복합측량

수학에서, 구체적으로 측정 이론에서, 복잡한 측정은 복잡한 값을 갖도록 함으로써 측정의 개념을 일반화한다.즉, 크기(길이, 면적, 볼륨)가 복합적인 숫자인 세트를 허용한다.

정의

형식적으로 측정 가능한 공간$($, ${\displaystyle \mathrm{\sigma }}$)에 대한$$ 복합 측정 $\mu {\displaystyle }$ ${\$$displaystyle \mu$ $}$은$(는)$ 복합 값 함수다.

$\displaystyle \mu :\Sigma \to \mathb {C}}$

시그마-시그마-시그마-시그마-시그마.즉, $\sigma {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\$$displaystyle (A_{n})_{n\in \mathb{N}}}}$에 속하는 디스조인트 세트의 모든$$ 시퀀스$({\displaystyle {An}_{}{}_{}}$) ${\displaystyle {n\mathbb{}}_{}}$for n ${\$$displaystyle \Sigma }$에 대해 다음과 같이 한다$.$

${\displaystyle \sum \{n=1}^{\inful }\mu (A_{n})=\mu \left(\bigcup _{n=1}^{n}\infully _{n_{n}\right)\in \mathb {C}}}}$

As ${\displaystyle \displaystyle \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}=\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{\sigma (n)}}$ for any permutation (bijection) ${\displaystyle \sigma :\mathbb {N} \to \mathbb {N} }$, it follows that ${\displaystyle \disp$$레이스타일 \sum _{n=1}^{\nft }\mu(A_{n})}$는 무조건적으로 수렴한다(결연).

복잡한 측정에 대한 통합

단순한 함수로 측정 가능한 함수를 근사화함으로써, 비음수 측정에 관한 실제 값 측정 가능한 함수의 르베그 적분과 같은 방법으로 복합적 측정에 관한 복합적 값의 측정 가능한 함수의 적분을 정의할 수 있다.통상적인 통합의 경우와 마찬가지로, 이 보다 일반적인 적분은 존재하지 않을 수도 있고, 그 가치가 무한할 수도 있다(복잡한 무한대).

또 다른 접근방식은 처음부터 통합 이론을 개발하지 않고, 오히려 비부정적 측정에 관해서 실제 가치 함수의 적분이라는 이미 이용 가능한 개념을 사용하는 것이다.이를 위해 복합 측정 μ의 실제와 가상의 부품 μ와₁ μ가₂ 유한 값 부호화된 측정치임을 재점검하는 것이다.이러한 대책에 한-조단 분해를 적용하여 이를 다음과 같이 나눌 수 있다.

${\displaystyle \mu _{1}=\mu _{1}^{+}-\mu _{1}^{-}}$

그리고

${\displaystyle \mu _{2}=\mu _{2}^{+}-\mu _{2}^{-}}}$

여기서 μ₁⁺, μ₁⁻, μ₂⁺, μ는₂⁻ 유한 값 비 음의 측정(어떤 의미에서는 고유함)이다.그런 다음, 순간적으로 실제 가치로 평가되는 측정 가능한 함수에 대해 정의할 수 있다.

${\displaystyle \int _{X}\!f\,d\mu =\left(\int _{X}\!f\,d\mu _{1}^{+}-\int _{X}\!f\,d\mu _{1}^{-}\right)+i\left(\int _{X}\!f\,d\mu _{2}^{+}-\int _{X}\!f\,d\mu _{2}^{-}\right)}$

오른쪽의 표현이 정의되는 한, 즉 네 개의 통합이 모두 존재하며, 그것들을 하나 더하면 불확실한 ∞-∞과 마주치지 않는다.

현재 복합적으로 가치가 있는 측정 가능한 함수를 감안할 때, 위에서 설명한 대로 실제와 가상의 구성요소를 별도로 통합하고 예상한 대로 정의할 수 있다.

${\displaystyle \int _{X}\!f\,d\mu =\int _{X}\!\re (f)\,d\mu +i\int _{X}\!\임(f)\,d\mu .}$

복합 측정값의 변동 및 극분해

복합 측정 μ의 경우 공식으로 μ의 변동 또는 절대값을 정의한다.

$\displaystyle \mu(A)=\sup \sum _{n=1}^{\inflt } \mu(A_{n}) }$

여기서 A는 Ⅱ에 있고, 우월감은 조합이 A인 디스조인트 세트(A_n)_n의 모든 시퀀스에 걸쳐 있다.측정 가능한 하위 집합으로 집합 A의 유한 분할만 취하면 동등한 정의를 얻는다.

μ는 음이 아닌 유한 측정치인 것으로 밝혀졌다.복잡한 숫자를 극성 형태로 나타낼 수 있는 것과 같은 방법으로, 복잡한 측정에 대해 극성분해를 가진다.다음과 같은 실제 값을 갖는 측정 가능한 함수 θ이 존재한다.

$\displaystyle d\mu =e^{i\theta }d \mu ,}$

의미

${\displaystyle \int _{X}f\,d\mu =\int _{X}fe^{i\theta }\,d \mu \}$

절대적으로 통합 가능한 측정 가능한 함수 f, 즉 만족도

$\d 디스플레이 스타일 \int _{X} f \,d \mu <\fty .}$

라돈-니코디엠의 정리를 이용하여 그 변화가 측정이며 극 분해의 존재임을 증명할 수 있다.

복잡한 조치의 공간

두 가지 복잡한 조치의 합은 복합적인 숫자에 의한 복합적인 조치의 산물이 그렇듯이 복합적인 조치다.즉, 측정 공간(X, σ)에 대한 모든 복잡한 측정 집합이 복잡한 수위에 벡터 공간을 형성한다.더욱이 총변동 ${\displaystyle \Vert }$ {${\displaystyle }${ ${\displaystyle \cdot$ \$}$은(는) 다음과 같이$$ 정의된다.

$\displaystyle \mu \ = \mu(X)\,}$

복잡한 조치의 공간이 바나흐 공간이라는 점에서 표준이다.

참고 항목

• 리에즈 표현 정리
• 서명된 측정치
• 벡터 측정

외부 링크

• 수학월드에 대한 복잡한 대책