Перейти до вмісту

Група з операторами

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Група з операторами(чи Ω-група) — в абстрактній алгебрі це алгебрична структура, що є групою з множиною Ω, яка діє на елемпенти групи.

Група з операторами вивчалась Еммі Нетер і її учнями в 1920-их. Вона використала її в теоремах про ізоморфізми.

Визначення

[ред. | ред. код]

Група з операторами це група з дією множини на :

що є дистрибутивною до операції групи:

Для кожного , операція є ендоморфізмом G. Отже Ω-група може розглядатись як група G з індексованим сімейством ендоморфізмів G.

називається областю визначення операторів. асоційовані ендоморфізми називаються гомотетіями G.

Для двох груп G, H з однаковою , гомоморфізм груп з операторами це гомоморфізм груп , що задовільняє

для всіх та

Підгрупа S в G називається стабільною підгрупою, -підгрупою чи -інваріантною підгрупою якщо вона зберігає гомотетії, тобто:

для всіх та

Теорія категорій

[ред. | ред. код]

В теорії категорій, група з операторами може бути визначена як об'єкт категорії функторів GrpM, де Mмоноїд (тобто категорія з одним об'єктом), а Grpкатегорія груп.

Морфізм в цій категорії, це натуральне перетворення між двома функторами (тобто, дві групи з операторами мають одну й ту ж саму область визначення операторів M).

Група з операторами також є відображенням

де є множиною ендоморфізмів групи G.

Приклади

[ред. | ред. код]

Див. також

[ред. | ред. код]

Джерела

[ред. | ред. код]