카프레카르의 일상

수 이론에서 카프레카르의 루틴은 각각의 반복으로 주어진 숫자 베이스에서 자연수를 취하며, 그 숫자의 자릿수를 내림차순과 오름차순으로 분류하여 두 개의 새로운 숫자를 만들고, 첫 번째 숫자에서 두 번째 숫자를 빼서 다음 반복을 위한 자연수를 산출하는 반복 알고리즘이다.그것은 발명가인 인도의 수학자 D의 이름을 따서 지어졌다. R. 카프레카르

카프레카르는 베이스 10의 4자리 숫자의 경우, 초기 숫자에 적어도 두 개의 구별되는 숫자가 있으면, 7번 반복한 후에 이 과정은 항상 6174를 산출하는데, 지금은 카프레카르의 상수로 알려져 있다.^[1]

정의 및 속성

알고리즘은 다음과 같다.^[2]

지정된 숫자 $b$ $b$ 에서 $n$ $n$ $n$ 을(를) 선택하십시오 $b$ 이것이 수열의 첫 번째 번호다.
$n$ $n$ 의 $n$ 숫자를 내림차순으로 정렬하여 $\alpha$ 새 번호 $\alpha$ $\alpha$ 을(를) 생성하고, $n$ $n$ 의 숫자를 오름차순으로 $n$ 정렬하여 $\beta$ 다른 새 번호 $\beta$ $\bta$ 을(를) 생성하십시오.이러한 숫자들은 폐기(또는 대체적으로 보존)되는 선행 0을 가질 수 있다. $\alpha -\beta$ - $\alpha -\beta$ ${\displaystyle \alpha$ - $\beta }$ 을(를) 빼서 다음 $\alpha -\beta$ 수의 시퀀스를 생성하십시오.
2단계를 반복하십시오.

이 시퀀스를 카프레카어 시퀀스라고 하며, $K_{b}(n)=\alpha -\beta$ $K_{b}(n)=\alpha -\beta$ ) $K_{b}(n)=\alpha -\beta$ = $K_{b}(n)=\alpha -\beta$ - $K_{b}(n)=\alpha -\beta$ ${\displaystyle K_{b}(n)=\알파$ - $\beta }}$ 함수 카프레카어 매핑이다 $K_{b}(n)=\alpha -\beta$ .어떤 숫자들은 스스로에게 지도한다; 이것들은 카프레카르 지도화의 고정점이며,^[3] 카프레카르의 상수라고 불린다.0은 모든 베이스 $b$ $b$ 에 대한 카프레카르의 상수로서 $b$ 그래서 사소한 카프레카르의 상수라고 불린다.다른 카프레카르의 상수는 모두 카프레카르의 상수다.

예를 들어 베이스 10에서 3524로 시작하여

K_{10}(3524)=5432-2345=3087

K_{10}(3087)=8730-378=8352

K_{10}(8352)=8532-2358=6174

K_{10}(6174)=7641-1467=6174

카프레카르의 상수로서 6174를 가지고.

모든 카프레카 시퀀스는 이러한 고정된 지점 중 하나에 도달하거나 반복적인 사이클을 초래할 것이다.어느 쪽이든 상당히 적은 수의 단계로 최종 결과에 도달한다.

숫자 $\alpha$ {\ $displaystyle \alpha$ }과 $\alpha$ $\beta$ {\ $displaystyle \beta$ }은(는) 같은 자릿수 합을 가지며 $\beta$ , 따라서 $나머지$ $b-1$ - 1 ${\$ $displaystyle b-1}$ 의 $b$ Kaprekar 시퀀스에 있는 각 숫자는 $b-1$ - $1$ 의 배수라는 점에 유의하십시오 $.$ $yle b-1}$ .

선두의 0이 유지될 때, 오직 재분수만이 사소한 카프레카르의 상수로 이어진다.

카프레카르의 상수 가족

베이스 4에서는 3021, 310221, 31102221, 3...111...02...222...1 ("1" 순서의 길이와 "2" 순서의 길이가 같은 곳) 형식의 모든 숫자가 카프레카르 매핑의 고정점임을 쉽게 알 수 있다.

베이스 10에서는 6174, 631764, 63317664, 6...333...17...666...4 ("3" 시퀀스의 길이와 "6" 시퀀스의 길이가 같은 곳) 형식의 모든 숫자가 카프레카 매핑의 고정점임을 쉽게 알 수 있다.

b = 2k

모든 자연수가

m=(k)b^{2n+3}\left(\sum _{i=0}^{n-1}b^{i}\right)+(k-1)b^{2n+2}+(2k-1)b^{n+1}\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)+(k-1)b\left(\sum _{i=0}^{n-1}b^{i}\right)+(k)

모든 자연수 $n$ $n$ 에 $b=2k$ 대한 짝수 $b=2k$ = $b=2k$ $b=2k$ 에서 카프레카 매핑의 고정점이다 $n$

증명

$\alpha =(2k-1)b^{2n+2}\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)+(k)b^{n+1}\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)+(k-1)\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)$

$\beta =(k-1)b^{2n+2}\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)+(k)b^{n+1}\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)+(2k-1)\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)$

${\begin{aligned}K_{b}(m)&=\alpha -\beta \\&=((2k-1)-(k-1))b^{2n+2}\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)+(k-k)b^{n+1}\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)+((k-1)-(2k-1))\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)\\&=kb^{2n+2}\좌(\sum _{n=0}^{n^{i}\우)-k\좌(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\우)\\&=kb^{2n+3}\좌(\sum _{n=0}^{n^{n}b^{i}\우)+(k-1)b^{2n+2}+b^{2n+2}-k(\sum _{n=0}^{n}b^{i}\우)\\&=kb^{2n+3}\좌(\sum _{n}^{n}b^{i}\우)+(k-1)b^{2n+2}+(2k)b^{2n+1}-k\좌(\sum _{n=0}b^{i}\우)\\&=kb^{2n+3}\왼쪽(\sum _{n=0}^{n^{i}\right)+(k-1)b^{2n+2}+(2k-1)b^{2n+1}+{2n+1}-k\(\sum _{n=0}b^{i}오른쪽)\\&=kb^{2n+3}\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)+(k-1)b^{2n+2}+(2k-1)b^{2n+1-1}\left(\sum _{i=0}^{1}b^{i}\right)+b^{2n+1-1}-k\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)\\&=kb^{2n+3}\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)+(k-1)b^{2n+2}+(2k-1)b^{2n+1-n}\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)+b^{2n+1-n}-k\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)\\&=kb^{2n+3}\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)+(k-1)b^{2n+2}+(2k-1)b^{n+1}\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)+b^{n+1}-k\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)\\&=kb^{2n+3}\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)+(k-1)b^{2n+2}+(2k-1)b^{n+1}\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)+(2k)b^{n}-k\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)\\&=kb^{2n+3}\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)+(k-1)b^{2n+2}+(2k-1)b^{n+1}\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)+kb^{n}-k\left(\sum _{i=0}^{n-1}b^{i}\right)\\&=kb^{2n+3}\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)+(k-1)b^{2n+2}+(2k-1)b^{n+1}\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)+(k-1)b^{n+1-1}+b^{n+1-1}-k\left(\sum _{i=0}^{n-n}b^{i}\right)\\&=kb^{2n+3}\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)+(k-1)b^{2n+2}+(2k-1)b^{n+1}\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)+(k-1)b^{n+1-n}\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)+b^{n+1-n}-k\left(\sum _{i=0}^{n-n}b^{i}\right)\\&, =kb^ᆴ\left(\sum_{i=0}^{n}b^{나는}\right)+(k-1)b^ᆵ+(2k-1)b^ᆶ\left(\sum_{i=0}^{n}b^{나는}\right)+(k-1)b\left(\sum_{i=0}^{n}b^{나는}\right)+b-k\\&, =kb^ᆷ\left(\sum_{i=0}^{n}b^{나는}\right)+(k-1)b^ᆸ+(2k-1)b^ᆹ\left(\sum_{i=0}^{n}b^{나는}\right)+(k-1)b\left(\sum_{i=0}^{n}b^{나는}\right)+2k-k\\&, =kb^{2n+3}\left(\sum _{i=0}^{n}b.^{나는}\right)+(k-1)b^{2n+2}+(2k-1)b^{n+1}}\왼쪽(\sum _{i=0}^{n^{i}\right)+(k-1)b\왼쪽(\sum _{i=0}^{n^{i}\i}\riged}}}}}\k\&m\end\i}}}}}}}}}}}}정렬}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

완벽한 디지털 불변제
$(\displaystyle k}$	$(\displaystyle b)$	$m$
1	2	011, 101101, 110111001, 111011110001...
2	4	132, 213312, 221333112, 222133331112...
3	6	253, 325523, 332555223, 333255552223...
4	8	374, 437734, 443777334, 444377773334...
5	10	495, 549945, 554999445, 555499994445...
6	12	5B6, 65BB56, 665BBB556, 6665BBB5556...
7	14	6D7, 76DD67, 776DDD667, 7776DDDD667...
8	16	7F8, 87FF78, 887FFF778, 8887FFFFF778...
9	18	8H9, 98H89, 998HHH889,998HHH8889...

특정 베이스 b에 대한 카프레카 매핑의 카프레카르의 상수와 주기

모든 숫자는 10에서 35까지의 자릿수 값을 나타내기 위해 A-Z를 사용하여 $b$ b $b$ 로 표현된다.

$기준$ b $b$	자릿수 길이	비교(비제로) 카프레카르의 상수	사이클
2	2	01^{[note 1]}	$\varnothing$
	3	011^{[note 1]}	$\varnothing$
	4	0111,^{[note 1]} 1001	$\varnothing$
	5	01111,^{[note 1]} 10101	$\varnothing$
	6	011111,^{[note 1]} 101101, 110001	$\varnothing$
	7	0111111,^{[note 1]} 1011101, 1101001	$\varnothing$
	8	01111111,^{[note 1]} 10111101, 11011001, 11100001	$\varnothing$
	9	011111111,^{[note 1]} 101111101, 110111001, 111010001	$\varnothing$
3	2	$\varnothing$	$\varnothing$
	3	$\varnothing$	022 → 121 → 022^{[note 1]}
	4	$\varnothing$	1012 → 1221 → 1012
	5	20211	$\varnothing$
	6	$\varnothing$	102212 → 210111 → 122221 → 102212
	7	2202101	2022211 → 2102111 → 2022211
	8	21022111	$\varnothing$
	9	222021001	220222101 → 221021101 → 220222101 202222211 → 210222111 → 211021111 → 202222211
4	2	$\varnothing$	03 → 21 → 03^{[note 1]}
	3	132	$\varnothing$
	4	3021	1332 → 2022 → 1332
	5	$\varnothing$	20322 → 23331 → 20322
	6	213312, 310221, 330201	$\varnothing$
	7	3203211	$\varnothing$
	8	31102221, 33102201, 33302001	22033212 → 31333311 → 22133112 → 22033212
	9	221333112, 321032211, 332032101	$\varnothing$
5	2	13	$\varnothing$
	3	$\varnothing$	143 → 242 → 143
	4	3032	$\varnothing$
6	2	$\varnothing$	05 → 41 → 23 → 05^{[note 1]}
	3	253	$\varnothing$
	4	$\varnothing$	1554 → 4042 → 4132 → 3043 → 3552 → 3133 → 1554
	5	41532	31533 → 35552 → 31533
	6	325523, 420432, 530421	205544 → 525521 → 432222 → 205544
	7	$\varnothing$	4405412 → 5315321 → 4405412
	8	43155322, 55304201	31104443 → 43255222 → 33204323 → 41055442 → 54155311 → 44404112 → 43313222 → 31104443 42104432 → 43204322 → 42104432 53104421 → 53304221 → 53104421
7	2	$\varnothing$	$\varnothing$
	3	$\varnothing$	264 → 363 → 264
	4	$\varnothing$	3054 → 5052 → 5232 → 3054
8	2	25	07 → 61 → 43 → 07^{[note 1]}
	3	374	$\varnothing$
	4	$\varnothing$	1776 → 6062 → 6332 → 3774 → 4244 → 1776 3065 → 6152 → 5243 → 3065
	5	$\varnothing$	42744 → 47773 → 42744 51753 → 61752 → 63732 → 52743 → 51753
	6	437734, 640632	310665 → 651522 → 532443 → 310665
9	2	$\varnothing$	17 → 53 → 17
	3	$\varnothing$	385 → 484 → 385
	4	$\varnothing$	3076 → 7252 → 5254 → 3076 5074 → 7072 → 7432 → 5074
10^[4]	2	$\varnothing$	09 → 81 → 63 → 27 → 45 → 09^{[note 1]}
	3	495	$\varnothing$
	4	6174	$\varnothing$
	5	$\varnothing$	53955 → 59994 → 53955 61974 → 82962 → 75933 → 63954 → 61974 62964 → 71973 → 83952 → 74943 → 62964
	6	549945, 631764	420876 → 851742 → 750843 → 840852 → 860832 → 862632 → 642654 → 420876
	7	$\varnothing$	7509843 → 9529641 → 8719722 → 8649432 → 7519743 → 8429652 → 7619733 → 8439552 → 7509843
	8	63317664, 97508421	43208766 → 85317642 → 75308643 → 84308652 → 86308632 → 86326632 → 64326654 → 43208766 64308654 → 83208762 → 86526432 → 64308654
11	2	37	$\varnothing$
	3	$\varnothing$	4A6 → 5A5 → 4A6
	4	$\varnothing$	3098 → 9452 → 7094 → 9272 → 7454 → 3098 5096 → 9092 → 9632 → 7274 → 5276 → 5096
12	2	$\varnothing$	0B → A1 → 83 → 47 → 29 → 65 → 0B^{[note 1]}
	3	5B6	$\varnothing$
	4	$\varnothing$	3BB8 → 8284 → 6376 → 3BB8 4198 → 8374 → 5287 → 6196 → 7BB4 → 7375 → 4198
	5	83B74년	64B66 → 6BBB5 → 64B66
	6	65BB56	420A98 → A73742 → 842874 → 642876 → 62BB86 → 951963 → 860A54 → A40A72 → A82832 → 864654 → 420A98
	7	962B853	841B974 → A53B762 → 971B943 → A64B652 → 960BA53 → B73B741 → A82B832 → 984B633 → 863B754 → 841B974
	8	873BB744, A850A632	4210AA98 → A9737422 → 87428744 → 64328876 → 652BB866 → 961BB953 → A8428732 → 86528654 → 6410AA76 → A92BB822 → 9980A323 → A7646542 → 8320A984 → A7537642 → 8430A874 → A5428762 → 8630A854 → A540X762 → A830A832 → A8546632 → 8520A964 → A740A742 → A8328832 → 86546654
13	2	$\varnothing$	1B → 93 → 57 → 1B
13	3	$\varnothing$	5C7 → 6C6 → 5C7
14	2	49	2B → 85 → 2B 0D → C1 → A3 → 67 → 0D^{[note 1]}
14	3	6D7	$\varnothing$
15	2	$\varnothing$	$\varnothing$
15	3	$\varnothing$	6E8 → 7E7 → 6E8
16^[5]	2	$\varnothing$	2D → A5 → 4B → 69 → 2D 0F → E1 → C3 → 87 → 0F^{[note 1]}
	3	7층 8층	$\varnothing$
	4	$\varnothing$	3FFC → C2C4 → A776 → 3FFC A596 → 52CB → A596 E0E2 → EB32 → C774 → 7FF8 → 8688 → 1FFE → E0E2 E952 → C3B4 → 9687 → 30ED → E952
	5	$\varnothing$	86F88 → 8FFF7 → 86F88 A3FB6 → C4FA4 → B7F75 → A3FB6 A4FA6 → B3FB5 → C5F94 → B6F85 → A4FA6
	6	87년 6월	310EED → ED9522 → CB3B44 → 976887 → 310EED 532CCB → A95966 → 532CCB 840EB8 → E6FF82 → D95963 → A42CB6 → A73B86 → 840EB8 A80E76 → E40EB2 → EC6832 → C91D64 → C82C74 → A80E76 C60E94 → E82C72 → CA0E54 → E84A72 → C60E94
	7	C83FB74	B62FC95 → D74FA83 → C92FC64 → D85F973 → C81FD74 → E94FA62 → DA3FB53 → CA5F954 → B74FA85 → B62FC95 B71FD85 → E83FB72 → DB3FB43 → CA6F854 → B73FB85 → C63FB94 → C84FA74 → B82FC75 → D73FB83 → CA3FB54 → C85F974 → B71FD85
	8	$\varnothing$	3110EED → EDD95222 → CBB3B444 → 97768887 → 3110EED 5332CCB → A9959666 → 5332CCB 7530ECA9 → E951DA62 → DB52CA43 → B974A865 → 7530ECA9 A832CC76 → A940EB66 → E742CB82 → CA70E854 → E850EA72 → EC50EA32 → EC94A632 → C962C964 → A832CC76 C610EE94 → ED82C722 → CBA0E544 → E874A872 → C610EE94 C630EC94 → E982C762 → CA30EC54 → E984A762 → C630EC94 C650EA94 → E852CA72 → CA50EA54 → E854AA72 → C650EA94 CA10EE54 → ED84A722 → CB60E944 → E872C872 → CA10EE54

^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h ⁱ ^j ^k ^l ^m ⁿ ^o ^p 선행 영점 유지

베이스 10에 있는 카프레카르의 상수

길이 4자리수

1949년 D. R. 카프레카르는 만약 위의 과정을 4자리 숫자의 베이스 10 숫자에 적용한다면, 결과 시퀀스는 0으로 수렴하는 작은 초기 숫자 집합을 제외하고 거의 항상 최대 8번 반복해서 값 6174에 수렴한다는 것을 발견했다^[6].숫자 6174는 카프레카르의 상수로서 최초로 발견되는 상수로서, 카프레카르의 상수라고도 한다.^[7]^[8]^[9]

0으로 수렴되는 숫자의 집합은 선행 0이 유지되는지(평소 제형) 또는 폐기(카프레카르의 원래 제형에서와 같이)에 따라 달라진다.

일반적인 공식에서는 0으로 수렴되는 네 자리 숫자가 77개 있는데,^[10] 예를 들어 2111과 같다.그러나 카프레카르의 원래 공식에서 선행 0은 유지되며, 1111 또는 2222 지도와 같은 재분수만 0으로 유지된다.이러한 대비는 아래에 설명되어 있다.

선행 0을 폐기하다	선행 0을 유지하다
2111 − 1112 = 999 999 − 999 = 0	2111 − 1112 = 0999 9990 − 0999 = 8991 9981 − 1899 = 8082 8820 − 0288 = 8532 8532 − 2358 = 6174

아래는 플로우차트 입니다.선행 0은 유지되지만 선행 0은 폐기될 때 유일한 차이는 8991에 0999를 연결하는 대신 999를 0에 연결한다는 것이다.

6174년에 끝나는 카프레카 변환 순서

길이 3자리수

카프레카 루틴을 베이스 10의 3자리 숫자에 적용하면 결과 시퀀스는 0으로 수렴하는 작은 초기 숫자 집합을 제외하고 거의 항상 최대 6번 반복해서 값 495에 수렴한다.^[7]

0으로 수렴되는 숫자의 집합은 선행 0을 폐기(보통 제형)할지 또는 유지(카프레카르의 원래 제형에서와 같이)하는지에 따라 달라진다.통상적인 공식에서는 0으로 수렴되는 세 자리 숫자가 60개 있는데,^[11] 예를 들면 211개다.그러나 카프레카르의 원래 공식에서는 선행 0이 유지되며, 111 또는 222 map과 같은 재분수만 0으로 유지된다.

아래는 플로우차트 입니다.선행 0은 유지되지만 선행 0은 폐기될 때 유일한 차이점은 891에 099를 연결하는 대신 99를 0에 연결한다는 것이다.

495년에 끝나는 세 자리 카프레카 변환 순서

기타 자릿수 길이

(베이스 10에서) 3 또는 4가 아닌 자릿수 길이의 경우 루틴은 여러 고정점 중 하나에서 종료되거나 시퀀스의 시작 값에 따라 대신 여러 사이클 중 하나를 입력할 수 있다.^[7]기준 10 고정점 및 주기는 위 절의 표를 참조하십시오.

주기의 수는 더 큰 숫자 길이로 빠르게 증가하며, 이 주기의 작은 한 줌을 제외한 모든 주기는 길이가 3이다.예를 들어, 베이스 10의 20자리 숫자의 경우, 1보다 큰 14개의 상수(길이 1의 주기)와 96개의 길이 사이클이 있는데, 이 중 2개를 제외하고 모두 길이 3이다.홀수 자리 길이는 짝수 자리 길이보다 더 적은 수의 다른 최종 결과를 낳는다.^[12]^[13]

프로그래밍 예제

아래 예는 파이톤에서 카프레카르의 상수와 주기를 검색하기 위해 위의 정의에 기술된 카프레카 매핑을 구현한다.

선행 0이 폐기됨

반항하다 get_beats(x, b):     숫자 = []     하는 동안에 x > 0:         숫자.덧셈을(x % b)         x = x // b     돌아오다 숫자      반항하다 form_number(숫자, b):     결과 = 0     을 위해 i 에 범위(0, 렌(숫자)):         결과 = 결과 * b + 숫자[i]     돌아오다 결과  반항하다 카프레카르_맵(x, b):     하행의 = form_number(분류된(get_beats(x, b), 역행의=진실의), b)     오름의 = form_number(분류된(get_beats(x, b)), b)     돌아오다 하행의 - 오름의      반항하다 카프레카_사이클(x, b):     x = 인트로 (발을 동동 구르다(x), b)     보이는 = []     하는 동안에 x 아닌 에 보이는:         보이는.덧셈을(x)         x = 카프레카르_맵(x, b)     사이클을 타다 = []     하는 동안에 x 아닌 에 사이클을 타다:         사이클을 타다.덧셈을(x)         x = 카프레카르_맵(x, b)     돌아오다 사이클을 타다

선행 영점 유지

반항하다 digit_count(x, b):     수를 세다 = 0     하는 동안에 x > 0:         수를 세다 = 수를 세다 + 1         x = x // b     돌아오다 수를 세다      반항하다 get_beats(x, b, init_k):     k = digit_count(x, b)     숫자 = []     하는 동안에 x > 0:         숫자.덧셈을(x % b)         x = x // b     을 위해 i 에 범위(k, init_k):         숫자.덧셈을(0)     돌아오다 숫자      반항하다 form_number(숫자, b):     결과 = 0     을 위해 i 에 범위(0, 렌(숫자)):         결과 = 결과 * b + 숫자[i]     돌아오다 결과      반항하다 카프레카르_맵(x, b, init_k):     하행의 = form_number(분류된(get_beats(x, b, init_k), 역행의=진실의), b)     오름의 = form_number(분류된(get_beats(x, b, init_k)), b)     돌아오다 하행의 - 오름의      반항하다 카프레카_사이클(x, b):     x = 인트로 (발을 동동 구르다(x), b)     init_k = digit_count(x, b)     보이는 = []     하는 동안에 x 아닌 에 보이는:         보이는.덧셈을(x)         x = 카프레카르_맵(x, b, init_k)     사이클을 타다 = []     하는 동안에 x 아닌 에 사이클을 타다:         사이클을 타다.덧셈을(x)         x = 카프레카르_맵(x, b, init_k)     돌아오다 사이클을 타다

참고 항목

인용구

^ 하노버 2017, 페이지 1 개요.
^ 하노버 2017, 페이지 3 방법론.
^ (OEIS에서 시퀀스 A099009)
^ "Sample Kaprekar Series".
^ "Sample Kaprekar Series for hexadecimal numbers".
^ Kaprekar DR (1955). "An Interesting Property of the Number 6174". Scripta Mathematica. 15: 244–245.
^ ^a ^b ^c Weisstein, Eric W. "Kaprekar Routine". MathWorld.
^ 니시야마 유타카, 미스터리 넘버 6174
^ Kaprekar DR (1980). "On Kaprekar Numbers". Journal of Recreational Mathematics. 13 (2): 81–82.
^ (OEIS에서 시퀀스 A069746)
^ (OEIS에서 시퀀스 A090429)
^ "Sample Kaprekar Series".
^ "Playing with Numbers".

참조

Hanover, Daniel (2017). "The Base Dependent Behavior of Kaprekar's Routine: A Theoretical and Computational Study Revealing New Regularities". International Journal of Pure and Applied Mathematics. arXiv:1710.06308.

외부 링크

Bowley, Rover. "6174 is Kaprekar's Constant". Numberphile. University of Nottingham: Brady Haran. Archived from the original on 2017-08-23. Retrieved 2013-04-01.
4자리 숫자를 카프레카르의 상수로 이동하기 위한 샘플(Perl) 코드

[retained-4] ^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h ⁱ ^j ^k ^l ^m ⁿ ^o ^p 선행 영점 유지

[FOOTNOTEHanover20171Overview-1] 하노버 2017, 페이지 1 개요.

[FOOTNOTEHanover20173Methodology-2] 하노버 2017, 페이지 3 방법론.

[A099009-3] (OEIS에서 시퀀스 A099009)

[sourceforge_dec-5] "Sample Kaprekar Series".

[sourceforge_hex-6] "Sample Kaprekar Series for hexadecimal numbers".

[Kaprekar1955-7] Kaprekar DR (1955). "An Interesting Property of the Number 6174". Scripta Mathematica. 15: 244–245.

[mathworld-8] Weisstein, Eric W. "Kaprekar Routine". MathWorld.

[9] 니시야마 유타카, 미스터리 넘버 6174

[Kaprekar1980-10] Kaprekar DR (1980). "On Kaprekar Numbers". Journal of Recreational Mathematics. 13 (2): 81–82.

[11] (OEIS에서 시퀀스 A069746)

[12] (OEIS에서 시퀀스 A090429)

[13] "Sample Kaprekar Series".

[14] "Playing with Numbers".

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