Булева алгебра (структура)
Алгебричні структури |
---|
Бу́лева а́лгебра — це алгебраїчна структура, що є доповненою дистрибутивною ґраткою, та частина математики яка вивчає подібні структури.
Алгебра логіки — застосування алгебраїчних методів і символіки для вивчення логічних відношень і розв'язання логічних задач.
Булева алгебра — алгебраїчна структура з двома бінарними операціями:
- («meet», «булеве множення») — узагальнення кон'юнкції,
- («join», «булеве додавання») — узагальнення диз'юнкції,
- чи («булеве доповнення») — узагальнення заперечення;
що задовільняють такі аксіоми:
(комутативність) | ||
(асоціативність) | ||
(закон поглинання) | ||
(дистрибутивність) | ||
(доповнення) |
Аксіоми 1,2,3 визначають ґратку.
Аксіоми 1,2,3,4 визначають дистрибутивну ґратку.
Аксіоми 1,2,3,5 визначають доповнену ґратку.
З аксіом випливають такі теореми:
(ідемпотентність) | ||
Тобто вирази та не залежать від вибору елемента.
Елемент називається булевою одиницею 1, елемент називається булевим нулем 0.
(правила де Моргана) | ||
. | (інволюція заперечення) |
Над множиною A також визначене бінарне відношення ≤, яке має назву відношення нестрогого порядку та відповідає умовам:
- x≤x (рефлективність)
- якщо x≤y та y≤x, то x=y (антисиметричність)
- якщо x≤y та y≤z, то x≤z (транзитивність)
Замість x≤y можна писати у≥x. Множина з таким відношенням має назву впорядкованої.
Нехай S — підмножина елементів впорядкованої множини A. Елемент a' має назву верхньої (нижньої) границі S, якщо для будь-якого а з S справедливе a ≤ a' (a ≥ a'). Якщо множина усіх верхніх (нижніх) границь множини S містить найменший (найбільший) елемент, то він має назву точної верхньої (точної нижньої) границі і позначається sup S(inf S). Якщо для будь-яких a, b з множини A існують inf (a, b) та sup (a, b), то така множина називається структурою або решіткою. Точна верхня границя такої множини є , точна нижня границя є .
Кожна булева алгебра еквівалентна булевому кільцю і навпаки:
Операції булевого кільця:
Кожна скінченна булева алгебра ізоморфна алгебрі всіх підмножин скінченної множини (полю множин). Тому число елементів булевої алгебри завжди є ступенем 2.
В 1933 американський математик Едвард Хантінгтон запропонував наступну аксіоматизацію для булевих алгебр:
- комутативність:
- асоціативність:
- аксіома Хантінгтона:
Герберт Робінс задав питання: чи можна скоротити третю аксіому так, як подано нижче
- аксіома Робінса:
Алгебра логіки та алгебра множин є загально-відомими прикладами булевої алгебри.
Найважливішим прикладом булевої алгебри є булева алгебра з двома елементами — одиничний елемент 1 та нульовий елемент 0. Ця алгебра є фундаментом функціонування цифрових дискретних систем. Операція в такій алгебрі має назву "логічного АБО" (logical OR), операція -- "логічного І" (logical AND), а елементам 1 та 0 ставляться у відповідність твердження "істина" (true) та "неправда" (false). Результати цих двох операцій можуть бути зведені в такі таблиці:
|
|
Така двійкова алгебра відіграє ключову роль в описі цифрових схем (насамперед це стосується цифрових схем без зворотних зв'язків).
- Філософський словник / за ред. В. І. Шинкарука. — 2-ге вид., перероб. і доп. — К. : Головна ред. УРЕ, 1986.