수익균등도

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경매
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이론
디지털 상품 무정부 상태 가격 수익균등도 승자의 저주
온라인.
에비딩 민간전자시장 소프트웨어
v t

수익 균등성은 경매 이론의 개념으로, 특정 조건을 주어진다면, 동일한 결과(즉, 동일한 입찰자에게 품목을 배분)를 초래하는 어떤 메커니즘도 동일한 예상 수익을 갖는다고 말한다.

표기법

가능한 $결과$의 X ${\displaystyle X}$이(가) 있다.

각 결과에 대해 서로 다른 가치를 갖는 $n개$의 ${\displaystyle n}$개의 에이전트가$$ 있다. 에이전트 $i{\displaystyle }$ ${\displaystyle i}("$유형"이라고도 함)의 평가는 다음 함수로 표현된다.

${\displaystyle v_{i}:X\longrightarrow R_{\geq 0}}$

각 대안에 대해 가지고 있는 가치를 금전적인 측면에서 표현한다.

에이전트에는 quasilinar utility 기능이 있다. 즉, $결과$가 x ${\displaystyle x}$이고 또한 에이전트가 p ${\displaystyle i_{}}$ ${\$양수 또는 음수)를 받는 경우 에이전트 $i{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ i$}$의 총 유틸리티는 다음과$$ 같다.

${\displaystyle u_{i}=v_{i}(x)+p_{i}}}$

모든 가치 기능의 벡터는 $v{\displaystyle }$ ${\displaystyle v}$로 표시된다$.$

모든 에이전트 $i{\displaystyle }$ ${\displaystyle i}$에$$대해 다른 에이전트의 모든 값 기능의 벡터는 $v{\displaystyle {}_{}}$- ${\displaystyle i_{}}$ ${\$ $v_$${-$${\displaystyle i_{}}$$}}$로 표시된다$.$ 따라서 v $v{\displaystyle }$(v${\displaystyle i_{}}$ ,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$- i )${\displaystyle$ v$\equiv (v_{i}v_{-i$

메커니즘은 한 쌍의 기능이다.

• 값 벡터 $v{\displaystyle }$ ${\displaystyle v}$을(를) 입력하여 결과$$ $x{\displaystyle }$ x${\displaystyle }${ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$을(를) 반환하는 $O$ ${\displaystyle u}$ c ${\displaystyle o}$ ${\displaystyle o}$ e {\${\displaystyle m}$ ${\displaystyle$x\in X$}($$$사회 선택 함수라고도 함).
• 값 벡터 v ${\displaystyle v}$을(를) 입력하여$$ 지급 벡터$({\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$…${\displaystyle }$,${\displaystyle }$p ${\displaystyle n_{}}$ )${\displaystyle {}_{}}${\$displaystyle(p_{1},\dots ,p_{n})$를 반환하여$$각 플레이어가 받아야 하는 금액을 결정하는 P ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle a}$ m ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystystytime}$ 함수$$.

에이전트 유형은 동일하게 분산된 독립된 랜덤 변수들이다. 따라서, 메카니즘은 선수의 전략이 보고된 타입인 베이시안 게임을 그의 실제 타입의 기능으로 유도한다. 메커니즘은 모든 플레이어가 자신의 실형을 보고하는 베이시안 나시 평형이 있을 경우 베이지안-나시 인센티브가 양립할 수 있다고 한다.

성명서

이러한 가정 하에서 수익균등성 정리는 다음과 같이 말한다.^{[1]: 236–237}

다음과 같은 경우 베이시안-나시 인센티브 호환 메커니즘 2개:

• $O{\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$ t ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle o}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle Result}$ 기능은$$ 두 메커니즘 모두에서 동일하며,
• $일부{\displaystyle {}_{}^{}}$ 타입 v ${\displaystyle i_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$의 경우$,$$$ 플레이어 $i{\displaystyle }$ ${\displaystyle i}$의 예상 지급액은 두 메커니즘 모두에서 동일하다.
• 각 플레이어의 평가는 경로 연결 세트에서 도출된다.

다음:

• 모든 유형의 예상 지급액은 두 메커니즘 모두에서 동일하며, 따라서 다음과 같다.
• 기대수익(-지급금 합계)은 두 메커니즘에서 동일하다.

예

대표적인 예가 경매 메커니즘의 한 쌍이다: 첫 번째 가격 경매와 두 번째 가격 경매. 1차 경매는 베이시안-나시 인센티브 호환이 가능한 변종이 있고, 2차 경매는 지배적인 전략-인센트럴 호환성이 있어 베이시안-나시 인센티브 호환보다 훨씬 강하다. 두 메커니즘은 다음과 같은 이유로 정리의 조건을 충족시킨다.

• $O{\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$ c ${\displaystyle o}$ ${\displaystyle o}$ e$${\$displaystyle Result}$ 기능은$$ 두 메커니즘 모두에서 동일하다. - 최고 입찰자가 항목을 획득한다. 그리고:
• 아이템을 0으로 중시하는 플레이어는 항상 두 메커니즘에서 모두 0을 지불한다.

실제로 각 참가자의 예상 지급액은 두 경매에서 모두 같으며 경매인의 수익도 같다. 자세한 내용은 1차 가격 밀봉 입찰 경매 페이지를 참조하십시오.

단일 품목 경매에서 경매 메커니즘의 동등성

사실, 우리는 많은 종류의 경매들이 수입과 동등하다는 것을 증명하기 위해 수입 등가성을 사용할 수 있다. 예를 들어, 첫 번째 가격 경매, 두 번째 가격 경매, 그리고 모든 유료 경매는 입찰자가 대칭적일 때(즉, 그들의 가치는 독립적이고 동일하게 분포되어 있는 경우) 모든 수익에 상당한다.

세컨드 프라이스 경매

가장 높은 입찰가를 가진 선수가 두 번째로 높은 입찰가를 지불하는 2차 가격 단일 품목 경매를 생각해 보십시오. 각 플레이어 $i{\displaystyle }$ ${\displaystyle i}$이(가) 자체 값 ${\displaystyle b_{}}$ $i{\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle v_{}}$ i ${\$을(를) 입찰하는 것이$$ 최적이다$.$

$i{\displaystyle }$ ${\displaystyle i}$이(가) 경매에서 승리하여$$ 두 번째로 높은 입찰가를 내거나, ${\displaystyle \underset{}{최대}}$ j ${\displaystyle \underset{}{\ne }}$ i ${\displaystyle b_{}}$ j ${\$를 지불한다고 가정합시다$.$ 이 경매에서 얻은 수익은 단순히 ${\displaystyle \underset{}{max}}$ ${\displaystyle \underset{}{j}}$ ${\displaystyle \underset{}{\ne }}$ ${\displaystyle \underset{}{i}}$ b ${\displaystyle j_{}}$ ${\$ i$}b_{j}}}}$이다$.$

제1차 가격 경매

In the first price auction, where the player with the highest bid simply pays its bid, if all players bid using a bidding function ${\displaystyle b(v)=E(\max _{j\neq i}v_{j}~ ~v_{j}\leq v~\forall ~j),}$ this is a Nash equilibrium.

즉, 각 플레이어가 자신이 최고라고 가정하여 두 번째 최고 입찰의 예상가치를 입찰한다면, 어느 선수도 이탈할 동기가 없다. 만약 이것이 사실이라면, 만약 ${\displaystyle i}$이(가) 경매에 당첨된다면$$$$, 이 경매에서 예상되는 수익 또한 ${\displaystyle \underset{}{최대}}$ j ${\displaystyle \underset{}{j}}$i b ${\displaystyle j_{}}$ ${\$을 쉽게 알 수 있다.

증명

이를 증명하기 위해, 플레이어 이 b${\displaystyle }$( z${\displaystyle }$) ${\$$displaystyle$ $b$$(z$$)}$을를) 입찰한다고 가정해 보십시오. 서 z< v ${\$displaystyle z}은(는) 그 $값$이$$v {\$displaystyle$ v$}$이(가$$) $아니라{\displaystyle }$$$z {\$displaystystyle z}$이라고 효과적으로 허세를 부린다고 가정해 보십시오. 플레이어의 기대되는 $값$을 찾으십시오$.$

그러면 당첨 은 P i > v < $){\displaystyle Pr(\max_{i>$1}$v_{i}}}$이다 이 입찰의 예상 비용은 ( > 1 < i $){\displaystyle$ E$(\max_{i>1}v_{i}~~v_{i}<z~\forall ~i)}$ 입니다 그렇다면 선수의 예상 연봉은.

${\displaystyle Pr(\max _{i]1}v_{i}<z)(v-E(\max _{i)1}v_{i}~v_{i}<z~\forall ~i)}}$

= > i ${\$ 임의 변수 그러면 우리는 위의 내용을 로 다시 쓸 수 있다.

( < z)( - ( z) )${\displaystyle Pr(X<z)(v-E(X~$ X$\leq$ z

Using the general fact that ${\displaystyle E(X~ ~X\leq z)\cdot Pr(X<z)=\int _{0}^{z}Pr(X<z)-Pr(X<y)dy}$, we can rewrite the above as

( < z) - ( < z ) z+ 0 r( < ) ${\displaystyle Pr(X$ <$z>)\cdot v-Pr(X<z)\cdot z+\int _{0}^{z}Pr(X <y)dy$

$z{\displaystyle }$ ${\displaystyle z}$과(와) 관련된 파생 모델을 사용하여$,$ 당사는

( < z) (- )= = ${\displaystyle Pr(X<z)](v-z)=0\Rightarrow v=z$

따라서 당신의 가치 $v{\displaystyle }$ ${\displaystyle v}$을(를) 사용하여 입찰하면 플레이어의 예상 수익이 최대화된다$$. ( < ) ${\displaystyle Pr(X<z)}$이(가) 단조로이 증가하므로, 우리는 이것이 실제로 최대점임을 검증한다.

영국 경매

공개 상승가 경매(일명 영국 경매)에서는 호가가 자신의 가치와 같을 때까지 경매에 남아 있는 것이 매수자의 지배적인 전략이다. 그런 다음 경기장에 마지막으로 남은 선수라면 우승해 두 번째로 높은 낙찰가를 지불한다.

지원 [0,1], 누적분포함수 F(v) 및 확률밀도함수 f(v)를 가진 분포로부터 독립적인 추첨 값을 갖는 두 구매자의 경우를 고려한다. 구매자가 지배적인 전략에 따라 행동한다면, 상대편의 가치 x가 낮으면 v가치가 있는 구매자가 승리한다. 그래서 그의 우승 확률은

${\displaystyle w=\Pr\{x}\equiv F(v)}$

그리고 그의 예상 지급액은

${\displaystyle C(v)=\int \limits _{0}^{v}{}xf(x)dx}$

따라서 당첨을 조건으로 한 예상 지급액은 다음과 같다.

${\displaystyle e(v)={\frac {C(v)}}}{{0}^{v}{}}{xf(x)dx}{F(v)}}}}}}}}}}}}}$

양쪽을 F(v)로 곱하고 v로 구별하면 e(v)에 대해 다음과 같은 미분 방정식이 나온다.

${\displaystyle e^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$(${\displaystyle v}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle (v}$ ${\displaystyle )}$+ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle (v}$) f ${\displaystyle (v}$ ${\displaystyle )}$= ${\displaystyle v}$(${\displaystyle v}$ )${\displaystyle {e}(v)+e(v)f(v)=vf(v$

이 방정식을 재정렬하면

${\displaystyle {e}'(v)={\frac {f(v)}{F(v)}}}(v-e(v))})}$

밀봉된 1가 경매에서 B(v)를 평형 입찰 함수로 한다. 우리는 B(v)=e(v), 즉 한 경매에서 낙찰자에 의한 평형 지급이 다른 경매에서 낙찰자에 의한 평형 예상 지급과 동일하다는 것을 보여줌으로써 수익 균등성을 확립한다.

구매자가 가치 v와 입찰 b를 가지고 있다고 가정하자. 상대는 평형 입찰 전략에 따라 입찰한다. 상대방의 입찰 분배에 대한 지원은 [0,B(1)]이다. 따라서 적어도 B(1)의 입찰은 확률 1로 승리한다. 따라서 최선의 입찰 b는 [0,B(1)] 간격에 있으므로, 우리는 이 입찰서를 b = B(x)로 작성할 수 있으며, 여기서 x는 [0,1]에 있다. 상대가 y의 가치를 가지고 있다면 그는 b(y)를 입찰한다. 따라서 승산은 다음과 같다.

${\displaystyle w=\Pr\{b<B(y)\}=\Pr\{B(x)<B(y)\}=\Pr\{x<y\}=F(v)}$.

구매자가 예상한 보수는 당첨 확률에 당첨될 경우 순이익에 곱하는 것이다. 즉,

${\displaystyle U}$= ${\displaystyle w}$( ${\displaystyle v}$- B${\displaystyle }$( x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle F}$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$( ${\displaystyle v}$- ${\displaystyle B}$(${\displaystyle }$)$$) {\$displaystyle U=w(v-B(x)=F(x$)($v-B)(x$

차별화, 최대화에 필요한 조건은

${\displaystyle {U}'(x)=f(x)(v-B(x))-F(x){B}'(x)=F(x)\left({\frac {f(x)}{F(x)}}(v-B(x))-{B}'(x)\right)=0}$.

즉, B(x)가 구매자의 최선의 반응이라면 이 첫 번째 주문 조건을 충족시켜야 한다. 마지막으로 우리는 B(v)가 평형 입찰 함수가 되려면 구매자의 최선의 대응은 B(v)여야 한다는 점에 주목한다. 따라서 x=v. 필요한 조건에서 x를 대체하면,

${\displaystyle \frac{f}{}}$ ${\displaystyle \frac{(v}{}}$ ${\displaystyle \frac{)}{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$(${\displaystyle v}$ )${\displaystyle \frac{}{}}$(${\displaystyle v}$- B${\displaystyle }$(${\displaystyle v}$)${\displaystyle }$)${\displaystyle }$- ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle (v}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle {\frac {f(v)}{F(v)}}}}(v-B(v)})-{B}'(v)=0}$.

이 미분 방정식은 e(v)의 방정식과 동일하다는 점에 유의하십시오. $e{\displaystyle }$(0)=B(0)=0이므로 B${\displaystyle (v}$ ${\displaystyle )}$= ${\displaystyle e(v}$ ) ${\displaystyle B(v)=e(v)}$ 뒤에 따른다$.$

수입 등가치를 사용하여 입찰 함수 예측

우리는 게임에서 플레이어의 입찰 기능을 예측하기 위해 수입 등가성을 사용할 수 있다. 두 번째 가격 경매와 첫 번째 가격 경매의 두 플레이어 버전을 고려하십시오. 여기서 각 플레이어의 가치는${\displaystyle }$[ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [0,1]}$에서 균일하게 도출된다$.$

세컨드 프라이스 경매

2차 가격 경매에서 1차 선수의 예상 지급액은 다음과 같이 계산할 수 있다.

${\displaystyle E({\text{Payment}~{\text{Player 1승})P({\text{Player 1승})+E({\text{Payment}~{\text{Player 1 졌음})P({\text{Player 1 졌음})}$

두 번째 가격 경매에서 플레이어가 진실하게 입찰했기 때문에, 우리는 모든 가격을 플레이어의 가치로 대체할 수 있다. 1번 선수가 이기면, 2번 선수가 입찰하는 것을 지불한다. 또는 ${\displaystyle {p\mathrm{}}_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}}$= v ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$ 플레이어 1 자신이 $입찰$하는 p ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle {v\mathrm{}}_{}}$ 1 ${\$}.$$1번 선수가 지면 결제가 0이기 때문에 위와 같다.

${\displaystyle E(v_{2}~~v_{2}<v_{1})P(v_{2}<v_{1})+0}$

$v{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$2}}은 균일한 분포에서 나왔으므로$$, 우리는 이것을 다음과 같이 단순화할 수 있다.

${\displaystyle {\frac {v_{1}:{2}}:\cdot v_{1}={\frac {v_{1}^{2}}:}}$

제1차 가격 경매

우리는 첫 번째 가격 경매에서 정확한 대칭 입찰 기능을 생성하기 위해 수입 등가성을 사용할 수 있다. 첫 번째 가격 경매에서 각 플레이어가 $입찰{\displaystyle }$ 함수 b${\displaystyle }$(${\displaystyle v}$) ${\displaystyle b(v)}$을(를) 가지고 있다고 가정해 보십시오$.$ 여기서 이 기능은 알 수 없다.

이 게임에서 1번 선수의 예상 지급액은 그때 입니다.

${\디스플레이 스타일$$P({\text{Player 1승})+E({\text{Payment}~{\text{Player 1 졌음})$$P({\text{Player$1$졌음})}($위의 경우)

자, 플레이어는 단순히 플레이어가 입찰하는 것을 지불하고, 더 높은 가치를 지닌 플레이어가 여전히 승리한다고 가정해 보자. 그래서 두 번째 가격 경매에서처럼, 우승 확률은 플레이어의 가치일 뿐이다. 우리는 나중에 이 가정이 옳았음을 보여줄 것이다. 다시 말하지만, 선수는 경매에서 지면 아무 것도 지불하지 않는다. 그리고 나서 우리는 얻는다.

${\displaystyle b(v_{1})\cdot v_{1}+0}$

수익 균등화 원칙에 따라 우리는 이 표현을 위에서 계산한 2차 경매의 수익과 동일시할 수 있다.

${\displaystyle b(v_{1})\cdot v_{1}={\frac {v_{1}^{2}}:}}$

From this, we can infer the bidding function:

${\displaystyle b(v_{1})={\frac {v_{1}}{2}}}$

Note that with this bidding function, the player with the higher value still wins. We can show that this is the correct equilibrium bidding function in an additional way, by thinking about how a player should maximize his bid given that all other players are bidding using this bidding function. See the page on first-price sealed-bid auction.

All-pay auctions

Similarly, we know that the expected payment of player 1 in the second price auction is ${\displaystyle {\frac {v_{1}^{2}}{2}}}$, and this must be equal to the expected payment in the all-pay auction, i.e.

${\displaystyle {\frac {v_{1}^{2}}{2}}=b(v_{1})}$

Thus, the bidding function for each player in the all-pay auction is ${\displaystyle {\frac {v^{2}}{2}}}$

Implications

An important implication of the theorem is that any single-item auction which unconditionally gives the item to the highest bidder is going to have the same expected revenue. This means that, if we want to increase the auctioneer's revenue, the outcome function must be changed. One way to do this is to set a Reservation price on the item. This changes the Outcome function since now the item is not always given to the highest bidder. By carefully selecting the reservation price, an auctioneer can get a substantially higher expected revenue.^{[1]: 237}

Limitations

The revenue-equivalence theorem breaks in some important cases:^{[1]: 238–239}

• When the players are risk-averse rather than risk-neutral as assumed above. In this case, it is known that first-price auctions generate more revenue than second-price auctions.
• 선수의 평가가 상호 의존적인 경우, 예를 들어, 입찰자에게 부분적으로만 알려진 세계의 일부 상태에 따라 가치가 달라지는 경우(이것은 우승자의 저주와 관련이 있다). 이 시나리오에서, 영어 경매는 입찰자들이 다른 참가자들의 입찰에서 정보를 배울 수 있도록 하기 때문에 2차 경매보다 더 많은 수익을 창출한다.

참조

• Hartline, Jason, Approximation in Economic Design (PDF).