปัจจุบันว่าทฤษฎีบทอินทิกรัลของฟูริเยร์ในบทความThéorie analytique de la chaleurในรูปแบบ: ^[6]

$${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\ \ d\alpha \,f(\alpha )\ \int _{-\infty }^{\infty }dp\ \cos(px-p\alpha )\ ,}$$

ซึ่งเท่ากับการแนะนำฟังก์ชันδในรูปแบบ: ^[7]

$${\displaystyle \delta (x-\alpha )={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }dp\ \cos(px-p\alpha )\ .}$$

ต่อมาAugustin Cauchyได้แสดงทฤษฎีบทโดยใช้เลขชี้กำลังดังนี้: ^{[8] [9]}

$${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\ e^{ipx}\left(\int _{-\infty }^{\infty }e^{-ip\alpha }f(\alpha )\,d\alpha \right)\,dp.}$$

Cauchy ชี้ให้เห็นว่าในบางสถานการณ์ลำดับการอินทิเกรตมีความสำคัญในผลลัพธ์นี้ (เปรียบเทียบกับทฤษฎีบทของ Fubini ) ^{[10] [11]}

ตามที่พิสูจน์ได้โดยใช้ทฤษฎีการแจกแจงสมการโคชีสามารถจัดเรียงใหม่ให้คล้ายกับการกำหนดสูตรเดิมของฟูริเยร์และแสดง ฟังก์ชัน δเป็น

$${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }e^{ipx}\left(\int _{-\infty }^{\infty }e^{-ip\alpha }f(\alpha )\,d\alpha \right)\,dp\\[4pt]&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\left(\int _{-\infty }^{\infty }e^{ipx}e^{-ip\alpha }\,dp\right)f(\alpha )\,d\alpha =\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x-\alpha )f(\alpha )\,d\alpha ,\end{aligned}}}$$

โดยที่ ฟังก์ชัน δแสดงเป็น

$${\displaystyle \delta (x-\alpha )={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }e^{ip(x-\alpha )}\,dp\ .}$$

การตีความรูปแบบเลขชี้กำลังอย่างเข้มงวดและข้อจำกัดต่างๆ ของฟังก์ชันfที่จำเป็นสำหรับการใช้งานนั้นขยายออกไปเป็นเวลาหลายศตวรรษ ปัญหาในการตีความแบบคลาสสิกได้รับการอธิบายดังต่อไปนี้: ^[12]

ข้อเสียที่ใหญ่ที่สุดของการแปลงฟูเรียร์แบบคลาสสิกคือฟังก์ชัน (ต้นฉบับ) ในกลุ่มที่ค่อนข้างแคบซึ่งสามารถคำนวณได้อย่างมีประสิทธิภาพ กล่าวคือ จำเป็นที่ฟังก์ชันเหล่านี้จะต้องลดลงอย่างรวดเร็วเพียงพอจนเหลือศูนย์ (ในบริเวณใกล้เคียงของอนันต์) เพื่อให้แน่ใจว่าอินทิกรัลฟูเรียร์มีอยู่จริง ตัวอย่างเช่น การแปลงฟูเรียร์ของฟังก์ชันง่ายๆ เช่น พหุนามไม่มีอยู่ในความหมายคลาสสิก การขยายการแปลงฟูเรียร์แบบคลาสสิกไปสู่การแจกแจงทำให้กลุ่มฟังก์ชันที่สามารถแปลงได้ขยายใหญ่ขึ้นอย่างมาก และสิ่งนี้ช่วยขจัดอุปสรรคมากมาย

การพัฒนาเพิ่มเติมได้แก่การสรุปทั่วไปของอินทิกรัลฟูริเยร์ "เริ่มด้วยทฤษฎีL ² อัน บุกเบิกของ Plancherel (พ.ศ. 2453) ดำเนินต่อไปด้วยผลงานของ WienerและBochner (ราวปี พ.ศ. 2473) และสิ้นสุดลงด้วยการรวมเข้าในทฤษฎีการแจกแจงของ L. Schwartz (พ.ศ. 2488) ..." ^[13]และนำไปสู่การพัฒนาอย่างเป็นทางการของฟังก์ชันเดลต้าของ Dirac

สูตรอนันต์สำหรับฟังก์ชันเดลต้าแรงกระตุ้นหน่วยสูงอนันต์ (รูปแบบอนันต์ของการแจกแจงโคชี ) ปรากฏอย่างชัดเจนในข้อความของAugustin-Louis Cauchy ในปี 1827 ^[14] Siméon Denis Poissonพิจารณาประเด็นนี้โดยเชื่อมโยงกับการศึกษาการแพร่กระจายคลื่นเช่นเดียวกับที่Gustav Kirchhoff พิจารณา ในเวลาต่อมา Kirchhoff และHermann von Helmholtzยังได้แนะนำแรงกระตุ้นหน่วยเป็นขีดจำกัดของGaussiansซึ่งสอดคล้องกับ แนวคิดของ Lord Kelvinเกี่ยวกับแหล่งความร้อนจุด ในตอนท้ายของศตวรรษที่ 19 Oliver Heavisideใช้อนุกรมฟูริเยร์ อย่างเป็นทางการ เพื่อควบคุมแรงกระตุ้นหน่วย^[15]ฟังก์ชันเดลต้าของ Dirac ได้รับการแนะนำโดยPaul Diracในเอกสารของเขาในปี 1927 เรื่องThe Physical Interpretation of the Quantum Dynamics ^[16]และใช้ในตำราเรียนของเขาเรื่อง The Principles of Quantum Mechanics ^[3] เขาเรียกมันว่า "ฟังก์ชันเดลต้า" เนื่องจากเขาใช้มันเป็นอนาล็อกต่อเนื่องของเดลต้าแบบแยกส่วนของโครเนกเกอร์

ฟังก์ชันเดลต้าของดิแรกสามารถคิดได้คร่าวๆ ว่าเป็นฟังก์ชันบนเส้นจริงซึ่งเป็นศูนย์ทุกที่ ยกเว้นที่จุดกำเนิดซึ่งเป็นอนันต์${\displaystyle \delta (x)}$

$${\displaystyle \delta (x)\simeq {\begin{cases}+\infty ,&x=0\\0,&x\neq 0\end{cases}}}$$

และยังถูกบังคับให้ตอบสนองความเป็นตัวตนอีกด้วย^[17]

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\delta (x)\,dx=1.}$$

นี่เป็นเพียง การกำหนดลักษณะ ตามหลักฮิวริสติก เท่านั้น เดลต้าของดิแรกไม่ใช่ฟังก์ชันในความหมายดั้งเดิม เนื่องจากไม่มี ฟังก์ชันค่า จำนวนจริงขยายที่ถูกกำหนดบนจำนวนจริงที่มีคุณสมบัติเหล่านี้^[18]

วิธีหนึ่งในการจับภาพแนวคิดของฟังก์ชันเดลต้าของ Dirac อย่างเข้มงวดคือการกำหนดการวัดที่เรียกว่าการวัดของ Diracซึ่งยอมรับเซตย่อยAของเส้นจริงRเป็นอาร์กิวเมนต์ และส่งคืนδ ( A ) = 1ถ้า0 ∈ Aและδ ( A ) = 0ในกรณีอื่น^[19] หากฟังก์ชันเดลต้าถูกสร้างแนวคิดเป็นแบบจำลองมวลจุดในอุดมคติที่ 0 ดังนั้นδ ( A )จะแทนมวลที่มีอยู่ในเซตAจากนั้นจึงสามารถกำหนดอินทิกรัลเทียบกับδเป็นอินทิกรัลของฟังก์ชันเทียบกับการกระจายมวลนี้ อย่างเป็นทางการ อินทิกรัลเลอเบสก์ให้เครื่องมือวิเคราะห์ที่จำเป็น อินทิกรัลเลอเบสก์ที่สัมพันธ์กับการวัดδเป็น ไปตาม

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\delta (dx)=f(0)}$$

สำหรับฟังก์ชัน fที่รองรับอย่างแน่นหนาและต่อเนื่องทั้งหมดการวัดδไม่ต่อเนื่องอย่างแน่นอนเมื่อเทียบกับการวัดเลอเบก - ในความเป็นจริงแล้ว เป็นการวัดเอกพจน์ดังนั้น การวัดเดลต้าจึงไม่มีอนุพันธ์เรดอน–นิโคดิม (เมื่อเทียบกับการวัดเลอเบก) - ไม่มีฟังก์ชันจริงที่มีคุณสมบัติ

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\delta (x)\,dx=f(0)}$$

ถือเป็นการคงไว้^[20]ดังนั้น สัญกรณ์หลังจึงเป็นการใช้สัญกรณ์ในทางที่ผิด อย่างสะดวก และไม่ใช่อินทิกรัลมาตรฐาน ( รีมันน์หรือเลอเบก )

การวัดเดลต้าซึ่งเป็นการวัดความน่าจะเป็นของR มีลักษณะเฉพาะคือ ฟังก์ชันการแจกแจงสะสมซึ่งก็คือฟังก์ชันขั้นบันไดหนึ่งหน่วย^[21 ]

$${\displaystyle H(x)={\begin{cases}1&{\text{if }}x\geq 0\\0&{\text{if }}x<0.\end{cases}}}$$

ซึ่งหมายความว่าH ( x )คืออินทิกรัลของฟังก์ชันตัวบ่งชี้ สะสม 1 _{(−∞, x ]}เทียบกับการวัดδกล่าวคือ

$${\displaystyle H(x)=\int _{\mathbf {R} }\mathbf {1} _{(-\infty ,x]}(t)\,\delta (dt)=\delta \!\left((-\infty ,x]\right),}$$

โดยที่หลังเป็นการวัดช่วงเวลานี้ ดังนั้นโดยเฉพาะอย่างยิ่งการอินทิเกรตของฟังก์ชันเดลต้ากับฟังก์ชันต่อเนื่องสามารถเข้าใจได้อย่างถูกต้องว่าเป็นอินทิกรัลรีมันน์–สตีลต์เจส : ^[22]

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\delta (dx)=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dH(x).}$$

โมเมนต์ที่สูงกว่าทั้งหมดของδมีค่าเป็นศูนย์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งฟังก์ชันลักษณะเฉพาะและฟังก์ชันการสร้างโมเมนต์มีค่าเท่ากันทั้งคู่

ในทฤษฎีการแจกแจงฟังก์ชันทั่วไปจะถือเป็นฟังก์ชันในตัวมันเองไม่ได้ แต่จะพิจารณาจากวิธีที่ฟังก์ชันนั้นส่งผลต่อฟังก์ชันอื่นเมื่อ "อินทิกรัล" กับฟังก์ชันอื่นเท่านั้น^[23]เพื่อให้สอดคล้องกับปรัชญานี้ เพื่อกำหนดฟังก์ชันเดลต้าอย่างถูกต้อง เพียงแค่บอกว่า "อินทิกรัล" ของฟังก์ชันเดลต้าคืออะไรเมื่อเทียบกับฟังก์ชันทดสอบ φ ที่ "ดี" เพียงพอ ฟังก์ชันทดสอบเรียกอีกอย่างว่าฟังก์ชันบัมพ์หากฟังก์ชันเดลต้าถูกเข้าใจว่าเป็นการวัดอยู่แล้ว อินทิกรัลเลอเบสก์ของฟังก์ชันทดสอบเมื่อเทียบกับการวัดนั้นก็จะให้อินทิกรัลที่จำเป็น

พื้นที่ทั่วไปของฟังก์ชันทดสอบประกอบด้วยฟังก์ชันเรียบ ทั้งหมด บนRพร้อมตัวรองรับแบบกะทัดรัดที่มีอนุพันธ์มากเท่าที่ต้องการ จากการแจกแจง เดลต้าของดิแรกเป็นฟังก์ชันเชิงเส้นบนพื้นที่ของฟังก์ชันทดสอบ และถูกกำหนดโดย^[24]

${\displaystyle \delta [\varphi ]=\varphi (0)}$

( 1 )

สำหรับ ทุกฟังก์ชันการทดสอบφ

หากต้องการให้δเป็นการแจกแจงอย่างเหมาะสม δ จะต้องต่อเนื่องในโทโพโลยีที่เหมาะสมบนพื้นที่ของฟังก์ชันทดสอบ โดยทั่วไป หากต้องการให้ฟังก์ชันเชิงเส้นSบนพื้นที่ของฟังก์ชันทดสอบกำหนดการแจกแจง จำเป็นและเพียงพอที่สำหรับจำนวนเต็มบวกN ทุกจำนวน จะต้องมีจำนวนเต็มM _Nและค่าคงที่C _Nที่ทำให้สำหรับฟังก์ชันทดสอบφ ทุกตัว จะมีความไม่เท่าเทียม^[25]

$${\displaystyle \left|S[\varphi ]\right|\leq C_{N}\sum _{k=0}^{M_{N}}\sup _{x\in [-N,N]}\left|\varphi ^{(k)}(x)\right|}$$

โดยที่supแทนค่าสูงสุดเมื่อมี การแจกแจง δจะมีความไม่เท่าเทียมดังกล่าว (โดยที่C _N = 1)โดยที่M _N = 0สำหรับN ทั้งหมด ดังนั้นδจึงเป็นการกระจายตัวของลำดับศูนย์ นอกจากนี้ ยังเป็นการกระจายตัวที่มีตัวรองรับที่กะทัดรัด (ตัวรองรับคือ{0} )

การแจกแจงเดลต้าสามารถกำหนดได้หลายวิธีเทียบเท่ากัน ตัวอย่างเช่น เป็นอนุพันธ์การแจกแจงของฟังก์ชันขั้นบันไดของ Heavisideซึ่งหมายความว่าสำหรับฟังก์ชันทดสอบφ ทุก ฟังก์ชัน จะมี

$${\displaystyle \delta [\varphi ]=-\int _{-\infty }^{\infty }\varphi '(x)\,H(x)\,dx.}$$

ตามสัญชาตญาณ หาก อนุญาตให้มี การอินทิกรัลแบบแยกส่วน อินทิกรัลหลังก็ควรจะลดรูปลงเหลือ

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\varphi (x)\,H'(x)\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (x)\,\delta (x)\,dx,}$$

และแน่นอนว่ารูปแบบการอินทิกรัลแบบแยกส่วนได้รับอนุญาตให้ใช้กับอินทิกรัล Stieltjes และในกรณีนั้น ก็ทำได้

$${\displaystyle -\int _{-\infty }^{\infty }\varphi '(x)\,H(x)\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (x)\,dH(x).}$$

ในบริบทของทฤษฎีการวัด การวัดของดิแรกทำให้เกิดการแจกแจงโดยการอินทิเกรต ในทางกลับกัน สมการ ( 1) กำหนดอินทิเกรตของดาเนียลบนพื้นที่ของฟังก์ชันต่อเนื่องที่รองรับอย่างกะทัดรัดทั้งหมด φ ซึ่งโดยทฤษฎีบทการแทนค่าของไรซ์สามารถแสดงเป็นอินทิเกรตของเลอเบสก์ของφเทียบกับการวัดเรดอน บาง ส่วน

โดยทั่วไป เมื่อใช้คำว่าฟังก์ชันเดลต้าของดิแรกมักจะใช้ในความหมายของการแจกแจงมากกว่าการวัด โดยการวัดของดิแรกเป็นหนึ่งในคำศัพท์หลายคำที่ใช้แทนแนวคิดที่สอดคล้องกันในทฤษฎีการวัด แหล่งข้อมูลบางแห่งอาจใช้คำว่าการแจกแจงเดลต้าของดิแรกด้วย

ฟังก์ชันเดลต้าสามารถกำหนดได้ในปริภูมิยูคลิดมิติ n R n ^โดยเป็นหน่วยวัดดังนี้

$${\displaystyle \int _{\mathbf {R} ^{n}}f(\mathbf {x} )\,\delta (d\mathbf {x} )=f(\mathbf {0} )}$$

สำหรับฟังก์ชันต่อเนื่อง fที่รองรับอย่างกะทัดรัดทุกฟังก์ชัน ฟังก์ชันเดลต้าnมิติ เป็น หน่วยวัดผลคูณของฟังก์ชันเดลต้า 1 มิติในแต่ละตัวแปรแยกกัน ดังนั้น อย่างเป็นทางการ เมื่อx = ( x ₁ , x ₂ , ..., x _n )จะได้^[26]

${\displaystyle \delta (\mathbf {x} )=\delta (x_{1})\,\delta (x_{2})\cdots \delta (x_{n}).}$

( 2 )

ฟังก์ชันเดลต้าสามารถกำหนดได้ในความหมายของการแจกแจงเช่นเดียวกับข้างต้นในกรณีมิติเดียว^[27] อย่างไรก็ตาม แม้ว่าจะมีการใช้กันอย่างแพร่หลายในบริบททางวิศวกรรม ( 2 ) ควรมีการจัดการด้วยความระมัดระวัง เนื่องจากผลคูณของการแจกแจงสามารถกำหนดได้ภายใต้สถานการณ์ที่ค่อนข้างแคบเท่านั้น^{[28] [29]}

แนวคิดของการวัดของดิแรกนั้นสมเหตุสมผลบนเซตใดๆ ก็ตาม^[30]ดังนั้น หากXเป็นเซตx ₀ ∈ Xคือจุดที่ทำเครื่องหมายไว้ และΣคือพีชคณิตซิกม่า ใดๆ ของเซตย่อยของXดังนั้นการวัดที่กำหนดบนเซตA ∈ Σ จะทำได้ ดังนี้

$${\displaystyle \delta _{x_{0}}(A)={\begin{cases}1&{\text{if }}x_{0}\in A\\0&{\text{if }}x_{0}\notin A\end{cases}}}$$

คือหน่วยวัดเดลต้าหรือมวลหน่วยที่กระจุกตัวอยู่ที่ x ₀

การสรุปทั่วไปอีกประการหนึ่งของฟังก์ชันเดลต้าคือท่อร่วมที่แยกความแตกต่างได้โดยที่คุณสมบัติส่วนใหญ่ของฟังก์ชันเดลต้าในฐานะการกระจายสามารถใช้ประโยชน์ได้เช่นกัน เนื่องจากมีโครงสร้างที่แยกความแตกต่างได้ฟังก์ชันเดลต้าบนท่อร่วมMที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดx ₀ ∈ Mถูกกำหนดให้เป็นการกระจายดังต่อไปนี้:

${\displaystyle \delta _{x_{0}}[\varphi ]=\varphi (x_{0})}$

( 3 )

สำหรับฟังก์ชันค่าจริงเรียบที่รองรับอย่างกะทัดรัดทั้งหมดφ บน M [ ^31]กรณี พิเศษทั่วไปของการก่อสร้างนี้คือกรณีที่Mเป็นเซตเปิดในปริภูมิยูคลิดR ⁿ

ในปริภูมิ Hausdorff ที่กะทัดรัดในท้องถิ่น Xการวัดเดลต้าของ Dirac ที่รวมศูนย์อยู่ที่จุดxคือการวัดเรดอนที่สัมพันธ์กับอินทิกรัล Daniell ( 3 ) บนฟังก์ชันต่อเนื่องที่รองรับอย่างกะทัดรัดφ [ ^32]ในระดับทั่วไปนี้ แคลคูลัสนั้นไม่สามารถทำได้อีกต่อไป อย่างไรก็ตาม มีเทคนิคต่างๆ จากการวิเคราะห์เชิงนามธรรมให้เลือกใช้ ตัวอย่างเช่น การทำแผนที่เป็นการฝังX อย่างต่อเนื่อง ในพื้นที่ของการวัดเรดอนจำกัดบนXซึ่งมีโทโพโลยี ที่คลุมเครือ นอกจากนี้เปลือกนูนของภาพของXภายใต้การฝังนี้หนาแน่นในพื้นที่ของการวัดความน่าจะเป็นบนX [ ^33]${\displaystyle x_{0}\mapsto \delta _{x_{0}}}$

ฟังก์ชันเดลต้าตอบสนองคุณสมบัติการปรับมาตราส่วนต่อไปนี้สำหรับα สเกลาร์ที่ไม่เป็นศูนย์ : ^[34]

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\delta (\alpha x)\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }\delta (u)\,{\frac {du}{|\alpha |}}={\frac {1}{|\alpha |}}}$$

และแล้ว

${\displaystyle \delta (\alpha x)={\frac {\delta (x)}{|\alpha |}}.}$

( 4 )

การพิสูจน์คุณสมบัติการปรับขนาด: โดย ที่ใช้ การเปลี่ยนแปลงตัวแปรx′ = ax หาก aเป็นค่าลบ กล่าวคือa = −| a |ดังนั้น$${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }dx\ g(x)\delta (ax)={\frac {1}{a}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }dx'\ g\left({\frac {x'}{a}}\right)\delta (x')={\frac {1}{a}}g(0).}$$$${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }dx\ g(x)\delta (ax)={\frac {1}{-\left\vert a\right\vert }}\int \limits _{\infty }^{-\infty }dx'\ g\left({\frac {x'}{a}}\right)\delta (x')={\frac {1}{\left\vert a\right\vert }}\int \limits _{-\infty }^{\infty }dx'\ g\left({\frac {x'}{a}}\right)\delta (x')={\frac {1}{\left\vert a\right\vert }}g(0).}$$${\displaystyle \delta (ax)={\frac {1}{\left\vert a\right\vert }}\delta (x)}$

โดยเฉพาะอย่างยิ่งฟังก์ชันเดลต้าเป็นการ กระจาย แบบสม่ำเสมอ (สมมาตร) ในความหมายที่ว่า

$${\displaystyle \delta (-x)=\delta (x)}$$

ซึ่ง เป็นเนื้อเดียวกันของดีกรี−1

ผลคูณของการแจกแจงของδกับxเท่ากับศูนย์:

$${\displaystyle x\,\delta (x)=0.}$$

โดยทั่วไปสำหรับจำนวนเต็มบวกทั้งหมด${\displaystyle (x-a)^{n}\delta (x-a)=0}$${\displaystyle n}$

ในทางกลับกัน ถ้าxf ( x ) = xg ( x )โดยที่fและgเป็นการแจกแจง ดังนั้น

$${\displaystyle f(x)=g(x)+c\delta (x)}$$

สำหรับค่าคงที่บางค่าc ^[35 ]

อินทิกรัลของฟังก์ชันใดๆ คูณด้วยเดลต้าของดิแรกที่มีการหน่วงเวลาคือ${\displaystyle \delta _{T}(t){=}\delta (t{-}T)}$

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(t)\,\delta (t-T)\,dt=f(T).}$$

บางครั้งสิ่งนี้เรียกว่าคุณสมบัติการร่อน^[36]หรือคุณสมบัติการสุ่มตัวอย่าง [ ^37]กล่าวกันว่าฟังก์ชันเดลต้าจะ "ร่อน" ค่าของf(t)ที่t = T ^[38 ]

จากที่กล่าวมา จะเห็นได้ว่าผลของการบิดเบือนฟังก์ชันf ( t )ด้วยค่าเดลต้าของดิแรกที่มีการหน่วงเวลาจะทำให้f ( t ) มีการหน่วงเวลา เป็นจำนวนเท่ากัน: ^[39]

$${\displaystyle {\begin{aligned}(f*\delta _{T})(t)\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )\,\delta (t-T-\tau )\,d\tau \\&=\int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )\,\delta (\tau -(t-T))\,d\tau \qquad {\text{since}}~\delta (-x)=\delta (x)~~{\text{by (4)}}\\&=f(t-T).\end{aligned}}}$$

คุณสมบัติการร่อนจะคงอยู่ภายใต้เงื่อนไขที่ชัดเจนที่ว่าfเป็นการแจกแจงแบบเทมเปอร์ (ดูการอภิปรายเกี่ยวกับการแปลงฟูเรียร์ด้านล่าง) ในกรณีพิเศษ เช่น เรามีเอกลักษณ์ (เข้าใจได้ในความหมายของการแจกแจง)

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\delta (\xi -x)\delta (x-\eta )\,dx=\delta (\eta -\xi ).}$$

โดยทั่วไป การแจกแจงเดลต้าอาจประกอบด้วยฟังก์ชันเรียบg ( x )ในลักษณะที่สูตรการเปลี่ยนแปลงตัวแปรที่คุ้นเคยนั้นคงอยู่

$${\displaystyle \int _{\mathbb {R} }\delta {\bigl (}g(x){\bigr )}f{\bigl (}g(x){\bigr )}\left|g'(x)\right|dx=\int _{g(\mathbb {R} )}\delta (u)\,f(u)\,du}$$

โดยที่gเป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่อง โดยที่ g′ไม่มีค่าเป็นศูนย์^[40]นั่นคือ มีวิธีเฉพาะในการกำหนดความหมายให้กับการแจกแจงเพื่อให้เอกลักษณ์นี้ใช้ได้กับฟังก์ชันทดสอบที่รองรับอย่างกะทัดรัดทั้งหมดfดังนั้น โดเมนจะต้องถูกแยกออกเพื่อไม่รวม จุด g′ = 0การแจกแจงนี้จะเป็นไปตามδ ( g ( x )) = 0หากgไม่มีค่าเป็นศูนย์ และหากไม่เป็นเช่นนั้น หากg มี รากจริงที่x ₀แล้ว${\displaystyle \delta \circ g}$

$${\displaystyle \delta (g(x))={\frac {\delta (x-x_{0})}{|g'(x_{0})|}}.}$$

ดังนั้น จึงเป็นเรื่องธรรมดาที่จะกำหนดองค์ประกอบδ ( g ( x ))สำหรับฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่องgโดย

$${\displaystyle \delta (g(x))=\sum _{i}{\frac {\delta (x-x_{i})}{|g'(x_{i})|}}}$$

โดยที่ผลรวมขยายไปทั่วรากทั้งหมดของg ( x )ซึ่งถือว่าเป็นค่าเชิงเดี่ยวดังนั้น ตัวอย่างเช่น

$${\displaystyle \delta \left(x^{2}-\alpha ^{2}\right)={\frac {1}{2|\alpha |}}{\Big [}\delta \left(x+\alpha \right)+\delta \left(x-\alpha \right){\Big ]}.}$$

ในรูปแบบอินทิกรัล คุณสมบัติการปรับขนาดทั่วไปอาจเขียนได้เป็น

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\delta (g(x))\,dx=\sum _{i}{\frac {f(x_{i})}{|g'(x_{i})|}}.}$$

สำหรับค่าคงที่และฟังก์ชันค่าจริงที่ "มีพฤติกรรมดี" y ( x ) โดยที่H ( x )คือฟังก์ชันขั้นบันไดของ Heavisideและ c คือค่าคงที่ของการอินทิเกรต${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$$${\displaystyle \displaystyle {\int }y(x)\delta (x-a)dx=y(a)H(x-a)+c,}$$

การแจกแจงเดลต้าในปริภูมิnมิติจะตอบสนองคุณสมบัติการปรับขนาดต่อไปนี้แทน ดังนั้นδจึงเป็นการ กระจายตัว ที่เป็นเนื้อเดียวกันของ ดีกรี− n$${\displaystyle \delta (\alpha {\boldsymbol {x}})=|\alpha |^{-n}\delta ({\boldsymbol {x}})~,}$$

ภายใต้การสะท้อนหรือการหมุน ρ ใดๆ ฟังก์ชันเดลต้าจะคงที่$${\displaystyle \delta (\rho {\boldsymbol {x}})=\delta ({\boldsymbol {x}})~.}$$

ในกรณีตัวแปรเดียว สามารถกำหนดองค์ประกอบของδด้วยฟังก์ชัน bi-Lipschitz ^[41] g : R ⁿ → R ⁿอย่างเฉพาะเจาะจงเพื่อให้สิ่งต่อไปนี้เป็นจริง สำหรับฟังก์ชันf ที่รองรับอย่างกะทัดรัด ทั้งหมด$${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}\delta (g({\boldsymbol {x}}))\,f(g({\boldsymbol {x}}))\left|\det g'({\boldsymbol {x}})\right|d{\boldsymbol {x}}=\int _{g(\mathbb {R} ^{n})}\delta ({\boldsymbol {u}})f({\boldsymbol {u}})\,d{\boldsymbol {u}}}$$

การใช้สูตร coareaจากทฤษฎีการวัดทางเรขาคณิตยังสามารถกำหนดองค์ประกอบของฟังก์ชันเดลต้าด้วยการจม จากปริภูมิยูคลิดหนึ่งไปยังอีกปริภูมิหนึ่งที่มีมิติต่างกัน ผลลัพธ์คือ กระแสไฟฟ้าชนิดหนึ่งในกรณีพิเศษของฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่องg  : R ⁿ → Rโดยที่ความชันของgไม่มีค่าเป็นศูนย์เลย เอกลักษณ์ต่อไปนี้จะเกิดขึ้น^[42] โดยที่อินทิกรัลทางด้านขวาอยู่เหนือg ⁻¹ (0)ซึ่งเป็น พื้นผิวมิติ ( n − 1)ที่กำหนดโดยg ( x ) = 0เทียบกับ การวัด เนื้อหาของมิงกอฟสกี้ซึ่งเรียกว่าอินทิกรัล ชั้นง่าย$${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}f({\boldsymbol {x}})\,\delta (g({\boldsymbol {x}}))\,d{\boldsymbol {x}}=\int _{g^{-1}(0)}{\frac {f({\boldsymbol {x}})}{|{\boldsymbol {\nabla }}g|}}\,d\sigma ({\boldsymbol {x}})}$$

โดยทั่วไปแล้ว หากSเป็นไฮเปอร์เซอร์เฟซเรียบของR ⁿเราสามารถเชื่อมโยงS กับ การกระจายที่รวมฟังก์ชันเรียบที่รองรับอย่างกะทัดรัดgเหนือS ได้ :$${\displaystyle \delta _{S}[g]=\int _{S}g({\boldsymbol {s}})\,d\sigma ({\boldsymbol {s}})}$$

โดยที่σคือการวัดไฮเปอร์เซอร์เฟซที่สัมพันธ์กับSการสรุปนี้เกี่ยวข้องกับทฤษฎีศักย์ของศักย์ชั้นเดียวบนSหากDเป็นโดเมนในR ⁿที่มีขอบเขตเรียบSดังนั้นδ _Sจะเท่ากับอนุพันธ์ปกติของฟังก์ชันตัวบ่งชี้ของDในความหมายของการกระจาย

$${\displaystyle -\int _{\mathbb {R} ^{n}}g({\boldsymbol {x}})\,{\frac {\partial 1_{D}({\boldsymbol {x}})}{\partial n}}\,d{\boldsymbol {x}}=\int _{S}\,g({\boldsymbol {s}})\,d\sigma ({\boldsymbol {s}}),}$$

โดยที่nคือเส้นปกติด้านนอก^{[43] [44]}สำหรับการพิสูจน์ โปรดดูบทความเกี่ยวกับฟังก์ชันเดลต้าพื้นผิวเช่น

ในสามมิติ ฟังก์ชันเดลต้าจะแสดงเป็นพิกัดทรงกลมโดย:

$${\displaystyle \delta ({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{0})={\begin{cases}\displaystyle {\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}\delta (r-r_{0})\delta (\theta -\theta _{0})\delta (\phi -\phi _{0})&x_{0},y_{0},z_{0}\neq 0\\\displaystyle {\frac {1}{2\pi r^{2}\sin \theta }}\delta (r-r_{0})\delta (\theta -\theta _{0})&x_{0}=y_{0}=0,\ z_{0}\neq 0\\\displaystyle {\frac {1}{4\pi r^{2}}}\delta (r-r_{0})&x_{0}=y_{0}=z_{0}=0\end{cases}}}$$

ฟังก์ชันเดลต้าเป็นการแจกแจงแบบเทมเปอร์ดังนั้นจึงมีการแปลงฟูเรียร์ ที่กำหนดได้ชัดเจน อย่างเป็นทางการ พบว่า^[45]

$${\displaystyle {\widehat {\delta }}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-2\pi ix\xi }\,\delta (x)dx=1.}$$

หากพูดอย่างถูกต้อง การแปลงฟูเรียร์ของการแจกแจงถูกกำหนดโดยการกำหนดความเชื่อมโยงตนเองของการแปลงฟูเรียร์ภายใต้การจับคู่แบบคู่ของการแจกแจงแบบเทมเปอร์กับฟังก์ชันชวาร์ตซ์ดังนั้น จึงถูกกำหนดให้เป็นการแจกแจงแบบเทมเปอร์เฉพาะที่ตอบสนอง${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$${\displaystyle {\widehat {\delta }}}$

$${\displaystyle \langle {\widehat {\delta }},\varphi \rangle =\langle \delta ,{\widehat {\varphi }}\rangle }$$

สำหรับฟังก์ชันชวาร์ตซ์ทั้งหมดφและจากนี้ไปก็สรุปได้ว่า${\displaystyle {\widehat {\delta }}=1.}$

จากผลของเอกลักษณ์นี้การม้วนรวมของฟังก์ชันเดลต้ากับการแจกแจงแบบเทมเปอร์อื่นๆSก็จะเป็นเพียงS :

$${\displaystyle S*\delta =S.}$$

กล่าวคือδเป็นองค์ประกอบเอกลักษณ์สำหรับการม้วนรวมบนการแจกแจงแบบเทมเปอร์ และในความเป็นจริง พื้นที่ของการแจกแจงที่รองรับอย่างกะทัดรัดภายใต้การม้วนรวมเป็นพีชคณิต เชิงเชื่อมโยง ที่มีเอกลักษณ์คือฟังก์ชันเดลต้า คุณสมบัตินี้มีความสำคัญพื้นฐานในการประมวลผลสัญญาณเนื่องจากการม้วนรวมที่มีการแจกแจงแบบเทมเปอร์เป็นระบบเชิงเส้นที่ไม่แปรผันตามเวลาและการใช้ระบบเชิงเส้นที่ไม่แปรผันตามเวลาจะวัดการตอบสนองของแรงกระตุ้นการตอบสนองของแรงกระตุ้นสามารถคำนวณได้ตามระดับความแม่นยำที่ต้องการโดยเลือกค่าประมาณที่เหมาะสมสำหรับδและเมื่อทราบแล้ว ระบบจะกำหนดลักษณะของระบบอย่างสมบูรณ์ ดูทฤษฎีระบบ LTI § การตอบสนองของแรงกระตุ้นและการม้วนรวม

การแปลงฟูเรียร์ผกผันของการแจกแจงแบบเทมเปอร์f ( ξ ) = 1คือฟังก์ชันเดลต้า อย่างเป็นทางการจะแสดงเป็น และที่เข้มงวดยิ่งขึ้น เนื่องมาจาก สำหรับฟังก์ชันชวาร์ต ซ์ ทั้งหมดf$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }1\cdot e^{2\pi ix\xi }\,d\xi =\delta (x)}$$$${\displaystyle \langle 1,{\widehat {f}}\rangle =f(0)=\langle \delta ,f\rangle }$$

ในเงื่อนไขเหล่านี้ ฟังก์ชันเดลต้าให้คำชี้แจงเชิงแนะนำเกี่ยวกับคุณสมบัติความตั้งฉากของเคอร์เนลฟูเรียร์บนRอย่างเป็นทางการ มี$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{i2\pi \xi _{1}t}\left[e^{i2\pi \xi _{2}t}\right]^{*}\,dt=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i2\pi (\xi _{2}-\xi _{1})t}\,dt=\delta (\xi _{2}-\xi _{1}).}$$

แน่นอนว่า นี่เป็นคำย่อสำหรับข้อยืนยันว่าการแปลงฟูเรียร์ของการแจกแจงแบบเทมเปอร์ นั้นเกิด ขึ้นซึ่งตามมาด้วยการกำหนดความเชื่อมโยงตนเองของการแปลงฟูเรียร์อีกครั้ง$${\displaystyle f(t)=e^{i2\pi \xi _{1}t}}$$$${\displaystyle {\widehat {f}}(\xi _{2})=\delta (\xi _{1}-\xi _{2})}$$

จากการดำเนินการต่อเชิงวิเคราะห์ของการแปลงฟูเรียร์พบว่าการแปลงลาปลาซ ของฟังก์ชันเดลต้าคือ ^[46]$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\delta (t-a)\,e^{-st}\,dt=e^{-sa}.}$$

อนุพันธ์ของการแจกแจงเดลต้าของดิแรก แสดงด้วยδ′และเรียกอีกอย่างว่าเดลต้าไพรม์ของดิแรกหรืออนุพันธ์เดลต้าของดิแรกตามที่อธิบายในแลปลาเซียนของตัวบ่งชี้ถูกกำหนดบนฟังก์ชันทดสอบความเรียบที่รองรับอย่างกระชับφโดย^[47]$${\displaystyle \delta '[\varphi ]=-\delta [\varphi ']=-\varphi '(0).}$$

ความเท่าเทียมประการแรกในที่นี้เป็นการอินทิเกรตแบบแยกส่วนเนื่องจากถ้าδเป็นฟังก์ชันจริง$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\delta '(x)\varphi (x)\,dx=\delta (x)\varphi (x)|_{-\infty }^{\infty }-\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x)\varphi '(x)\,dx=-\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x)\varphi '(x)\,dx=-\varphi '(0).}$$

โดยการอุปนัยทางคณิตศาสตร์อนุพันธ์ ลำดับที่ kของδถูกกำหนดในลักษณะเดียวกับการแจกแจงที่กำหนดในฟังก์ชันทดสอบโดย

$${\displaystyle \delta ^{(k)}[\varphi ]=(-1)^{k}\varphi ^{(k)}(0).}$$

โดยเฉพาะอย่างยิ่งδคือการแจกแจงที่สามารถหาความแตกต่างได้อย่างไม่มีที่สิ้นสุด

อนุพันธ์ลำดับแรกของฟังก์ชันเดลต้าคือลิมิตการแจกแจงของผลหารความแตกต่าง: ^[48]$${\displaystyle \delta '(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {\delta (x+h)-\delta (x)}{h}}.}$$

อย่างถูกต้องยิ่งขึ้น มี ที่ซึ่งτ _hคือตัวดำเนินการแปลที่กำหนดบนฟังก์ชันโดยτ _h φ ( x ) = φ ( x + h )และบนการแจกแจงSโดย$${\displaystyle \delta '=\lim _{h\to 0}{\frac {1}{h}}(\tau _{h}\delta -\delta )}$$$${\displaystyle (\tau _{h}S)[\varphi ]=S[\tau _{-h}\varphi ].}$$

ในทฤษฎีแม่เหล็กไฟฟ้าอนุพันธ์ลำดับแรกของฟังก์ชันเดลต้าแสดงถึงไดโพล แม่เหล็กแบบจุด ซึ่งอยู่ที่จุดกำเนิด ดังนั้นจึงเรียกว่าไดโพลหรือฟังก์ชันดับเบิลต์^[49 ]

อนุพันธ์ของฟังก์ชันเดลต้าตอบสนองคุณสมบัติพื้นฐานหลายประการ รวมถึง: ^[50] ซึ่งสามารถแสดงได้โดยการใช้ฟังก์ชันทดสอบและการอินทิเกรตแบบแยกส่วน$${\displaystyle {\begin{aligned}\delta '(-x)&=-\delta '(x)\\x\delta '(x)&=-\delta (x)\end{aligned}}}$$

คุณสมบัติประการหลังนี้สามารถสาธิตได้โดยการใช้นิยามอนุพันธ์เชิงแจกแจง ทฤษฎีบทของไลบนิซ และความเป็นเส้นตรงของผลคูณภายใน: ^[51]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\langle x\delta ',\varphi \rangle \,&=\,\langle \delta ',x\varphi \rangle \,=\,-\langle \delta ,(x\varphi )'\rangle \,=\,-\langle \delta ,x'\varphi +x\varphi '\rangle \,=\,-\langle \delta ,x'\varphi \rangle -\langle \delta ,x\varphi '\rangle \,=\,-x'(0)\varphi (0)-x(0)\varphi '(0)\\&=\,-x'(0)\langle \delta ,\varphi \rangle -x(0)\langle \delta ,\varphi '\rangle \,=\,-x'(0)\langle \delta ,\varphi \rangle +x(0)\langle \delta ',\varphi \rangle \,=\,\langle x(0)\delta '-x'(0)\delta ,\varphi \rangle \\\Longrightarrow x(t)\delta '(t)&=x(0)\delta '(t)-x'(0)\delta (t)=-x'(0)\delta (t)=-\delta (t)\end{aligned}}}$$

นอกจากนี้ การม้วนรวมของδ′ด้วยฟังก์ชันf เรียบที่รองรับอย่างกะทัดรัด คือ

$${\displaystyle \delta '*f=\delta *f'=f',}$$

ซึ่งตามมาจากสมบัติของอนุพันธ์การแจกแจงของการม้วนรวมกัน

โดยทั่วไปแล้ว ในเซตเปิด Uในปริภูมิยุคลิดมิติnการแจกแจงเดลต้าของดิแรกที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดa ∈ Uถูกกำหนดโดย^[52] สำหรับทุกๆปริภูมิของฟังก์ชันเรียบทั้งหมดที่มีตัวรองรับแบบกะทัดรัดบนUหากเป็นดัชนีหลายตัวที่มีและแสดงถึงตัวดำเนินการอนุพันธ์ย่อย แบบผสมที่เกี่ยวข้อง อนุพันธ์ลำดับ ที่ α ∂ ^α δ _aของδ _aจะกำหนดโดย^[52] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$$${\displaystyle \delta _{a}[\varphi ]=\varphi (a)}$$${\displaystyle \varphi \in C_{c}^{\infty }(U)}$${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})}$${\displaystyle |\alpha |=\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{n}}$${\displaystyle \partial ^{\alpha }}$

$${\displaystyle \left\langle \partial ^{\alpha }\delta _{a},\,\varphi \right\rangle =(-1)^{|\alpha |}\left\langle \delta _{a},\partial ^{\alpha }\varphi \right\rangle =(-1)^{|\alpha |}\partial ^{\alpha }\varphi (x){\Big |}_{x=a}\quad {\text{ for all }}\varphi \in C_{c}^{\infty }(U).}$$

นั่นคือ อนุพันธ์ลำดับที่ αของδ _aคือการแจกแจงซึ่งค่าบนฟังก์ชันทดสอบφ ใดๆ จะเป็น อนุพันธ์ลำดับที่ αของφที่a (โดยมีเครื่องหมายบวกหรือลบที่เหมาะสม)

อนุพันธ์ย่อยตัวแรกของฟังก์ชันเดลต้าถือเป็นชั้นคู่ ตาม ระนาบพิกัด โดยทั่วไปอนุพันธ์ปกติ ของชั้นเดียวที่รองรับบนพื้นผิวคือชั้นคู่ที่รองรับบนพื้นผิวนั้น และแสดงถึงขั้วแม่เหล็กแบบลามินาร์ อนุพันธ์ขั้นสูงของฟังก์ชันเดลต้าเรียกว่า มัลติโพลในฟิสิกส์

อนุพันธ์ระดับสูงจะเข้ามาสู่คณิตศาสตร์โดยธรรมชาติในฐานะองค์ประกอบพื้นฐานสำหรับโครงสร้างที่สมบูรณ์ของการแจกแจงที่มีจุดรองรับ หากSคือการแจกแจงใดๆ บนUที่รองรับบนเซต{ a }ที่ประกอบด้วยจุดเดียว ก็จะมีจำนวนเต็มmและสัมประสิทธิ์c _αที่ทำให้^{[52] [53]}$${\displaystyle S=\sum _{|\alpha |\leq m}c_{\alpha }\partial ^{\alpha }\delta _{a}.}$$

ฟังก์ชันเดลต้าสามารถมองได้ว่าเป็นขีดจำกัดของลำดับฟังก์ชัน

$${\displaystyle \delta (x)=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\eta _{\varepsilon }(x),}$$

โดยที่η _ε ( x )บางครั้งเรียกว่าฟังก์ชันเดลต้าที่เกิดขึ้นใหม่. ข้อจำกัดนี้หมายความในความหมายที่อ่อนแอ: ไม่ว่า

${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{-\infty }^{\infty }\eta _{\varepsilon }(x)f(x)\,dx=f(0)}$

( 5 )

สำหรับ ฟังก์ชันต่อเนื่องทั้งหมดfที่มีตัวรองรับแบบกะทัดรัดหรือว่าขีดจำกัดนี้ใช้ได้กับฟังก์ชันแบบเรียบ ทั้งหมด fที่มีตัวรองรับแบบกะทัดรัด ความแตกต่างระหว่างโหมดการบรรจบกันที่อ่อนแอสองโหมดที่แตกต่างกันเล็กน้อยนี้มักจะไม่ชัดเจน โหมดแรกคือการบรรจบกันในโทโพโลยีที่คลุมเครือของการวัด และโหมดหลังคือการบรรจบกันในความหมายของการ แจกแจง

โดยทั่วไป ฟังก์ชันเดลต้าที่เกิดขึ้นใหม่η _εสามารถสร้างได้ในลักษณะต่อไปนี้ ให้ηเป็นฟังก์ชันที่อินทิเกรตได้แน่นอนบนRของอินทิเกรตรวม1และกำหนด$${\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)=\varepsilon ^{-1}\eta \left({\frac {x}{\varepsilon }}\right).}$$

ในมิติ n จะใช้การปรับขนาดแทน$${\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)=\varepsilon ^{-n}\eta \left({\frac {x}{\varepsilon }}\right).}$$

จากนั้น การเปลี่ยนแปลงตัวแปรเพียงเล็กน้อยจะแสดงให้เห็นว่าη _εมีอินทิกรัล1 ด้วยเช่นกัน อาจแสดงให้เห็นว่า ( 5 ) ใช้ได้กับฟังก์ชันf , ^[54] ที่รองรับอย่างต่อเนื่องและกะทัดรัดทั้งหมด และดังนั้นη _ε จึง บรรจบกับδ ได้เล็กน้อย ในความหมายของการวัด

η _ε ที่สร้างขึ้นในลักษณะ นี้เรียกว่าการประมาณค่าเอกลักษณ์^[55]ศัพท์นี้เป็นเพราะว่าพื้นที่L ¹ ( R ) ของฟังก์ชัน ที่บูรณาการได้อย่างสมบูรณ์นั้นปิดภายใต้การดำเนินการของการม้วนรวมของฟังก์ชัน: f ∗ g ∈ L ¹ ( R )เมื่อใดก็ตามที่fและgอยู่ในL ¹ ( R )อย่างไรก็ตาม ไม่มีเอกลักษณ์ในL ¹ ( R )สำหรับผลคูณของการม้วนรวม: ไม่มีองค์ประกอบhที่f ∗ h = fสำหรับทุกfอย่างไรก็ตาม ลำดับη _εประมาณการเอกลักษณ์ดังกล่าวในความหมายที่ว่า

$${\displaystyle f*\eta _{\varepsilon }\to f\quad {\text{as }}\varepsilon \to 0.}$$

ขีดจำกัดนี้ถืออยู่ในความหมายของการบรรจบกันของค่าเฉลี่ย (การบรรจบกันในL ¹ ) จำเป็นต้องมีเงื่อนไขเพิ่มเติมเกี่ยวกับη _εเช่น เป็นตัวทำให้เสถียรซึ่งเชื่อมโยงกับฟังก์ชันที่รองรับอย่างกะทัดรัด^[56]เพื่อให้แน่ใจว่ามีการบรรจบกันตามจุดเกือบทุกที่

หากη = η ₁ เริ่มต้น นั้นเรียบและรองรับอย่างแน่นหนา ลำดับจะเรียกว่าโมลิฟายเออร์โมลิฟายเออร์มาตรฐานจะได้มาจากการเลือกηให้เป็นฟังก์ชันบัมพ์ ที่ได้รับการทำให้เป็นมาตรฐานอย่างเหมาะสม เช่น

$${\displaystyle \eta (x)={\begin{cases}e^{-{\frac {1}{1-|x|^{2}}}}&{\text{if }}|x|<1\\0&{\text{if }}|x|\geq 1.\end{cases}}}$$

ในบางสถานการณ์ เช่นการวิเคราะห์เชิงตัวเลขการ ประมาณ เชิงเส้นแบบแบ่งส่วนเพื่อเอกลักษณ์เป็นสิ่งที่ต้องการ ซึ่งสามารถทำได้โดยกำหนดให้η ₁เป็นฟังก์ชันหมวกด้วยการเลือกη ₁ นี้ เราจะได้

$${\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)=\varepsilon ^{-1}\max \left(1-\left|{\frac {x}{\varepsilon }}\right|,0\right)}$$

ซึ่งล้วนแต่ต่อเนื่องและรองรับอย่างแน่นหนา แม้จะไม่ราบรื่นและไม่ทำให้เหลวเกินไปก็ตาม

ในบริบทของทฤษฎีความน่าจะเป็น เป็นเรื่องธรรมดาที่จะกำหนดเงื่อนไขเพิ่มเติมว่าη ₁ เริ่มต้น ในการประมาณค่าเอกลักษณ์ควรเป็นค่าบวก เนื่องจากฟังก์ชันดังกล่าวจะแสดงถึงการแจกแจงความน่าจะเป็น การบิดเบือนด้วยการแจกแจงความน่าจะเป็นบางครั้งอาจเป็นประโยชน์ เนื่องจากจะไม่ส่งผลให้เกิดการเกินหรือต่ำกว่า เนื่องจากเอาต์พุตเป็นการรวมค่าอินพุตแบบนูน และจึงตกอยู่ระหว่างค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดของฟังก์ชันอินพุต การกำหนดη ₁ให้เป็นการแจกแจงความน่าจะเป็นใดๆ เลย และให้η _ε ( x ) = η ₁ ( x / ε )/ εดังข้างต้น จะทำให้เกิดการประมาณค่าเอกลักษณ์ โดยทั่วไปแล้ว การบรรจบกันจะเร็วขึ้นเป็นฟังก์ชันเดลต้า หากηมีค่าเฉลี่ย0และมีโมเมนต์สูงกว่าเล็กน้อย ตัวอย่างเช่น หากη ₁เป็นการแจกแจงแบบสม่ำเสมอบนซึ่งเรียกอีกอย่างว่าฟังก์ชันสี่เหลี่ยมดังนั้น: ^[57]${\textstyle \left[-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right]}$$${\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)={\frac {1}{\varepsilon }}\operatorname {rect} \left({\frac {x}{\varepsilon }}\right)={\begin{cases}{\frac {1}{\varepsilon }},&-{\frac {\varepsilon }{2}}<x<{\frac {\varepsilon }{2}},\\0,&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$$

ตัวอย่างอีกประการหนึ่งคือการกระจายแบบครึ่งวงกลมของวิกเนอร์$${\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)={\begin{cases}{\frac {2}{\pi \varepsilon ^{2}}}{\sqrt {\varepsilon ^{2}-x^{2}}},&-\varepsilon <x<\varepsilon ,\\0,&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$$

นี่เป็นการรองรับอย่างต่อเนื่องและกระชับแต่ไม่ใช่ตัวทำให้เหลวเนื่องจากไม่ราบรื่น

ฟังก์ชันเดลต้าที่เกิดขึ้นใหม่มักเกิดขึ้นเป็นเซมิกรุ๊ปการ ม้วนรวมกัน ^[58]นี่เท่ากับข้อจำกัดเพิ่มเติมที่ว่าการม้วนรวมกันของη _εกับη _δจะต้องเป็นไปตาม$${\displaystyle \eta _{\varepsilon }*\eta _{\delta }=\eta _{\varepsilon +\delta }}$$

สำหรับε ทั้งหมด δ > 0 เซมิกรุ๊ปการม้วนรวมกันในL ¹ที่สร้างฟังก์ชันเดลต้าที่เกิดขึ้นใหม่มักจะเป็นค่าประมาณของเอกลักษณ์ในความหมายข้างต้น อย่างไรก็ตาม เงื่อนไขเซมิกรุ๊ปเป็นข้อจำกัดที่ค่อนข้างเข้มงวด

ในทางปฏิบัติ เซมิกรุ๊ปที่ประมาณค่าฟังก์ชันเดลต้าจะเกิดขึ้นเป็นคำตอบพื้นฐานหรือฟังก์ชันของกรีนสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยเชิงวงรีหรือพาราโบลา ที่มีแรงจูงใจทางกายภาพ ในบริบทของคณิตศาสตร์ประยุกต์เซมิกรุ๊ปจะเกิดขึ้นเป็นผลลัพธ์ของระบบเชิงเส้นที่ไม่แปรผันตามเวลาโดยนามธรรม หากAเป็นตัวดำเนินการเชิงเส้นที่กระทำกับฟังก์ชันของxดังนั้นเซมิกรุ๊ปแบบคอนโวลูชันจะเกิดขึ้นโดยการแก้ปัญหาค่าเริ่มต้น

$${\displaystyle {\begin{cases}{\dfrac {\partial }{\partial t}}\eta (t,x)=A\eta (t,x),\quad t>0\\[5pt]\displaystyle \lim _{t\to 0^{+}}\eta (t,x)=\delta (x)\end{cases}}}$$

ซึ่งขีดจำกัดนั้นจะถูกเข้าใจตามปกติในความหมายที่อ่อนแอ การตั้งค่าη _ε ( x ) = η ( ε , x )จะให้ฟังก์ชันเดลต้าที่เกิดขึ้นใหม่ที่เกี่ยวข้อง

ตัวอย่างบางส่วนของเซมิกรุ๊ปการม้วนรวมที่มีความสำคัญทางกายภาพซึ่งเกิดขึ้นจากโซลูชันพื้นฐานดังกล่าวมีดังต่อไปนี้

เคอร์เนลความร้อนที่กำหนดโดย

$${\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \varepsilon }}}\mathrm {e} ^{-{\frac {x^{2}}{2\varepsilon }}}}$$

แสดงถึงอุณหภูมิในเส้นลวดอนันต์ในเวลาt > 0หากเก็บพลังงานความร้อนหนึ่งหน่วยไว้ที่จุดกำเนิดของเส้นลวดในเวลาt = 0กึ่งกลุ่มนี้พัฒนาตามสมการความร้อน มิติเดียว :

$${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}={\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}.}$$

ในทฤษฎีความน่าจะเป็น η ε ₍ x )คือการ แจกแจง ความแปรปรวนแบบปกติεและค่าเฉลี่ย0แสดงถึงความหนาแน่นของความน่าจะ เป็น ที่เวลาt = εของตำแหน่งของอนุภาคที่เริ่มต้นที่จุดกำเนิดตามการเคลื่อนที่แบบบราวน์ มาตรฐาน ในบริบทนี้ เงื่อนไขเซมิกรุ๊ปจึงเป็นนิพจน์ของคุณสมบัติมาร์คอฟของการเคลื่อนที่แบบบราวน์

ในปริภูมิยุคลิดที่มีมิติสูงกว่าR ⁿเคอร์เนลความร้อนเป็น และมีการตีความทางกายภาพแบบเดียวกันโดยเปลี่ยนแปลงตามความเหมาะสม นอกจาก นี้ เคอร์เนลความร้อน ยังแสดงถึงฟังก์ชันเดลต้าที่เกิดขึ้นใหม่ในความหมายที่ว่าη _ε → δในความหมายของการกระจายตัวเป็นε → 0$${\displaystyle \eta _{\varepsilon }={\frac {1}{(2\pi \varepsilon )^{n/2}}}\mathrm {e} ^{-{\frac {x\cdot x}{2\varepsilon }}},}$$

เคอร์เนลปัวซอง$${\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)={\frac {1}{\pi }}\mathrm {Im} \left\{{\frac {1}{x-\mathrm {i} \varepsilon }}\right\}={\frac {1}{\pi }}{\frac {\varepsilon }{\varepsilon ^{2}+x^{2}}}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \xi x-|\varepsilon \xi |}\,d\xi }$$

เป็นคำตอบพื้นฐานของสมการลาปลาซในระนาบครึ่งบน^[59] แสดงถึงศักย์ไฟฟ้าสถิตในแผ่นกึ่งอนันต์ซึ่งศักย์ไฟฟ้าตามขอบจะถูกตรึงไว้ที่ฟังก์ชันเดลต้า เคอร์เนลปัวซองยังเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับการแจกแจงโคชีและฟังก์ชันเคอร์เนลเอปาเนชนิคอฟและเกาส์เซียน^[60]เซมิกรุ๊ปนี้พัฒนาตามสมการ$${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=-\left(-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}u(t,x)}$$

โดยที่ตัวดำเนินการถูกกำหนดอย่างเข้มงวดให้เป็นตัวคูณฟูเรียร์$${\displaystyle {\mathcal {F}}\left[\left(-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}f\right](\xi )=|2\pi \xi |{\mathcal {F}}f(\xi ).}$$

ในสาขาฟิสิกส์ เช่นการแพร่กระจายคลื่นและกลศาสตร์คลื่น สมการที่เกี่ยวข้องเป็นไฮเปอร์โบลิกและอาจมีคำตอบเอกพจน์มากขึ้น ดังนั้น ฟังก์ชันเดลต้าที่เกิดขึ้นใหม่ซึ่งเกิดขึ้นเป็นคำตอบพื้นฐานของปัญหาโคชี ที่เกี่ยวข้อง โดยทั่วไปจะเป็นอินทิกรัลแบบสั่นตัวอย่างที่ได้มาจากคำตอบของสมการออยเลอร์–ทริโคมีของพลศาสตร์ก๊าซทรานโซนิค ^[61]คือฟังก์ชันแอร์รี ที่ปรับขนาดใหม่$${\displaystyle \varepsilon ^{-1/3}\operatorname {Ai} \left(x\varepsilon ^{-1/3}\right).}$$

แม้จะใช้การแปลงฟูเรียร์ แต่ก็เห็นได้ง่ายว่าการทำเช่นนี้จะสร้างเซมิกรุ๊ปในบางแง่มุม ซึ่งไม่สามารถอินทิเกรตได้อย่างสมบูรณ์ ดังนั้นจึงไม่สามารถกำหนดเซมิกรุ๊ปในความหมายที่ชัดเจนข้างต้นได้ ฟังก์ชันเดลต้าที่เพิ่งเกิดขึ้นใหม่จำนวนมากซึ่งสร้างเป็นอินทิเกรตแบบสั่นจะบรรจบกันในแง่ของการแจกแจงเท่านั้น (ตัวอย่างเช่นเคอร์เนลของ Dirichletด้านล่าง) มากกว่าในแง่ของการวัด

ตัวอย่างอีกประการหนึ่งคือปัญหา Cauchy สำหรับสมการคลื่นในR ¹⁺¹ : ^[62]$${\displaystyle {\begin{aligned}c^{-2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}-\Delta u&=0\\u=0,\quad {\frac {\partial u}{\partial t}}=\delta &\qquad {\text{for }}t=0.\end{aligned}}}$$

คำตอบuแสดงถึงการเคลื่อนตัวจากจุดสมดุลของสตริงยืดหยุ่นอนันต์โดยมีสิ่งรบกวนเริ่มต้นที่จุดกำเนิด

การประมาณค่าอื่นๆ สำหรับเอกลักษณ์ประเภทนี้ได้แก่ฟังก์ชัน sinc (ใช้กันอย่างแพร่หลายในอิเล็กทรอนิกส์และโทรคมนาคม)$${\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)={\frac {1}{\pi x}}\sin \left({\frac {x}{\varepsilon }}\right)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-{\frac {1}{\varepsilon }}}^{\frac {1}{\varepsilon }}\cos(kx)\,dk}$$

และฟังก์ชันเบสเซล$${\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)={\frac {1}{\varepsilon }}J_{\frac {1}{\varepsilon }}\left({\frac {x+1}{\varepsilon }}\right).}$$

แนวทางหนึ่งในการศึกษาสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยเชิงเส้น$${\displaystyle L[u]=f,}$$

โดยที่Lเป็นตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์บนR ⁿคือการหาคำตอบพื้นฐานก่อน ซึ่งเป็นคำตอบของสมการ$${\displaystyle L[u]=\delta .}$$

เมื่อLเป็นแบบเรียบง่ายโดยเฉพาะ ปัญหานี้มักจะแก้ไขได้โดยใช้การแปลงฟูเรียร์โดยตรง (เช่นในกรณีของเคอร์เนลปัวซองและเคอร์เนลความร้อนที่กล่าวถึงไปแล้ว) สำหรับตัวดำเนินการที่ซับซ้อนกว่านี้ บางครั้งอาจง่ายกว่าที่จะพิจารณาสมการในรูปแบบก่อน$${\displaystyle L[u]=h}$$

โดยที่hคือ ฟังก์ชัน คลื่นระนาบซึ่งหมายความว่ามีรูปแบบ$${\displaystyle h=h(x\cdot \xi )}$$

สำหรับเวกเตอร์ξ บาง ตัว สมการดังกล่าวสามารถแก้ไขได้ (ถ้าค่าสัมประสิทธิ์ของLเป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ ) โดยใช้ทฤษฎีบทโคชี-โควาเลฟสกา ยา หรือ (ถ้าค่าสัมประสิทธิ์ของLเป็นค่าคงที่) โดยใช้การหากำลังสอง ดังนั้น หากฟังก์ชันเดลต้าสามารถแยกย่อยเป็นคลื่นระนาบได้ ก็แสดงว่าสามารถแก้สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยเชิงเส้นได้

การสลายตัวของฟังก์ชันเดลต้าเป็นคลื่นระนาบดังกล่าวเป็นส่วนหนึ่งของเทคนิคทั่วไปที่Johann Radon เป็นผู้แนะนำเป็นคนแรก จากนั้น Fritz John (1955) ก็ได้พัฒนารูปแบบนี้ขึ้นมา^[63]เลือกkเพื่อให้n + kเป็นจำนวนเต็มคู่ และสำหรับจำนวนจริงsให้เขียนว่า$${\displaystyle g(s)=\operatorname {Re} \left[{\frac {-s^{k}\log(-is)}{k!(2\pi i)^{n}}}\right]={\begin{cases}{\frac {|s|^{k}}{4k!(2\pi i)^{n-1}}}&n{\text{ odd}}\\[5pt]-{\frac {|s|^{k}\log |s|}{k!(2\pi i)^{n}}}&n{\text{ even.}}\end{cases}}}$$

จากนั้นδจะได้จากการใช้กำลังของลาปลาเซียนกับอินทิกรัลเทียบกับการวัดทรงกลม หน่วย dωของg ( x · ξ )สำหรับξในทรงกลมหน่วย S ^{n −1} :$${\displaystyle \delta (x)=\Delta _{x}^{(n+k)/2}\int _{S^{n-1}}g(x\cdot \xi )\,d\omega _{\xi }.}$$

ในที่นี้ ลาปลาเซียนถูกตีความว่าเป็นอนุพันธ์อ่อน ดังนั้นสมการนี้จึงหมายถึงว่า สำหรับฟังก์ชันทดสอบφ ใด ๆ$${\displaystyle \varphi (x)=\int _{\mathbf {R} ^{n}}\varphi (y)\,dy\,\Delta _{x}^{\frac {n+k}{2}}\int _{S^{n-1}}g((x-y)\cdot \xi )\,d\omega _{\xi }.}$$

ผลลัพธ์ตามมาจากสูตรสำหรับศักย์ของนิวตัน (คำตอบพื้นฐานของสมการของปัวซอง) โดยพื้นฐานแล้วนี่คือรูปแบบหนึ่งของสูตรผกผันสำหรับการแปลงเรดอนเนื่องจากสูตรนี้จะกู้คืนค่าของφ ( x )จากอินทิกรัลเหนือไฮเปอร์เพลน ตัวอย่างเช่น หากnเป็นคี่และk = 1ดังนั้นอินทิกรัลทางด้านขวามือคือ$${\displaystyle {\begin{aligned}&c_{n}\Delta _{x}^{\frac {n+1}{2}}\iint _{S^{n-1}}\varphi (y)|(y-x)\cdot \xi |\,d\omega _{\xi }\,dy\\[5pt]&\qquad =c_{n}\Delta _{x}^{(n+1)/2}\int _{S^{n-1}}\,d\omega _{\xi }\int _{-\infty }^{\infty }|p|R\varphi (\xi ,p+x\cdot \xi )\,dp\end{aligned}}}$$

โดยที่Rφ ( ξ , p )คือการแปลงเรดอนของφ :$${\displaystyle R\varphi (\xi ,p)=\int _{x\cdot \xi =p}f(x)\,d^{n-1}x.}$$

การแสดงออกที่เทียบเท่าทางเลือกของการสลายตัวของคลื่นระนาบคือ: ^[64]$${\displaystyle \delta (x)={\begin{cases}{\frac {(n-1)!}{(2\pi i)^{n}}}\displaystyle \int _{S^{n-1}}(x\cdot \xi )^{-n}\,d\omega _{\xi }&n{\text{ even}}\\{\frac {1}{2(2\pi i)^{n-1}}}\displaystyle \int _{S^{n-1}}\delta ^{(n-1)}(x\cdot \xi )\,d\omega _{\xi }&n{\text{ odd}}.\end{cases}}}$$

ในการศึกษาอนุกรมฟูเรียร์คำถามสำคัญประกอบด้วยการกำหนดว่าอนุกรมฟูเรียร์ที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันคาบบรรจบกันเป็นฟังก์ชัน หรือไม่และในความหมายใด ผลรวมย่อยลำดับที่ nของอนุกรมฟูเรียร์ของฟังก์ชันfของคาบ2πถูกกำหนดโดยการม้วนรวม (บนช่วง[−π,π] ) ด้วยเคอร์เนล Dirichletดังนี้ โดย ที่ ผลลัพธ์พื้นฐานของอนุกรมฟูเรียร์เบื้องต้นระบุว่าเคอร์เนล Dirichlet ที่จำกัดอยู่ในช่วง  [−π,π]มีแนวโน้มไปที่ผลคูณของฟังก์ชันเดลต้าเป็นN → ∞สิ่งนี้ตีความในความหมายของการแจกแจงว่า สำหรับทุก ฟังก์ชันเรียบ ที่รองรับอย่างกะทัดรัดfดังนั้น ในทางรูปแบบหนึ่งจะมี ช่วง[−π,π ]$${\displaystyle D_{N}(x)=\sum _{n=-N}^{N}e^{inx}={\frac {\sin \left(\left(N+{\frac {1}{2}}\right)x\right)}{\sin(x/2)}}.}$$$${\displaystyle s_{N}(f)(x)=D_{N}*f(x)=\sum _{n=-N}^{N}a_{n}e^{inx}}$$$${\displaystyle a_{n}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(y)e^{-iny}\,dy.}$$$${\displaystyle s_{N}(f)(0)=\int _{-\pi }^{\pi }D_{N}(x)f(x)\,dx\to 2\pi f(0)}$$$${\displaystyle \delta (x)={\frac {1}{2\pi }}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{inx}}$$

แม้จะเป็นเช่นนี้ ผลลัพธ์ก็ไม่คงอยู่สำหรับ ฟังก์ชัน ต่อเนื่อง ที่รองรับอย่างกะทัดรัดทั้งหมด นั่นคือD _Nไม่บรรจบกันอย่างอ่อนแอในความหมายของการวัด การขาดการบรรจบกันของอนุกรมฟูเรียร์ทำให้มีการนำวิธีการหาผลรวม ที่หลากหลายมาใช้ เพื่อสร้างการบรรจบกัน วิธีการหาผลรวมของ Cesàroนำไปสู่เคอร์เนล Fejér ^[65]

$${\displaystyle F_{N}(x)={\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}D_{n}(x)={\frac {1}{N}}\left({\frac {\sin {\frac {Nx}{2}}}{\sin {\frac {x}{2}}}}\right)^{2}.}$$

เคอร์เนลFejérมีแนวโน้มที่จะทำหน้าที่เดลต้าในความหมายที่แข็งแกร่งกว่า^[66]

$${\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }F_{N}(x)f(x)\,dx\to 2\pi f(0)}$$

สำหรับ ฟังก์ชันต่อเนื่องfที่รองรับอย่างกะทัดรัดทุกฟังก์ชัน นัยก็คือว่าอนุกรมฟูเรียร์ของฟังก์ชันต่อเนื่องใดๆ จะเป็นผลรวมของเซซาโรกับค่าของฟังก์ชันที่จุดทุกจุด

การแจกแจงเดลต้าของดิแรกเป็น ฟังก์ชัน ^เชิงเส้นไร้ขอบเขตที่มีการกำหนดอย่างหนาแน่น บนปริภูมิฮิลเบิร์ตL2 ^ของฟังก์ชันที่บูรณาการได้แบบกำลังสองฟังก์ชันที่รองรับอย่างราบรื่นและกะทัดรัดนั้นมีความหนาแน่นในL2 และการกระทำของการแจกแจงเดลต้าต่อ ^{ฟังก์ชัน}ดังกล่าวนั้นถูกกำหนดไว้อย่างชัดเจน ในแอปพลิเคชันจำนวนมาก เป็นไปได้ที่จะระบุปริภูมิย่อยของL2และให้โทโพโลยี ที่แข็งแกร่งกว่า ซึ่งฟังก์ชันเดลต้ากำหนดฟังก์ชัน เชิงเส้นที่มีขอบเขต

ทฤษฎีบทฝังตัวของ Sobolevสำหรับพื้นที่ Sobolevบนเส้นจริงRบ่งบอกว่าฟังก์ชันf ที่ผสานรวมกำลังสองได้ใดๆ โดยที่

$${\displaystyle \|f\|_{H^{1}}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }|{\widehat {f}}(\xi )|^{2}(1+|\xi |^{2})\,d\xi <\infty }$$

เป็นแบบต่อเนื่องอัตโนมัติและตอบโจทย์โดยเฉพาะ

$${\displaystyle \delta [f]=|f(0)|<C\|f\|_{H^{1}}.}$$

ดังนั้นδ จึง เป็นฟังก์ชันเชิงเส้นที่มีขอบเขตบนปริภูมิ Sobolev H ¹ในทางกลับกันδก็เป็นองค์ประกอบของปริภูมิคู่ต่อเนื่อง H ⁻¹ของH ¹โดยทั่วไป ในมิติn จะมี δ ∈ H ^{− s} ( R ⁿ )เมื่อs > ⁠น-2⁠ .

ในการวิเคราะห์เชิงซ้อนฟังก์ชันเดลต้าจะเข้าสู่สูตรอินทิกรัลของโคชีซึ่งระบุว่าหากDเป็นโดเมนในระนาบเชิงซ้อนที่มีขอบเขตเรียบ ดังนั้น

$${\displaystyle f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\partial D}{\frac {f(\zeta )\,d\zeta }{\zeta -z}},\quad z\in D}$$

สำหรับ ฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิก ทั้งหมดfในDที่ต่อเนื่องบนการปิดของDดังนั้น ฟังก์ชันเดลต้าδ _zจึงแสดงในฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกประเภทนี้ด้วยอินทิกรัลโคชี:

$${\displaystyle \delta _{z}[f]=f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\partial D}{\frac {f(\zeta )\,d\zeta }{\zeta -z}}.}$$

นอกจากนี้ ให้H ² (∂ D )เป็นปริภูมิฮาร์ดีที่ประกอบด้วยการปิดในL ² (∂ D )ของฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกทั้งหมดในDต่อเนื่องจนถึงขอบเขตของDจากนั้น ฟังก์ชันในH ² (∂ D )จะขยายออกไปยังฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกในD อย่างเฉพาะเจาะจง และสูตรอินทิกรัลโคชียังคงใช้ได้ โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับz ∈ Dฟังก์ชันเดลต้าδ _zเป็นฟังก์ชันเชิงเส้นต่อเนื่องบนH ² (∂ D )นี่เป็นกรณีพิเศษของสถานการณ์ในตัวแปรเชิงซ้อนหลายตัวซึ่งสำหรับโดเมนเรียบD เคอร์เนล Szegőมีบทบาทเป็นอินทิกรัลโคชี^[67]

การแสดงฟังก์ชันเดลต้าอีกแบบหนึ่งในปริภูมิของฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกคือปริภูมิของฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกที่อินทิเกรตกำลังสองในเซตเปิดซึ่งเป็นปริภูมิย่อยปิดของและด้วยเหตุนี้จึงเป็นปริภูมิฮิลเบิร์ต ในทางกลับกัน ฟังก์ชันที่ประเมินฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกในณ จุดหนึ่งเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง ดังนั้น ตามทฤษฎีบทการแสดงของไรซ์ จึงแสดงโดยการอินทิเกรตกับเคอร์เนล ซึ่งก็คือ เคอร์เนลเบิร์กแมนเคอร์เนลนี้เป็นแอนะล็อกของฟังก์ชันเดลต้าในปริภูมิฮิลเบิร์ตนี้ ปริภูมิฮิลเบิร์ตที่มีเคอร์เนลดังกล่าวเรียกว่าปริภูมิฮิลเบิร์ตของเคอร์เนลที่ทำซ้ำได้ในกรณีพิเศษของดิสก์หน่วย หนึ่งมี${\displaystyle H(D)\cap L^{2}(D)}$${\displaystyle D\subset \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle L^{2}(D)}$${\displaystyle H(D)\cap L^{2}(D)}$${\displaystyle z}$${\displaystyle D}$${\displaystyle K_{z}(\zeta )}$$${\displaystyle \delta _{w}[f]=f(w)={\frac {1}{\pi }}\iint _{|z|<1}{\frac {f(z)\,dx\,dy}{(1-{\bar {z}}w)^{2}}}.}$$