Лінійно впорядкована множина
Алгебричні структури |
---|
Лінійно впорядкована множина (ланцюг) — частково впорядкована множина (множина на якій задане відношення нестрогого порядку), в якій для будь-яких двох елементів і виконується чи
Тобто, для вимога рефлексивності посилена до вимоги повноти.
Частковий випадок лінійно впорядкованої множини — цілком впорядкована множина. Іншими словами: лінійний порядок = частковий порядок з умовою повноти.
Лінійний порядок використовується в
Термін ланцюг іноді є синонімом лінійно впорядкованої множини, проте може також використовуватись для означення підмножини деякої множини з частковим порядком. Останнє означення має критичне значення у лемі Цорна.
Хай множина всіх підмножин множини цілих, частково впорядкована за відношенням підмножини (). Тоді множина , де In - множина натуральних чисел менших за n — ланцюг, лінійно впорядокований за : .
- Кардинальні та порядкові числа є лінійно впорядкованими (точніше цілком впорядкованими).
- Множина дійсних чисел зі звичайним відношенням порядку є лінійно впорядкованою множиною. Це — надзвичайно важлива властивість дійсних чисел. Виявляється, що існування відношення порядку сумісного з арифметичними операціями й задовільняючого певним додатковим вимогам може буде застосовано для визначення (або характеризації) поля дійсних чисел.
- Натуральні числа, цілі числа, раціональні числа, алгебраїчні числа, ірраціональні числа тощо всі є підмножинами дійсних чисел, тому утворюють лінійно впорядковані множини зі звичайним відношенням порядку. Кожна з цих множин є єдиним прикладом найменшої лінійно впорядкованої множини, що має деяку додаткову властивість:
- Натуральні числа — найменша лінійно впорядкована множина, що не має верхньої межі.
- Цілі числа — найменша лінійно впорядкована множина, що не має ні верхньої, ні нижньої межі.
- Раціональні числа — найменша лінійно впорядкована множина, що не має ні верхньої, ні нижньої межі та є щільною.
- Дійсні числа — найменша лінійно впорядкована множина, що не має ні верхньої, ні нижньої межі та є зв'язною.
- Хаусдорф Ф. Теория множеств. — Москва ; Ленинград : ОНТИ , 1937. — 304 с. — ISBN 978-5-382-00127-2.(рос.)
- Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств = Set Theory (Teoria mnogości). — М. : Мир, 1970. — 416 с.(рос.)
- Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию. — Москва : Наука, 1977. — 368 с. — ISBN 5354008220.(рос.)