Алгебра Гопфа

Алгебра Гопфа — асоціативна алгебра з одиницею, що є також коасоціативною коалгеброю з коодиницею і, таким чином, біалгеброю з антигомоморфізмом спеціального виду. Названа на честь Гайнца Гопфа.

Алгебри Гопфа зустрічаються в алгебраїчній топології, де вони виникли у зв'язку з концепцією H-простору, в теорії групових схем, в теорії груп (завдяки концепції групового кільця), і в багатьох інших розділах математики, що робить їх одним з найвідоміших прикладів біалгебри. Алгебри Гопфа також вивчаються як самостійний предмет, у зв'язку з великою кількістю певних класів алгебр Гопфа і проблем їх класифікації.

Означення

Алгебра Гопфа — асоціативна і коасоціативна біалгебра $H$ над полем $K$ разом з $K$ -лінійним відображенням $S\colon H\to H$ (що називається антиподом) таким, що наступна діаграма є комутативною:

Тут $Δ$ — кодобуток біалгебри, $\nabla$ — добуток алгебри, $η$ — одиниця алгебри й $ε$ — коодиниця.

У позначеннях Свідлера, ця властивість записується як:

S(c_{(1)})c_{(2)}=c_{(1)}S(c_{(2)})=\epsilon (c)1\qquad \forall c\in H

.

Наведене означення можна узагальнити для алгебр над кільцями (досить в означенні замінити поле $K$ на комутативне кільце $R$ ).

Означення алгебри Гопфа є двоїстим самому собі (це відображено в симетрії наведеної діаграми), зокрема, якщо можна задати двоїсту алгебру до $H$ (це завжди можливо якщо $H$ є скінченновимірним простором) то вона автоматично є алгеброю Гопфа.

Структурні константи

Зафіксувавши базис $\{e_{k}\}$ алгебри як векторного простору, алгебру Гопфа можна описати за допомогою структурних констант

для множення:

e_{i}\nabla e_{j}=\sum _{k}\mu _{\;ij}^{k}e_{k}

для кодобутку:

\Delta e_{i}=\sum _{j,k}\nu _{i}^{\;jk}e_{j}\otimes e_{k}

для антипода:

Se_{i}=\sum _{j}\tau _{i}^{\;j}e_{j}

Асоціативність алгебри тоді вимагає рівності

\mu _{\;ij}^{k}\mu _{\;kn}^{m}=\mu _{\;jn}^{k}\mu _{\;ik}^{m}

для коасоціативності має виконуватися рівність

\nu _{k}^{\;ij}\nu _{i}^{\;mn}=\nu _{k}^{\;mi}\nu _{i}^{\;nj}

Також для структурних констав має бути

\nu _{k}^{\;ij}\tau _{j}^{\;m}\mu _{\;pm}^{n}=\nu _{k}^{\;jm}\tau _{j}^{\,\;i}\mu _{\;pm}^{n}

Властивості антипода

В означенні алгебр Гопфа для антипода $S$ часто ставиться вимога існування $K$ -лінійного оберненого відображення, яке автоматично існує у скінченновимірному випадку, або якщо алгебра $H$ є комутативною, кокомутативною або, більш загально, квазітрикутною.

Взагалі кажучи, $S$ є антигомоморфізмом ^[1], так $S 2$ - гомоморфізм, який буде автоморфізмом, якщо $S$ є оборотним.

Якщо $S^{2}=Id$ , то алгебра Гопфа, як кажуть, є інволютивною (основним прикладом інволютивної алгебри є *-алгебра). Якщо $H$ — скінченновимірна напівпроста алгебра над полем характеристики нуль, що є комутативною або кокомутативною, то вона є інволютивною.

Якщо біалгебра $B$ допускає антипод $S$ , то $S$ є єдиним (довільна біалгебра допускає щонайбільше 1 структуру алгебри Гопфа).^[2]

Антипод є аналогом відображення інверсії на групі, яке відображає $g$ у $g^{-1}$ . ^[3]

Підалгебри Гопфа

Підалгебра $A$ алгебри Гопфа $H$ є підалгеброю Гопфа, якщо вона є підкоалгеброю $H$ і антипод $S$ відображає $A$ в $A$ . Іншими словами, підалгебра Гопфа $A$ - це підпростір в алгебрі Гопфа, замкнутий щодо множення, кодобутку й антипода. Теорема Ніколса — Зеллер (Nichols - Zoeller) про вільність стверджує, що якщо $H$ є скінченновимірною, то натуральний $A$ -модуль $H$ є вільним модулем скінченного рангу, що дає узагальнення теореми Лагранжа для підгруп. Як наслідок цього, підалгебра Гопфа напівпростої скінченновимірної алгебри Гопфа автоматично є напівпростою.

Підалгебра Гопфа $A$ називається правою нормальною підалгеброю алгебри Гопфа $H$ , якщо вона задовольняє умові стабільності, $ad_{r}(h)(A)\subseteq A$ для всіх $h$ з $H$ , де приєднане відображення $ad_{r}$ задане як $ad_{r}(h)(a)=S(h_{(1)})ah_{(2)}$ для всіх $a$ з $A$ і $h$ з $H$ . Підалгебра Гопфа $K$ є лівою нормальною в $H$ якщо вона інваріантна при лівому приєднаному відображенню $ad_{\ell }(h)(k)=h_{(1)}kS(h_{(2)})$ для всіх $k$ з $K$ . Обидві умови нормальності є еквівалентними, якщо антипод $S$ є бієктивним. У цьому випадку $A$ називається нормальною підалгеброю Гопфа.

Нормальна підалгебра Гопфа $A$ в $H$ задовольняє умові рівності підмножин: $HA^{+}=A^{+}H$ , де $A^{+}$ позначає ядро коодиниці $K$ . З цієї умови нормальності випливає, що $HA^{+}$ — ідеал алгебри Гопфа $H$ (тобто є ідеалом алгебри в ядрі коодиниці, коідеалом коалебри й стійким під дією антипода). Як наслідок, можна визначити факторалгебру Гопфа $H/HA^{+}$ і епіморфізм $H\rightarrow H/A^{+}H$ , аналогічно відповідним конструкціям нормальних підгруп і факторгруп у теорії груп. ^[4]

Приклади

	Залежить від	Кодобуток	Коодиниця	Антипод	Комутативність	Кокомутативність	Зауваження
Групова алгебра KG	групи G	Δ(g) = g ⊗ g для всіх g з G	ε(g) = 1 для всіх g із G	S(g) = g⁻¹ для всіх g з G	тільки коли G є комутативною	так
функції f зі скінченної ^[5] групи в K, K^G (з поточковим додаванням і множенням)	скінченна група G	Δ(f)(x,y) = f(xy)	ε(f) = f(1_G)	S(f)(x) = f(x⁻¹)	так	тільки якщо G є комутативною
Функції представлення компактних груп	Компактна група G	Δ(f)(x,y) = f(xy)	ε(f) = f(1_G)	S(f)(x) = f(x⁻¹)	так	тільки якщо G є комутативною	Навпаки, кожна комутативна, інволютивна, редукована алгебра Гопфа над C зі скінченним інтегралом Хаара може бути отримана в такий спосіб (двоїстість Танаки — Крейна).^[6]
Регулярні функції на алгебричних групах		Δ(f)(x,y) = f(xy)	ε(f) = f(1_G)	S(f)(x) = f(x⁻¹)	так	тільки якщо G є комутативною	Навпаки, кожна комутативна алгебра Гопфа над полем одержується в такий спосіб їхньої групової схеми.^[7]
Тензорна алгебра T(V)	Векторний простір V	Δ(x) = x ⊗ 1 + 1 ⊗ x, x з V, Δ(1) = 1 ⊗ 1	ε(x) = 0	S(x) = −x для всіх x з 'T¹(V) (і далі узагальнивши на вищі тензорні степені)	Тільки якщо dim(V)=0,1	так	Симетрична алгебра і зовнішня алгебра (що є факторалгебрами тензорної алгебри) теж є алгебрами Гопфа із відповідними означеннями
Універсальна обгортуюча алгебра U(g)	Алгебра Лі g	Δ(x) = x ⊗ 1 + 1 ⊗ x для всіх x з g (це правило можна в єдиний спосіб продовжити на всю U)	ε(x) = 0 для всіх x з g (із продовженням на U)	S(x) = −x	тільки якщо g є комутативною	так
Алгебра Свідлера H=K[c, x]/c² = 1, x² = 0 і xc = −cx.	K — поле характеристика якого не рівна 2	Δ(c) = c ⊗ c, Δ(x) = c ⊗ x + x ⊗ 1, Δ(1) = 1 ⊗ 1	ε(c) = 1 і ε(x) = 0	S(c) = c⁻¹ = c і S(x) = −cx	ні	ні	Векторний простір породжений елементами {1, c, x, cx} і має розмірність 4.Це найменший приклад алгебри Гопфа, що не є ні комутативними, ні кокомутативними.
Кільце симетричних функцій^[8]		в термінах повних однорідних симетричних функцій h_k (k ≥ 1): Δ(h_k) = 1 ⊗ h_k + h₁ ⊗ h_k−1 + ... + h_k−1 ⊗ h₁ + h_k ⊗ 1.	ε(h_k) = 0	S(h_k) = (−1)^k e_k	так	так

Когомології груп Лі

Алгебра когомологій групи Лі — алгебра Гопфа: множення задано $\smile$ -добутком, а кодобуток

H^{*}(G)\rightarrow H^{*}(G\times G)\cong H^{*}(G)\otimes H^{*}(G)

множенням групи $G\times G\rightarrow G$ .

Це спостереження було фактично джерелом поняття алгебри Гопфа. Використовуючи цю структуру, Гопф довів структурну теорему для алгебри когомологій груп Лі.

Теорема Гопфа ^[9] Нехай $A$ — скінченновимірна, суперкомутативна, кокомутативна алгебра Гопфа над полем характеристики 0. Тоді $A$ (як алгебра) є вільною зовнішньою алгеброю з генераторами непарного степеня.

Квантові групи

Всі приклади вище є або комутативними (тобто множення є комутативним) або кокомутативними (тобто $Δ = T \circ Δ$ , де $T : H \otimes H \to H \otimes H$ — перестановка тензорних множників, задана як $T (x \otimes y) = y \otimes x)$ . Іншими цікавими прикладами алгебр Гопфа — деякі деформації або «квантування» прикладу 4, які не є ні комутативними, ні кокомутативними. Ці алгебри Гопфа часто називають квантовими групами.

Ідея полягає в наступному: звичайна алгебрична група може бути описана в термінах алгебри Гопфа регулярних функцій. Ми можемо тоді думати про деформації цієї алгебри Гопфа як про опис деякої «квантованої» алгебричної групи (хоча вона і не є алгебричною групою). Багато властивостей алгебричних груп, а також конструкції з ними мають свої аналоги для деформованих алгебр Гопфа. Звідси назва «квантова група».

Аналогія з групами

Аксіоми груп можна подати за допомогою тих же діаграм (еквівалентностей, операцій) що й алгебри Гопфа, де $H$ — множина, а не модуль. У цьому випадку:

кільце $R$ замінюється множиною з 1 елемента
є природна коодиниця (відображення в єдиний елемент)
є природний кодобуток (діагональне відображення)
одиниця — нейтральний елемент групи
множення — множення в групі
антипод — обернений елементу в групі.

В цьому сенсі групи можна розглядати як алгебри Гопфа над полем з одного елемента. ^[10]

Примітки

↑ Dascalescu, Nastasescu & Raianu (2001), Prop. 4.2.6, p. 153 [Архівовано 6 жовтня 2014 у Wayback Machine.]
↑ Dascalescu, Nastasescu & Raianu (2001), Remarks 4.2.3,
↑ Quantum groups lecture notes (PDF) (англ.).
↑ S. Montgomery, Hopf algebras and their actions on rings, Conf. Board in Math. Sci. vol. 82, A.M.S., 1993. ISBN 0-8218-0738-2
↑ Зі скінченності G випливає природний ізоморфізм K^G ⊗ K^G і K^GxG. Це використовується для формули кодобутку. Для нескінченних груп G, K^G ⊗ K^G є власною підмножиною K^GxG.
↑ Hochschild, G (1965), Structure of Lie groups, Holden-Day, с. 14—32
↑ Jantzen, Jens Carsten (2003), Representations of algebraic groups, Mathematical Surveys and Monographs, т. 107 (вид. 2nd), Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-3527-2, section 2.3
↑ Michiel Hazewinkel, Symmetric Functions, Noncommutative Symmetric Functions, and Quasisymmetric Functions, Acta Applicandae Mathematica, January 2003, Volume 75, Issue 1-3, pp 55–83
↑ Hopf, 1941.
↑ Group = Hopf algebra " Secret Blogging Seminar [Архівовано 9 липня 2011 у Wayback Machine.], Group objects and Hopf algebras [Архівовано 18 квітня 2016 у Wayback Machine.], video of Simon Willerton.

Див. також

Коалгебра

Література

Dăscălescu, Sorin; Năstăsescu, Constantin; Raianu, Șerban (2001), Hopf Algebras. An introduction, Pure and Applied Mathematics, т. 235 (вид. 1st), Marcel Dekker, ISBN 0-8247-0481-9, Zbl 0962.16026.
Pierre Cartier, A primer of Hopf algebras [Архівовано 9 серпня 2017 у Wayback Machine.], IHES preprint, September 2006, 81 pages
Fuchs, Jürgen (1992), Affine Lie algebras and quantum groups. An introduction with applications in conformal field theory, Cambridge Monographs on Mathematical Physics, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-48412-X, Zbl 0925.17031
H. Hopf, Uber die Topologie der Gruppen-Mannigfaltigkeiten und ihrer Verallgemeinerungen, Ann. of Math. 42 (1941), 22–52. Reprinted in Selecta Heinz Hopf, pp. 119–151, Springer, Berlin (1964). MR 4784, Zbl 0025.09303
Montgomery, Susan (1993), Hopf algebras and their actions on rings, Regional Conference Series in Mathematics, т. 82, Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0738-2, Zbl 0793.16029
Street, Ross (2007), Quantum groups, Australian Mathematical Society Lecture Series, т. 19, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-69524-4, MR 2294803, Zbl 1117.16031.
Sweedler, Moss E. (1969), Hopf algebras, Mathematics Lecture Note Series, W. A. Benjamin, Inc., New York, MR 0252485, Zbl 0194.32901, архів оригіналу за 28 червня 2014, процитовано 7 грудня 2017
Underwood, Robert G. (2011), An introduction to Hopf algebras, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-72765-3, Zbl 1234.16022

[1] Dascalescu, Nastasescu & Raianu (2001), Prop. 4.2.6, p. 153 [Архівовано 6 жовтня 2014 у Wayback Machine.]

[2] Dascalescu, Nastasescu & Raianu (2001), Remarks 4.2.3,

[3] Quantum groups lecture notes (PDF) (англ.).

[4] S. Montgomery, Hopf algebras and their actions on rings, Conf. Board in Math. Sci. vol. 82, A.M.S., 1993. ISBN 0-8218-0738-2

[5] Зі скінченності G випливає природний ізоморфізм K^G ⊗ K^G і K^GxG. Це використовується для формули кодобутку. Для нескінченних груп G, K^G ⊗ K^G є власною підмножиною K^GxG.

[6] Hochschild, G (1965), Structure of Lie groups, Holden-Day, с. 14—32

[7] Jantzen, Jens Carsten (2003), Representations of algebraic groups, Mathematical Surveys and Monographs, т. 107 (вид. 2nd), Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-3527-2, section 2.3

[8] Michiel Hazewinkel, Symmetric Functions, Noncommutative Symmetric Functions, and Quasisymmetric Functions, Acta Applicandae Mathematica, January 2003, Volume 75, Issue 1-3, pp 55–83

[9] Hopf, 1941.

[10] Group = Hopf algebra " Secret Blogging Seminar [Архівовано 9 липня 2011 у Wayback Machine.], Group objects and Hopf algebras [Архівовано 18 квітня 2016 у Wayback Machine.], video of Simon Willerton.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]