메르센 프라임

메르센 프라임

이름을 따서 지음	마린 메르센
No. 통속적인	51
용어추측량	인피니트
의 후속.	메르센 수
초항	3, 7, 31, 127, 8191
알려진 용어 중 가장 큰 것	282,589,933 - 1 (2018년 12월 7일)
OEIS 지수	A000668 메르센 소수 (형태 2^p - 1, p는 소수)

수학에서 메르센 소수는 2의 거듭제곱의 1보다 작은 소수입니다.즉, 어떤 정수 n에 대하여 형식 M = 2 - 1의 소수입니다.그것들은 17세기 초에 그것들을 연구했던 프랑스의 미니멀 수사인 마린 메르센의 이름을 따서 지어졌습니다.만약 n이 합성수라면 2 - 1도 마찬가지입니다ⁿ.따라서 메르센 소수에 대한 동등한 정의는 일부 소수 p에 대한 형태 M = 2 - 1의 소수라는 것입니다.

메르센 소수를 나타내는 지수 n은 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, ...(OEIS의 수열 A000043)이고, 그에 따른 메르센 소수는 3, 7, 31, 127, 8191, 131071, 524287, 2147483647, ...(OEIS의 수열 A000668)입니다.

기본성 요건이 없는 M = 2 - 1 형태의 숫자를 메르센 숫자라고 부를 수 있습니다.그러나 때때로 메르센 수는 n이 소수라는 추가적인 요구 조건을 갖도록 정의됩니다.소수 n을 갖는 가장 작은 합성 메르센 수는 2 - 1 = 2047 = 23 × 89입니다.

메르센 소수는 완벽한 수와 밀접한 연관성 때문에 고대에 연구되었습니다: 유클리드-오일러 정리는 짝수의 퍼펙트 수와 메르센 소수 사이의 일대일 대응을 주장합니다.알려진 많은 가장 큰 소수들은 메르센 소수인데, 이는 메르센 숫자가 소수를 확인하기 더 쉽기 때문입니다.

2023년 현재^[ref] 51개의 메르센 소수가 알려져 있습니다.알려진 가장 큰 소수인^82,589,933 2 - 1은 메르센 ^[1]소수입니다.1997년 이후 새로 발견된 모든 메르센 소수들은 분산 컴퓨팅 프로젝트인 Great Internet Mersenne Prime Search에 의해 발견되었습니다.2020년 12월, 1억 이하 지수를 한 ^[2]번 이상 모두 확인한 후 프로젝트의 주요 이정표가 통과되었습니다.

메르센 소수에 대하여

메르센 소수점들에 대한 많은 근본적인 의문들은 아직 해결되지 않은 채로 남아 있습니다.메르센 소수들의 집합이 유한한지 무한한지조차 알려지지 않았습니다.렌스트라-포머런스-와그스태프 추측은 무한히 많은 메르센 소수들이 있음을 주장하고 그들의 성장 순서를 예측합니다.비록 이것이 소수에 대한 널리 믿어지는 추측, 예를 들어 소피 제르맹 소수가 3(mod 4)에 해당하는 무한대의 추측에 따를 것이지만, 소수 지수가 있는 무한대의 메르센 수들이 합성되는지 여부는 알려지지 않았습니다.이러한 소수 p에 대해 2p + 1(프라임이기도 함)은 M을 분할합니다_p. 예를 들어 23₁₁ M, 47₂₃ M, 167₈₃ M, 263₁₃₁ M, 359₁₇₉ M, 383₁₉₁ M, 479₂₃₉ M, 503₂₅₁ M(OEIS의 수열 A002515).이 소수 p에 대하여 2p + 1은 7 mod 8과 합동이므로 2는 2차 잔차 mod 2p + 1이고, 2 mod 2p + 1의 곱셈 순서는 ($\frac{\mathrm{2p}}{}$+$\frac{1}{}$ ) $\frac{-}{}$ $\frac{}{}$= $p${\$textstyle${\$frac {(2p+1)-1}{2$}=$p$이어야 합니다. p는 소수이므로 p 또는 1이어야 합니다.그러나 ${\displaystyle {\Delta }_{}}$1 (${\displaystyle 2)}$ = ${\displaystyle 1}${\$displaystyle \Phi$ _${1}(2$) = $1}$이므로 1이 될 수 없으며 p여야 합니다.따라서 2p + 1 분할 ${\displaystyle \mathrm{\Delta }{}_{}}$p (${\displaystyle }$2 ) = ${\displaystyle {2p}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle 1}${\$displaystyle \Phi$ _${p}(2$) = $2^{p}-1}$이고 ${\displaystyle {2p}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle 1}$ = ${\displaystyle {Mp}_{}}${\$displaystyle$ 2$^{p}-1$ = $M_{p}}$는 소수가 될 수 없습니다.

처음 4개의 메르센 소수는 M = 3, M = 7, M = 31 및 M = 127이며, 첫 번째 메르센 소수는 M에서 시작하므로 모든 메르센 소수는 3(mod 4)과 일치합니다.M = 0 및 M = 1을 제외한 다른 모든 메르센 수 역시 3(mod 4)과 일치합니다.따라서 메르센 수(≥ M )의 소인수분해에서는 적어도 3(mod 4)에 해당하는 소인수가 하나 이상 있어야 합니다.

메르센 수에 대한 기본 정리는 M이_p 소수이면 지수 p도 소수여야 한다는 것입니다.이는 아이덴티티에서 따온 것입니다.

이것은 M = 2 - 1 = 15 = 3 × 5 = (2 - 1) × (1 + 2)와 같은 합성 지수를 갖는 메르센 수에 대한 소수를 배제합니다.

위의 예들은 M이 모든 소수 p에 대하여 소수임을_p 시사할 수 있지만, 그렇지 않으며, 가장 작은 반례는 메르센 수이다.

M = 2 - 1 = 2047 = 23 × 89

가까이에 있는 증거는 임의로 선택된 메르센 수가 유사한 ^[3]크기의 임의로 선택된 홀수 정수보다 소수일 가능성이 훨씬 더 높다는 것을 암시합니다.그럼에도 불구하고, M의 소수_p 값은 p가 증가함에 따라 점점 더 희박해지는 것으로 보입니다.예를 들어, 첫 11개 소수 p 중 8개는 메르센 소수_p M(메르센의 원래 목록에서 정확한 용어)을 생성하는 반면_p, M은 첫 200만 소수 중 43개만 소수입니다(최대 32,452,843).

메르센 숫자가 매우 빠르게 증가하기 때문에, 주어진 메르센 숫자가 소수인지를 결정하는 간단한 테스트가 현재 부족하기 때문에 메르센 소수를 찾는 것은 어려운 작업입니다.루카스 가족..레머 원시성 검사(Lehmer Primality test, LLT)는 이 작업을 크게 도와주는 효율적인 원시성 검사로, 같은 크기의 대부분의 다른 수보다 메르센 수의 원시성을 검사하는 것이 훨씬 쉽습니다.알려진 가장 큰 전성기에 대한 탐색은 다소 컬트적인 ^{[citation needed]}추종자를 가지고 있습니다.결과적으로, 새로운 메르센 소수를 찾는 데 많은 컴퓨터 전력이 소비되었으며, 현재 대부분의 작업은 분산 컴퓨팅을 사용합니다.

산술 모듈로 메르센 수는 이진 컴퓨터에서 특히 효율적이며 파크-밀러 난수 생성기와 같이 소수의 모듈러스가 필요할 때 일반적으로 선택할 수 있습니다.메르센 수차의 원시 다항식을 찾기 위해서는 그 수의 인수분해를 알아야 하기 때문에 메르센 수차는 매우 높은 차수의 원시 다항식을 찾을 수 있습니다.이러한 원시 트리노미얼은 메르센 트위스터, 일반화된 시프트 레지스터 및 래깅 피보나치 생성기와 같이 주기가 매우 큰 의사 난수 생성기에 사용됩니다.

퍼펙트 넘버

메르센 소수_p M은 완벽한 수와 밀접하게 연결되어 있습니다.기원전 4세기에, 유클리드는 2 - 1이 소수라면^{pp − 1}, 2^p (2 - 1)은 완벽한 숫자라는 것을 증명했습니다.18세기에 레온하르트 오일러는 역으로 모든 완벽한 수들이 이 형태를 ^[4]가지고 있다는 것을 증명했습니다.이것은 유클리드라고 알려져 있습니다.오일러 정리.이상한 완벽한 숫자가 있는지는 알 수 없습니다.

역사

2	3	5	7	11	13	17	19
23	29	31	37	41	43	47	53
59	61	67	71	73	79	83	89
97	101	103	107	109	113	127	131
137	139	149	151	157	163	167	173
179	181	191	193	197	199	211	223
227	229	233	239	241	251	257	263
269	271	277	281	283	293	307	311
메르센 소수에 해당하는 최초의 64개의 주요 지수들은 청록색과 굵은 글씨로 음영 처리되었고, 메르센이 빨간색과 굵은 글씨로 그렇게 생각했다고 합니다.

메르센 소수는 17세기 프랑스 학자 마린 메르센(Marin Mersenne)의 이름을 따왔는데, 그는 메르센 소수의 목록으로 추정되는 것을 257개의 지수로 정리했습니다.1644년 메르센이 열거한 지수는 다음과 같습니다.

2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257.

그의 목록은 그의 시대의 알려진 전성기를 최대 19까지 복제했습니다.그의 다음 출품작인 31은 맞았지만, 메르센이 M과₂₅₇ M(합성)을 실수로₆₇ 포함하고₈₉ M₁₀₇, M, M(소성)을₆₁ 생략함에 따라 목록이 크게 틀리게 되었습니다.메르센은 그가 어떻게 ^[5]목록을 작성했는지 거의 암시하지 않았습니다.

에두아르 루카스는 1876년 메르센이 주장한 것처럼 M이 정말로 최고라는 것을₁₂₇ 증명했습니다.이는 1951년 Ferrier가 탁상 ^{[6]: page 22} 계산기를 사용하여 더 큰 ${\displaystyle {}^{}2148}$+ 1${\displaystyle }$) / ${\displaystyle (2$^{148} + $1)$ / 17$\}$를 발견하기 전까지 75년 동안 알려진 가장 큰 소수였습니다.M은 1883년 이반 미셰비치 페르부신에 의해 결정되었지만 메르센은 이를 합성이라고 주장했고, 이러한 이유로 때때로 페르부신의 숫자라고 불립니다₆₁.이것은 알려진 두 번째로 큰 소수였고, 1911년까지 남아있었습니다.루카스는 1876년 메르센의 목록에 또 다른 오류를 나타냈습니다.Lucas는 요인을 찾지 못한 채 M이 실제로 합성임을₆₇ 증명했습니다.1903년 ^[7]프랭크 넬슨 콜의 유명한 강연이 있기 전까지는 어떤 요인도 발견되지 않았습니다.말없이 칠판으로 가서 2를 67위로 올린 다음 1을 빼서 147,573,952,589,676,412,927이라는 숫자가 나왔습니다.판 반대편에서 193,707,721 × 761,838,257,287을 곱해 같은 숫자를 얻은 뒤 ^[8]말없이 자리로 돌아갔습니다(박수).그는 나중에 그 결과가 "일요일 중 3년"을 ^[9]찾았다고 말했습니다.이 숫자 범위에 있는 모든 메르센 소수의 정확한 목록은 메르센이 그의 목록을 발표한 지 약 3세기 만에 완성되었고 엄격하게 검증되었습니다.

메르센 소수점 찾기

메르센 소수를 찾는 빠른 알고리즘이 있으며, 2023년 6월^[update] 현재 알려진 6개의 가장 큰 소수는 메르센 소수입니다.

처음 네 개의 메르센 소수 M = 3, M = 7, M = 31, M = 127은 고대에 알려져 있었습니다.다섯 번째 M = 8191은 1461년 이전에 익명으로 발견되었고, 다음 두 개(M과 M)는 1588년 피에트로 카탈디에 의해 발견되었습니다.거의 2세기 후에, M은₃₁ 1772년에 Leonhard Euler에 의해 prime임이 증명되었습니다.다음은 1876년 에두아르 루카스에 의해 발견된 M이고₆₁, 1883년 이반 미셰비치 페르부신에 의해 발견된 M입니다₁₂₇.1911년과 1914년에 각각 R. E. 파워스에 의해 20세기 초에 두 개(M과₈₉₁₀₇ M)가 더 발견되었습니다.

현재 메르센 수의 소수를 검증하는 가장 효율적인 방법은 루카스입니다.레머 원시성 검정.구체적으로, prime p > 2의 경우, M이 S를 나누는 경우에만 M = 2 - 1이 prime임을 알 수 있으며, 여기서 S = 4이고, S = (S) - 2 for k > 0.

수동 계산의 시대에는 257개까지의 모든 지수를 루카스로 테스트했습니다.레머 검정 결과 합성된 것으로 확인되었습니다.주목할 만한 공헌은 은퇴한 예일 물리학 교수 호레이스 스커더 울러에 의해 이루어졌는데, 그는 지수 157, 167, 193, 199, 227, 그리고 229에 ^[10]대한 계산을 했습니다.불행하게도, 그 조사관들에게, 그들이 시험하고 있던 간격은 메르센 소수점들 사이에 알려진 가장 큰 상대적인 차이를 포함하고 있습니다: 다음 메르센 소수점 지수인 521은 이전 기록인 127보다 4배 이상 큰 것으로 밝혀질 것입니다.

전자 디지털 컴퓨터의 도입으로 메르센 소수를 찾는 것은 혁명을 일으켰습니다.Alan Turing은 ^[11]1949년에 맨체스터 마크 1에서 그들을 찾았지만, 이 방법으로 Mersenne prime의₅₂₁ 첫 번째 성공적인 식별은 1952년 1월 30일 밤 10시에 캘리포니아 대학교 Los Angel의 수치 분석 연구소에서 미국 국립 표준국 서부 자동 컴퓨터(SWAC)를 사용하여 달성되었습니다.d. H. 레머의 지시로 교수가 작성하고 운영하는 컴퓨터 검색 프로그램과 함께.R. M. 로빈슨.그것은 38년만에 처음으로 확인된 메르센의 소수였고, 다음 소수는₆₀₇ 2시간이 조금 안 지난 후에 컴퓨터에 의해 발견되었습니다.이후 몇 달 동안₂₂₈₁ 동일한 프로그램에서 M, M₂₂₀₃, M 등₁₂₇₉ 세 가지가 더 발견되었습니다.M은 1,000자리 이상으로 발견된_44,497 최초의 소수, M은 1만 자리 이상으로 발견된_6,972,593 최초의 소수, M은 1백만 자리 이상으로 발견된 최초의_4,423 소수였습니다.일반적으로 M의 십진법 표현에서 자릿수는 ⌊n × log2⌋ + 1과 같으며, 여기서 ⌋x⌊는 바닥 함수(또는 ⌋logM⌊ + 1과 같음)를 나타냅니다.

2008년 9월, GIMPS(Great Internet Mersenne Prime Search)에 참여하는 UCLA의 수학자들은 거의 1,300만 자리에 달하는 메르센 프라임을 발견한 공로로 Electronic Frontier Foundation으로부터 10만 달러의 상금 중 일부를 받았습니다.2009년 10월에 최종적으로 확정된 이 상은 적어도 천만 자리의 숫자를 가진 최초의 프라임을 위한 것입니다.2008년 8월 23일에 Dell OptiPlex 745에 출시되었습니다.이것은 ^[12]UCLA에서 발견된 여덟 번째 메르센 주였습니다.

2009년 4월 12일, GIMPS 서버 로그는 47번째 메르센 프라임이 발견되었을 가능성이 있다고 보고했습니다.그 발견은 2009년 6월 4일에 처음으로 발견되었고, 일주일 후에 확인되었습니다.전성기는^42,643,801 2 - 1입니다. 연대순으로는 47번째로 발견된 메르센의 전성기이지만, 45번째로 발견된 당시 알려진 가장 큰 것보다는 작습니다.

2013년 1월 25일, 센트럴 미주리 대학교의 수학자 커티스 쿠퍼는 GIMPS 서버 ^[13]네트워크에 의해 실행된 검색 결과, 48번째 메르센 소수인^57,885,161 2 - 1(17,425,170자리의 숫자)을 발견했습니다.

2016년 1월 19일, 쿠퍼는 GIMPS 서버 ^[14][15][16]네트워크에 의해 실행된 검색 결과 49번째 메르센 프라임 2^74,207,281 - 1(22,338,618자리의 숫자)을 발견했다고 발표했습니다.이것은 쿠퍼와 그의 팀이 지난 10년간 발견한 네 번째 메르센 주입니다.

2016년 9월 2일, Great Internet Mersenne Prime Search는 M 이하의_37,156,667 모든 테스트를 완료하여 45번째 Mersenne ^[17]Prime의 지위를 공식적으로 확인했습니다.

2018년 1월 3일, 테네시주 저먼타운에 사는 51세의 전기 엔지니어 조나단 페이스가 GIMPS ^[18]서버 네트워크에 의해 실행된 검색 결과 50번째 메르센 프라임인^77,232,917 2 - 1 (23,249,425 자리 수)을 발견했다고 발표했습니다.이 발견은 같은 ^[19][20]마을에 있는 한 교회의 사무실에 있는 컴퓨터에 의해 이루어졌습니다.

2018년 12월 21일, GIMPS(The Great Internet Mersenne Prime Search)는 24,862,048자리로 알려진 가장 큰 소수를^82,589,933 발견했다고 발표했습니다.플로리다 오칼라의 패트릭 라로쉬가 자원한 컴퓨터가 2018년 ^[21]12월 7일에 이 발견을 했습니다.

2020년 말, GIMPS는 2017년 Robert Gerbicz의 개발에 기초하여 PRP(Probable prime) 테스트라고 불리는 잠재적인 메르센 소수를 배제하기 위해 새로운 기술을 사용하기 시작했고, 2018년 Krzysztof Pietrzak에 의해 개발된 테스트를 검증하는 간단한 방법을 사용했습니다.오류율이 낮고 증명이 용이하기 때문에, PRP 테스트를 통과하는 지수는 여전히 자신의 ^[22]기본성을 확인하는 지수가 필요하지만, Lucas-Lehmer 테스트에 비해 잠재적인 소수점을 배제하는 컴퓨팅 시간이 거의 절반으로 줄어들었습니다(두 사용자는 더 이상 다른 사용자의 결과를 확인하기 위해 동일한 테스트를 수행할 필요가 없기 때문에 PRP 테스트를 통과하는 지수는 여전히 자신의 소수점을 확인해야 합니다.

메르센 수에 관한 정리

1. a와 p가 a - 1이 소수인 자연수라면 a = 2 또는 p = 1입니다.
   • 증명: a ≥ 1 (moda - 1).그 다음 a ≡ 1 (moda - 1), 따라서 a - 1 ≡ 0 (moda - 1).따라서 a - 1 a^p - 1.그러나 a - 1이 소수이므로 a - 1 = a - 1 또는 a - 1 = ±1입니다.전자의 경우 a = a이므로 a = 0, 1(-1도 0도 소수가 아니므로 모순임) 또는 p = 1입니다.후자의 경우 a = 2 또는 a = 0. 그러나 a = 0이면 0 - 1 = 0 - 1 = -1로 소수가 아닙니다.따라서 a = 2.
2. 2^p - 1이 prime이면 p가 prime입니다.
   • 증명: p가 합성이므로 a와 b > 1로 p = ab를 쓸 수 있다고 가정합니다.그러면 2 - 1 = 2 - 1 = (2) - 1 = (2 - 1) (2) + (2) + (2) + ...+ 2^a + 1)이므로^p 2 - 1은 합성입니다.대조적으로 2 - 1이 소수이면^p p가 소수입니다.
3. p가 홀수 소수라면 2 - 1을 나누는^p 모든 소수 q는 1에 2p의 배수를 더한 값이어야 합니다.이는 2 - 1이 소수일 때도^p 유지됩니다.
   • 예를 들어, 2 - 1 = 31이 소수이고, 31 = 1 + 3 × (2 × 5)입니다.합성 예제는 2 - 1 = 23 × 89이고 여기서 23 = 1 + (2 × 11) 및 89 = 1 + 4 × (2 × 11)입니다.
   • 증명: 페르마의 작은 정리에 의하여 q는 2 - 1의 인수가^q−1 됩니다. q는 2 - 1의^p 인수이므로 모든 양의 정수 c에 대하여도 q는 2 - 1의^pc 인수가 됩니다. p는 소수이고 q는 2 - 1의 인수가¹ 아니므로 p도 가장 작은 양의 정수 x이므로 q는 2 - 1의 인수가^x 됩니다. 결과적으로 모든 양의 정수 x에 대하여,p가 x의 인자인 경우에만 q는 2 - 1의^x 인자입니다.따라서 q는 2 - 1의^q−1 인자이므로 p는 q - 1의 인자이므로 q ≥ 1(mod p)입니다.또한 q는 2 - 1의^p 인자이므로 홀수이므로 q는 홀수입니다.따라서 q ≥ 1 (mod 2p).
   • 이 사실은 유클리드가 작성한 증명과는 구별되는 소수의 무한성을 주장하는 유클리드 정리의 증명으로 이어집니다. 모든 홀수 소수 p에 대하여 2에서 1을 나누는^p 모든 소수는 p보다 큽니다. 따라서 어떤 특정 소수보다 항상 더 큰 소수가 있습니다.
   • 이 사실로부터 모든 p > 2에 대하여, 어떤 정수 k에 대하여, M보다 작거나 같은_p 형태의 2kp+1의 적어도 하나의 prime이 있다는 것을 알 수 있습니다.
4. p가 홀수 소수이면 2 - 1을 나누는^p 모든 소수 q는 ±1(mod 8)과 일치합니다.
   • 증명: 2 ≡ 2 (mod q)이므로 2는 2 mod q의 제곱근입니다. 2차 호혜성에 의해, 숫자 2가 제곱근을 갖는 모든 소수 계수는 ±1 (mod 8)과 일치합니다.
5. 메르센의 전성기는 비페리치의 전성기가 될 수 없습니다.
   • 증명: p = 2 - 1이 메르센 소수이면 합동 2 ≥ 1 (modp)이 성립하지 않음을 보여줍니다.페르마의 작은 정리에 의해, mp - 1.따라서 p - 1 = m³ 라고 적을 수 있습니다.주어진 합동이 만족되면 p 2 - 1이므로 0 ≥ 2 - 1/2 - 1 = 1 + 2 + 2 + 2 + ...+ 2 ≡ - λ 모드 (2 - 1).따라서 2 - 1 λ이고, 따라서 γ δ 2 - 1.이것은 p - 1 ≥ m (2 - 1)로 이어지는데, 이는 m ≥ 2이기 때문에 불가능합니다.
6. 만약 m과 n이 자연수라면 m과 n은 2 - 1과ⁿ 2 - 1이 동수인 경우에만^m 동수입니다.따라서 소수는 많아야 1개의 소수를 나눌 ^[23]수 있습니다.즉, 메르센 수들의 집합은 쌍대 공범입니다.
7. p와 2p + 1이 둘 다 소수이고(p가 소피 제르맹 소수임을 의미함), p가 3(mod 4)과 일치하면 2p + 1은 2 - ^[24]1로 나눕니다^p.
   • 예제: 11과 23은 모두 소수이고 11 = 2 × 4 + 3이므로 23은 2 - 1로 나눕니다.
   • 증명: q를 2p + 1이라고 하자. 페르마의 작은 정리에 의해, 2 ≡ 1 (mod q) 또는 2 ≡ -1 (mod q) 중 하나.후자의 참이라 가정하면 2 = (2) ≡ -2 (mod q)이므로 -2는 2차 잔차 mod q가 됩니다.그러나 p는 3(mod 4)에 대응되므로 q는 7(mod 8)에 대응되므로 2는 2차 잔차 mod q입니다.또한 q가 3(mod 4)과 일치하므로 -1은 2차 비잔차 모드 q이므로 -2는 잔차와 비잔차의 곱이므로 모순인 비잔차입니다.따라서 앞의 합동이 참이어야 하고 2p + 1이 M을 나눈다_p.
8. 소수를 나타내는 메르센 수의 모든 합성수는 2에 강한 의사 소수입니다.
9. 1을 제외하고 메르센 수는 완벽한 거듭제곱이 될 수 없습니다.즉, 식 2 - 1 = n은 미흐일레스쿠의 정리에 따라, m, n, k가 m > 1이고 k > 1인 정수가 되는 해를 갖지 않습니다.

메르센 소수의 목록

2023년 현재^[update] 알려진 51개의 메르센 소수는 다음 p에 대해 2 - 1입니다^p.

2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917, 20996011, 24036583, 25964951, 30402457, 32582657, 37156667, 42643801, 43112609, 57885161, 74207281, 77232917,82589933. (OEIS의 시퀀스 A000043)

합성 메르센 수 인수분해

메르센 소수는 소수이기 때문에 1과 자신만으로 나뉠 수 있습니다.그러나 모든 메르센 수가 메르센 소수인 것은 아닙니다.메르센 번호는 특수한 숫자 필드 체 알고리즘에 매우 적합한 테스트 사례이므로, 종종 이 알고리즘으로 인수분해된 가장 큰 숫자는 메르센 번호였습니다.2019년 6월^[update] 현재^1,193 2 - 1은 여러 숫자를 한 번에 인수분해할 수 있는 특수한 숫자 필드 체의 변형으로 인수분해된 기록 ^[25]보유자입니다.자세한 내용은 정수 인수분해 기록을 참조하십시오.특수 숫자 필드 체는 두 개 이상의 큰 인수로 숫자를 인수분해할 수 있습니다.어떤 수가 하나의 매우 큰 요인만 있으면 다른 알고리즘은 작은 요인을 먼저 찾은 다음 보조 요인에 대해 소수점 검정을 실행하여 큰 수를 인수분해할 수 있습니다.2022년 9월 기준으로, 완전 인수의 가장 큰 수는 2 - 1 = 1,119,429,257 × 175,573,124,547,437,977 × 8,480,999,878,421,106,991 × q이며, 여기서 q는 3,829,294 자리의 가능한 소수입니다.펑키 와들(Funky Waddle)^[26][27]이라는 별명을 가진 GIMPS 참가자에 의해 발견되었습니다.메르센²¹⁶ 수 M은 2022년₁₂₇₇ 9월^[update] 기준으로⁶⁸⁶⁵ 알려진 인자가 없는 가장 작은 합성 메르센 수이다.^[28][29]

아래 표는 처음 20개의 합성 메르센 수(OEIS의 수열 A244453)에 대한 인수분해를 보여줍니다.

p	Mp	Mp 인수분해
11	2047	23 × 89
23	8388607	47 × 178,481
29	536870911	233 × 1,103 × 2,089
37	137438953471	223 × 616,318,177
41	2199023255551	13,367 × 164,511,353
43	8796093022207	431 × 9,719 × 2,099,863
47	140737488355327	2,351 × 4,513 × 13,264,529
53	9007199254740991	6,361 × 69,431 × 20,394,401
59	576460752303423487	179,951 × 3,203,431,780,337 (13자리)
67	147573952589676412927	193,707,721 × 761,838,257,287 (12자리)
71	2361183241434822606847	228,479 × 48,544,121 × 212,885,833
73	9444732965739290427391	439 × 2,298,041 × 9,361,973,132,609 (13자리)
79	604462909807314587353087	2,687 × 202,029,703 × 1,113,491,139,767 (13자리)
83	967140655691...033397649407	167 x 57,912,614,113,275,649,087,721 (23자리)
97	158456325028...187087900671	11,447 x 13,842,607,235,828,485,645,766,393 (26자리)
101	253530120045...993406410751	7,432,339,512,719 (13자리) × 341,117,531,003,5129 (18자리)
103	101412048018...973625643007	2,550,560,799 × 3,976,656,429,941,438,590,393 (22자리)
109	649037107316...312041152511	745,988,807 x 870,035,986,098,720,987,332,873 (24자리)
113	103845937170...992658440191	3,391 × 23,279 × 65,993 × 1,868,569 × 1,066,818,132,868,560 (16자리)
131	272225893536...454145691647	263 × 10,350,794,431,055,162,386,718,619,237,468,234,569 (38자리)

최초 500 메르센 수에 대한 인자 수는 다음에서 확인할 수 있습니다(OEIS의 시퀀스 A046800).

메르센 수는 자연과 다른 곳에서

수학 문제 하노이 탑에서 n-디스크 탑으로 퍼즐을 푸는 것은 실수가 ^[30]없다고 가정할 때 M 단계가 필요합니다_n.밀과 체스판 문제에서 전체 체스판에 있는 쌀알의 수는 ^[31]M입니다₆₄.

8191이라는 소행성 번호를 가진 소행성은 8191이 메르센의 소수이기 때문에 ^[32]마린 메르센의 이름을 따서 8191 메르센으로 명명되었습니다(19세기에 발견되어 명명된 3개의 주노, 7개의 아이리스, 31개의 유프로신, 127개의 요한나).

기하학에서, 원초적이고 짝수 다리의 거듭제곱이 2인 정수 직각 삼각형은 고유한 직각 삼각형을 생성하여 그 반지름이 항상 메르센 수이 되도록 합니다.예를 들어 짝수 다리가 2인^{n + 1} 경우, 짝수 다리는 원시 다리이기 때문에 홀수 다리는ⁿ 4ⁿ - 1, 빗변은 4 + 1, 반지름은 2ⁿ - ^[33]1로 제한됩니다.

메르센-페르마트 소수점

메르센-페르마트 수는 prime, r 자연수와 함께 2 - 1/2^{pr − 1} - 1로^pr 정의되며, MF(p, r)로 표기할 수 있습니다.r = 1일 때는 메르센 수이다.p = 2일 때는 페르마 수이다.메르센-페르마트 소수 중 유일하게 r > 1인 것으로 알려져 있는 것은

MF(2, 2), MF(2, 3), MF(2, 4), MF(2, 5), MF(3, 2), MF(3, 3), MF(7, 2), MF(59, ^[34]2).

실제로 MF(p, r) = Δ(2), 여기서 Δ는 사이클로토믹 다항식입니다.

일반화

가장 단순한 일반화된 메르센 소수는 f(2ⁿ) 형태의 소수이며, 여기서 f(x)는 작은 정수 ^[35]계수를 가진 낮은 차수 다항식입니다.예는 2 - 2 + 1이며 이 경우 n = 32, f(x) = x - x + 1입니다. 다른 예는 2 - 2 - 1, 이 경우 n = 64, f(x) = x - x - 1입니다.

2 - 1 형태의ⁿ 소수를 b - 1 형태의ⁿ 소수(b ≥ 2, n > 1인 경우)로 일반화하려고 하는 것도 당연합니다.그러나 (위의 정리도 참조ⁿ), b - 1은 항상 b - 1로 나뉠 수 있으므로, 후자가 단위가 아닌 한 전자는 소수가 아닙니다.이는 b를 정수가 아닌 대수적 정수로 함으로써 해결할 수 있습니다.

복소수

정수환에서 (실수에서) b - 1이 단위이면 b는 2 또는 0입니다.그러나ⁿ 2 - 1은 일반적인 메르센 소수이며, 공식ⁿ 0 - 1은 (모든 n > 0에 대해 항상 -1이기 때문에) 흥미로운 것으로 이어지지 않습니다.따라서 가우시안 정수나 아이젠슈타인 정수처럼 실수 대신 복소수에 "정수"의 고리가 있다고 볼 수 있습니다.

가우스 메르센 소수

가우시안 정수의 고리를 생각하면 b = 1 + i, b = 1 - i인 경우를 얻게 되고, (WLOG) 어떤 n개의 숫자 (1 + i) - 1이 가우시안 메르센 소수인지 물어볼 수 있습니다.

(1 + i)ⁿ - 1은 다음 n에 대한 가우스 소수입니다.

2, 3, 5, 7, 11, 19, 29, 47, 73, 79, 113, 151, 157, 163, 167, 239, 241, 283, 353, 367, 379, 457, 997, 1367, 3041, 10141, 14699, 27529, 49207, 77291, 85237, 106693, 160423, 203789, 364289, 991961, 1203793, 1667321, 3704053, 4792057, ...(OEIS 내 서열 A057429)

일반적인 메르센 소수에 대한 지수 수열과 마찬가지로, 이 수열은 오직 (이성적인) 소수만을 포함합니다.

모든 가우스 소수에 대하여, 이 숫자들의 표준(즉, 절대값의 제곱)은 유리 소수입니다.

5, 13, 41, 113, 2113, 525313, 536903681, 140737471578113, ... (OEIS의 시퀀스 A182300).

아이젠슈타인 메르센 소수

그러한 메르센 프라임이 b = 1 + π, b = 1 - π 형태의 아이젠슈타인 프라임인 경우를 마주칠 수 있습니다.이런 경우에, 그러한 숫자는 아이젠슈타인 메르센 소수라고 불립니다.

(1 + ω) - 1은 다음 n에 대한 아이젠슈타인 소수입니다.

2, 5, 7, 11, 17, 19, 79, 163, 193, 239, 317, 353, 659, 709, 1049, 1103, 1759, 2029, 5153, 7541, 9049, 10453, 23743, 255361, 534827, 2237561, ...(OEIS 내 시퀀스 A066408)

이들 아이젠슈타인 소수의 표준(즉, 절대값의 제곱)은 유리 소수입니다.

7, 271, 2269, 176419, 129159847, 1162320517, ... (OEIS의 A066413 서열)

정수를 나눕니다.

리피트 단위 소수

b - 1이 항상 b - 1로 나뉠 수 있다는 사실을ⁿ 다루는 다른 방법은 단순히 이 인자를 꺼내서 n의 어떤 값을 만드는지 묻는 것입니다.

${\displaystyle {\frac {b^{n}-1}{b-1}}$

으뜸가는(정수 b는 양수 또는 음수일 수 있습니다.)예를 들어, b = 10을 취하면 다음과 같은 n개의 값을 얻습니다.

2, 19, 23, 317, 1031, 49081, 86453, 109297, 270343, ... (OEIS의 시퀀스 A004023),
소수 11, 11111111111111111111111111111111111111111111111111111111에 대응하는...(OEIS에서 시퀀스 A004022).

이러한 소수들을 repunit primes라고 합니다.또 다른 예로, b = -12를 취하면 다음과 같은 n개의 값을 얻을 수 있습니다.

2, 5, 11, 109, 193, 1483, 11353, 21419, 21911, 24071, 106859, 139739, ...(OEIS에서의 서열 A057178),
소수 -11, 19141, 57154490053, ...에 해당합니다.

완전한 거듭제곱이 아닌 모든 정수 b에 대하여 b - 1/b - 1이 소수일 정도로ⁿ n의 값이 무한히 많다는 추측입니다.(b가 완전제곱일 때 b - 1/b - 1이 prime인 것과ⁿ 같이 n값이 많아야 1개가 있음을 알 수 있습니다.)

b - 1/b - 1이 prime인 n 이상 (b = 2로 시작하여 n이 없는 경우 0)

2, 3, 2, 3, 2, 5, 3, 0, 2, 17, 2, 5, 3, 3, 2, 19, 3, 2, 3, 3, 3, 3, 0, 7, 7, 3, 3, 3, 3, 2, 5, 2, 7, 0, 313, 2, 13, 3, 3, 349, 2, 3, 2, 3, 2, 5, 19, 2, 127, 19, 19, 19, 0, 3, 4229, 2, 11, 3, 17, 7, 2, 7, 7, 19, 5, 3, 2, ... (OEIS에서 A084740 시퀀스)

음의 기저 b의 경우 다음과 같습니다. (b = -2로 시작하여 n이 없는 경우 0)

3, 2, 2, 2, 5, 2, 3, 5, 5, 2, 3, 2, 3, 3, 3, 7, 2, 17, 2, 3, 11, 0, 11, 3, 7, 2, 109, 2, 5, 3, 3, 11, 31, 5, 5, 2, 3, 17, 5, 2, 17, 5, 2, 103, 7, 5, 21943, 2, 37, 53, 17, ... (OEIS 서열은 n = 2를 허용하지 않음)

b - 1/b - 1이 prime인 최소^prime(n) b는

2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 10, 6, 2, 61, 14, 15, 5, 24, 19, 2, 46, 3, 11, 22, 41, 2, 12, 22, 3, 2, 12, 86, 2, 7, 13, 11, 5, 29, 56, 304, 60, 5, 74, 118, 33, 156, 46, 183, 72, 606, 602, 223, 115, 37, 52, 104, 41, 6, 338, 217, ...(OEIS의 A066180 서열)

음의 기저 b의 경우, 그것들은

3, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 7, 2, 16, 61, 2, 6, 10, 6, 2, 5, 46, 2, 49, 16, 70, 2, 5, 6, 12, 92, 2, 48, 89, 30, 16, 147, 19, 19, 16, 11, 289, 2, 12, 52, 2, 66, 9, 22, 5, 489, 69, 137, 16, 36, 96, 76, 117, 26, 3, ... (OEIS의 A103795 서열)

기타 일반화된 메르센 소수

또 다른 일반화된 메르센 수는

${\displaystyle {\frac {a^{n}-b^{n}}{a-b}}$

a, ban coprime 정수, a > 1 및 -a < b < a. (a - b는ⁿ 항상 a - b로 나뉠 수 있기 때문에ⁿ 소수를 찾을 가능성이 있기 위해서는 나눗셈이 필요합니다.)^[a]어느 n이 이 숫자를 소수로 만드는지 물어볼 수 있습니다.그러한 n은 그 자체가 소수이거나 4와 같아야 하며, a + b = 1이고 a + b가 소수인 경우에만 n이 4가 될 수 있음을 알 수 있습니다.a와 b가 모든 r과 -4ab에 대해 모두 완벽한 r번째 거듭제곱이 아닌 모든 쌍(a, b)에 대해 a - bⁿ/a - b가 ^[c]소수인 n의ⁿ 값이 무한히 많다는 추측입니다.그러나 이는 (a, b)의 어떤 단일 값에 대해서도 증명되지 않았습니다.

자세한 내용은 다음을 참조하십시오.

a	b	a - bn/a - b가 소수가 되도록n n개의 수 (일부 큰 항은 가능한 소수만이며, b ≤ 5일 경우 최대 100,000까지 검사하거나 b = a - 1, 2,000까지 5 < b < a - 1)	OEIS 수열
2	1	2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917, 20996011, 24036583, 25964951, 30402457, 32582657, 37156667, 42643801, 43112609, 57885161, ..., 74207281, ...,77232917, ..., 82589933, ...	A000043
2	−1	3, 4*, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 31, 43, 61, 79, 101, 127, 167, 191, 199, 313, 347, 701, 1709, 2617, 3539, 5807, 10501, 10691, 11279, 12391, 14479, 42737, 83339, 95369, 117239, 127031, 138937, 141079, 267017, 269987, 374321, 986191, 4031399, ..., 13347311, 13372531, ...	A000978
3	2	2, 3, 5, 17, 29, 31, 53, 59, 101, 277, 647, 1061, 2381, 2833, 3613, 3853, 3929, 5297, 7417, 90217, 122219, 173191, 256199, 336353, 485977, 591827, 1059503, ...	A057468
3	1	3, 7, 13, 71, 103, 541, 1091, 1367, 1627, 4177, 9011, 9551, 36913, 43063, 49681, 57917, 483611, 877843, ...	A028491
3	−1	2*, 3, 5, 7, 13, 23, 43, 281, 359, 487, 577, 1579, 1663, 1741, 3191, 9209, 11257, 12743, 13093, 17027, 26633, 104243, 134227, 152287, 700897, 1205459, ...	A007658
3	−2	3, 4*, 7, 11, 83, 149, 223, 599, 647, 1373, 8423, 149497, 388897, ...	A057469
4	3	2, 3, 7, 17, 59, 283, 311, 383, 499, 521, 541, 599, 1193, 1993, 2671, 7547, 24019, 46301, 48121, 68597, 91283, 131497, 148663, 184463, 341233, ...	A059801
4	1	2 (기타 없음)
4	−1	2*, 3 (기타 없음)
4	−3	3, 5, 19, 37, 173, 211, 227, 619, 977, 1237, 2437, 5741, 13463, 23929, 81223, 121271, ...	A128066
5	4	3, 43, 59, 191, 223, 349, 563, 709, 743, 1663, 5471, 17707, 19609, 35449, 36697, 45259, 91493, 246497, 265007, 289937, ...	A059802
5	3	13, 19, 23, 31, 47, 127, 223, 281, 2083, 5281, 7411, 7433, 19051, 27239, 35863, 70327, ...	A121877
5	2	2, 5, 7, 13, 19, 37, 59, 67, 79, 307, 331, 599, 1301, 12263, 12589, 18443, 20149, 27983, ...	A082182
5	1	3, 7, 11, 13, 47, 127, 149, 181, 619, 929, 3407, 10949, 13241, 13873, 16519, 201359, 396413, 1888279, ...	A004061
5	−1	5, 67, 101, 103, 229, 347, 4013, 23297, 30133, 177337, 193939, 266863, 277183, 335429, ...	A057171
5	−2	2*, 3, 17, 19, 47, 101, 1709, 2539, 5591, 6037, 8011, 19373, 26489, 27427, ...	A082387
5	−3	2*, 3, 5, 7, 17, 19, 109, 509, 661, 709, 1231, 12889, 13043, 26723, 43963, 44789, ...	A122853
5	−4	4*, 5, 7, 19, 29, 61, 137, 883, 1381, 1823, 5227, 25561, 29537, 300893, ...	A128335
6	5	2, 5, 11, 13, 23, 61, 83, 421, 1039, 1511, 31237, 60413, 113177, 135647, 258413, ...	A062572
6	1	2, 3, 7, 29, 71, 127, 271, 509, 1049, 6389, 6883, 10613, 19889, 79987, 608099, ...	A004062
6	−1	2*, 3, 11, 31, 43, 47, 59, 107, 811, 2819, 4817, 9601, 33581, 38447, 41341, 131891, 196337, ...	A057172
6	−5	3, 4*, 5, 17, 397, 409, 643, 1783, 2617, 4583, 8783, ...	A128336
7	6	2, 3, 7, 29, 41, 67, 1327, 1399, 2027, 69371, 86689, 355039, ...	A062573
7	5	3, 5, 7, 113, 397, 577, 7573, 14561, 58543, ...	A128344
7	4	2, 5, 11, 61, 619, 2879, 2957, 24371, 69247, ...	A213073
7	3	3, 7, 19, 109, 131, 607, 863, 2917, 5923, 12421, ...	A128024
7	2	3, 7, 19, 79, 431, 1373, 1801, 2897, 46997, ...	A215487
7	1	5, 13, 131, 149, 1699, 14221, 35201, 126037, 371669, 1264699, ...	A004063
7	−1	3, 17, 23, 29, 47, 61, 1619, 18251, 106187, 201653, ...	A057173
7	−2	2*, 5, 23, 73, 101, 401, 419, 457, 811, 1163, 1511, 8011, ...	A125955
7	−3	3, 13, 31, 313, 3709, 7933, 14797, 30689, 38333, ...	A128067
7	−4	2*, 3, 5, 19, 41, 47, 8231, 33931, 43781, 50833, 53719, 67211, ...	A218373
7	−5	2*, 11, 31, 173, 271, 547, 1823, 2111, 5519, 7793, 22963, 41077, 49739, ...	A128337
7	−6	3, 53, 83, 487, 743, ...	A187805
8	7	7, 11, 17, 29, 31, 79, 113, 131, 139, 4357, 44029, 76213, 83663, 173687, 336419, 615997, ...	A062574
8	5	2, 19, 1021, 5077, 34031, 46099, 65707, ...	A128345
8	3	2, 3, 7, 19, 31, 67, 89, 9227, 43891, ...	A128025
8	1	3 (기타 없음)
8	−1	2* (기타 없음)
8	−3	2*, 5, 163, 191, 229, 271, 733, 21059, 25237, ...	A128068
8	−5	2*, 7, 19, 167, 173, 223, 281, 21647, ...	A128338
8	−7	4*, 7, 13, 31, 43, 269, 353, 383, 619, 829, 877, 4957, 5711, 8317, 21739, 24029, 38299, ...	A181141
9	8	2, 7, 29, 31, 67, 149, 401, 2531, 19913, 30773, 53857, 170099, ...	A059803
9	7	3, 5, 7, 4703, 30113, ...	A273010
9	5	3, 11, 17, 173, 839, 971, 40867, 45821, ...	A128346
9	4	2 (기타 없음)
9	2	2, 3, 5, 13, 29, 37, 1021, 1399, 2137, 4493, 5521, ...	A173718
9	1	(주로)
9	−1	3, 59, 223, 547, 773, 1009, 1823, 3803, 49223, 193247, 703393, ...	A057175
9	−2	2*, 3, 7, 127, 283, 883, 1523, 4001, ...	A125956
9	−4	2*, 3, 5, 7, 11, 17, 19, 41, 53, 109, 167, 2207, 3623, 5059, 5471, 7949, 21211, 32993, 60251, ...	A211409
9	−5	3, 5, 13, 17, 43, 127, 229, 277, 6043, 11131, 11821, ...	A128339
9	−7	2*, 3, 107, 197, 2843, 3571, 4451, ..., 31517, ...	A301369
9	−8	3, 7, 13, 19, 307, 619, 2089, 7297, 75571, 76103, 98897, ...	A187819
10	9	2, 3, 7, 11, 19, 29, 401, 709, 2531, 15787, 66949, 282493, ...	A062576
10	7	2, 31, 103, 617, 10253, 10691, ...	A273403
10	3	2, 3, 5, 37, 599, 38393, 51431, ...	A128026
10	1	2, 19, 23, 317, 1031, 49081, 86453, 109297, 270343, ...	A004023
10	−1	5, 7, 19, 31, 53, 67, 293, 641, 2137, 3011, 268207, ...	A001562
10	−3	2*, 3, 19, 31, 101, 139, 167, 1097, 43151, 60703, 90499, ...	A128069
10	−7	2*, 3, 5, 11, 19, 1259, 1399, 2539, 2843, 5857, 10589, ...
10	−9	4*, 7, 67, 73, 1091, 1483, 10937, ...	A217095
11	10	3, 5, 19, 311, 317, 1129, 4253, 7699, 18199, 35153, 206081, ...	A062577
11	9	5, 31, 271, 929, 2789, 4153, ...	A273601
11	8	2, 7, 11, 17, 37, 521, 877, 2423, ...	A273600
11	7	5, 19, 67, 107, 593, 757, 1801, 2243, 2383, 6043, 10181, 11383, 15629, ...	A273599
11	6	2, 3, 11, 163, 191, 269, 1381, 1493, ...	A273598
11	5	5, 41, 149, 229, 263, 739, 3457, 20269, 98221, ...	A128347
11	4	3, 5, 11, 17, 71, 89, 827, 22307, 45893, 63521, ...	A216181
11	3	3, 5, 19, 31, 367, 389, 431, 2179, 10667, 13103, 90397, ...	A128027
11	2	2, 5, 11, 13, 331, 599, 18839, 23747, 24371, 29339, 32141, 67421, ...	A210506
11	1	17, 19, 73, 139, 907, 1907, 2029, 4801, 5153, 10867, 20161, 293831, ...	A005808
11	−1	5, 7, 179, 229, 439, 557, 6113, 223999, 327001, ...	A057177
11	−2	3, 5, 17, 67, 83, 101, 1373, 6101, 12119, 61781, ...	A125957
11	−3	3, 103, 271, 523, 23087, 69833, ...	A128070
11	−4	2*, 7, 53, 67, 71, 443, 26497, ...	A224501
11	−5	7, 11, 181, 421, 2297, 2797, 4129, 4139, 7151, 29033, ...	A128340
11	−6	2*, 5, 7, 107, 383, 17359, 21929, 26393, ...
11	−7	7, 1163, 4007, 10159, ...
11	−8	2*, 3, 13, 31, 59, 131, 223, 227, 1523, ...
11	−9	2*, 3, 17, 41, 43, 59, 83, ...
11	−10	53, 421, 647, 1601, 35527, ...	A185239
12	11	2, 3, 7, 89, 101, 293, 4463, 70067, ...	A062578
12	7	2, 3, 7, 13, 47, 89, 139, 523, 1051, ...	A273814
12	5	2, 3, 31, 41, 53, 101, 421, 1259, 4721, 45259, ...	A128348
12	1	2, 3, 5, 19, 97, 109, 317, 353, 701, 9739, 14951, 37573, 46889, 769543, ...	A004064
12	−1	2*, 5, 11, 109, 193, 1483, 11353, 21419, 21911, 24071, 106859, 139739, ...	A057178
12	−5	2*, 3, 5, 13, 347, 977, 1091, 4861, 4967, 34679, ...	A128341
12	−7	2*, 3, 7, 67, 79, 167, 953, 1493, 3389, 4871, ...
12	−11	47, 401, 509, 8609, ...	A213216

참고: b < 0이고 n이 짝수이면 숫자 n은 해당 OEIS 시퀀스에 포함되지 ^*않습니다.

a = b + 1일 때는 (b + 1) - b로 연속되는 두 개의 완전 n차의 차이이고, a - b가 소수이면 a는 b + 1이어야 하는데, 이는 a - b로 나눌 수 있기 때문입니다.

(b + 1)ⁿ - b가ⁿ 소수인 n 이상은

2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 2, 2, 17, 3, 2, 2, 5, 5, 2, 2, 229, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 2, 3, 2, 3, 3, 2, 5, 3, 3, 3, 3, 37, 2, 5, 58543, 2, 3, 2, 3, 2, 3, 2, 3, 5, 4663, 54517, 17, 3, 2, 2, 4, 5, 5, 3, 2, 47, 61, 19, ... (OEIS 내 서열 A058013)

(b + 1)^prime(n) - b가^prime(n) 소수인 b 이상은

1, 1, 1, 1, 5, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 6, 4, 12, 2, 1, 6, 4, 12, 2, 1, 6, 17, 46, 7, 5, 1, 25, 2, 41, 1, 12, 7, 7, 327, 7, 8, 44, 26, 12, 75, 14, 51, 110, 4, 14, 49, 286, 15, 4, 39, 22, 109, 367, 22, 67, 95, 80, 149, 2, 142, 3, 11, ... (OEIS의 A222119 서열)

참고 항목

메모들

참고문헌

외부 링크

• "Mersenne number", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• GIMPS 홈페이지
• GIMPS 마일스톤 보고서 – 상태 페이지에는 검색 진행률에 대한 다양한 통계가 제공되며, 일반적으로 매주 업데이트되며, 알려진 가장 큰 메르센 소수의 순서를 증명하기 위한 진행률도 포함됩니다.
• GIMPS, 알려진 메르센 수 인자
• M = (8x) - (3qy) 합성된 소수를 갖는 메르센 수의 속성 (PDF)
• M = x + d·y 수학논문 (PS)
• Grime, James. "31 and Mersenne Primes". Numberphile. Brady Haran. Archived from the original on 2013-05-31. Retrieved 2013-04-06.
• 원본 출판물과 하이퍼링크가 있는 메르센의 주요 참고 문헌
• 메르센 소수점에 대한 보고서 – 상세 탐지(독일어)
• GIMPS 위키
• Will Edgington의 Mersenne 페이지 – 작은 Mersenne 숫자에 대한 요인 포함
• 메르센 수에 대한 알려진 인자
• 메르센 소수점의 십진 숫자와 영어 이름
• 주요 문의처 : 2305843009213693951
• http://www.leyland.vispa.com/numth/factorization/cunningham/2-.txt Wayback Machine에서 2014-11-05 보관
• http://www.leyland.vispa.com/numth/factorization/cunningham/2+.txt Wayback Machine에서 2013-05-02 보관
• OEIS 수열 A250197 (2^n+1의 왼쪽 오리푸아 원시 부분이 소수가 되는 수 n) – 메르센_n 수 M의 인수분해 (n 최대 1280)
• 완전 인수 메르센 수의 인수분해
• 커닝햄 프로젝트, b ± 1, b = 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 12의 인수분해
• http://www.leyland.vispa.com/numth/factorization/cunningham/main.htm Wayback Machine에서 2016-03-04 보관
• http://www.leyland.vispa.com/numth/factorization/anbn/main.htm Wayback Machine에서 2016-02-02 보관

수학세계 링크

• Weisstein, Eric W. "Mersenne number". MathWorld.
• Weisstein, Eric W. "Mersenne prime". MathWorld.