힘있는 수

강력한 숫자는 m을 나누는 모든 소수 p에 대해 p도² m을 나누는 양의 정수 m이다.동등하게, 강력한 숫자는 제곱과 입방체의 산물, 즉 m = ab²³ 형식의 숫자 m이며 여기서 a와 b는 양의 정수다.강력한 숫자는 정사각형, 정사각형 또는 정사각형으로도 알려져 있다.폴 에르드스와 조지 스체크레스는 그러한 숫자들을 연구했고 솔로몬 W. 골롬은 그러한 숫자들을 강력한 숫자로 명명했다.

다음은 1과 1000 사이의 모든 강력한 숫자의 목록이다.

1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 72, 81, 100, 108, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 200, 216, 225, 243, 256, 288, 289, 324, 343, 361, 392, 400, 432, 441, 484, 500, 512, 529, 576, 625, 648, 675, 676, 729, 784, 800, 841, 864, 900, 961, 968, 972, 1000, ... (sequence A001694 in the OEIS).

두 정의의 등가성

m = ab이면²³ a의 primary factorization의 prime은 최소 2의 지수를 갖는 m의 prime factorization에, b의 prime factorization의 prime은 최소 3의 지수를 갖는 m의 prime factorization에 나타나므로 m은 강력하다.

다른 방향에서는 m이 primary factorization과 함께 강력하다고 가정한다.

${\displaystyle m=\prod p_{i}^{\reason_{i},}$

여기서 각 α_i α ≥ 2. α가_ii 홀수일 경우 3으로 정의하고, 그렇지 않을 경우 0으로 정의하며_i, β_i = α - γ을_i 정의한다.그러면 모든 값 β는_i 음이 아닌 정수가 되며, 모든 값 β는_i 0 또는 3이므로

${\displaystyle m=\left(\prod p_{i}^{\beta _{i}}\right)\left(\prod p_{i}^{\gamma _{i}}\right)=\left(\prod p_{i}^{\beta _{i}/2}\right)^{2}\left(\prod p_{i}^{\gamma _{i}/3}\right)^{3}}$

정사각형과 정육면체의 산물로서 원하는 m의 표현을 제공한다.

비공식적으로 m의 primary factorization을 고려할 때, b를 홀수 지수를 갖는 m의 prime factors의 산물로 삼는다(만약 없다면, b를 1로 삼는다).m은 강력하기 때문에 홀수 지수를 가진 각 주요 인자는 최소 3의 지수를 가지므로 m/b는³ 정수다.또한 m/b의³ 각 주요 인수는 균일한 지수를 가지므로 m/b는³ 완벽한 사각형이므로 이것을 a라고² 부르고 m = ab이라고²³ 부른다.예를 들면 다음과 같다.

${\displaystyle m=21600=2^{5}\cHB 3^{3}\cHB 5^{2}\...}$

$b=2\displaystyle b=3=6\}$

${\displaystyle a={\sqrt {\frac {m}{b^{3}}}}={\sqrt {2^{2}\i1}}}=10\}}$

${\displaystyle m=a^{2}b^{3}=10^{2}\cHB 6^{3}\,}$

이러한 방식으로 계산된 표현 m = ab은²³ b가 사각형이 없는 특성을 가지며, 이 특성에 의해 고유하게 정의된다.

수학적 특성

강력한 숫자의 왕복의 합이 수렴된다.이 합계의 가치는 무한 상품으로 포함한 몇 가지 다른 방법으로 쓰여질 수 있다.

${\displaystyle \pod _{p}\frac {1}{p-1}}\오른쪽)={\frac {\zeta (2)\zeta (3)}{\frac {315}}}}{\frac {315}{2\pi ^4}}\zeta(3)=1.9435964368...,},},}$

여기서 p는 모든 프리타임에 걸쳐 실행되며, ζ(s)는 리만 제타 함수를 나타내며, ζ(3)는 아페리의 상수다.^[1] (OEIS에서 후속 A082695) 보다 일반적으로 강력한 숫자의 whet 파워의 왕복 합(Diriclet 시리즈 생성 함수)은 다음과 같다.

${\displaystyle {\frac {\zeta(2s)\zeta(3s)}{\zeta(6s)}}}$

수렴할 때마다

k(x)는 [1,x] 구간에 있는 강력한 숫자의 수를 나타내도록 한다.그러면 k(x)는 x의 제곱근에 비례한다. 더 정확히 말하면

${\displaystyle cx^{1/2}-3x^{1/3}\leq k(x)\leq cx^{1/2},c=\zeta(3)=2.155\ldots }$

(골롬, 1970).

연속적으로 가장 작은 두 개의 강력한 숫자는 8과 9이다.Pell의 방정식² x² - 8y = 1은 무한히 많은 적분 용액을 가지고 있기 때문에 연속적인 강력한 숫자의 쌍이 무한히 많다(Golomb, 1970). 보다 일반적으로 어떤 완벽한 큐브 n에 대해서도 유사한 Pell 방정식² x - ny² = ±1을 풀면 연속적인 강력한 숫자를 찾을 수 있다.그러나 이런 식으로 형성된 쌍의 두 개의 강력한 숫자 중 하나는 정사각형이어야 한다.가이에 따르면 에르드제스는 (23³, 2313³²²)와 같이 연속적인 강력한 숫자의 쌍이 무한히 많은지 물어봤으며, 이 쌍들 중 어느 숫자도 정사각형이 아니다.워커(1976년)는 3c³² + 1 = 7d에³² 해결책이 무한히 많다는 것을 보여줌으로써 실제로 그러한 쌍이 무한히 많다는 것을 보여주었다.이 방정식에 대한 Walker의 솔루션은 숫자를 고려하여 홀수 정수 k에 대해 생성된다.

${\displaystyle(2{\sqrt{7}}+3{\sqrt{3}})^{7k}=a{\sqrt{7}+b{\sqrt{3},}$

정수의 경우 7로 나누고 3으로 나누며, a와 b로 구성하여 7a² = 1 + 3b로² 연속적인 강력한 숫자 7a와² 3b를² 구성한다.이 제품군에서 가장 작은 연속 쌍은 k = 1, a = 2637362, b = 4028637에 대해 생성된다.

${\displaystyle 7\cdot 2637362^{2}=2^{2}\cdot 7^{3}\cdot 13^{2}\cdot 43^{2}\cdot 337^{2}=48689748233308}$

그리고

${\displaystyle 3\cdot 4028637^{2}=3^{3}\cdot 139^{2}\cdot 9661^{2}=48689748233307.}$

3연속 강수가 없다는 것은 에르드스와 몰린, 월시의 추측이다.연속적인 강력한 숫자의 트리플t가 존재한다면, k가 양의 정수일 때, 그 형태(36k + 7, 36k + 8, 36k + 9), (36k + 27, 36k + 28, 36k + 29), 또는 (36k - 1, 36k, 36k + 1)를 가져야 한다.^[2]

강력한 숫자의 합계와 차이

홀수란 두 연속 제곱의 ²차이를 말한다². (k + 1) = k + 2k +² 1이므로² (k + 1) - k = 2k + 1. 마찬가지로 4의 배수도 (k + 2) ²- k² = 4k + 4의 두 숫자 제곱의 차이를 말한다.단, 짝수, 즉 2로 나누되 4로 나누지 않는 수는 제곱의 차이로 표현할 수 없다.이것은 어떤 짝수들이 강력한 숫자의 차이로 표현될 수 있는지를 결정하는 문제에 동기를 부여한다.Golomb는 다음과 같은 종류의 표현을 보였다.

2 = 3³ − 5²

10 = 13³ − 3⁷

18 = 19² − 7³ = 3⁵ − 15².

6을 그렇게 나타낼 수 없다는 추측이 나왔고, 골롬은 두 개의 강력한 숫자의 차이로 나타낼 수 없는 정수가 무한히 많다고 추측했다.그러나 나르키에비치 주지사는 6은 무한히 많은 방법으로 표현될 수 있다는 것을 보여주었다.

6 = 5⁴7³ − 463²,

그리고 McDaniel은 모든 정수에는 그러한 표현이 무한히 많다는 것을 보여주었다. (McDaniel, 1982년).

Erdős는 모든 충분히 큰 정수는 최대 세 개의 강력한 숫자의 합이라고 추측했다; 이것은 Roger Heath-Brown (1987년)에 의해 증명되었다.

일반화

더 일반적으로, 우리는 주요 요인이 최소한 k를 갖는 모든 정수를 고려할 수 있다.이러한 정수를 k-power number, k-ful number 또는 k-full number라고 한다.

(2^k+1 − 1)^k, 2^k(2^k+1 − 1)^k, (2^k+1 − 1)^k+1

산술적 수열의 k-평균 숫자.더욱이, a₁, a₂, ...가_s 공통의 차이 d를 갖는 산술적 추이에서 k-파워라면,

a₁(a_s + d)^k,

a₂(a_s + d)^k, ..., a_s(a_s + d)^k, (a_s + d)^k+1

산술 수열의 s + 1 k-m³ 수입니다.

우리는 k-power 숫자와 관련된 정체성을 가지고 있다.

a^k(a^l + … + 1) ^k+ a^{k + 1}(a^l + … + 1) ^k+ … + a^{k + l}(a^l + … + 1) ^k= a^k(a^l + … + 1) = a(a + … + 1) + a = a(^k+1a + … + 1) + a = a = a = + … +1)

이것은 무한히 많은 l+1-touple의 k-power 숫자를 제공하는데, 그 합은 k-power이기도 하다.Nitaj는 비교적 주요한 3-파워 수치에 x+y=z의 해결책이 무한히 많다는 것을 보여준다(Nitaj, 1995).Cohn은 비교적 원시적인 비큐브 3 파워풀한 숫자로 x+y=z의 무한 솔루션 패밀리를 다음과 같이 구성한다: 3중주

X = 9712247684771506493490444281, Y = 32295800804958334401937923416351, Z = 27474621855216870949042236511

32X³ + 49Y³ = 81Z³ 등식의 해법이다.X′ = X(49Y³ + 81Z³), Y′ = -Y(32X³ + 81Z³), Z′ = Z(32X³ - 49Y³)를 설정하고 공통점수를 생략하여 다른 솔루션을 구축할 수 있다.

참고 항목

• 아킬레스 수
• 매우 강력한 수

메모들

참조

• Cohn, J. H. E. (1998). "A conjecture of Erdős on 3-powerful numbers". Math. Comp. 67 (221): 439–440. doi:10.1090/S0025-5718-98-00881-3.
• Erdős, Paul & Szekeres, George (1934). "Über die Anzahl der Abelschen Gruppen gegebener Ordnung und über ein verwandtes zahlentheoretisches Problem". Acta Litt. Sci. Szeged. 7: 95–102.
• Golomb, Solomon W. (1970). "Powerful numbers". American Mathematical Monthly. 77 (8): 848–852. doi:10.2307/2317020. JSTOR 2317020.
• Guy, Richard K. (2004). Unsolved Problems in Number Theory (3rd ed.). Springer-Verlag. Section B16. ISBN 978-0-387-20860-2.
• Heath-Brown, Roger (1988). "Ternary quadratic forms and sums of three square-full numbers". Séminaire de Théorie des Nombres, Paris, 1986-7. Boston: Birkhäuser. pp. 137–163.
• Heath-Brown, Roger (1990). "Sums of three square-full numbers". Number Theory, I (Budapest, 1987). Colloq. Math. Soc. János Bolyai, no. 51. pp. 163–171.
• Ivić, Aleksandar (1985). The Riemann zeta-function. The theory of the Riemann zeta-function with applications. A Wiley-Interscience Publication. New York etc.: John Wiley & Sons. pp. 33–34, 407–413. ISBN 978-0-471-80634-9. Zbl 0556.10026.
• McDaniel, Wayne L. (1982). "Representations of every integer as the difference of powerful numbers". Fibonacci Quarterly. 20: 85–87.
• Nitaj, Abderrahmane (1995). "On a conjecture of Erdős on 3-powerful numbers". Bull. London Math. Soc. 27 (4): 317–318. CiteSeerX 10.1.1.24.563. doi:10.1112/blms/27.4.317.
• Walker, David T. (1976). "Consecutive integer pairs of powerful numbers and related Diophantine equations" (PDF). The Fibonacci Quarterly. 14 (2): 111–116. MR 0409348.

외부 링크

• 수학 백과사전의 완전한 숫자.
• Weisstein, Eric W. "Powerful number". MathWorld.
• abc의 추측.
• OEIS 시퀀스 A060355(n과 n+1이 연속된 강력한 숫자의 쌍이라는 수식 n)