거리

거리는 물체나 점이 얼마나 떨어져 있는지를 나타내는 수치입니다.물리학 또는 일상 사용에서 거리는 물리적 길이 또는 다른 기준에 기초한 추정(예: "두 개의 카운티 초과")을 나타낼 수 있습니다.점 A에서 점 B까지의 거리는 $|AB|$ B $displaystyle$ AB $|AB|$ 로 표시될 수 있습니다.대부분의 경우, 「A에서 B까지의 거리」는 「B에서 A까지의 거리」와 교환할 수 있습니다.수학에서 거리함수 또는 미터법은 물리적 거리 개념을 일반화한 것입니다; 그것은 어떤 공간의 요소들이 서로 "가까이" 또는 "멀리" 있는 것을 의미하는 것을 설명하는 방법입니다.심리학과 사회과학에서 거리는 비수치적인 측정치이다; 심리적 거리는 시간, 공간, ^[1]고립과 같은 차원을 통해 물체가 어떻게 자신으로부터 제거될 수 있는지를 말한다.

종류들

물리적.

로스앤젤레스-도쿄 간 항공 노선은 거의 직선거리로 되어 있지만(상단), 동쪽으로 향할 때는 제트기류(하단)를 이용한다.가장 짧은 경로는 직선이 아닌 곡선으로 나타납니다. 왜냐하면 이 지도는 지구의 실제 구형 표면과 비교하여 모든 거리를 동일하게 축척하지 않는 메르카토르 투영법이기 때문입니다.

그리드의 "맨하탄 거리"

물리적인 거리는 다음과 같은 여러 가지 의미를 가집니다.

주행 거리:미로를 탐색할 때 걷는 거리 등 두 ^[2]지점 사이를 이동한 특정 경로의 길이
직선(유클리드) 거리:장애물이 없는 경우(보통 유클리드 거리로 공식화됨) 취할 수 있는 두 점 사이의 공간을 통과하는 최단 경로의 길이
측지 거리:지구의 곡선을 따라 대원거리와 같이 일부 표면에 남아 있는 두 지점 사이의 최단 경로 길이
한 궤도를 완주했을 때 직선으로 위로 던져진 공이나 지구처럼 시작 지점으로 되돌아오는 특정 경로의 길이입니다.

Visakhapatnam 부근의 거리를 나타내는 보드

"원거리"는 바퀴로 이동하는 거리로, 차량이나 기계 기어를 설계할 때 유용할 수 있습니다.바퀴의 둘레는 2µ × 반지름이며 반지름을 1로 가정하면 바퀴의 각 회전은 2µ 라디안 거리와 같다.엔지니어링에서는 "= 2"가 자주 사용됩니다. 여기서 "는 주파수입니다.

거리에 대한 비정상적인 정의는 특정 물리적 상황을 모델링하는 데 도움이 될 수 있지만 이론 수학에도 사용됩니다.

"Manhattan distance"는 직선 거리로, 뉴욕시 일부의 도로망에서 목적지에 도달하기 위해 택시가 이동해야 하는 블록 수(북, 남쪽, 동쪽 또는 서쪽 방향)에서 이름을 따왔다.
체비셰프 거리로 공식화된 "체스보드 거리"는 왕이 두 칸 사이를 이동하기 위해 체스판에서 해야 하는 최소 움직임 수이다.

우주론에서 거리 측정은 우주의 팽창과 상대성 이론으로 묘사되는 효과로 인해 복잡해진다.

이론적인

"거리"라는 용어는 특정한 방법으로 비물리적 실체를 측정하기 위해 유추적으로도 사용된다.

컴퓨터 공학에서는 두 문자열 사이의 "편집 거리"라는 개념이 있습니다.예를 들어, "dog"와 "dot"은 한 글자만 다른 "dog"와 "cat"보다 세 글자만 다른 "dog"와 "cat"보다 더 가깝습니다.이 아이디어는 맞춤법 검사기 및 코딩 이론에서 사용되며 수학적으로 다음과 같은 몇 가지 다른 방법으로 공식화됩니다.

수학에서 메트릭 공간은 집합의 모든 구성원 간의 거리를 정의하는 집합입니다.이러한 방법으로 그래프 횡단, 분포 및 곡선의 비교, "공간"의 비정상적인 정의(예: 다양체 또는 반사 사용)와 같은 다양한 유형의 "거리"를 계산할 수 있다.그래프 이론에서의 거리 개념은 소셜 네트워크(예: Erd의 수 또는 Bacon 수)를 설명하기 위해 사용되어 왔다. 즉, 한 사람이 다작 수학자 Paul Erdss와 배우 Kevin Bacon으로부터 떨어져 있는 협력 관계의 수는 각각 다작 수학자 Paul Erdss와 Kevin Bacon이다.

심리학, 인문 지리학, 사회과학에서 거리는 종종 객관적인 측정기준이 아니라 주관적인 ^[3]경험으로 이론화된다.

방향

이동량과 비교한 경로상의 거리

거리와 변위는 모두 물체의 움직임을 측정합니다.거리는 음수일 수 없으며 절대 감소하지 않습니다.거리는 스칼라 양 또는 크기이며, 변위는 크기와 방향을 모두 가진 벡터 양입니다.음수, 0 또는 양수일 수 있습니다.방향 거리는 움직임을 측정하는 것이 아니라 두 점의 거리를 측정하는 것이며 양의 벡터, 0 벡터 또는 음의 ^[4]벡터가 될 수 있습니다.

A 지점에서 B 지점까지의 곡선 경로를 따라 차량(예: 주행 기록계 기록), 사람, 동물 또는 물체로 덮인 거리는 A에서 B 지점까지의 직선 거리로 구분해야 한다.예를 들어, A에서 B로, 그리고 A로 돌아오는 왕복 중에 커버된 거리가 무엇이든 간에, 시작점과 끝점이 일치하면 변위는 0이 됩니다.일반적으로 직선 거리는 직선 이동 거리를 제외하고 주행한 거리와 같지 않습니다.

직선 및 곡선을 따라 방향 거리를 결정할 수 있습니다.

직선 방향 거리는 시작점과 끝점 사이의 거리와 방향을 제공하는 벡터입니다.유클리드 벡터 공간에서의 선상 AB상의 점 A로부터의 점 C의 방향 거리는, C가 선 AB상에 있으면 A로부터 C까지의 거리이지만, C가 선 BA상에 있으면(즉, C가 A와 같은 측에 있지 않은 경우) 그 거리의 마이너스이다.예를 들어 뉴욕시립도서관 깃대에서 자유의 여신상 깃대까지의 직접 거리는 다음과 같습니다.

시작점: 라이브러리 플래그 폴
종료점 : 동상 깃발 기둥
A방향 : -38°
거리: 8.72km

또 다른 방향 거리는 주어진 시간에 두 개의 다른 입자 또는 점 질량 사이의 거리입니다.예를 들어, 지구 A의 무게 중심과 달 B의 무게 중심으로부터의 거리(A에서 B로의 움직임을 엄밀하게 의미하지는 않음)가 이 범주에 속합니다.

곡선을 따른 방향거리는 벡터가 아니며 끝점 A 및 B에 의해 정의된 해당 곡선의 세그먼트에 의해 표현되며, 세그먼트의 한쪽 끝점에서 다른 쪽 끝점으로의 이상 또는 실제 움직임의 감지(또는 방향)를 나타내는 몇 가지 특정 정보가 있다(그림 참조).예를 들어, 순서 순서(A, B)가 상정되어 있는 경우, 2개의 엔드포인트에 A와 B로 라벨을 붙이는 것만으로, 그 의미를 나타낼 수 있다.이것은 A가 시작점임을 의미합니다.

변위

변위(위 참조)는 역학에서 정의된 특수한 종류의 직접 거리입니다.A와 B로부터 직선상의 거리(최소 거리)인 경우, 그리고 A와 B가 두 개의 서로 다른 시간대에서 같은 입자가 차지하는 위치일 때, 방향 거리는 변위라고 불립니다.

수학

기하학.

해석 기하학에서 xy 평면의 두 점 사이의 유클리드 거리는 거리 공식을 사용하여 구할 수 있습니다.(x₁, y₁)와 (x₂, y₂) 사이의 거리는 다음과 같습니다.^[5]^[6]

{{displaystyle d=sqrt {(Delta x)^{2}+(Delta y)^{2}=sqrt {(x_{2}-x_{1})^2}+(y_{2}-y_{1})^2}}{2}}.}

마찬가지로, 점(x₁, y₁, z₁)과 (x₂, y₂, z₂)이 세 공간에 있을 때, 두 점 사이의 거리는 다음과 같습니다.^[5]

{{displaystyle d=sqrt {((Delta x)^{2}+(Delta y)^{2}+(Delta z)^2}}=sqrt {(x_{2}-x_{1})^2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{1})^{2}}}}^{2}}}}}}}}}}.}

이러한 공식은 다른 삼각형을 포함하는 평면에 직교하는 다른 다리와 다른 삼각형을 가진 직각 삼각형을 구성하고 피타고라스 정리를 적용함으로써 쉽게 도출된다.이 거리 공식은 호 길이 공식으로 확장할 수도 있습니다.비유클리드 기하학에서는 다른 공식과 함께 다른 거리가 사용됩니다.

유클리드 공간

유클리드 공간ⁿ R에서, 두 점 사이의 거리는 보통 유클리드 거리(2-노름 거리)로 주어진다.다른 규범에 기초한 다른 거리가 대신 사용될 수 있습니다.

점(x₁, x₂, ...,x_n) 및 점(y₁, y₂, ...,y_n)의 경우 p순서의 민코프스키 거리(p-norm 거리)는 다음과 같이 정의됩니다.

1-노름 거리	$=\sum _{i=1}^{n}\left x_{i}-y_{i}\right$
2-노름 거리	$=\left(\sum _{i=1}^{n}\left x_{i}-y_{i}\right ^{2}\right)^1/2$
p-표준 거리	$=\left(\sum _{i=1}^{n}\left x_{i}-y_{i}\right ^{p}\right)^{1/p$
무한 노름 거리	$=\lim _{p\to\infty}\left(\sum _{i=1}^{n}\left x_{i}-y_{i}\right ^{p}\right ^{p})^1/p$
	$({displaystyle =\max \left(x_{1}-y_{1}, x_{2}-y_{2},\ldots, x_{n}-y_{n} \오른쪽).}$

p는 정수일 필요는 없지만 1보다 작을 수 없습니다. 그렇지 않으면 삼각 부등식이 유지되지 않기 때문입니다.

2-노름 거리는 유클리드 거리로, 피타고라스 정리의 두 개 이상의 좌표로 일반화됩니다.그것은 두 점 사이의 거리를 자로 측정하면 얻을 수 있는 것이다: 거리에 대한 "직관적" 개념.

1-노름 거리는 사각 블록으로 배치된 도시에서 자동차가 주행할 수 있는 거리이기 때문에 택시 표준 또는 맨해튼 거리라고 더 화려하게 불립니다.

무한 노름 거리를 체비셰프 거리라고도 합니다.2D에서는 왕이 체스판의 두 칸 사이를 이동하는 데 필요한 최소 이동 횟수입니다.

p-norm은 1, 2, 무한대를 제외한 p 값에는 거의 사용되지 않지만 초타원을 참조하십시오.

물리공간에서 유클리드 거리는 가장 자연스러운 것이다. 왜냐하면 이 경우 강체의 길이는 회전에 따라 변하지 않기 때문이다.

변분 공식

공간의 두 점 $A={\vec {r}}(0)$ 의 유클리드 거리( $A$ $r$ ( 0 ) $A={\vec {r}}(0)$ 、 $B={\vec {r}}(T)$ $B={\vec {r}}(T)$ r $B={\vec {r}}(T)$ ( $0$ ) （ $B={\vec {r}}(T)$ ）（ \ $displaystyle$ B = $B={\vec {r}}(T)$ r $B={\vec {r}}(T)$ } ( T $B={\vec {r}}(T)$ ) $B={\vec {r}}(T)$ ） two: = r = ( T ) ）。거리는 적분의 최소값이다.

D=\int _{0}^{T}{\sqrt {left({\partial {r}}(t)\over\partial t}\right)^{2}},dt

${\vec {r}}(t)$ 서 r ${\vec {r}}(t)$ ( ${\vec {r}}(t)$ ) { $style {vec {r}}(t)$ 은 ${\vec {r}}(t)$ 두 지점 사이의 궤적입니다.적분(D)의 값은 이 궤적의 길이를 나타냅니다.거리는 이 적분의 최소값이며 r $r=r^{*}$ $r=r^{*}$ ${\$ {\ $displaystyle$ r $=r^{*}$ 일 $r=r^{*}$ 때 구합니다. $r^{*}$ 서 r ${\$ {\ $displaystyle$ r $^{*}}$ 은 $r^{{*}}$ 최적의 궤적입니다.익숙한 유클리드 사례(위 적분)에서 이 최적 궤적은 단순한 직선이다.두 지점 사이의 최단 경로가 직선이라는 것은 잘 알려져 있다.직선은 위의 함수에 대한 오일러-라그랑주 방정식을 풀면 정식으로 구할 수 있다.공간의 성질이 메트릭 $g_{ab}$ g $g_{ab}$ b $({$ ab $g_{ab}$ ${\sqrt {g^{ac}{\dot {r}}_{c}g_{ab}{\dot {r}}^{b}}}$ 로 표현되는 비유클리드 다양체(곡선 공간)에서 ${\sqrt {g^{ac}{\dot {r}}_{c}g_{ab}{\dot {r}}^{b}}}$ 은 ${\sqrt {g^{ac}{\dot {r}}_{c}g_{ab}{\dot {r}}^{b}}}$ a r ${\sqrt {g^{ac}{\dot {r}}_{c}g_{ab}{\dot {r}}^{b}}}$ ${\sqrt {g^{ac}{\dot {r}}_{c}g_{ab}{\dot {r}}^{b}}}$ ${\sqrt {g^{ac}{\dot {r}}_{c}g_{ab}{\dot {r}}^{b}}}$ a r $b$ b ${\$ b { $displaystyle$ { $g^{ac} {\dot {r} {$ c} { $c}$ { $b}}$ { $dot }$ } 로 수정해야 한다.on이 사용되었습니다.

고차원 객체에 대한 일반화

두 물체 사이의 유클리드 거리는 또한 물체가 더 이상 점이 아닌 공간 곡선과 같은 고차원 다양체인 경우로 일반화 될 수 있다. 그래서 두 점 사이의 거리에 대해 말하는 것 외에도 두 문자열 사이의 거리에 대한 개념을 논의할 수 있다.처리되는 새로운 객체가 확장된 객체(더 이상 점이 아님)이기 때문에 비확장성, 곡률 구속조건 및 비교차를 적용하는 비로컬 상호작용과 같은 추가 개념이 거리 개념의 중심이 됩니다.두 매니폴드 사이의 거리는 두 매니폴드 간의 변환을 나타내는 일반화 거리 함수를 최소화한 결과 발생하는 스칼라 양입니다.

{{displaystyle {D}}=\int _{0}^{L}\int _{0}^{T}\left\{\sqrt{좌({\partial {r}(s,t)\over \partial t}\right)^{2}}+\lambda \left[{\sqrt({\partial {r}(s,t)\over \partial s}\right}\ds}-ds1\right]

위의 이중 적분은 두 폴리머 구조 사이의 일반화 거리 함수입니다. $\displaystyle$ s는 $s$ $공간$ 파라미터, t $\displaystyle$ t는 $t$ 의사시간입니다.즉, ${\vec {r}}(s,t=t_{i})$ ${\vec {r}}(s,t=t_{i})$ ( ${\vec {r}}(s,t=t_{i})$ s , ${\vec {r}}(s,t=t_{i})$ ${\vec {r}}(s,t=t_{i})$ ${\vec {r}}(s,t=t_{i})$ i ${\vec {r}}(s,t=t_{i})$ ) { $displaystyle$ { $r }$ ( s , t $=$ t _ { $i$ } )는 ${\vec {r}}(s,t=t_{i})$ $시각$ $t_{i}$ { { $displaystyle$ t $_$ { $i$ }} $s$ 에서의 폴리머/스트링 배치이며 문자열 길이에 $따라$ 파라미터화 됩니다. $마찬가지$ 로 ${\vec {r}}(s=S,t)$ ${\vec {r}}(s=S,t)$ ( ${\vec {r}}(s=S,t)$ $=$ , ${\vec {r}}(s=S,t)$ , $t$ _ t _ t _ t _ { $cr$ } ) ${\vec {r}}(s,0)$ r ${\vec {r}}(s,0)$ ( ${\vec {r}}(s,0)$ s , ${\vec {r}}(s,0)$ )에서 ${\vec {r}}(s,T)$ r ${\vec {r}}(s,0)$ ${\vec {r}}(s,T)$ ( ${\vec {r}}(s,T)$ , 0 )( s , $0 )$ 로 ${\vec {r}}(s,0)$ 문자열 전체를 변환하는 동안 문자열의 극히 작은 세그먼트. conformation r $\lambda$ → ( ${\vec {r}}(s,T)$ s , $T ){$ $display$ ${\vec {r}}(s,T)$ style $}$ 에서 $\lambda$ langer 역할 승수로 변환하는 conformation r → ( s , 0 ).변환하는 동안 폴리머의 길이는 동일하게 유지됩니다.만약 두 개의 이산 폴리머가 확장 불가능한 경우, 그들 사이의 최소 거리 변환은 더 이상 유클리드 측정법에서도 순수한 직선 운동을 수반하지 않는다.단백질 ^[7]^[8]접힘 문제에 그러한 일반화된 거리를 적용할 수 있는 가능성이 있다.

이 일반화 거리는 끈 이론의 난부-고토 작용과 유사하지만, 3공간에서의 유클리드 거리는 고전 상대론적 끈에 대해 최소화된 시공간 거리와 동일하지 않기 때문에 정확히 일치하지는 않는다.

대수학

이는 컴퓨터 비전에서 자주 사용되는 메트릭으로 최소 제곱 추정을 통해 최소화할 수 있습니다.[1][2] $x^{\text{T}}Cx=0$ $x^{\text{T}}Cx=0$ $x^{\text{T}}Cx=0$ C $x^{\text{T}}Cx=0$ $=$ 0 {\ $displaystyle x^{\$ {}로 주어진 곡선 또는 표면의 경우 $T}}Cx=0}($ 동일한 좌표의 원뿔 등) 점 $x$ {\(\ $displaystyle$ x $')$ 에서 $x'$ 곡선까지의 대수적 거리는 $x'^{\text{T}}Cx'$ x $x'^{\text{T}}Cx'$ $x'^{\text{T}}Cx'$ $x'^{\text{T}}Cx'$ x $x'^{\text{T}}Cx'$ ′(\ $displaystyle$ x $'^{\text{\$ text})이다. $T}}Cx$ 비선형 최소 제곱과 같은 보다 정확한 방법으로 곡선의 추정을 정교하게 하기 위해 기하학적 거리에 대한 "초기 추측" 역할을 할 수 있습니다.

일반 메트릭

수학, 특히 기하학에서, 주어진 집합 M 위의 거리 함수는 함수 d: M × M → R이다. 여기서 R은 다음 조건을 만족하는 실수의 집합을 나타낸다.

d(x,y) 0 0 및 d(x,y) = x = y인 경우에만 0입니다(거리는 서로 다른 두 점 사이에서 양의 값이고 한 점 자체에서 정확히 0임).
이것은 대칭이다: d(x,y) = d(y,x).(x와 y 사이의 거리는 어느 방향에서나 동일합니다.)
이것은 삼각 부등식 d(x,z) d d(x,y) + d(y,z)를 만족합니다. (두 점 사이의 거리는 모든 경로를 따라 가장 짧은 거리입니다.)이러한 거리 함수를 메트릭이라고 합니다.세트와 함께 메트릭 공간을 구성합니다.

예를 들어, 두 실수 x와 y 사이의 거리에 대한 일반적인 정의는 d(x,y) = x - y입니다.이 정의는 위의 3가지 조건을 충족하며 실제 라인의 표준 토폴로지에 대응합니다.하지만 주어진 세트에서의 거리는 결정적인 선택입니다.또 다른 가능한 선택은 d(x,y) = x = y이면 0, 그렇지 않으면 1을 정의하는 것입니다.또한 메트릭을 정의하지만 완전히 다른 토폴로지인 "이산 토폴로지"를 제공합니다.이 정의에서는 이 번호를 임의로 근접시킬 수 없습니다.

집합 또는 점 및 집합 사이

d(A, B) > d(A, C) + d(C, B)

객체 간에는 다양한 거리 정의가 가능합니다.예를 들어, 천체 간에는 표면 간 거리와 중심 간 거리를 혼동해서는 안 된다.지구 궤도가 낮은 경우 전자가 후자보다 훨씬 작으면 첫 번째 궤도가 인용(고도)되는 경향이 있고, 그렇지 않으면 지구-달 거리, 후자가 인용된다.

특정 메트릭 공간의 비어 있지 않은2개의 서브셋간의 거리에는, 다음의 2개의 일반적인 정의가 있습니다.

두 개의 비어 있지 않은 집합 사이의 거리 중 하나는 각각의 두 점 사이의 거리 최소값으로, 이는 단어의 일상적인 의미이다. $\displaystyle d(A,B)=\inf_{x\in A,y\in B}d(x,y)}$ 이것은 대칭적인 사전 측정법입니다.일부 집합이 서로 접촉하거나 겹치는 집합에서는 서로 다른 두 집합 간의 거리가 0이기 때문에 "분리"되지 않습니다.또한 이것은 반측정이 아니다. 즉, 특별한 경우를 제외하고는 삼각 부등식이 유지되지 않는다.따라서 특별한 경우에만 이 거리가 메트릭 공간의 집합이 됩니다.
하우스도르프 거리는 두 가지 값 중 큰 값이다. 하나는 한 세트에 걸친 점, 최소값, 다른 세트에 걸친 두 번째 점, 두 점 사이의 거리, 그리고 다른 값은 마찬가지로 정의되지만 두 세트의 역할이 바뀐 값이다.이 거리는 메트릭 공간 자체의 비어 있지 않은 콤팩트 하위 집합을 메트릭 공간으로 만듭니다.

점과 세트 사이의 거리는 점 및 세트 내 점 사이의 거리의 최소값입니다.이 값은 위에서 언급한 집합 간 거리의 정의에 따라 이 점만 포함하는 집합에서 다른 집합까지의 거리에 해당합니다.

이러한 관점에서 하우스도르프 거리의 정의는 단순화할 수 있다. 하나는 한 세트에 걸쳐 있는 포인트의 최고치이며, 다른 하나는 마찬가지로 정의되지만 두 세트의 역할이 바뀐 값이다.

그래프 이론

그래프 이론에서 두 꼭지점 사이의 거리는 두 꼭지점 사이의 최단 경로의 길이입니다.

통계 정보

통계학 및 정보 기하학에는 많은 종류의 통계적 거리, 특히 분기가 있다. 특히 브레그만 분기와 f-분산이다.이는 "두 확률 분포 간의 차이"의 개념을 많이 포함하고 일반화하며, 통계 다양체로서 기하학적으로 연구할 수 있게 한다.가장 기본적인 것은 최소 제곱의 기초를 형성하는 유클리드 거리 제곱이다; 이것은 가장 기본적인 브레그만 발산이다.정보 이론에서 가장 중요한 것은 기하학적으로 최대우도 추정을 유추할 수 있는 상대 엔트로피(컬백-라이블러 발산)이다. 이것은 가장 기본적인 f-분산이며, 브레그만 발산이기도 하다.브레그만 분기에 대응하는 통계 다양체는 대응하는 기하학에서 평탄한 다양체이며, 최적화 이론에 의한 추론의 선형 역 문제에 피타고라스 정리(전통적으로 유클리드 거리 제곱에 참)의 유사체를 사용할 수 있다.

다른 중요한 통계적 거리에는 마할라노비스 거리, 에너지 거리 등이 있습니다.

캔버라

캔버라 거리는 컴퓨터 과학에서 사용되는 맨해튼 거리의 가중치 버전입니다.

심리학

심리적 거리는 "시간, 공간, 사회적 거리, 가설"^[1]과 같은 차원을 따라 물체가 자아로부터 제거될 수 있는 다른 방법이다.

「」를 참조해 주세요.

라이브러리 지원

Python(프로그래밍 언어)
- Interspace - 두 벡터, 숫자 및 문자열 사이의 거리를 찾기 위한 패키지입니다.
- SciPy - 거리 계산(scipy.spatial.distance)
줄리아(프로그래밍 언어)
- Julia Statistics Distance - 벡터 간의 거리(측정학)를 평가하기 위한 Julia 패키지입니다.

레퍼런스

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참고 문헌

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