대수적 구조

대수 구조
집단적인 그룹. 세미그룹/모노이드 랙앤쿼들 준군과 고리 아벨 군 마그마 거짓말군 군론
반지같은 울리다 Rng 세미링 니어링 교환환 도메인 적분영역 들판 나눗셈 링 라이링 고리이론
격자 같은 격자 반격자 상보격자 총순서 헤이팅 대수 부울 대수 격자도 격자론
모듈식 모듈 연산자와 그룹화 벡터공간 선형대수
대수적 대수학 연상적인 비연관성 조성대수 리 대수 등급이 매겨진 쌍대하학 호프 대수학
v t

수학에서 대수적 구조는 비어 있지 않은 집합 A(기본 집합, 캐리어 집합 또는 도메인이라고 함), A에 대한 연산의 집합(일반적으로 덧셈 및 곱셈과 같은 이진 연산), 그리고 이러한 연산이 만족해야 하는 유한한 항등식 집합으로 구성됩니다.

대수적 구조는 여러 구조를 포함하는 연산과 공리를 가진 다른 대수적 구조에 기초할 수 있습니다.예를 들어, 벡터 공간은 필드라고 불리는 두 번째 구조와 필드의 요소(스칼라라고 불리는)와 벡터 공간의 요소(벡터라고 불리는) 사이의 스칼라 곱셈이라고 불리는 연산을 포함합니다.

추상대수학은 대수적 구조를 연구하는 데 일반적으로 붙여진 이름입니다.대수 구조의 일반 이론은 보편 대수학에서 공식화되었습니다.범주 이론은 다른 수학적 구조와 같은 유형(동형사상)의 구조 사이의 함수를 포함하는 또 다른 형식화입니다.

보편 대수학에서 대수적 구조는 ^[1]대수라고 불리는데, 다른 맥락에서 대수는 필드 위의 벡터 공간이거나 교환 고리 위의 모듈이기 때문에 이 용어는 모호할 수 있습니다.

주어진 유형의 모든 구조(동일한 연산 및 동일한 법칙)의 집합을 보편 대수학에서 다양성이라고 합니다. 이 용어는 대수적 다양성의 약어로 대수기하학에서 완전히 다른 의미로 사용되기도 합니다.범주 이론에서, 주어진 유형의 모든 구조의 집합과 그들 사이의 동형화는 구체적인 범주를 형성합니다.

서론

덧셈 및 곱셈은 집합의 두 요소를 결합하여 동일한 집합의 세 번째 요소를 생성하는 작업의 전형적인 예입니다.이러한 연산은 몇 가지 대수적 법칙을 따릅니다.예를 들어, a + (b + c) = (a + b) + c 및 a (bc) = (ab)c는 연관법이고, a + b = b + a 및 ab = ba는 교환법입니다.수학자들에 의해 연구된 많은 체계들은 반드시 전부는 아니지만 일반적인 산술의 법칙들의 일부를 따르는 연산들을 가지고 있습니다.예를 들어, 3차원 공간에 있는 물체의 가능한 움직임은 물체의 첫 번째 움직임을 수행한 다음 새로운 위치에서 두 번째 움직임을 수행함으로써 결합될 수 있습니다.공식적으로 경직된 움직임이라고 불리는 그러한 움직임들은 연관법을 따르지만 대체법을 만족시키지 못합니다.

특정한 법칙을 따르는 하나 이상의 연산을 갖는 집합을 대수적 구조라고 합니다.새로운 문제가 그러한 대수적 구조와 같은 법칙을 포함할 때, 구조의 법칙만을 사용하여 증명된 모든 결과는 새로운 문제에 직접 적용될 수 있습니다.

일반적으로 대수적 구조는 두 개 이상의 요소를 결합하는 연산(고등 연산)과 한 개의 인수(단항 연산) 또는 심지어 영 인수(nullary 연산)를 사용하는 연산을 포함한 임의의 연산 모음을 포함할 수 있습니다.아래에 나열된 예들은 결코 완전한 목록은 아니지만, 학부 과정에서 가르치는 가장 일반적인 구조를 포함합니다.

통념

등식 공리

대수적 구조의 공리는 종종 항등호의 양변이 대수적 구조와 변수의 연산을 수반하는 표현인 등식의 형태를 갖습니다.항등식의 변수가 대수적 구조의 임의의 요소로 대체되는 경우 등식은 참으로 유지되어야 합니다.여기 몇 가지 일반적인 예가 있습니다.

교환성

∗$${\$displaystyle$*} 연산은 다음과 같습니다.

$${\displaystyle x*y=y*x}$$

대수적 구조의 모든 x와 y에 대하여.

연상성

${\displaystyle *}$ 연산은$$ 다음과 같은 경우 연관성이 있습니다.

$${\displaystyle (x*y)*z=x*(y*z)}$$

대수적 구조의 모든 x, y, z에 대하여.

좌분포

다른$$작업 +$${\$displaystyle +}$에 대해 ∗ {\displaystyle $*}$ 작업이 분산 상태로 남습니다.

$${\displaystyle x*(y+z)=(x*y)+(x*z)}$$

대수적 구조의 모든 x, y, z에 대하여 (두 번째 연산은 많은 일반적인 예에서 덧셈이 되므로 여기서는 +로 표시함).

우측분포

∗ {\$displaystyle *}$ 작업이 다른 작업$$+ ${\displaystyle +}$에 대해 올바른 분산입니다.

$${\displaystyle (y+z)*x=(y*x)+(z*x)}$$

대수적 구조의 모든 x, y, z에 대하여.

분배율

작업$$∗ {\$displaystyle *}$은(는) 왼쪽 분산 및 오른쪽 분산인 경우 다른$작업$ + {\displaystyle $+}$에 대해 분산됩니다.연산$$∗ {\$displaystyle$*}이(가) 상용이면 왼쪽 및 오른쪽 분포도가 모두 분포도와 같습니다.

실존적 공리

일부 공통 공리에는 실존 조항이 포함되어 있습니다.일반적으로 그러한 조항은 추가적인 연산을 도입하고, 실존 조항을 새로운 연산과 관련된 정체성으로 대체함으로써 피할 수 있습니다.더 정확하게, "모든 X에 대하여 $f$ ${\displaystyle (X,y}$ ) =${\displaystyle g}$ (${\displaystyle X,y}$ ) ${\displaystyle$f ($X,y$) =$g$ ($X,y$)}", 여기서 X는 변수의 k-슬라이스입니다.X의 각 값에 대해 특정 y의 값을 선택하면 arity k의 연산으로 볼 수 있는 함수${\displaystyle }$φ ${\displaystyle X}$ ↦ y${\displaystyle ,}${\$displaystyle \varphi :X\mapsty,}$가 정의되며, 공리는 $항등식{\displaystyle }$f (${\displaystyle X,}$φ (${\displaystyle X))}$ =${\displaystyle g}$ (${\displaystyle X,}$φ (${\displaystyle X))}$가 됩니다. ${\displaystyle$f ($X,\varphi ($X)) =$g$ ($X,\varphi (X$))$$}

그러한 보조 연산의 도입은 공리의 진술을 약간 복잡하게 만들지만 몇 가지 장점이 있습니다.특정한 대수적 구조가 주어졌을 때, 실존적 공리가 만족된다는 증명은 일반적으로 간단한 검증으로 완성된 보조 함수의 정의로 구성됩니다.또한 대수적 구조로 계산할 때 일반적으로 보조 연산을 명시적으로 사용합니다.예를 들어, 숫자의 경우, 덧셈 역수는 단항 빼기 $연산$ x${\displaystyle }$↦ -${\displaystyle x}$로 제공됩니다. ${\displaystyle$ x$\mapsto -x.}$

또한, 보편 대수학에서 다양성은 모든 공리가 동일성이라는 조건 하에 동일한 연산, 동일한 공리를 공유하는 대수적 구조의 클래스입니다.선행하는 것은 위와 같은 형태의 실존적 공리들이 다양성의 정의에 수용된다는 것을 보여줍니다.

다음은 가장 일반적인 실존적 공리들입니다.

아이덴티티 요소

이진 작업$${\$displaystyle$*}에 다음과 같은 요소가 있는 경우 ID 요소가 있습니다.

$${\displaystyle x*e=x\text{and}}\texte*x=x}$$

구조의 모든 x에 대하여.여기서 보조 연산은 e를 그 결과로 하는 arity zero의 연산입니다.

역요소

항등식 요소 e가 있는 이진 연산$$∗ {\$displaystyle *}$이(가) 주어졌을 때, 원소 x가 역등식 요소를 가진 경우, 즉${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle \mathrm{원소}}$ in v${\displaystyle }$( $)$ ${\displaystyle \operatorname${inv$}(x$)}이(가) 존재하는 경우, 원소 x는 가역적입니다.

$${\displaystyle \operator name {inv}(x)*x=e\text{and}\text*\operator name {inv}(x)=e.}$$

예를 들어, 군은 연관적이고 항등식 요소를 가지며 모든 요소가 가역적인 이진 연산을 갖는 대수적 구조입니다.

부등식 공리

대수적 구조의 공리는 임의의 1차 공식일 수 있는데, 이 공식은 논리적 연결(예를 들어 "and", "or" 및 "not")과 구조의 요소(부분집합이 아닌)에 적용되는 논리적 양화자${\displaystyle \mathrm{(}}$∀${\displaystyle \mathrm{,}}$ ∃ {\$displaystyle \forall,\exists$를 포함하는 공식입니다.

그러한 전형적인 공리는 필드의 반전입니다.이 공리는 이전 유형의 공리로 축소될 수 없습니다.(이는 필드가 보편 대수학의 의미에서 다양성을 형성하지 않는다는 것을 뒤따릅니다.)"필드의 모든 0이 아닌 요소는 가역적이다;" 또는 이와 동등하게: 구조는 다음과 같은 단항 연산을 갖습니다.

${\displaystyle \for all x,\displayx=0\display{\text{or}}\displayx\cdot \operatorname {inv}(x)=1.}$

inv 연산은 x = 0에 대해 정의되지 않은 부분 연산으로 볼 수도 있고, 0의 값이 임의이므로 사용해서는 안 되는 일반 함수로 볼 수도 있습니다.

공통 대수 구조

연산이 포함된 하나의 세트

간단한 구조: 이진 연산 없음:

• 집합: 연산이 없는 축퇴 대수 구조 S.

그룹 유사 구조: 하나의 이진 연산.이진 연산은 임의의 기호로 표시되거나 실수의 일반적인 곱셈에 대해 수행되는 것처럼 기호(병치) 없이 표시될 수 있습니다.

• 그룹: 일항 연산(역)이 있는 모노이드로 역원소를 생성합니다.
• 아벨 군(Abelian group): 이항 연산이 교환 연산인 군.

고리와 같은 구조 또는 링고이드: 흔히 덧셈과 곱셈이라고 불리는 두 개의 이진 연산으로 곱셈이 덧셈 위에 분배됩니다.

• 고리: 첨가 모노이드가 아벨 군인 반구.
• 나눗셈환: 0이 아닌 원소로 나눗셈이 정의되는 자명하지 않은 환.
• 가환환: 곱셈 연산이 가환인 환.
• 필드: 교환 분할 링(즉, 0이 아닌 모든 원소에 대해 곱셈 역수를 포함하는 교환 링).

격자 구조: 흡수 ^[2]법칙에 의해 연결된, 만남과 결합이라고 불리는 연산을 포함한 둘 이상의 이진 연산.

• 완전한 격자: 임의의 만남과 결합이 존재하는 격자.
• 유계 격자: 가장 큰 원소와 가장 적은 원소를 가진 격자.
• 분포 격자(distributive glates): 각각의 만남과 결합이 다른 것 위에 분포하는 격자.합집합과 교집합 아래에 설정된 멱급수는 분포 격자를 형성합니다.
• 부울 대수: 상보적인 분포 격자.만나거나 합류하는 것 중 하나는 다른 것과 보완의 관점에서 정의될 수 있습니다.

연산이 포함된 두 세트

• 모듈: M에서 연산자 역할을 하는 아벨 군 M 및 링 R.R의 구성원을 스칼라라고 부르기도 하며, 스칼라 곱셈의 이진 연산은 몇 가지 공리를 만족시키는 함수 R × M → M입니다.링 작동을 세어보면 이 시스템들은 적어도 세 가지 작동을 합니다.
• 벡터 공간: 링 R이 분할 링 또는 필드인 모듈.

• 필드 위의 대수: 모듈 구조와 호환되는 곱셈 연산도 수행하는 필드 위의 모듈.여기에는 덧셈에 대한 분포성과 곱셈에 대한 선형성이 포함됩니다.
• 내부 곱 공간: 정이선형 형태 V × V → F를 갖는 F 벡터 공간 V.

하이브리드 구조

대수적 구조는 또한 부분 순서 또는 위상과 같은 비대수적 성질의 추가된 구조와 공존할 수 있습니다.추가된 구조는 어떤 의미에서 대수적 구조와 호환되어야 합니다.

• 토폴로지 그룹: 그룹 작업과 호환되는 토폴로지를 가진 그룹.
• Lie 그룹: 호환 가능한 매끄러운 다양체 구조를 갖는 위상 그룹.
• 순서가 지정된 그룹, 순서가 지정된 링 및 순서가 지정된 필드: 부분 순서가 호환되는 각 구조 유형입니다.
• Archimedean 그룹: Archimedean 속성이 보유한 선형 순서의 그룹입니다.
• 위상 벡터 공간: M이 호환되는 위상을 갖는 벡터 공간.
• 노름 벡터 공간: 호환되는 노름을 갖는 벡터 공간.만약 그러한 공간이 (메트릭 공간으로서) 완전하다면, 바나흐 공간이라고 불립니다.
• Hilbert 공간: 내부 산물이 바나흐 공간 구조를 낳는 실수나 복소수 위의 내부 산물 공간.
• 정점 연산자 대수
• 폰 노이만 대수: 약한 연산자 위상을 갖춘 힐베르트 공간의 연산자 *대수.

만유대수

대수적 구조는 공리의 다양한 구성을 통해 정의됩니다.보편 대수학은 그러한 대상을 추상적으로 연구합니다.하나의 중요한 이분법은 정체성에 의해 완전히 공리화되는 구조와 그렇지 않은 구조 사이의 것입니다.대수의 클래스를 정의하는 모든 공리가 동일성이라면, 이 클래스는 다양합니다(대수 기하학의 대수적 다양성과 혼동되지 않음).

항등식은 구조가 허용하는 연산과 관련 우주에 암묵적으로 보편적으로 정량화된 변수만을 사용하여 공식화된 방정식입니다.ID에는 연결 관계, 기존에 정량화된 변수 또는 허용된 연산 이외의 다른 종류의 관계가 포함되지 않습니다.품종에 대한 연구는 보편 대수학의 중요한 부분입니다.다양한 대수적 구조는 항 대수의 몫 대수("절대 자유 대수"라고도 함)를 항등식 집합에 의해 생성된 동치 관계로 나눈 것으로 이해될 수 있습니다.따라서, 주어진 부호를 갖는 함수들의 집합은 자유 대수, 용어 대수 T를 생성합니다.일련의 등적 항등식( 공리)이 주어지면 대칭적인 전이적 폐색 E를 고려할 수 있습니다.몫대수 T/E는 대수적 구조 또는 다양성입니다.따라서 예를 들어, 그룹은 두 개의 연산자를 포함하는 서명을 갖습니다: 두 개의 인수를 취하는 곱셈 연산자 m과 하나의 인수를 취하는 역 연산자 i, 그리고 0개의 인수를 취하는 연산자로 간주될 수 있는 항등식 요소 e, 상수.변수 x, y, z 등의 (계산 가능한) 집합이 주어지면, 용어 대수는 m, i, e 및 변수를 포함하는 모든 가능한 항의 집합입니다. 따라서 예를 들어, m(i(x)), m(x, m(y,e))은 용어 대수의 한 요소가 될 것입니다.군을 정의하는 공리 중 하나는 항등식 m(x, i(x)) = e이고, 다른 하나는 m(x,e) = x입니다. 이 공리들은 트리로 표현될 수 있습니다.이 방정식들은 자유 대수에 대한 동치 클래스를 유도합니다; 몫 대수는 그 다음 군의 대수적 구조를 갖습니다.

어떤 구조는 다음과 같은 이유로 품종을 형성하지 못합니다.

1. 0 ≥ 1, 0이 가산 항등식 요소이고 1이 곱셈 항등식 요소일 필요가 있으나 이는 비 항등식입니다.
2. 필드와 같은 구조는 S의 0이 아닌 멤버에게만 성립하는 몇 가지 공리를 가지고 있습니다.대수적 구조가 다양하려면 S의 모든 구성원에 대해 그것의 연산이 정의되어야 합니다; 부분 연산은 있을 수 없습니다.

수학에서 가장 중요한 것 중 하나는 필연적으로 비동등식을 포함하는 구조물입니다. 예를 들어, 장과 나눗셈 고리.정체성이 없는 구조는 다양한 도전 과제를 가지고 있지 않습니다.예를 들어, (1, ${\displaystyle 0)}$ ⋅${\displaystyle }$( ${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle 1}$) = ( ${\displaystyle 0,0}$)$${\$displaystyle (1, 0)\cdot (0, 1$ = ($0, 0$ 때문에$$두 필드의 직접 곱은 필드가 아니지만, 필드에는 0의 나눗셈이 없습니다.

범주론

범주 이론은 대수적 구조를 연구하기 위한 또 다른 도구입니다(예를 들어, Mac Lane 1998 참조).카테고리는 연관된 형태소를 가진 객체들의 집합입니다.모든 대수적 구조는 고유한 동형 사상, 즉 구조를 정의하는 연산(들)과 호환되는 모든 함수를 가지고 있습니다.이런 식으로, 모든 대수적 구조는 범주를 만들어냅니다.예를 들어, 그룹 범주는 모든 그룹을 객체로 하고 모든 그룹 동형을 형태로 갖습니다.이 구체적인 범주는 범주 이론적 구조가 추가된 집합의 범주로 볼 수 있습니다.마찬가지로, (형태론이 연속적인 집단 동형론인) 위상적 집단의 범주는 여분의 구조를 가진 위상적 공간의 범주입니다.대수적 구조의 범주 사이의 망각 함수는 구조의 일부를 "잊는다".

범주 이론에는 예를 들어, 문맥의 대수적 성격을 포착하려고 하는 다양한 개념들이 있습니다.

• 대수적 범주
• 본질적으로 대수적 범주
• 제시 가능 카테고리
• 로컬로 표시 가능한 범주
• 모나드 함수와 범주
• 보편 재산

"구조"의 다양한 의미

표기법을 약간 남용하면, "구조"라는 단어는 기본 집합 자체가 아니라 구조에 대한 연산만을 나타낼 수도 있습니다.예를 들어, "$우리$는 집합 A ${\displaystyle$ A$}$에 링 구조를 정의했습니다"라는 $문장$은 집합$$A {\$displaystyle$ A$\}$에 대한 링 연산을 정의했다는 것을 의미합니다. 다른 예를 들어$,{\displaystyle }$ 그룹 (${\displaystyle Z\mathbb{},}$ +$$) {\$displaystyle (\mathbb${Z$},$ +)}은$$(는) 대수 구조인 namel을 $갖춘{\displaystyle \mathbb{}}$ 집합$$Z {\$displaystyle$ \$mathbb$ {Z}입니다$.$y 연산 $+{\displaystyle }$ ${\displaystyle$

참고 항목

• 자유물체
• 수학적 구조
• 서명(논리)
• 구조(수학적 논리)

메모들

참고문헌

• Mac Lane, Saunders; Birkhoff, Garrett (1999), Algebra (2nd ed.), AMS Chelsea, ISBN 978-0-8218-1646-2
• Michel, Anthony N.; Herget, Charles J. (1993), Applied Algebra and Functional Analysis, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-67598-5
• Burris, Stanley N.; Sankappanavar, H. P. (1981), A Course in Universal Algebra, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-90578-3

범주론

• Mac Lane, Saunders (1998), Categories for the Working Mathematician (2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98403-2
• Taylor, Paul (1999), Practical foundations of mathematics, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-63107-5

외부 링크

• 집센의 대수 구조.여기에 언급되지 않은 많은 구조물을 포함합니다.
• 추상 대수학에 관한 수학 세계 페이지.
• 스탠포드 철학 백과사전: 본 프랫의 대수학