Напівгрупа
Зовнішній вигляд
Алгебричні структури |
---|
Напівгрупа — алгебрична структура в абстрактній алгебрі з непорожньої множини та асоціативної бінарної операції (тобто, асоціативна магма).
Відрізняється від групи тим, що для елементів множини може не існувати оберненого елемента і навіть може не існувати нейтрального елемента (одиниці).
Моноїд — напівгрупа з нейтральним елементом. Довільну напівгрупу можна перетворити в моноїд, добавивши до неї деякий елемент e і визначивши es = se = s для всіх елементів моноїда.
- Гомоморфізм між двома напівгрупами та є функція така, що
- .
- Якщо функція бієктивна, то це ізоморфізм напівгруп.
Якщо , то позначають
- Підмножина A напівгрупи S називається під-напівгрупою, якщо вона замкнута відносно групової операції. Тобто AA ⊆ A. Перетином під-напівгруп в S є під-напівгрупа в S.
- Якщо підмножина A непорожня та AS (SA) ⊆ A, то A називають правим (лівим) ідеалом. Якщо A є одночасно лівим і правим ідеалом, то його називають двохстороннім ідеалом, чи просто ідеалом.
- Перетином під-напівгруп( чи ідеалів) є під-напівгрупа (чи ідеал); з чого слідує, що напівгрупа або має мінімальну під-напівгрупу (чи ідеал) або не має їх зовсім.
- Якщо в комутативній напівгрупі є найменший ідеал, то він є групою.
Прикладом напівгрупи без найменшого ідеала є натуральні числа з операцією додавання.
- Натуральні числа з операцією додавання є напівгрупою.
- Натуральні числа з операцією множення є напівгрупою.
- Цілі числа з операцією множення є моноїдом.
- Ідеал кільця є напівгрупою відносно множення.
- Множина квадратних матриць розміру n з операцією множення є моноїдом.
- Курош А. Г. Общая алгебра. — М. : Мир, 1970. — 162 с.(рос.)
- Кон П. Универсальная алгебра. — Москва : Мир, 1968. — 351 с.(рос.)
- Джозеф Ротман[en]. An Introduction to the Theory of Groups. — 4th. — Springer (Graduate Texts in Mathematics), 1994. — 532 с. — ISBN 978-0387942858.(англ.)