볼록 척도

수학에서 측정과 확률 이론에서 볼록한 측정은 A나 B에 개별적으로 할당하는 것보다 중간 집합에 더 많은 질량을 할당하지 않는 확률 측정값이다.A와 B의 확률과 중간 집합의 비교를 할 수 있는 방법은 여러 가지가 있어 로그-콘카비티, 고조파 볼록 등 볼록의 여러 가지 정의로 이어진다.수학자 크리스터 보렐은 1970년대 지역 볼록공간에 대한 볼록수 측정에 대한 상세한 연구의 선구자였다.^[1][2]

일반적 정의 및 특수 사례

X를 국소적으로 볼록한 하우스도르프 벡터 공간이 되게 하고, X의 보렐 σ알게브라에 대한 확률 측정 μ를 고려한다.-∞ ≤ s ≤ 0을 수정하고, u에 대해 v 0 0과 0 1 λ 1을 정의한다.

${\displaystyle M_{s,\lambda }(u,v)={\begin{cases}(\lambda u^{s}+(1-\lambda )v^{s})^{1/s}&{\text{if }}-\infty <s<0,\\\min(u,v)&{\text{if }}s=-\infty ,\\u^{\lambda }v^{1-\lambda }&{\text{if }}s=0.\end{case}}}$

X의 하위 집합 A와 B의 경우, 우리는 쓴다.

${\displaystyle \lambda A+(1-\lambda )B=\{\lambda x+(1-\lambda )y\mid x\in A,y\in B\}}$

밍코프스키의 금액으로요이 표기법으로, X의 모든 보렐 측정 가능한 하위 집합 A와 B, 그리고 모든 0 λ λ 1 1에 대해 측정 μ는 s-콘벡스라고^[1] 한다.

${\displaystyle \mu (\lambda A+(1-\lambda )B)\geq M_{s,\lambda }}(\mu(A),\mu(B)}}$

특별한 경우 s = 0은 불평등이다.

${\displaystyle \mu (1-\lambda )B)\geq \mu (A)^{\lambda }\mu (B)^{1-\lambda }}}}$

즉

$\displaystyle \log \mu (\lambda A+(1-\lambda )B)\geq \lambda \log \mu (A)+(1-\lambda )\log \mu (B)}$

따라서 0-콘벡스인 척도는 대수적으로 오목한 척도와 같다.

특성.

s-convex 측정의 클래스는 s가 -complete로 감소함에 따라 내포되는 증가 패밀리를 형성한다."

${\displaystyle s\leq t{\text{} 및 }\mu {\text{-textx}\cext{\text{\text}는 }}}}$

또는 동등하게

${\displaystyle s\leq t\properties \{s{-text}\supseteq \{t}\text{-textx measures}\}}}$

따라서 -cnv-convx 측정값의 집합은 그러한 등급이 가장 큰 반면, 0-convx 측정값(로가리듬 오목 측정값)은 가장 작은 등급이다.

위의 의미에서의 n차원 유클리드 공간 R에ⁿ 대한 측정 μ의 볼록도는 확률밀도함수의 볼록도와 밀접한 관련이 있다.^[2]Indeed, μ is s-convex if and only if there is an absolutely continuous measure ν with probability density function ρ on some R^k so that μ is the push-forward on ν under a linear or affine map and ${\displaystyle e_{s,k}\circ \rho \colon \mathbb {R} ^{k}\to \mathbb {R} }$ is a convex function, where

${\displaystyle e_{s,k}(t)={\preason{case}t^{sk/(1-sk)}&#{\text{}}}}}-\property <s<0\\t^{-1/k}&\text{{{}}}\cext{}s=}.\end{case}}}$

볼록스 측정은 또한 제로원 법칙을 만족시킨다. G가 벡터 공간 X의 측정 가능한 첨가물 부분군(즉, 측정 가능한 선형 하위 공간)이라면, G의 내부 측정치는 μ 미만이다.

${\displaystyle \mu _{\ast }}=\supp\{\mu(K)\mid K\subseteq G{\text{ 및 }}}K{\text는 컴팩트함}},}$

0 또는 1이어야 한다(μ가 라돈 측정값이고 따라서 내측 정규 측정값인 경우 측정 μ와 내측 측정값이 일치하므로 G의 μ 측정값은 0 또는 1이다).^[1]

참조