숫자의 지속성

수학에서 숫자의 지속성은 연산이 더 이상 숫자를 변경하지 않는 고정점에 도달하기 전에 정수에 주어진 연산을 적용해야 하는 횟수를 의미한다.

보통, 이것은 정수의 첨가 또는 곱셈 지속성을 포함하는데, 이것은 한 자리가 될 때까지 숫자의 합이나 산물로 숫자를 대체해야 하는 빈도이다.그 숫자들은 그 숫자로 분해되기 때문에, 첨가제나 승법적인 지속성은 라디스에 따라 달라진다.이 글의 나머지 부분에서는, 베이스 10을 상정하고 있다.

정수의 첨가 지속성을 계산하는 과정에서 도달한 한 자리 최종 상태는 디지털 루트다.다른 방법으로 말하면, 숫자의 부가적인 지속성은 디지털 뿌리에 도달하기 위해 숫자를 몇 번이나 합해야 하는지를 계산한다.

예

2718의 첨가제 지속성은 2: 2: 먼저 2 + 7 + 1 + 8 = 18, 그 다음 1 + 8 = 9이다.39의 곱셈 지속성은 3인데, 39를 한 자릿수로 줄이기 위해서는 39 → 27 → 14 → 4의 세 가지 단계가 필요하기 때문이다.또한 39는 가장 적은 수의 승수 지속성 3이다.

주어진 승수 지속성의 최소 수

10의 라디스의 경우, 승수 지속성을 가진 숫자가 없다고 생각되는데, 11: 이것은 10까지의²⁰⁰⁰⁰ 숫자에 해당한다고 알려져 있다.^[1][2]지속성이 0, 1, ...인 가장 작은 숫자는 다음과 같다.

0, 10, 25, 39, 77, 679, 6788, 6889, 26778889, 268889, 268889, 37788899, 2777788899, 27777888888888899(OEIS에서 순서 A003001)

이 숫자에 대한 검색은 이 기록을 깨는 숫자의 소수 자릿수에 대한 추가 속성을 사용하여 속도를 높일 수 있다.이 숫자들은 정렬되어야 하며, 처음 두 자리를 제외하고, 모든 숫자는 7, 8 또는 9여야 한다.처음 두 자리 숫자에 대한 추가 제한도 있다.이러한 제한에 근거하여 기록적인 지속성을 가진 n자리 숫자의 후보 수는 가능한 모든 n자리 숫자의 극히 일부인 n자리 숫자의 제곱에 비례할 뿐이다.그러나 위의 순서에서 누락된 숫자는 11보다 큰 곱셈 지속성을 가질 수 있다. 그러한 숫자는 존재하지 않는다고 믿으며, 만약 존재한다면 20,000자리 이상의 숫자를 가져야 한다.^[1]

주어진 첨가제 지속성의 최소 수

그러나 숫자의 첨가 지속성은 임의로 커질 수 있다(증거:지정된 숫자 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$에$$대해 숫자 1의 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ n$}$ 반복으로$$ 구성된 숫자의 지속성은 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$의 반복보다 1 더 높다.가법 지속성 0, 1, ...의 최소 개수는 다음과 같다.

0, 10, 19, 199, 1999999999999999999999999999999999, ...(OEIS에서 시퀀스 A006050)

시퀀스의 다음 숫자(적층 지속성의 가장 작은 수 5)는 2 × 10^{2×(1022 − 1)/9} - 1이다(즉, 1에 이어 222222222222222222222222229 9).고정된 베이스의 경우, 숫자의 합은 그 로그에 비례하므로, 가법 지속성은 반복된 로그에 비례한다.숫자의 부가적인 지속성에 대한 자세한 내용은 여기에서 확인할 수 있다.

지속성이 제한된 기능

어떤 기능들은 일정 정도까지만 지속성을 허용한다.

예를 들어 최소 자릿수를 사용하는 함수는 0 또는 1만 허용하며, 한 자리 수로 시작하거나 한 자리 수로 스텝을 밟으면 0 또는 1만 허용한다.

참조

문학

• Guy, Richard K. (2004). Unsolved problems in number theory (3rd ed.). Springer-Verlag. pp. 398–399. ISBN 978-0-387-20860-2. Zbl 1058.11001.
• Meimaris, Antonios (2015). On the additive persistence of a number in base p. Preprint.