리치 미적분학

수학에서 Ricci 미적분은 미터법 텐서 또는 연결이 있거나 없는 다른 다지관의 텐서 및 텐서 필드에 대한 색인 표기법과 조작 규칙을 구성한다.^[a][1][2][3] 또한 절대 미분학(텐서 미적분의 기초)이라고 불리던 것의 현대적인 명칭이기도 하며, 1887–1896년에 그레고리오 리치-쿠르바스트로가 개발한 후, 1900년에 그의 제자 툴리오 레비-시비타와 함께 쓴 논문에서 대중화되었다.^[4] Jan Arnoldus Schouten은 이 수학적 틀에 대한 현대적 표기법과 형식주의를 발전시켰고, 20세기 초 일반 상대성 이론과 미분 기하학에 적용하는 동안 이 이론에 기여했다.^[5]

텐서의 성분은 텐서 공간의 기본 요소의 계수로 사용되는 실제 수입니다. 텐서(tensor)는 그 성분의 합에 해당하는 기본 원소를 곱한 것이다. 텐서 및 텐서 필드는 구성부품으로 표현할 수 있으며 텐서 및 텐서 필드의 연산은 구성부품에 대한 운영으로 표현할 수 있다. 리치 미적분학의 초점은 텐서 분야와 그 구성 요소들의 관점에서 텐서 분야와 그들에 대한 설명은 리치 미적분학의 초점이다. 이 표기법은 그러한 텐서 필드와 연산을 효율적으로 표현할 수 있다. 많은 표기법이 어떤 텐서에도 적용될 수 있지만, 미분 구조와 관련된 조작은 텐서 필드에만 적용된다. 필요한 경우 표기법은 특히 다차원 배열인 비텐더의 구성요소로 확장된다.

텐서는 벡터 및 코브터 기본 원소의 텐서 곱의 선형 합으로 표현될 수 있다. 결과 텐서 구성요소는 기초 지수로 표시된다. 각 인덱스는 기본 벡터 공간의 치수당 하나의 가능한 값을 가진다. 지수 수는 텐서의 정도(또는 순서)와 같다.

압축성과 편의를 위해 Ricci 미적분학에는 아인슈타인 표기법이 포함되어 있는데, 이는 용어 내에서 반복되는 지수에 대한 합계와 자유 지수에 대한 보편적 정량화를 의미한다. Ricci 미적분학의 표기법에서의 표현은 일반적으로 다지관 위에 있는 함수로 구성품을 관련시키는 동시 방정식의 집합으로 해석될 수 있으며, 일반적으로 다지관 좌표의 함수로 보다 구체적으로 해석할 수 있다. 이것은 제한된 규칙의 집합만이 친숙하게 표현되는 직관적인 조작을 가능하게 한다.

인덱스에 대한 표기법

기초 관련 특성

공간 및 시간 좌표

고전 물리학의 4차원 공간 시간에서 공간과 같은 기본 요소와 시간적 요소를 구별해야 하는 경우, 이는 일반적으로 다음과 같이 지수를 통해 이루어진다.^[6]

• 소문자 라틴 문자 a, b, c, ...는 공간 구성요소에 대한 값 1, 2, 3을 취하는 3차원 유클리드 공간에 대한 제약을 나타내기 위해 사용되며, 0으로 표시된 시간 유사 요소는 별도로 표시된다.
• 소문자 그리스 문자 α, β, γ, ...은 4차원 스페이스타임에 사용되며, 일반적으로 시간 구성요소는 0, 공간 구성요소는 1, 2, 3 값을 취한다.

일부 소스는 시간에 해당하는 인덱스 값으로 0 대신 4를 사용한다. 이 문서에서는 0을 사용한다. 그렇지 않으면, 일반적인 수학적 맥락에서 어떤 기호도 일반적으로 벡터 공간의 모든 차원에 걸쳐 지수에 사용될 수 있다.

좌표 및 색인 표기법

작성자는 일반적으로 첨자가 색인인지 라벨인지 여부를 명확히 한다.

예를 들어, 3-D 유클리드 공간과 데카르트 좌표를 사용한다. 좌표 벡터 A = (A₁₂, A, A₃) = (A_x, A, A_z) = (A, A_y, A)는 첨자 1, 2, 3과 라벨 x, y, z 사이의 직접적인 일치를 보여준다. A_i 표현식에서 i는 값 1, 2, 3에 걸친 인덱스로 해석되며 x, y, z 첨자는 변수가 아닌 레이블일 뿐이다. 스페이스타임의 맥락에서 인덱스 값 0은 일반적으로 레이블 t에 해당한다.

기준 참조

지수 자체는 다음과 같이 모자(ˆ), 바(''), 틸드( () 또는 프라임(′)과 같은 분음부 기호를 사용하여 라벨을 표시할 수 있다.

${\displaystyle X_{\hat{\\phi }\\y_{\bar {\lambda }}\lambda }\Z_{\tilde{\eta }\}\nht_{\mu '}}}}}}}}$

그 지수에 대해 아마도 다른 근거를 나타낼 수 있다. 한 기준 프레임에서 다른 프레임으로 변환하는 로렌츠에서 한 프레임이 해제되고 다른 프레임이 프라이밍될 수 있는 경우를 예로 들 수 있다.

${\displaystyle v^{\mu '}}=v^{\nu }L_{\nu }{}^{\mu '}.}$

이것은 스피너에 대한 반 데어 웨르덴 표기법과 혼동해서는 안 된다. 이 표기법은 스피너에 대한 규격을 반영하기 위해 모자나 과도를 지수에 사용하는 것이다.

상한 및 하한 지수

Ricci 미적분학, 그리고 지수 표기법은 더 일반적으로 낮은 지수(구독자)와 상위 지수(구문자)를 구별한다; 수학의 다른 부분에만 익숙한 독자에게도 그렇게 보일 수 있지만, 후자는 지수가 아니다.

상·하위 지수의 구분을 떨어뜨릴 수 있는 특별한 경우(측정지표가 어디에나 있는 경우)가 있고, 그 다음 모든 지수를 하한 위치에 작성할 수 있다. 행렬의 산물에 $대해$ i ${\displaystyle j_{}}$ b ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\$}b_{jk$}}}$와 같은 선형 대수에서 좌표 공식. 때때로 이것의 예로 이해될 수 있다 – 그러나 일반적으로 표기법은 상위 지수와 하위 지수의 구분이 관찰되고 유지될 것을 요구한다.

공변량 텐서 성분

낮은 지수(구독자)는 해당 지수에 대한 성분의 공분산을 나타낸다.

${\displaystyle A_{\\alpha \beta \gamma \cdots}}}$

상쇄 텐서 구성품

상위 지수(위첨자)는 해당 지수에 대한 구성요소의 편차를 나타낸다.

${\displaystyle A^{\\alpha \beta \gamma \cdots}}}$

혼합분산 텐서 성분

텐서에는 상위 및 하위 지수가 모두 포함될 수 있다.

${\displaystyle A_{\alpha }{}^{}{}^{}_{\gamma }{}^{\delta \cdots }}}}$

지수의 순서는 분산이 다른 경우에도 유의하다. 그러나 기준 기호를 유지하면서 어떤 지수도 올리거나 내리지 않는다는 것이 이해되었을 때 공변량 지수는 공칭적 편의를 위해(예: Kronecker 델타 일반화) 왜곡 지수 아래에 놓이기도 한다.

텐서형 및 정도

텐서의 각 상위 및 하위 지수 수는 그 유형을 나타낸다. 상위 및 q 하위 지수가 p인 텐서는 유형(p, q)이거나 유형(p, q) 텐서라고 한다.

텐서 지수의 수는 분산과 관계없이 텐서(대체로 순위는 모호하지만 그 용맹성, 순서 또는 순위)의 정도라고 한다. 따라서 유형(p, q)의 텐서에는 도 p + q가 있다.

합계 협약

한 항 내에서 두 번 발생하는 동일한 기호(상위 1개와 하한 1개)는 다음과 같이 요약된 한 쌍의 지수를 나타낸다.

${\displaystyle A_{\alpha }B^{\alpha }\equiv \sum _{\alpha }A_{\alpha }B^{\alpha }\quad {\text{or}}\quad A^{\alpha }B_{\alpha }\equiv \sum _{\alpha }A^{\alpha }B_{\alpha }\,.}$

그러한 합계에 의해 내포된 수술을 텐서 수축이라고 한다.

${\displaystyle A_{\alpha }B^{\beta }\오른쪽 화살표 A_{\b^{\alpha }}\equiv \sum _{\alpha }A_{\b^{\alpha }\nalpha }\,}$

이러한 합계는 지수 쌍당 기호가 구별되는 항 내에서 두 번 이상 발생할 수 있다. 예를 들어 다음과 같다.

${\displaystyle A_{\alpha }{}^{\gamma }B^{\alpha }C_{\gamma }{}^{\beta }\equiv \sum _{\alpha }\sum _{\gamma }A_{\alpha }{}^{\gamma }B^{\alpha }C_{\gamma }{}^{\beta }\,.}$

한 용어 내에서 반복된 지수의 다른 조합은 다음과 같이 잘못된 형태로 간주된다.

${\displaystyle A_{\alpha \alpha \alpha }{}^{\gamma }\qquad }}$	($\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$의 두 발생 모두 낮음$$; $A{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\alpha }_{}}$ ${\displaystyle {}^{}{}_{}{}^{}}$ ${\displaystyle {\alpha }^{}}$ α α { ${\$이(가) 괜찮음$$)
${\displaystyle A_{\alpha \gamma }{}^{}{}^{\gamma }B^{\alpha }C_{}^{}{\beta }}}}}}}}}}}}}}}}}$	(${\displaystyle \gamma }$ occurs twice as a lower index; ${\displaystyle A_{\alpha \gamma }{}^{\gamma }B^{\alpha }}$ or ${\displaystyle A_{\alpha \delta }{}^{\gamma }B^{\alpha }C_{\gamma }{}^{\beta }}$ would be fine).

이러한 공식을 제외하는 이유는 이러한 수량을 숫자의 배열로 계산할 수 있지만, 기초 변경 시 일반적으로 텐서로서 변환되지는 않기 때문이다.

다중지수 표기법

텐서 하나에 모든 상위 지수 또는 하위 지수 목록이 있는 경우, 하나의 속기는 리스트에 대문자를 사용하는 것이다.^[7]

${\displaystyle A_{i_{1}\cdots i_{n}B^{i_{1}\cdots i_{n}j_{1}\cdots j_{m}C_{j_{1}\cdots j_{m}\cdots j_{m}}\equiv A_{{{{{{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}I}B^{IJ}C_{J}}}}$

여기서_m I = i₁₂ ⋅⋅⋅ i와_n J₁ = j₂ ⋅⋅⋅ j.

순차 합계

수직 막대 쌍은 두 지수 집합 각각에서 식이 완전히 대칭이 아닐 때 다른 지수 집합과 수축과 관련된 전체 상위 지수 집합 또는 하위 지수 집합(둘 다 아님):^[8]

${\displaystyle A_{ \alpha \beta \gamma \cdots }B^{\alpha \beta \gamma \cdots }=A_{\alpha \beta \gamma \cdots }B^{ \alpha \beta \gamma \cdots }=\sum _{\alpha <\beta <\gamma }A_{\alpha \beta \gamma \cdots }B^{\alpha \beta \gamma \cdots }}$

인덱스 값보다 제한된 합계를 의미하며, 여기서 각 인덱스는 다음 값보다 엄격히 작도록 제한된다. 두 개 이상의 그룹을 다음과 같이 요약할 수 있다.

$디스플레이 스타일 {\displaystyle}&A_ᆩᆪ^ᆫB^ᆬᆭ_ᆮC^ᆯ\\[3pt]={}&, \sum _{\alpha<>\beta<>\gamma}~\sum _{\delta<>\epsilon<>\cdots <, \lambda}~\sum _{\mu<>\nu<>\cdots <, \zeta}A_{\alpha \beta \gamma}{}^{\delt.A\epsilon \lambda}B\cdots^{\#Alpha \beta \gamma }{}_{\delta \엡실론 \cdots \lambda \nu \cdots \zeta }}{\nu \cdots \}}}}}}}}}}$

다중 인덱스 표기법을 사용할 경우, 아래 화살표가 인덱스 블록 아래에 위치한다.^[9]

${\displaystyle A_{\underset {\rstigarpoondown }{{P}}{{}^{\underset {\rstigardpoondown }{Q}B^{{}}}}P}{}_{Q{\underset {\rightharpoondown }{R}}}C^{R}=\sum _{\underset {\rightharpoondown }{P}}\sum _{\underset {\rightharpoondown }{Q}}\sum _{\underset {\rightharpoondown }{R}}A_{P}{}^{Q}B^{P}{}_{QR}C^{R}}$

어디에

${\displaystyle {\underset {\rightharpoondown }{P}}= \alpha \beta \gamma \,,\quad {\underset {\rightharpoondown }{Q}}= \delta \epsilon \cdots \lambda \,,\quad {\underset {\rightharpoondown }{R}}= \mu \nu \cdots \zeta }$

지수 상승 및 하강

비노래 미터법 텐서(non singular metric tensor)로 지수를 계약함으로써 텐서(tensor)의 유형을 변경하여 낮은 지수를 상위 지수로 변환하거나 그 반대로 변환할 수 있다.

${\displaystyle B^{\gamma }{}_{\beta \cdots }=g^{\gamma \alpha }A_{\alpha \beta \cdots }\quad {\text{and}}\quad A_{\alpha \beta \cdots }=g_{\alpha \gamma }B^{\gamma }{}_{\beta \cdots }}$

많은 경우 기준 기호는 유지되며(예: B가 여기에 나타나는 A를 사용), 모호성이 없을 경우 이 작업을 암시하기 위해 지수의 위치를 변경할 수 있다.

인덱스 위치와 불변도 사이의 상관 관계

이 표에는 기초 간의 수동적 변환 하에서 공변량 및 역변량 지수의 조작이 불변성과 어떻게 조화를 이루는지 요약되어 있으며, 각 기초의 구성 요소는 첫 번째 열에 반영되어 있다. 기준 지수는 변환 후 최종 좌표계를 가리킨다.^[10]

크론커 삼각주가 사용된다(아래 참조).

	기본 변환	구성요소 변환	인비언스
코브터, 공변량 벡터, 1-형식	${\displaystyle \omega ^{\bar {\alpha }}=L^{\bar {\alpha }{}}{\beta ^{}}}}\beota ^{\beta }}}}}}}}$	${\displaystyle a_{\bar {\alpha }}=a_{\\gamma }L^{}{}_{\bar {\alpha }}}}$	${\displaystyle a_{\bar {\alpha }}\omega ^{\bar {\alpha }}=a_{\gamma }L^{\gamma }{}_{\bar {\alpha }}L^{\bar {\alpha }}{}_{\beta }\omega ^{\beta }=a_{\gamma }\delta ^{\gamma }{}_{\beta }\omega ^{\beta }=a_{\beta }\omega ^{\beta }}$
벡터, 반대 벡터	${\displaystyle e_{\bar{\alpha }}=e_{\gamma }L^{}{}_{\bar {\alpha }}}}}$	${\displaystyle u^{\bar u^{\alpha }}=L^{\bar {\alpha }{}}{}_{\beta u^{\beta }}}}}}}}}}$	${\displaystyle e_{\bar {\alpha }}u^{\bar {\alpha }}=e_{\gamma }L^{\gamma }{}_{\bar {\alpha }}L^{\bar {\alpha }}{}_{\beta }u^{\beta }=e_{\gamma }\delta ^{\gamma }{}_{\beta }u^{\beta }=e_{\gamma }u^{\gamma }}$

색인 표기법 및 작업에 대한 일반 개요

텐서는 모든 해당 구성요소가 동일한 경우에만 동일하다. 예를 들어 텐서 A는 텐서 B가 동일한 경우에만 동일하다.

${\displaystyle A^{\alpha }{}}{}_{\beta \gamma }=B^{\alpha }{}_{\beta \gamma }}}}}}}$

모든 α, β, γ. 따라서 방정식이 이치에 맞는지 확인하는 데 유용한 표기법 면(차원 해석과 유사한 절차)이 있다.

자유 지수 및 더미 지수

수축에 관여하지 않는 지수를 자유 지수라고 한다. 수축에 사용되는 지수를 더미 지수 또는 합계 지수라고 한다.

텐서 방정식은 많은 일반(실제 값) 방정식을 나타낸다.

텐서(A^α, B_β^γ 등)의 성분은 실수에 불과하다. 지수는 텐서의 특정 성분을 선택하기 위해 다양한 정수 값을 사용하기 때문에 단일 텐서 방정식은 많은 일반적인 방정식을 나타낸다. 텐서 균등에 자유 지수가 n개 있고, 기초 벡터 공간의 치수성이 m인 경우, 등수는 mⁿ 방정식을 나타낸다. 각 지수는 특정 값 집합의 모든 값을 차지한다.

예를 들어, 다음과 같다.

${\displaystyle A^{\alpha }B_{\beta }{}^{\gamma }C_{\gamma \delta }+D^{\alpha }{}_{\beta }{}E_{\delta }=T^{\alpha }{}_{\beta }{}_{\delta }}$

4차원(즉, 각 지수는 0에서 3까지 또는 1에서 4까지)인 다음, 3개의 자유 지수(α, β, Δ)가 있기 때문에³ 4 = 64 방정식이 있다. 다음 중 세 가지는 다음과 같다.

${\displaystyle {\reasoned}A^{0}B_{1}{}^{0}C_{00}+A^{0}B_{1}{}^{1}^{1}C_{10}+A^{0}}}B_{1}{}^{2}C_{20}+A^{0}B_{1}{}^{3}}C_{30}+D^{0}{}_{1}{}}E_{0}&=T^{0}{}_{1}{1}{}_{0}\\A^{1}B_{0}{}^{0}C_{00}+A^{1}}B_{0}{}^{1}C_{10}+A^{1}}B_{0}{}^{2}C_{20}+A^{1}}B_{0}{}^{3}}C_{30}+D^{1}{}_{0}{}E_{0}&=T^{1}{}_{0}{}_{0}\\A^{1}B_{2}{}^{0}C_{02}+A^{1}B_{2}{}^{1}C_{12}+A^{1}}B_{2}{}^{2}C_{22}+A^{1}}B_{2}{}^{3}}C_{32}+D^{1}{}_{2}{}E_{2}&=T^{1}{}_{2}{}_{2}.\end{정렬}}}$

이것은 지수 표기법 사용의 콤팩트함과 효율성을 보여준다: 모든 것이 유사한 구조를 공유하는 많은 방정식은 하나의 단순한 텐서 방정식으로 수집될 수 있다.

인덱스는 교체 가능한 레이블임

인덱스 기호를 전체적으로 다른 기호로 대체하면 텐서 방정식은 변경되지 않는다(이미 사용된 다른 기호와 충돌이 없는 경우). 이는 지수 표기법을 사용하여 Kronecker 델타 및 Levi-Civita 기호의 벡터 미적분 ID 또는 ID를 검증하는 등 지수를 조작할 때 유용할 수 있다(아래 참조). 올바른 변경의 예는 다음과 같다.

${\displaystyle A^{\alpha }B_{\beta }{}^{\gamma }C_{\gamma \delta }+D^{\alpha }{}_{\beta }{}E_{\delta }\rightarrow A^{\lambda }B_{\beta }{}^{\mu }C_{\mu \delta }+D^{\lambda }{}_{\beta }{}E_{\delta }\,,}$

반면에 잘못된 변경은 다음과 같다.

${\displaystyle A^{\alpha }B_{\beta }{}^{\gamma }C_{\gamma \delta }+D^{\alpha }{}_{\beta }{}E_{\delta }\nrightarrow A^{\lambda }B_{\beta }{}^{\gamma }C_{\mu \delta }+D^{\alpha }{}_{\beta }{}E_{\delta }\,.}$

첫 번째 교체에서 λ은 α를, μ는 γ을 도처에서 대체하였으므로 그 표현은 여전히 같은 뜻을 가지고 있다. 두 번째에서 λ은 α를 완전히 대체하지 못했고, μ는 γ을 완전히 대체하지 못했다(부정적으로 γ지수의 수축은 텐서상품이 되었다). 이는 다음에 보여지는 이유로 전혀 일관성이 없다.

지수는 모든 용어에서 동일하다.

텐서 식의 자유 지수는 모든 항에 걸쳐 항상 같은 (상단 또는 하단) 위치에 나타나며 텐서 방정식의 자유 지수는 양쪽에서 동일하다. 더미 지수(해당 지수에 대한 합계를 의미함)는 다음과 같이 같을 필요는 없다.

${\displaystyle A^{\alpha }B_{\beta }{}}{}^{}}\gamma \delta }+D^{\delta }{}}{\delta }{\delta }}{}}\delta }}{}}}}}}}}{{{delta }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

잘못된 표현에 대해:

${\displaystyle A^{\alpha }{{}B_{\beta }{}^{}}{}\gamma \delta }+D_{\alpha }{}}{}^{}^{\gamma }{}{}^{}E^{\delta }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}.$

즉, 반복되지 않는 지수는 방정식의 모든 항에서 동일한 유형이어야 한다. 위의 아이덴티티에서 α, β, Δ가 전체적으로 일렬로 서고 Δ는 수축(한 번은 상위 지수, 한 번은 하위 지수)으로 인해 한 용어에 두 번 발생하므로 유효한 표현이다. 유효하지 않은 표현에서는 β가 줄을 서지만 α와 Δ는 그렇지 않고, γ은 한 용어(연속)에 두 번, 또 다른 용어에 한 번 나타나므로 일관성이 없다.

괄호 및 구두점 한 번 사용(묵시된 경우)

규칙을 여러 지수(다음과 같이 구분, 대칭 등)에 적용할 때 규칙을 나타내는 괄호나 구두점 기호는 해당 지수의 한 그룹에만 표시된다.

대괄호가 공변량 지수를 둘러싸는 경우 – 이 규칙은 대괄호 안에 둘러싸인 모든 공변량 지수에만 적용되며 대괄호 사이에 중간으로 배치되는 왜곡 지수에는 적용되지 않는다.

이와 유사하게 괄호가 등가 지수를 둘러싸는 경우 – 이 규칙은 중간 위치의 공변량 지수에 적용되지 않고 밀폐된 모든 등가 지수에만 적용된다.

대칭 및 대칭 부분

텐서 대칭 부분

여러 지수 주위의 괄호 ( )는 텐서의 대칭 부분을 나타낸다. 숫자 1 대 p의 순열 범위를 초과하기 위해 σ을 사용하여 p 지수를 대칭할 때, 해당 지수 α의_σ(i) 순열 값을 i = 1, 2, 3, …, p에 대해 합을 취한 다음 순열의 수로 나눈다.

${\displaystyle A_{{1}\alpha _{1}\alpha _{p}\cdots \alpha _{p}\cdots \alpha _{q}}={\dfrac {1}{p!}}}\sum _{\sigma _{}A_{\sigma _{\sigma(1)\cdots \alpha _{\sigma (p)}\alpha _{p+1}\cdots \{q}\,}$

예를 들어, 두 개의 대칭 지수는 퍼머와 합쳐서 두 개의 지수를 의미한다.

${\displaystyle A_{(\alpha \beta )\gamma \cdots }={\dfrac {1}{2!}}}}\{\alpha \beta \beta \gamma \cdots }+A_{\beta \alpha \cdots }}}}$

세 가지 대칭 지수의 경우 세 가지 지수를 종합하여 퍼머할 수 있다.

${\dfrac {1}{{\alpha \beta \gamma )\delta \cdots }={\dfrac {1}{3!}}\left(A_{\alpha \beta \gamma \delta \cdots }+A_{\gamma \alpha \beta \delta \cdots }+A_{\beta \gamma \alpha \delta \cdots }+A_{\alpha \gamma \beta \delta \cdots }+A_{\gamma \beta \alpha \delta \cdots }+A_{\beta \alpha \gamma \delta \cdots }\right)}$

대칭성은 덧셈에 비해 분배적이다.

${\displaystyle A_{(\alpha }}\왼쪽(B_{\beta )\gamma \cdots }+C_{\beta )\gamma \cdots }\오른쪽)=A_{{\alpha }B_{\beta )\gamma \cdots }+A_{(\alpha }C_{\beta )\gamma \cdots }}}}}}$

지수는 다음과 같은 경우 대칭에 포함되지 않는다.

• 예를 들어, 동일한 레벨이 아님.

  ${\dfractyle A_{{(\alpha }}B^{\beta }{}_{\gamma )}={\dfrac {1}{2!}}}}\{\alpha }B^{}{}}{}}{\gamma }}+A_{\gamma }B^{}{}_{\alpha }\오른쪽)}}}}$

• 괄호 안과 수직 막대 사이(예: ⋅⋅⋅ )로 이전 예를 수정한다.

  ${\dfractyle A_{(\alpha }B_{\b_{\gamma )}={\dfrac {1}{2!}}}}\{\alpha }B_{\beta \gamma }+A_{\gamma }B_{\beta \alpha }\오른쪽)}}$

여기서 α와 α 지수는 대칭이며, β는 대칭적이지 않다.

대칭 또는 텐서 교대부

대괄호, [ ], 다중 지수 주위의 대칭성이 없는 부분은 텐서의 대칭성이 없는 부분을 나타낸다. p 대칭 지수의 경우 – 해당 지수의 순열 위에 있는_σ(i) 합계에 순열 sgn(σ)의 서명을 곱한 다음 순열의 수로 나눈다.

$디스플레이 스타일 {\displaystyle}&A_{[\alpha _{1}\cdots \alpha _{p}\alpha _{p}\p+1}\cdots \alpha _{q}\\[3pt]={}&\dfrac {1}{p!}}}\sum _{\\ma }\snname {sgn}(\summa )A_{\\alpha _{\sigma _{\sigma (p)}\alpha _{p+1}\cdots \{p+1}\cdots \{q}\=}\delta \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\{\n1}Alpha \cdots}}}}}}}}}}}}}{{{{{{{1}dotslapa \veta.A_{\beta _{1}\cdots \beta \{p}\alpha _{p+1}\cdots \{q}\\ended}}}}}$

여기서 Δ는β1⋅⋅⋅βp
α1⋅⋅⋅αp 일반화된 크론커 델타(2p)로, 아래와 같이 스케일링을 한다.

예를 들어, 두 개의 비대칭 지수는 다음을 암시한다.

${\displaystyle A_{[\alpha \beta ]\gamma \cdots }={\dfrac {1}{2!}}}}\{\alpha \beta \beta \beta \cdots }-A_{\beta \alpha \cdots }}}}$

세 개의 대칭 지수가 다음을 암시한다.

${\dfrac {1}{\displaystyle A_{\\alpha \beta \gamma ]\delta \cdots }={\dfrac {1}{3!}}\left(A_{\alpha \beta \gamma \delta \cdots }+A_{\gamma \alpha \beta \delta \cdots }+A_{\beta \gamma \alpha \delta \cdots }-A_{\alpha \gamma \beta \delta \cdots }-A_{\gamma \beta \alpha \delta \cdots }-A_{\beta \alpha \gamma \delta \cdots }\right)}$

좀 더 구체적인 예로서, 만약 F가 전자기 텐서를 나타낸다면, 그 방정식은

${\displaystyle 0=F_{[\alpha \beta,\gamma ]}={\dfrac {1}{3!}}\left(F_{\alpha \beta ,\gamma }+F_{\gamma \alpha ,\beta }+F_{\beta \gamma ,\alpha }-F_{\beta \alpha ,\gamma }-F_{\alpha \gamma ,\beta }-F_{\gamma \beta ,\alpha }\right)\,}$

자력에 대한 가우스의 법칙과 패러데이의 유도 법칙을 나타낸다.

이전과 같이, 비대칭성은 덧셈보다 분배적이다.

${\displaystyle A_{\alpha }\왼쪽(B_{\beta ]\gamma \cdots }+C_{\beta ]\cdots }\오른쪽)=A_{{\alpha }B_{\beta ]\gamma \cdots }+A_{[\alpha }C_{\beta ]\cdots }}}}}}$

대칭화와 마찬가지로 지수도 다음과 같은 경우 대칭성이 없다.

• 예를 들어, 동일한 레벨이 아님.

  ${\dplaystyle A_{[\alpha }B^{\beta }{}}{}_{\gamma ]}={\dfrac {1}{2!}}}}\{\alpha }B^{}{}}{{\beta }{}{\gamma }-A_{\gamma }B^{}{}_{\alpha }\right)}}}}}}$

• 대괄호 안과 수직 막대 사이(예: ⋅⋅⋅ )로 이전 예를 수정한다.

  ${\displaystyle A_{[\alpha }B_{\beta }{}{}_{\gamma ]}={\dfrac {1}{2!}}}}\{\alpha }B_{\beta \beta \gamma }-A_{\gamma }B_{\beta \alpha }\오른쪽)}}$

여기서 α와 α 지수는 비대칭이며, β는 비대칭이다.

대칭 부분과 대칭 부분의 합

어떤 텐서라도 대칭 부분과 대칭 부분 두 개의 지수에 대한 합으로 작성할 수 있다.

${\displaystyle A_{\alpha \beta \cdots }=A_{(\alpha \beta )\gamma \cdots }+A_{\alpha \beta ]\cdots }}}}}}}}}$

A와_{(αβ)γ⋅⋅⋅} A에_{[αβ]γ⋅⋅⋅} 대해 위의 표현을 더하면 알 수 있듯이 이것은 두 지수 이외에는 유지되지 않는다.

차별화

압축성의 경우, 쉼표나 세미콜론 뒤에 지수를 추가하여 파생상품을 표시할 수 있다.^[11][12]

부분파생상품

Ricci 미적분학의 표현은 대부분 임의의 기초에 유효하지만 좌표에 관한 텐서 성분의 부분파생물을 포함하는 표현은 좌표기준, 즉 좌표에 관한 분화를 통해 정의되는 기준만을 가지고 적용된다. 좌표는 일반적으로 x로^μ 표시되지만, 일반적으로 벡터의 구성요소는 아니다. 선형 코디네이션이 있는 플랫 스페이스타임에서 좌표 차이의 튜플인 Δx는 ^μ역방향 벡터로 취급할 수 있다. 공간과 좌표계 선택에 있어 동일한 제약조건으로 좌표에 관한 부분파생상품은 효과적으로 공변량인 결과를 산출한다. 본 특수 사례에서 사용하는 것 외에 텐서 성분의 부분파생상품은 일반적으로 공변량 변환에 있지 않지만, 아래의 공변량, 외부 및 Lie 파생상품과 같이 부분파생상품을 명시적으로 사용하는 경우 좌표기준이 여전히 있지만 공변량인 표현을 작성하는 데 유용하다.

좌표 변수 x에^γ 대해 텐서 필드의 성분의 부분적인 분화를 나타내기 위해 좌표 변수의 하위 인덱스 앞에 쉼표를 배치한다.

${\displaystyle A_{\alpha \beta \cdots,\gamma }={\dfrac {\partial }{\partial x^{\gamma }}A_{\alpha \beta \cdots}}}}}}}}}}}}}}$

이 작업은 쉼표를 추가하지 않고 반복될 수 있다.

${\displaystyle A_{\alpha _{1}\alpha _{2}\cdots \alpha _{p}\,,\,\alpha _{p+1}\cdots \alpha _{q}}={\dfrac {\partial }{\partial x^{\alpha _{q}}}}\cdots {\dfrac {\partial }{\partial x^{\alpha _{p+2}}}}{\dfrac {\partial }{\partial x^{\alpha _{p+1}}}}A_{\alpha _{1}\alpha _{2}\cdots \alpha _{p}.}$

이러한 성분은 구별되는 표현이 스칼라(stalar)가 아닌 한 공변적으로 변형되지 않는다. 이 파생상품은 상품 규칙과 좌표의 파생상품이 특징이다.

${\displaystyle x^{\property }{}_{}},\properties }=\properties _{\put }^{\put }}}}$

여기서 Δ는 Kronecker delta이다.

공변량 파생상품

공변량 파생상품은 연결이 정의된 경우에만 정의된다. 텐서 필드의 경우, 하한(공변량) 지수 앞에 놓인 세미콜론( ; )은 공변량 분화를 나타낸다. 세미콜론에 대한 덜 일반적인 대안으로는 슬래시( ^[13]/ ) 또는 3차원 곡선 공간에 단일 수직 막대( ^[14])가 있다.

스칼라함수의 공변량 파생상품, 역변량 벡터 및 공변량 벡터는 다음과 같다.

${\displaystyle f_{;\pair }=f_{,\pair }}}$

${\displaystyle A^{\alpha }{}_{};\beta }=A^{}{}}}{}}}\beta }+\Alpha ^{}{}}}{\gama \beta \a^{}}}}}}}}\beta }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle A_{\alpha ;\beta }=A_{\alpha ,\beta }-\Gamma ^{}_{\alpha \beta }}A_{\gamma }}$

여기서 γ은^α_γβ 연결 계수다.

임의의 시제의 경우:^[15]

${\displaystyle {\reasoned}T^{\alpha _{1}\cdots \alpha \{r}}{{}_{\beta _{1}\cdots \beta \{1}\cdots \beta _{s};\gamma }\\\=T^{\alpha_{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta_{1}\cdots(_{s},\gamma}&+\,\Gamma ^{\alpha_{1}}{}_{\delta \gamma}T^{\delta \alpha_{2}\cdots(_{r}}}\beta _{s}{}_{\beta_{1}\cdots +\cdots +\Gamma ^{\alpha_{r}}{}_{\delta \gamma}T^{\alpha_{1}\cdots(_{r-1}\delta};-\,\Gamma ^{\delta}{}_{\be\beta _{s}}\\&{}_{\beta_{1}\cdots.분명 _{1}\gamma }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\delta \beta _{2}\cdots \beta _{s}}-\cdots -\Gamma ^{\delta }{}_{\beta _{s}\gamma }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s-1}\delta }\,.\end{정렬}}}$

텐서의 공변량 파생상품에 대한 대체 표기법은 첨자 나블라 기호 ∇_β이다. 벡터 필드 A의^α 경우:^[16]

${\displaystyle \nabla _{\beta _{\beta }A^{\alpha }=A^{\alpha }{}_{;\beta }\,}$

벡터 v를^γ 따라가는 텐서장 방향 파생물의 공변량 공식은 공변량 파생물과 그 수축으로 표현될 수 있다. 예를 들어,

${\displaystyle v^{\gamma }A_{\\#a;\gamma }\,}$

텐서장(tensor field)의 이 파생상품의 구성요소는 공변량 변환을 수행하므로 하위 표현(부분 파생상품과 연결 계수)에도 불구하고 공변량 변환을 하지 않고 또 다른 텐서장을 형성한다.

이 파생상품의 특징은 다음과 같다.

${\displaystyle (A^{\alpha }{}_{\beta \cdots }B^{\gamma }{}_{\delta \cdots })_{;\epsilon }=A^{\alpha }{}_{\beta \cdots ;\epsilon }B^{\gamma }{}_{\delta \cdots }+A^{\alpha }{}_{\beta \cdots }B^{\gamma }{}_{\delta \cdots ;\epsilon }\,.}$

연결 유형

서로 다른 다지관의 접선다발에 있는 Koszul 연결부를 애프틴 연결이라고 한다.

연결은 미터법 텐서의 공변량 파생상품이 소멸될 때 미터법 연결이다.

${\displaystyle g_{\mu \nu ;\xi }=0\,.}$

미터법 연결이기도 한 아핀 연결을 리만 연결이라고 한다. 비틀림 없는 리만 연결(즉, 비틀림 텐션이 사라지는 경우: T^α_βγ = 0)은 Levi-Civita 연결이다.

좌표 기반에서 Levi-Civita 연결을 위한 Ⅱ는^α_βγ 두 번째 종류의 Christoffel 기호라고 불린다.

외부파생상품

구성요소 A_{α1⋅⋅⋅αs}(미분형이라고도 함)를 가진 완전 대칭형(0, s) 텐서 장의 외부 파생형은 기초변환 하에서 공변량인 파생물이다. 그것은 미터법 텐서나 연결에 의존하지 않는다. 그것은 오직 다른 다지관의 구조만 필요로 한다. 좌표 기준으로 텐서 성분의 부분파생물의 반대칭으로 표현될 수 있다.^{[17]: 232–233}

${\displaystyle(\mathrm {d}A)_{\gamma \alpha _{1}\cdots \alpha _{s}}}={\frac {\partial x^{\gamma }}A_{\lpha _{1}\cdots}}}}}}}}}$

에 해당하는

${\displaystyle(\mathrm {d}A)_{\alpha _{1}\cdots \alpha _{s}\cdots \alpha _}=A_{\alpha _{1}\cdots \alpha _{s},\gma ]}.}$

이 파생상품은 반비대칭 지수를 가진 텐서 분야에서 정의되지 않거나 완전히 대칭적이지 않다. 등급이 매겨진 제품 규칙이 특징이다.

거짓말 파생상품

Lie 파생상품은 기초변형 하에서 공변량인 또 다른 파생상품이다. 외부 파생상품과 마찬가지로 미터법 텐서나 연결에 의존하지 않는다. 반대 벡터 필드 X의^ρ 흐름을 따라 유형(r, s) 텐서 필드 T의 Lie 파생형은 좌표 기준으로 표현할^[18] 수 있다.

${\displaystyle{\begin{정렬}({\mathcal{L}}_{X}T)^{\alpha_{1}\cdots(_{r}};\beta _{s}}및{}_{\beta_{1}\cdots.\\=X^{\gamma}T^{\alpha_{1}\cdots(_{r}}{}_{\beta_{1}\cdots(_{s},\gamma}&-\,X^{\alpha_{1}}{}_{,\gamma}T^{\gamma \alpha_{2}\cdots(_{r}}}\beta _{s}{}_{\beta_{1}\cdots -\cdots -X^{\alpha_{r}}{}_{,\gamma}T^{\a.lpha _{1}\cdots \alpha _{r-1}\gamma }{{}_{\beta _{1}\cdots \beta \{s}\&+\,X^{}}\gamma }{}},\beta _{1}, {1}T^{\alpha _{1}\cdots \alpha \{r}}{{}_{\gamma \beta \{2}\cdots \beta \{s}}+\cdots +X^{}}}{}_\beta _{s}}}}T^{\alpha _{1}\cdots \alpha \{r}}{{}_{\beta _{1}\cdots \beta \{s-1}\gamma }\,\end{정렬}}}$

이 파생상품은 제품 규칙으로 특징지어지며, 그 자체로 역방향 벡터장의 Lie 파생상품은 0이다.

${\displaystyle({\mathcal{L}_{X}X)^{\rho }=X^{}}X^{}{}_{},\gamma }-X^{}{}}}{}}}\gamma }{}X^{}}}\gamma }, }}}}}}}}}}}}}$

주목할 만한 텐서

크로네커 삼각주

Kronecker 델타는 증분하여 수축할 때의 ID 행렬과 같다.

${\displaystyle {\begin{aigned}\delta _{\beta }^{\no }^{\no }=A^{\alpha }\\delta _{\nu }^{\mu }&=B_\nu }.\end{정렬}}}$

성분 Δ는^α
_β 어떤 기준으로도 동일하며 유형(1, 1)의 불변 텐서(즉, 베이스 다지관의 ID 매핑 위에 접선 번들의 정체)를 형성하므로 그 추적이 불변이다.^[19] 이것의 흔적은 공간의 차원성이다. 예를 들어 4차원 공간에서는

${\displaystyle \rho \}^{\rho }=\follow _{0}+\follow _{1}^{0}+\follow _{2}^{3}^{3}=4.}$

크로네커 삼각주는 일반화된 크로네커 델타 가족 중 하나이다. 일반화된 크론커 델타(Cronecker delta) 2p는 크론커 델타(공통 정의는 오른쪽에 p!의 추가 승수를 포함한다)에 의해 정의될 수 있다.

${\displaystyle \cdots _{\p}{p}^{p}\cdots \p}{p}=\p}=\p}{p}=\p=\p}{p}}{p}\cdots \{p}}}}}$

p 지표에서 대칭 분석기 역할을 한다.

${\displaystyle \delta _{\beta _{1}\cdots \beta _{p}^{p}{p}\cdots \alpha _{p}\A^{p}\beta _{1}\cdots \{p}}}=A^{[\alpha _{1}\cdots \alpha _{p}}}.}$

비틀림 텐서

부착 연결부에는 비틀림 텐서 T^α_βγ:

${\displaystyle T^{\alpha }{}_{\beta \gamma }}=\Gamma }{}}{\beta \gamma }{\gamma }}{\gamma \beta }{}}}}}}{\beta \beta \ba \beta \gama \d}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

여기서 γ은^α_βγ 국부적 기초의 Lie Bracket의 구성요소에 의해 주어지며, 좌표적 기초일 때 사라진다.

Levi-Civita 연결의 경우 이 텐서는 0으로 정의되며 좌표 기준으로 이 텐서는 방정식을 제공한다.

${\displaystyle \Gamma ^{\alpha ^{}{}_{\beta \gama }=\Gamma ^{\alpha }{}}{\gamma \beta }}}}}$

리만 곡률 텐서

이 텐서가 다음과 같이 정의되는 경우

${\displaystyle R^{\rho }{}_{\sigma \mu \nu }=\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \sigma ,\mu }-\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \sigma ,\nu }+\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \lambda }\Gamma ^{\lambda }{}_{\nu \sigma }-\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \lambda }\Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \sigma }\,,}$

그 자체와 공변량 파생상품의 공통점이다.^[20][21]

${\displaystyle A_{\nu ;\rho \sigma }-A_{\nu ;\sigma \rho \rho }=A_{\\\beta }{}{}{}\nu \rho \sigma }$

비 비틀림이 없기 때문에 비틀림 텐션이 사라진다.

이를 일반화하여 다음과 같이 임의 텐서의 두 공변량 파생상품에 대한 정류자를 구할 수 있다.

${\displaystyle {\reasoned}T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s};\gamma \delta }&-T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s};\delta \gamma }\\&\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!=-R^{\alpha_{1}}{}_{\rho \gamma \delta}T^{\rho \alpha_{2}\cdots(_{r}}}\beta _{s}{}_{\beta_{1}\cdots, -R^{\alpha_{r}}{}_{\rho \gamma \delta}T^{\alpha_{1}\cdots(_{r-1}\rho}{}_{\beta_{1}\cdots(_{s}}\\& -\cdots.+R^{\sigma}{}_{\beta_{1}\gamma \delta}T^{\alpha_{1}\cdots(_{r}}\beta _{s}}+{}_{\sigma \beta_{2}\cdots.\cdots +R^{\sigma }{}_{}_{}\beta _{s}\damma \delta _}}}T^{1}\알파 \cdots \{r}}{\beta _{1}\cdots-1}\sigma }\,\ed}}}}}}}}}}}}}}$

흔히 리치의 정체성으로 일컬어진다.^[22]

미터법 텐서

미터법 텐서 g는_αβ 지수를 낮추는 데 사용되며 공간과 같은 곡선의 길이를 제공한다.

${\dapplaystyle {\text{length}=\int_{y_{1}^{2}}:{\sqrt{g_{\buffer \}{dx^{\d\buffer }}{\frac {dx^{dx^{}}}}}}{d\cappa}}}}}}}$

여기서 γ은 경로의 완전한 단조로운 매개변수화다. 그것은 또한 시간과 같은 곡선의 지속시간을 준다.

${\displaystyle {\text{duration}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {{\frac {-1}{c^{2}}}g_{\alpha \beta }{\frac {dx^{\alpha }}{d\gamma }}{\frac {dx^{\beta }}{d\gamma }}}}\,d\gamma \,,}$

여기서 γ은 궤적의 완전하게 단조로운 매개변수화된다. 선 요소를 참조하십시오.

미터법 텐서의 역행렬 g는^αβ 지수 상승에 사용되는 또 다른 중요한 텐서다.

${\displaystyle g^{\property \g_{\put \}=\properties }=\properties _{\put }^{\put }\,}$

참고 항목

메모들

참조

원천

• Bishop, R.L.; Goldberg, S.I. (1968), Tensor Analysis on Manifolds (First Dover 1980 ed.), The Macmillan Company, ISBN 0-486-64039-6
• Danielson, Donald A. (2003). Vectors and Tensors in Engineering and Physics (2/e ed.). Westview (Perseus). ISBN 978-0-8133-4080-7.
• Dimitrienko, Yuriy (2002). Tensor Analysis and Nonlinear Tensor Functions. Kluwer Academic Publishers (Springer). ISBN 1-4020-1015-X.
• Lovelock, David; Hanno Rund (1989) [1975]. Tensors, Differential Forms, and Variational Principles. Dover. ISBN 978-0-486-65840-7.
• C. Møller (1952), The Theory of Relativity (3rd ed.), Oxford University Press
• Synge J.L.; Schild A. (1949). Tensor Calculus. first Dover Publications 1978 edition. ISBN 978-0-486-63612-2.
• J.R. Tyldesley (1975), An introduction to Tensor Analysis: For Engineers and Applied Scientists, Longman, ISBN 0-582-44355-5
• D.C. Kay (1988), Tensor Calculus, Schaum’s Outlines, McGraw Hill (USA), ISBN 0-07-033484-6
• T. Frankel (2012), The Geometry of Physics (3rd ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-1107-602601