일반 미분방정식의 스펙트럼 이론

수학에서 일반 미분방정식의 스펙트럼 이론은 선형 일반 미분방정식과 연관된 스펙트럼의 결정과 고유함수 확장과 관련된 스펙트럼 이론의 부분이다. 그의 논문에서 헤르만 바일(Hermann Weyl)은 이 구간의 끝점에 특이점이 있는 2차 미분 연산자(반무한 또는 무한)에 한정된 폐쇄 간격으로 고전적 스터름-리우빌 이론을 일반화했다. 고전적인 경우와 달리 스펙트럼은 더 이상 단순히 계수 가능한 고유값 집합으로 구성되지 않을 수 있지만 연속적인 부분을 포함할 수도 있다. 이 경우 고유함수 팽창은 티치마르슈-코다이라 공식에 의해 주어지는 스펙트럼 측정에 관한 연속 부품에 대한 적분을 포함한다. 이 이론은 고다이라 등이 폰 노이만의 스펙트럼 정리를 이용하여 고르게 된 단수 미분방정식에 대한 최종 단순화된 형태에 넣었다. 반실현 Lie 그룹에 대한 양자역학, 연산자 이론, 조화 분석에서 중요한 응용을 해 왔다.

소개

콤팩트한 간격의 2차 일반 미분 방정식을 위한 스펙트럼 이론은 19세기에 자크 샤를 프랑수아 스투름과 조셉 리우빌에 의해 개발되었으며 현재는 스투름-리우빌 이론으로 알려져 있다. 현대 언어에서 그것은 데이비드 힐버트 때문에 콤팩트한 연산자에 대한 스펙트럼 정리의 응용이다. 헤르만 바일 교수는 1910년 발표한 논문에서 이 이론을 구간의 끝점에 특이점이 있는 일반 미분방정식을 2차순으로 확장시켰고, 현재는 무한대 또는 반무한대로 허용했다. 그는 이러한 특수 연산자에 적응한 스펙트럼 이론을 동시에 발전시켰고 한계점과 한계원 사이의 유명한 이분법적 관점에서 경계 조건을 도입했다.

1920년대에 존 폰 노이만은 한없는 자기 적응 연산자를 위한 일반적인 스펙트럼 정리를 확립했는데, 고다이라 구니히코는 이 방법을 사용하여 바일의 방법을 능률화했다. 고다이라 역시 베이일의 방법을 고른 순서의 특이하고 평범한 미분 방정식으로 일반화하여 스펙트럼 측정에 대한 간단한 공식을 얻었다. 같은 공식도 E. C에 의해 독자적으로 얻어졌었다. 1946년 티치마르슈(일본과 영국의 과학적인 의사소통은 제2차 세계대전에 의해 중단되었다. 티치마르슈는 연산자 이론 대신 복잡한 함수 이론을 이용해 고유함수 확장을 도출한 독일 수학자 에밀 힐브의 방법을 따랐었다. 스펙트럼 정리를 회피하는 다른 방법들은 후에 레비탄, 레빈슨, 요시다에 의해 독자적으로 개발되었는데, 그는 적절한 하위 절연을 위해 스터름-리우빌 문제에 해당하는 콤팩트 분해제에 의해 단일한 미분 연산자의 분해능을 근사하게 추정할 수 있다는 사실을 이용했다. 또 다른 방법은 마크 그리고리예비치 크레인에 의해 발견되었다; 그의 방향 함수 사용은 이후 이즈레일 글래즈만에 의해 고른 질서의 임의적인 보통의 미분 방정식으로 일반화되었다.

바일은 자신의 이론을 칼 프리드리히 가우스의 초기하 미분방정식에 적용하여 전설레 미분방정식에 대한 구스타프 페르디난드 멜러(1881)의 변환 공식의 광범위한 일반화를 얻어 1943년 러시아 물리학자 블라디미르 포크가 재발견했으며, 보통 메흘러-폭 변환이라고 불렀다. 해당 일반 차동 연산자는 2차원 쌍곡선 공간에 있는 라플라시안 연산자의 방사형 부분이다. 보다 일반적으로, 하리쉬 찬드라 및 겔판드-나이마르크의 SL(2,R)에 대한 플랑쉐렐 정리는 고차원 쌍곡선 공간의 등계 그룹에 대한 구형함수의 이론과 마찬가지로 초기하 방정식에 대한 Weyl의 이론에서 추론할 수 있다. 하리쉬 찬드라가 나중에 일반실제 반실제 리 집단을 위한 플랑쉐렐 정리를 개발한 것은 웨일(Weyl)이 단수 일반 미분방정식과 연관된 고유함수 확장을 위해 개발한 방법에 의해 크게 영향을 받았다. 마찬가지로 중요한 것은 이 이론이 또한 양자역학에서 슈뢰딩거 방정식과 산란 행렬의 분석을 위한 수학적 기초를 마련했다는 점이다.

일반 미분방정식의 해법

표준형식으로감소

D를 (a,b)의 2차 차동 연산자로 지정

여기서 p는 엄격히 양성이며 연속적으로 서로 다른 함수를 의미하며 q와 r은 연속적인 실질 가치 함수를 의미한다.

x₀ in (a, b)의 경우 다음을 기준으로 Louville 변환 define을 정의하십시오.

만약

단일 운영자가 정의되어 있는가? 그때 그리고

그러므로,

어디에 그리고

g'의 용어는 오일러 통합 인자를 사용하여 제거할 수 있다. S' /S = -R/2일 경우, h = Sg

다음과 같은 경우에 전위 V가 주어진다.

따라서 차등 연산자는 항상 양식 중 하나로 축소될 수 있다.

존재정리

다음은 바나흐 공간 E에서 값을 갖는 2차 미분 방정식에 대한 고전적인 피카르 존재 정리 버전이다.^[2]

α, β를 E의 임의 요소, A E의 경계 연산자, q [a, b]의 연속 함수로 한다.

그런 다음, c = a 또는 b의 경우, 미분 방정식

Df = Af

초기 조건을 만족하는 C²([a,b],E)에 고유한 솔루션 f가 있음

f(c) = β, f '(c) = α.

실제로 이러한 초기 조건의 미분방정식의 해법은 적분방정식의 해법과 동등하다.

f = h + T f

T에 의해 정의된 C([a,b], E)의 경계 선형 지도

여기서 K는 볼테라 커널이다.

K(x,t)=(x - t)(q(t) - A)

그리고

h(x) = α(x − c) + β.

T는^k 0이 되기 때문에, 이 적분 방정식은 Neumann 시리즈에 의해 주어진 고유한 솔루션을 가지고 있다.

f = (I - T)⁻¹ h = h + T h + T² h + T h + T³ h + ⋯

이 반복적인 계획은 종종 프랑스의 수학자 찰스 에밀 피카르의 이름을 따서 피카르 반복이라고 불린다.

기본 고유 기능

만약 f가 (a², b) Df = ff를 만족하는 경우, f는 고유값 λ을 가진 L의 고유함수라고 불린다.

• [a, b]에 대해 콤팩트한 간격 [a, b] 및 q가 연속적으로 [a, b]에 대해 존재 정리는 c = a 또는 b와 모든 복잡한 숫자 λ에 대해_λ f(c)와 f '(_λc)가 규정된 [a, b]에 고유한 C² 고유함수 f가_λ 있음을 암시한다. 더욱이 [a, b], f_λ(x) 및 f '(_λx)의 각 x에 대해서는 λ의 홀로모르픽 함수다.
• 임의의 간격(a,b)과 q 연속 (a,b)에 대해 존재 정리는 (a,b)와 모든 복잡한 숫자 λ에 대해 f_λ(c)와 f '(_λc)가 규정된 (a, b)에 고유한² C 고유함수 f가_λ 있음을 암시한다. 더욱이 각 x in (a, b)에 대해_λ f(x)와 f '(_λx)는 λ의 홀로모르픽 함수다.

그린 공식

f와 g가 (a, b)의² C 함수인 경우 Wronskian W(f, g)는 (a, b)에 의해 정의된다.

W(f, g) (x) = f(x) g '(x) - f '(x) g(x)).

그린의 공식 - 이 1차원 사례에서 부품에 의한 단순한 통합 - x, y in (a, b)라고 기술되어 있다.

q가 연속적이고 f, g C가² 콤팩트한 간격[a, b]인 경우, 이 공식은 x = a 또는 y = b도 유지한다.

f와 g가 동일한 고유값에 대한 고유 기능인 경우

W(f, g)가 x와 독립되도록 한다.

고전 슈투름-리우빌 이론

[a, b]를 유한 폐쇄간격으로 하고, q [a, b]의 실제 값 연속함수로 하고, H를₀ [a, b]의 C함수의² 공간이 로빈 경계조건을 만족시키도록 한다.

내제품으로

실무에서 일반적으로 두 가지 표준 경계 조건 중 하나를 적용한다.

• 디리클레 경계 조건 f(c) = 0
• 네우만 경계 조건 f '(c) = 0

각 끝점 c = a, b에 부과된다.

D 미분 연산자:

H₀. H의₀ 함수 f에 대한 작용 Df = 해당 고유값인 일부 복합수 λ에 대해 λf = λ f이면 D의 고유함수(위의 경계값 선택을 위한 것)라고 한다. 그린의 공식에 의해, 두 개의 f,g가 모두 경계 조건을 만족하면 Wronskian W(f,g)가 사라지기 때문에 D는 공식적으로₀ H에 자칭된다.

(Df, g) = (f, Dg) for f, g in H₀.

그 결과, 유한 치수의 자기 결합 행렬에 대해 정확히 말하자면,

• D의 고유값은 실제 값이다.
• 고유값을 구별하는 아이겐스페이스는 직교한다.

고유값은 Rayleigh-Ritz의^[3] 최대 최소 원리로 설명할 수 있는 것으로 밝혀졌다(아래 참조). 실제로 연산자 D가 H:에₀ 대해 아래에 경계되기 때문에 고유값이 아래에 경계되어 있음을 알 수 있다.

• ${\displaystyle (D}$ ${\displaystyle f}$, ${\displaystyle f}$) 일부 유한(음) 상수 $M{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle (Df,f)\geq M(f,f)}$에 대한$$for$$ M${\displaystyle }$($displaystyle M}$

실제로 부품별 통합

디리클레 또는 노이만 경계 조건의 경우, 첫 번째 항은 사라지고 불평등은 M = inf q로 유지된다.

일반적인 로빈 경계 조건의 경우, 첫 번째 용어는 소볼레프의 불평등의 초기 버전인 Peter-Paul을 사용하여 추정할 수 있다.

"ε > 0으로 볼 때, C¹[a, b]에서 모든 f에 대해 f(x) ≤ f (f', f') + R (f, f)과 같은 상수 R >0이 있다."

사실, 그 이후로

f(b) - f(x) ≤ (b - a)^1/2 · f ' ₂,

f(b)에 대한 추정만 필요하며 이는 위의 불평등에서 n에 대해 (x - a)/(ⁿb - a)/⁻ⁿf(x)로 대체함으로써 뒤따른다.

그린의 함수(정규 케이스)

보통의 미분방정식 이론에서 보면 다음과 같은 고유한 기본 고유함수 φ_λ(x), χ_λ(x)가 있다.

• D φ_λ = λ φ_λ, φ_λ(a) = 죄 α, φ_λ'(a) = cos α
• D χ_λ = λ χ_λ, χ_λ(b) = sin β, χ_λ'(b) = cos β

각각의 지점에서 그들의 첫 번째 파생상품과 함께 λ에 홀로모형으로 의존한다. 내버려두다

Ω(λ) = W(φ_λ, χ_λ),

일체형 함수다

이 함수는 D의 특성 다항식의 rôle을 재생한다. 실제로 근본 고유성의 고유성은 그 0이 정확히 D의 고유값이며, 0이 아닌 각 고유공간은 1차원임을 암시한다. 특히 D의 고유값은 많아야 헤아릴 수 있고 무한히 많으면 무한히 많은 경향이 있어야 한다. Ω(λ)의 0에도 변이성 1이 있는 것으로 밝혀졌다(아래 참조).

λ이 H에₀ 대한 D의 고유값이 아닌 경우, 다음을 통해 Green의 함수를 정의하십시오.

G_λ(x,y) = x ≥ y의 경우 φ_λ(x) χ_λ(y) / Ω(λ) x의 경우 χ_λ(x) φ_λ(y) / Ω(λ) x의 경우 ω.

이 커널은 내부 제품 공간 C[a,b]에 대한 연산자를 정의하며,

G_λ(x,y)는 [a, b] x [a, b]에 연속하므로, C[a, b] = H₁(또는 밀도 하위 공간 H와₀ 동등하게)의 Hilbert 공간 완성 H에 대해 Hilbert-Schmidt 연산자를 정의하며, H의₁ 값을 취한다. 이 조작자는 H를₁ H로₀ 운반한다. λ이 실재하면 G_λ(x,y) = G_λ(y,x)도 실재하므로 H에 자칭 연산자를 규정한다. 더구나

• G_λ(D - λ) =I₀ on H
• G는_λ H로₀ H를₁ 운반하고, (D - λ) G = I_λ1 on H.

따라서 연산자 G는_λ 분해자(D - λ)⁻¹로 식별할 수 있다.

스펙트럼 정리

정리 D의 고유값은 다극성 1의 실재로서 점점 증가하는 수열을 형성하고 있다₁₂. < < ··· 무한대로의 tending.

그에 상응하는 정규화된 고유특성은 H의₀ 정형외과적 기초를 형성한다.

D의 k번째 고유값은 미니맥스 원리에 의해 주어진다.

특히 q₁ q일₂ 경우,

실제로 = large와 음의 경우 T = G로_λ 한다. 그 후 T는 힐베르트 공간 H에 대해 콤팩트한 자기 적응 연산자를 정의한다. 콤팩트 자기 적응 연산자에 대한 스펙트럼 정리에 의해 H는 Tψ_n = μ_n μs의_n T의 고유 벡터 ψ으로_n 구성되는 정사각형 기초를 가지고 있다. 여기서 μ는_n 0이 되는 경향이 있다. T의 범위는 H를₀ 포함하고 있어 밀도가 높다. 따라서 0은 T의 고유값이 아니다. T의 분해능 특성은 ψ이_n H에₀ 있고, ψ은 H에 있음을 암시한다.

D ψ_n = (λ + 1/μ_n) ψ_n

미니맥스 원칙은 다음과 같다.

첫 번째 k - 1 고유특성의 선형스팬에 대한 1(G)= λ_k. 다른 (k - 1)차원 아공간 G의 경우, 첫 번째 k 고유 벡터의 선형 범위에 있는 일부 f는 G와 직교해야 한다. 따라서_k λ(G) ≤ (Df,f)/(f,f) ≤.

프레드홀름 결정요인으로서의 Wronskian

간단히 하기 위해, 디리클레 경계 조건이 있는 [0,197]에서 m ≤ q(x) ≤ M을 가정해 보자. 미니맥스 원리는 다음과 같은 것을 보여준다.

분해자(⁻¹D - value)는 λ이 D의 고유값이 아닐 때마다 트레이스 등급 연산자로, 따라서 프레드홀름 결정 det I - μ(D - μ)⁻¹가 정의된다.

디리클레 경계조건은 다음을 암시한다.

Ω(λ)= φ_λ(b).

Titchmarsh는 Picard 반복을 사용하여 φ_λ(b), 따라서 Ω(λ)은 유한 순서 1/2의 전체 함수임을 보여주었다.

Ω(λ) = O(e^{√ λ} )

0μ의 Ω(㎛)에서 ),(b_μ) = 0. 더구나

만족(D - μ)ψ = φ_μ. 그러므로

Ω(λ) = (λ - μ)ψ(b) + O(λ - μ)이다.²

라는^[4] 뜻을 내포하고 있다.

• μ는 Ω(λ)의 단순한 0이다.

그렇지 않으면 ψ(b) = 0이므로 ψ은 H에₀ 누워야 한다. 그러나 그 다음

(φ_μ, φ_μ) = (D - μ), φ_μ) = ( (, (D - μ_μ) = 0,

모순된 일

한편, 전체 함수 Ω(λ)의 0의 분포는 이미 미니맥스 원리에서 알 수 있다.

하다마드 요소화 정리(Hadamard factorization organization)에 의해, 그^[5]

• $\displaystyle \omega(\lambda )=C\prod(1-\lambda /\lambda _{n}),}$

일부 0이 아닌 상수 C에 대해.

그러므로,

특히 0이 D의 고유값이 아닌 경우

추상 스펙트럼 이론의 도구

경계 변동의 함수

닫힌 간격에 대한 경계변동의^[6] 함수 ρ(x)[a, b]는 변동의 우월성인 총변동 V(ρ)와 같은 복합값 함수다.

모든 보급에 걸쳐서. 유한하다. ρ의 실제 부분과 상상의 부분은 경계 변동의 실제 가치 함수다. ρ이 )(a)=0이 되도록 실제 값을 매기고 정규화한 경우, ρ은 두 경계 비감소 함수의 차이로 표준 분해된다. 여기서 ρ₊(x)와 ρ_–(x)는 [a, x]에 대한 ρ의 총 양과 음의 변동이다.

만약 f가 [a, b]의 연속 함수라면 ρ에 관하여 통합된 Riemann-Stieltjes.

근사치 합계의 한계로 정의된다. supp x_r+1 - x에_r 의해 주어진 해부의 망사가 0이 되는 경향이 있기 때문이다.

이 적분은 만족한다.

따라서 C[a, b]의 경계 선형 함수 d d를 표준 dρ = V(()로 정의한다.

C[a, b]의 모든 경계 선형 함수 μ는 다음과 같이^[7] 음이 아닌 f에 대해 정의된 절대값 μ를 가진다.

μ 형태는 C[a, b]의 경계 선형 형태까지 선형적으로 표준 μ로 확장되며 특징적인 불평등을 만족시킨다.

μ(f) μ μ(f )

F는 C[a, b]로 표시한다. 만약 μ가 진짜라면, 즉, 실제 가치 함수에서 실제 가치로 평가된다.

양성 형태의 차이, 즉 비 음성 함수에 대해 음성이 아닌 형태의 차이로서 표준 분해법을 제공한다.

모든 양의 형태 μ는 공식에^[8] 의해 음이 아닌 경계 하한 세미콘틴 함수의 선형 범위까지 고유하게 확장된다.

여기서 음이 아닌 연속함수 f는_n g로 점증한다.

따라서 임의의 경계 선형 형태 μ에도 동일하게 적용되므로, 경계 변동의 함수 ρ은 다음과^[9] 같이 정의될 수 있다.

여기서 χ은_A [a, b]의 부분 집합 A의 특성 함수를 나타낸다. 따라서 μ = dρ, μ = dρ. 게다가 μ₊ = dρ₊, μ_– = dρ_–.

경계가 있는 변동의 기능과 경계가 있는 선형 형태의 함수 사이의 이러한 대응은 리에즈 표현 정리의 특별한 경우다.

μ = d³의 지원은 [a,b]에서 모든 포인트 x의 보완물이다. 여기서 μ는 x의 일부 근방에서 일정하다. 정의상으로는 [a,b]의 폐쇄 서브셋 A이다. 더욱이 μ((1-³_A)f) =0이므로, f가 A에서 소멸하면 μ(f) = 0이다.

스펙트럼 측정

Let H be a Hilbert space and ${\displaystyle T}$ a self-adjoint bounded operator on H with ${\displaystyle 0\leq T\leq I}$, so that the spectrum ${\displaystyle \sigma (T)}$ of ${\displaystyle T}$ is contained in ${\displaystyle [0,1]}$. If ${\displaystyle p(t)}$ is a complex 다항식, 그 다음 스펙트럼 매핑 정리

그래서 where ${\displaystyle \ \,\ _{\infty }}$ denotes the uniform norm on ${\displaystyle C[0,1]}$. By the Weierstrass approximation theorem, polynomials are uniformly dense in ${\displaystyle C[0,1]}$. It follows that ${\displaystyle f(T)}$ can be defined ${\dis$$을($를) $사용하여 \forall$f\$in$ C$[$$0,$1]}을(를) $재생$하십시오. 그리고 $\Vert {\displaystyle f}$($T$) ${\displaystyle \Vert }$ f f ${\displaystyle f}$ f ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\{\mathrm{}}_{}}$ $\$ {\$displaystyle$\$f(T)\ \leq \ \{\ft$

If ${\displaystyle 0\leq g\leq 1}$ is a lower semicontinuous function on ${\displaystyle [0,1]}$, for example the characteristic function ${\displaystyle \chi _{[0,\alpha ]}}$ of a subinterval of ${\displaystyle [0,1]}$, then ${\displaystyle g}$ is a pointwise increasing 음이 아닌 $f{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle C[}$ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ]}$의 한계 C$[$0$,1]$에서 ${\displaystyle f_{n}\in$ C[$0$,1$]\}.$

스즈케팔비-나기에 따르면 ^[10]$\xi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \xi}$이(가) H의 벡터라면 벡터(bectors)는

n${\displaystyle n}$ m {\$displaystyle n\geq m}$에 대해 H로 Cauchy 시퀀스를 형성한다$.$ 및 (${\displaystyle {\eta n}_{}}$,${\displaystyle {}_{}\xi }$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }$(${\displaystyle {}_{}{n}_{}}$ ( ${\displaystyle T}$) ${\displaystyle \xi }$ ,${\displaystyle \xi }$) ${\displaystyle (\eta _{n},\xi )=(f_{n}(T)\xi ,\xi )}}}$이(가) 경계되고 증가하므로$$ 한계가 있다.

$다음$에 따라 g${\displaystyle }$( ${\displaystyle T}$) ${\displaystyle g(T)}$이(가) 정의될^[a] 수 있다$$.

$\xi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \xi }$ 및$$ $\eta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \eta }$이(가) 벡터인 경우

H에 경계가 있는 선형 $형태{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mu \xi }_{}}$ ,$$ {\$displaystyle \mu _${\xi ,\$eta$}}를 규정한다. 리에즈 표현 정리. 고유한 정규화 함수 ${\displaystyle {\rho }_{}}$,${\displaystyle {\eta }_{}}$,${\displaystyle }$η, ${\$에 대한$$ 경계 변동의 {${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [0,1$

${\displaystyle d}$ ${\displaystyle {\rho ,}_{}}$, {\$displaystyle d\rho _{\$$xi$$,\eta }}($혹은 약간 잘못 ${\displaystyle {\rho ,}_{}}$ {, ${\$$\$$rho _${\xi$,\eta }}$ 자체$$)는 $\xi {\displaystyle }$ ${\displaystytype \eta }$에 의해 결정되는 스펙트럼 측정값이라고 불린다$.$

따라서 연산자 $g{\displaystyle }$( ${\displaystyle T}$) ${\displaystyle g(T)}$은 방정식으로 고유하게 구분된다$$.

스펙트럼 투영 $E{\displaystyle (}$ ${\displaystyle \lambda }$) ${\displaystyle E(\lambda )}$은 다음에$$ 의해 정의된다.

하도록

그 뒤를 잇는다.

벡터 $\xi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \xi }$ 및 $\eta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \eta }$에 대해 이해됨$.$

For a single vector ${\displaystyle \xi ,\,\mu _{\xi }=\mu _{\xi ,\xi }}$ is a positive form on ${\displaystyle [0,1]}$ (in other words proportional to a probability measure on ${\displaystyle [0,1]}$) and ${\displaystyle \rho _{\xi }=\rho _{\xi ,\xi }}$ is 음극 및 비음극 편광은 모든 형태의 ${\displaystyle {\mu \xi }_{}}$ ,${\displaystyle {\eta }_{}}$ ${\$,\$eta }}}}$이(가) 자연적으로 그러한 양의 형태로 표현될 수 있음을$$ 보여준다.

벡터 $\xi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \xi}$이(가) 벡터$({\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle n^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle(T^{n}\$$xi$ $)$의 선형 스팬이 H로 밀도인$$ 경우, 즉, $\$ {\$displaystyle$$$\xi$}$은 $}$에 대한 주기 벡터$,$ 맵 $U{\displaystyle }$ ${\displaystytime U}$에 의해$$ 정의된다.

만족시키다

$L{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$(${\displaystyle }$[ 0${\displaystyle }$, ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ]}$, ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\xi }_{}}$) ${\displaystyle L_{2}([0$$,$$\rho _$${\xi }})$는 우측에 있을 수 있는 퇴행성 내제품과 연관된$$ $힐버트{\displaystyle }$ $공간$ 완료를 나타낸다$$${\displaystyle .}$^[b] Thus ${\displaystyle U}$ extends to a unitary transformation of ${\displaystyle L_{2}([0,1],\rho _{\xi })}$ onto H. ${\displaystyle UTU^{\ast }}$ is then just multiplication by ${\displaystyle \lambda }$ on ${\displaystyle L_{2}([0,1],d\$$rho _{\xi$ $\};$ 및 보다 일반적으로 ${\displaystyle \mathrm{Uf}}$(${\displaystyle T}$) ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\$$U^{\$${\displaystyle \mathrm{ast}}$ $}}$은 f (${\displaystyle )}$ $){\displaystyle$ f$(\lambda )}}}$에 의한 곱셈이다$.$ 이 $경우{\displaystyle }$ d { ${\$의 지원은$$ $정확히{\displaystyle }$ ${\displaystyle (}$ (${\displaystyle T}$ $){\displaystysty \sigma$ ($T$이다.

• 자가 점자 연산자는 스펙트럼 측정에 의해 주어진 내부 생산물로 스펙트럼의 함수 공간에 대한 곱셈 연산자가 된다.

바일-티치마르슈-고다이라 이론

폼의 단일한 미분 연산자와 관련된 고유함수 확장

개방된 간격(a, b)에서 가능한 경계 조건을 결정하기 위해 엔드포인트 a와 b 근처의 기본 고유 특성의 초기 분석을 요구한다. 일반적인 스터름-리우빌 사례와 달리, 어떤 상황에서는 D의 스펙트럼 값이 다중성 2를 가질 수 있다. 아래에 요약된 개발에서 D의 스펙트럼이 모든 곳에 다중의 하나를 가지고 있고 아래에 경계를 두고 있다는 것을 보장하는 p와 q에 표준 가정이 부과될 것이다. 여기에는 거의 모든 중요한 용도가 포함된다. 좀 더 일반적인 경우에 필요한 변경은 나중에 논의될 것이다.

고전적 이론에서와 같이 경계 조건을 선택한 경우, R의 크기와 양에 대한 D, (D + R ⁻¹)의 분해체는 두 가지 기본적인 고유 기능으로 구성된 Green의 함수에 해당하는 연산자 T에 의해 주어진다. 고전적인 사례에서 T는 콤팩트한 자기 성찰 연산자였다. 이 경우 T는 0 t T i I의 자기 성찰 경계 연산자일 뿐이다. 따라서 스펙트럼 측정의 추상적 이론은 T에 적용하여 D에 대한 고유함수 확장을 제공할 수 있다.

와일·고다이라의 증명에 있어서의 중심사상은 다음과 같이 비공식적으로 설명할 수 있다. D의 스펙트럼이 [1,610]에 있고, T =D에⁻¹ 있다고 가정하고 다음과 같이 한다.

[1,620] 구간에 해당하는 D의 스펙트럼 투영이다. 임의 함수의 경우 f 정의 f(x,cs)는 경계변동 ρ의 함수의 공간에 대한 서로 다른 지도 또는 동등하게 다른 지도로 간주될 수 있다. [α,β]가 [1, ∞]의 콤팩트 하위 절편일 때마다 C[α,β]에 대한 경계 선형 함수 dρ의 바나흐 공간 E로 들어간다.

Weyl의 근본적인 관찰은 d_λ f가 E:의 값을 취하는 2차 일반 미분 방정식을 만족한다는 것이었다.

$\d(d_{\lambda }f)=\lambda \cdot d_{\lambda }f.}$

고정점 c에서 처음 두 파생상품에 초기 조건을 부과한 후, 이 방정식은 두 가지 기본적인 고유특성과 "초기값" 함수 측면에서 명시적으로 해결할 수 있다.

이 관점은 이제 머리 위에 올려질 수 있다: f(c,c)와 f_x(c,c)는 다음과 같이 쓰일 수 있다.

여기서 ξ₁(λ)과 ξ₂(λ)은 순전히 기본 고유특성의 관점에서 주어진다. 경계 변동의 함수 D의 스펙트럼에 대한 스펙트럼 측정을 결정하고, 기본 고유 기능(티치마르슈-코다이라 공식)의 거동으로부터 명시적으로 계산할 수 있다.

단수 방정식의 한계 원 및 한계점

q(x)를 (0,320)의 연속적인 실제 값 함수로 하고 D를 2차 차등 연산자로 한다.

(0,190)에 (0,93)에 포인트 c를 고정하고, $and{\displaystyle {}_{}}$ 콤플렉스의 경우,${\displaystyle {}_{}{\lambda }_{}}$, λ,$$\, $\,$ {, \$displaystyle$ \$varphi _${\$lambda }}}}$을(를) 만족시키는 D의 고유한 기본 고유 기능이 되도록$$ 한다. c의 초기 조건과 함께.

그리고 그들의 Wronskian은 만족한다.

왜냐하면 그것은 일정하고 c에서 1과 같기 때문이다.

λ은 비현실적이고 0 < x < ∞이 되게 하라. If the complex number ${\displaystyle \mu }$ is such that ${\displaystyle f=\varphi +\mu \theta }$ satisfies the boundary condition ${\displaystyle \cos \beta \,f(x)-\sin \beta \,f'(x)=0}$ for some ${\displaystyle \beta }$ (or, equivalently, ${\displaystyle f^{\prime }(x)/f(}$${\displaystyle x}$) ${\displaystyle f'(x)/f(x)}$이(가) 실제인$$ 경우, 부품별 통합을 사용하여 획득

따라서 이 방정식을 만족하는$$ $\mu s{\displaystyle }$ 집합 ${\displaystyle \mu }$이(가) 비어 있지 않다. 이 세트는 복합 $\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mu }$ - 평면의$$ 원이다. 내부에 있는$$ 포인트 $[\displaystyle \mu }$은(는)

if x > c 및 by if x < c.

D를_x 동그라미로 둘러싸는 닫힌 디스크가 되게 하라. 정의에 따라 이러한 폐쇄 디스크는 중첩되며 x가 0 또는 approaches에 가까워질수록 감소한다. 그래서 한계에서 원은 한계원이나 각 끝의 한계점에 도달하는 경향이 있다. 0또는 ∞, f에서 만약 μ{\displaystyle \mu}은 극한점 또는 리미트 원에 포인트=φ 0또는 ∞ 근처에+μ θ{\displaystyle f=\varphi +\mu \theta}은 평방 적분 가능한(L2), 이후μ{\displaystyle \mu}Dx의 모든 x&gt에 거짓말을, 요리(그∞ 경우)등∫ c)φ+μ θ 2<나는(μ)나는 이용해 (λ)${\displaystyle \int _{c}^{x} \varphi$+\$mu \theta ^{2}<{\rm {Im}(\mu )}}{\rm {Im}}(\lambda )}}}}$은(으)에 독립적인 경계. 특히:^[11]

• 0에 가까운 정사각형 통합이 가능한 Df = λf의 0이 아닌 솔루션이 항상 존재한다. ∞;
• Limit circle case에서 Df = λf의 모든 용액은 거의 0 resp에 가깝게 정사각형 통합이 가능하다. ∞.

디스크 D의_x 반경은 다음과 같이 계산할 수 있다.

${\displaystyle \왼쪽 {1\{2{\rm {Im}(\lambda )\int_{c}^{x} \the ^{2}}}\오른쪽 }}$

이는 한계점 $사례$에서 { ${\displaystyle \theta }$은(는) 0 resp. ∞근처에 사각형 통합이 가능하지$$ 않음을 의미한다. 따라서, 우리는 위의 두 번째 진술과 반대한다.

• 한계점 사례에는 정확히 0에 가까운 정사각형 통합이 가능한 Df = ff의 0이 아닌 용액(스칼라 배수까지)이 있다. ∞.

반면 Dg = λ' g가 다른 값인 경우 ' for'로 한다.

Dh = λh를 만족시키므로

또한 이 공식은 (D-csv)g = (csv'-csv)g의 상수 방법의 변동에 의해 직접 구할 수 있다. 이것을 사용하여 g를 추정하면 다음과^[11] 같다.

• 0 또는 ∞에서의 한계점/평균 원 동작은 λ의 선택과 무관하다.

일반적으로 일부 함수 r(x)에 대해 Dg= (198 – r) g이면 다음^[12]

이로부터 그것은 다음과^[12] 같다.

• r이 0에서 연속이면 D + r은 0에서 정확히 한계점 또는 한계원이다.

특별히^[13]

• q(x)- a/x가² 0에서 연속인 경우, d ¾인 경우에만 D가 0에서 한계점이다.

유사하게

• 만약 r이 ∞에서 유한한 한계를 가지고 있다면, D + r은 D가 있을 때 정확히 or에서 한계점 또는 한계원이다.

특별히^[14]

• q가 ∞에서 유한한 한계를 갖는 경우, D는 ∞에서의 한계점이다.

한계점이나 한계원이 되는 훨씬 더 정교한 기준은 수학 문헌에서 찾을 수 있다.

그린의 기능(가수 케이스)

디퍼렌셜 연산자를 고려하십시오.

(0,197), (0,192), (0,192), (0,190), (0,190)=0에서 (0,192), (0₀)=0에서 (0,192), (0)=0에서 (0)의 연속적으로 다른₀ p를₀ 가지는 것.

또한 표준 양식 D로₀ 축소된 후 동등한 연산자가 된다고 가정한다.

(0,920)에서, q는 at에서 유한한 한계를 갖는다. 그러므로

• D는 ∞에서 한계점이다.

0에서 D는 한계원 또는 한계점이 될 수 있다. 어느 경우든 D near₀=0과 φ₀ 사각형이 거의 0에 가깝게 통합될 수 있는 고유 함수₀ φ이 있다. 한계원 사례에서 φ은 0₀:에서 경계 조건을 결정한다.

λ 콤플렉스의 경우 φ과_λ χ이_λ 만족하도록 한다.

• (D – λ)φ_λ = 0, (D – λ)χ_λ = 0
• 무한대에 가까운 χ_λ 사각형 통합 가능
• φ_λ 0이 한계점일 경우 0에서 정사각형 통합 가능
• φ은_λ 0이 한계 원일 경우 위의 경계 조건을 만족시킨다.

내버려두다

φ과_λ χ이 비례할_λ 때 정확하게 소멸되는 상수, 즉 λ은 이러한 경계조건에 대한 D의 고유값이다.

반면에 임 λ ≠ 0이거나 λ이 음인 경우에는 이런 일이 일어날 수 없다.^[11]

실제로 q₀ – ≥ Δ >0을 갖는 D f= ff일 경우 W(f,f^*)가 일정하므로 Green 공식(Df,f) = (f,Df)로 한다. 그래서 λ은 진짜인가 보다. 만약₀ f가 D실현에서 실제값으로 간주된다면, 0 < x < y>의 경우.

p₀(0) = 0과 f는 0에 가깝게 통합할 수 있으므로 pf₀ f '는 0에서 사라져야 한다. x = 0을 설정하면 f(y) f '(y) >0을 따르므로 f가² 증가하여 f의 제곱 통합성과 거의 모순된다.

따라서 q에 양의 스칼라를 더하면 다음과 같이 가정할 수 있다.

Ω(λ) ≠이 [1,∞]에 없을 때 0 0.

Ω(λ) ≠ 0일 경우, λ에서 Green의 함수 G_λ(x,y)는 다음과 같이 정의된다.

Ⅱ의_λ 선택과 무관하다.

이 예에서 ψ은_λ 경계 조건을 0도 ∞도 충족하지 않는 [1, ∞]에 없는 λ에 대해 세 번째 "나쁜" 고유함수 ψ이_λ 정의되고 홀모픽이 있을 것이다. 즉, 1에 대해서는 [1, ∞]에 해당하지 않는다.

• W(φ_λ, ψ_λ)는 어디에서도 사라지지 않는다.
• W(χ_λ, ψ_λ)는 어디에서도 사라지지 않는다.

이 경우 χ은_λ φ_λ + m(λ) ψ에_λ 비례하며, 다음과 같다.

• m(λ) = – W(φ_λ,χ_λ) / W(ψ_λ,χ_λ)

H를₁ (0,320)의 사각형 통합형 연속함수의 공간으로 하고₀ H를 (0,320)의 공간으로 한다.

• D가 0의 한계점일 경우 콤팩트 서포트의 f(0,920)에 대한² C 함수의 공간
• C² 함수의 공간 f on (0,310)은 W(f,ENT₀)=0이고, d가 0의 한계 원일 경우 f = 0은 ∞에 가깝다.

T = G 정의₀ 기준

그러면 T D = I on₀ H, D T = I on₁ H, 연산자 D가 H₀:

따라서 T는 0 ≤ T ≤ I를 갖는 자기 적응형 경계 연산자다.

형식⁻¹ T = D. [1,610]에 없는 not에 대해 정의된 해당 연산자 G는 다음과_λ 같이 공식적으로 식별할 수 있다.

그리고 만족 G_λ (D – λ) = I on H₀, (D – λ)G_λ = I on H₁.

스펙트럼 정리 및 티치마르슈-코다이라 공식

정리.^[11][15][16] 모든 실수 λ에 대해 ρ(λ)을 Titchmarsh-Kodaira 공식으로 정의한다.

그렇다면 ρ(λ)는 λ과 if의 낮은 반비례함수다.

그 후 UDU가² 곱셈에 대응하도록⁻¹ L(0,92)의 단일 변환을² L([1,920], d onto)로 정의한다.

역변환 U는⁻¹ 다음에 의해 주어진다.

D의 스펙트럼은 dd의 지지와 같다.

고다이라가 베이일의 원본 증거를 유선형으로^[17][18] 제시했다.(^[11]M.H. 스톤은 이전에 폰 노이만의 스펙트럼 정리를 이용하여 바일 작품의 일부를 어떻게 단순화할 수 있는지를 보여^[19] 주었다.)

실제로 0 d⁻¹ T ≤ I의 T =D에 대해 T의 스펙트럼 투영 E(λ)는 다음과 같이 정의된다.

그것은 또한 [1,2] 구간에 해당하는 D의 스펙트럼 투영이다.

H에서₁ f의 경우 정의

f(x,cs)는 함수의 공간에 대한 상이한 지도로 간주될 수 있으며, 경계된 변동의 ρ, 또는 동등하게 상이한 지도로 간주될 수 있다.

[1, ∞]의 모든 콤팩트 하위간격 [α,β]에 대한 C[α,β]의 경계 선형 함수 d of의 바나흐 공간 E로 들어간다.

함수(또는 측정) d_λ f(x)는 다음과 같은 E-값 2차 일반 미분 방정식을 만족한다.

초기 조건을 c in (0,190)로 하여

만약_λ and과 χ이_λ c에 적응한 특별한 고유 기능이라면,

게다가

어디에 와 함께 (기호에서 알 수 있듯이 ξ과_λ⁽⁰⁾ ξ은_λ⁽¹⁾ z의 선택에 좌우되지 않는다.)

설정

그 뒤를 잇다

한편, 다음과 같은 홀로모르픽 함수 a(λ), b(λ)가 있다.

• φ_λ + a(λ) χ은_λ φ에_λ 비례한다.
• φ_λ + b(λ) χ은_λ χ에_λ 비례한다.

W(φ_λ,χ_λ) = 1이므로 그린의 기능은 다음과 같다.

직접 계산해^[20] 보면 다음과 같다.

여기서 특성 매트릭스_ij M(z)은 다음과 같이 주어진다.

그러므로,

즉석에서 말해주는 것은 (이것은 "Stieltjes 반전 공식"의 특별한 경우다.)

ψ_λ⁽⁰⁾=φ과_λ ψ_λ⁽¹⁾=χ을_λ 설정하면 다음과 같다.

이 정체는 스펙트럼 정리와 티치마르슈-코다이라 공식에 해당한다.

초기하 방정식에 대한 적용

Mehler-Fock 변환은^[21][22][23] Legendre differential 연산자 D와 관련된 고유 기능 확장과 관련이 있다.

…에 대하여 고유 기능은 Legendere 함수다^[24]. 고유값 λ 0으로. 메흘러-폭의 두 변신은^[25] 그리고

(흔히 이것은 변수 τ = √λ의 용어로 쓰여진다.)

멜러와 포크는 이 미분 연산자를 연구했는데, 그것은 2차원 쌍곡선 공간에서 라플라시안의 방사성 성분으로 발생했기 때문이다. 보다 일반적으로,^[26] G = SU(1,1) 그룹을 고려하십시오.

결정제 α - β = 1을 포함.

수소 원자 적용

일반화 및 대안적 접근법

Weyl 함수는 Weyl-Titchmarsh-Kodaira 이론의 단일 버전을 발생시키는 단일$$ 엔드포인트 $a{\displaystyle }$ ${\displaystyle a}$에서 정의할 수 있다.^[27] 이는 방사형 슈뢰딩거 연산자의 경우에 적용된다.

전체 이론은 계수가 측정이 될 수 있는 경우까지 확장될 수 있다.^[28]

겔판-레비탄 이론

메모들

참조

• Akhiezer, Naum Ilich; Glazman, Izrael Markovich (1993), Theory of Linear Operators in Hilbert Space, Dover, ISBN 978-0-486-67748-4
• Bellman, Richard (1969), Stability Theory of Differential Equations, Dover, ISBN 978-0-486-62210-1
• Coddington, Earl A.; Levinson, Norman (1955), Theory of Ordinary Differential equations, McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-011542-2
• Courant, Richard; Hilbert, David (1989), Method of Mathematical Physics, Vol. I, Wiley-Interscience, ISBN 978-0-471-50447-4
• Dieudonné, Jean (1969), Treatise on Analysis, Vol. I [Foundations of Modern Analysis], Academic Press, ISBN 978-1-4067-2791-3
• Dieudonné, Jean (1988), Treatise on Analysis, Vol. VIII, Academic Press, ISBN 978-0-12-215507-9
• Dunford, Nelson; Schwartz, Jacob T. (1963), Linear Operators, Part II Spectral Theory. Self Adjoint Operators in Hilbert space, Wiley Interscience, ISBN 978-0-471-60847-9
• Hille, Einar (1969), Lectures on Ordinary Differential Equations, Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-53083-4
• Kodaira, Kunihiko (1949), "The eigenvalue problem for ordinary differential equations of the second order and Heisenberg's theory of S-matrices", American Journal of Mathematics, 71 (4): 921–945, doi:10.2307/2372377, JSTOR 2372377
• Kodaira, Kunihiko (1950), "On ordinary differential equations of any even order and the corresponding eigenfunction expansions", American Journal of Mathematics, 72 (3): 502–544, doi:10.2307/2372051, JSTOR 2372051
• Mehler, F.G. (1881), "Ueber mit der Kugel- und Cylinderfunctionen verwandte Function und ihre Anwendung in der Theorie der Elektricitätsverteilung", Mathematische Annalen, 18 (2): 161–194, doi:10.1007/BF01445847
• Reed, Michael; Simon, Barry (1975), Methods of Modern Mathematical Physics II, Fourier Analysis, Self-Adjointness, Academic Press, ISBN 978-0-12-585002-5
• Riesz, Frigyes; Szőkefalvi-Nagy, Béla (1990). Functional Analysis. Dover Publications. ISBN 0-486-66289-6.
• Stone, Marshall Harvey (1932), Linear transformations in Hilbert space and Their Applications to Analysis, AMS Colloquium Publications, vol. 16, ISBN 978-0-8218-1015-6
• Teschl, Gerald (2009). Mathematical Methods in Quantum Mechanics; With Applications to Schrödinger Operators. AMS Graduate Studies in Mathematics. Vol. 99. ISBN 978-0-8218-4660-5.
• Teschl, Gerald (2012). Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems. AMS Graduate Studies in Mathematics. Vol. 140. ISBN 978-0-8218-8328-0.
• Titchmarsh, Edward Charles (1946), Eigenfunction expansions associated with second order differential equations, Vol. I (1st ed.), Oxford University Press
• Titchmarsh, Edward Charles (1962), Eigenfunction expansions associated with second order differential equations, Vol. I (2nd ed.), Oxford University Press, ISBN 978-0-608-08254-7
• Vilenkin, Naoum Iakovlevitch (1968), Special Functions and the Theory of Group Representations, Translations of Mathematical Monographs, vol. 22, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-1572-4
• Weidmann, Joachim (1987), Spectral Theory of Ordinary Differential Operators, Lecture Notes in Mathematics, vol. 1258, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-17902-5
• Weyl, Hermann (1910a), "Über gewöhnliche Differentialgleichungen mit Singularitäten und die zugehörigen Entwicklungen willkürlicher Functionen", Mathematische Annalen, 68 (2): 220–269, doi:10.1007/BF01474161
• Weyl, Hermann (1910b), "Über gewöhnliche Differentialgleichungen mit Singulären Stellen und ihre Eigenfunktionen", Nachr. Akad. Wiss. Göttingen. Math.-Phys.: 442–446
• Weyl, Hermann (1935), "Über das Pick-Nevanlinnasche Interpolationsproblem und sein infinitesimales Analogen", Annals of Mathematics, 36 (1): 230–254, doi:10.2307/1968677, JSTOR 1968677