경계변동

수학 분석에서, BV 함수로도 알려진 경계 변동의 함수는 총 변동의 경계가 있는(완료): 이 특성을 갖는 함수의 그래프는 정확한 의미로 잘 처리된다. 단일 변수의 연속함수의 경우 경계변동이라는 것은 X축을 따라 움직이는 점의 기여를 무시한 채 y축의 방향을 따라 이동하는 거리가 그래프를 따라 이동하는 점의 유한한 값을 갖는 것을 의미한다. 여러 변수의 연속 함수의 경우, 고려해야 할 연속 경로가 주어진 함수의 전체 그래프일 수는 없지만(이 경우 초면일 수 있음), 그래프 자체의 모든 교차점이 될 수 있다는 사실(이 경우 두 변수의 함수의 경우)을 제외하고 정의의 의미는 동일하다.es, 평면)은 고정된 x축과 y축에 평행하다.

한정된 변동의 함수는 모든 연속적인 함수의 리만-스티엘트제스 통합을 찾을 수 있는 것과 관련된 기능이다.

또 다른 특성화에서는 콤팩트한 간격에 대한 경계변동의 함수가 정확히 f이며, 차이 g - h로 표기될 수 있는 f이며, 여기서 g와 h는 모두 경계단 단조로 되어 있다. 특히, BV 기능은 불연속성을 가질 수 있지만, 기껏해야 다수가 될 수 있다.

여러 변수의 경우, ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$의 오픈 서브셋 Ω에 정의된 함수 f는 분포파생물이 벡터 값 유한 라돈 측정치인 경우 경계 변동을 갖는다고 한다$$.

경계변동의 함수의 가장 중요한 측면 중 하나는 첫 번째 파생상품이 거의 모든 곳에 존재하는 불연속함수의 대수학을 형성한다는 것이다: 이러한 사실 때문에, 그것들은 함수, 일반 미분방정식 및 부분 미분방정식을 포함하는 비선형 문제의 일반화된 해결책을 정의하는데 사용될 수 있고 자주 사용된다.주제, 물리학, 공학.

실제 라인의 폐쇄된 경계 간격에 걸쳐 연속적인 기능에 대한 다음과 같은 포함 체인을 가지고 있다.

연속적으로 다른 ⊆ 립스치츠 연속 absolutely 절대적으로 연속적인 continuous 연속적이고 경계가 있는 변화 almost 거의 모든 곳에서 다른 ⊆

역사

보리스 골루보프에 따르면, 단일 변수의 BV 기능은 푸리에 시리즈의 융합을 다루는 논문(조단 1881)에서 카밀 요르단에 의해 처음 소개되었다. 이 개념을 여러 변수의 함수에 일반화하는 데 있어서 첫 번째 성공적인 단계는 레오니다 토넬리(^[1]Leonida Tonelli)가 1926년(Cesari 1986, 페이지 47–48)에 연속적인 BV 함수의 계급을 도입하여 둘 이상의 변수의 변동 미적분학 문제에 대한 해결책을 찾기 위한 직접적인 방법을 확장하기 위해서였다. 그로부터 10년 후(Cesari 1936년)에 람베르토 세자리는 토넬리의 정의에 있는 연속성 요건을 덜 제한적인 통합성 요건으로 변경하여, 처음으로 완전한 일반성에서 몇 가지 변수의 한정된 변동의 기능 등급을 획득했다: 요르단이 전에 그랬던 것처럼, 그는 문제의 해결을 위해 개념을 적용했다. Fourier 시리즈의 수렴에 관한 것이지만, 두 변수의 함수에 관한 것이다. 그의 뒤를 이어 여러 저자들이 BV 함수를 적용하여 푸리에 시리즈를 여러 변수, 기하학적 측정 이론, 변동의 미적분학, 수학적 물리학을 연구하였다. 레나토 카치오폴리와 엔니오 데 지오르기는 이를 사용하여 세트의 매끄럽지 않은 경계를 측정했다(자세한 내용은 "카치오폴리 세트" 항목 참조). 올가 아르세니예브나 올레니크는 논문(Oleinik 1957)의 공간 BV에서 나온 함수로 비선형 부분 미분방정식에 대한 일반화 해법에 대한 견해를 소개했고, 논문(Oleinik 1959): 몇 년 후 Edward D. 콘웨이와 조엘 A. 스몰러는 논문(Conway & Smoller 1966)의 첫 번째 순서의 단일 비선형 쌍곡선 부분 미분 방정식 연구에 BV 기능을 적용하여, 초기 값이 동일한 등급에 속한다면 그러한 방정식에 대한 코치 문제의 해결은 경계 변동의 함수임을 입증했다. 아이지크 이사코비치 볼퍼트는 BV 기능에 대한 미적분학을 광범위하게 개발했다: 논문 (Vol'pert 1967)에서 그는 BV 기능에 대한 체인 규칙을 증명했고, 책 (Hudjev & Vol'pert 1985)에서 그의 제자 세르게이 이바노비치 허드재프와 공동으로 BV 기능의 특성과 그 적용에 대한 광범위한 연구를 했다. 그의 체인 룰 공식은 후에 루이지 암브로시오와 지아니 달 마소에 의해 논문에서 확장되었다(암브로시오 & 달 마소 1990).

형식 정의

한 변수의 BV 함수

정의 1.1. 간격 [a, b] defined ⊂ ⊂ ⊂에 정의된 연속 실질값(또는 더 일반적으로 복잡하게 계산된) 함수 f의 총 변동은 수량이다.

${\displaystyle V_{a}^{b}(f)=\sup _{P\in {\mathcal {P}}\sum _{i=0}^{n_{P}-1}f(x_{i+1})-f(x_{i}},},}$

where the supremum is taken over the set ${\textstyle {\mathcal {P}}=\left\{P=\{x_{0},\dots ,x_{n_{$$P}\}\mid P{\text${\text$}$는 고려된 간격의 모든 파티션 중$$ $}}}}}}a,b]{\text{{}}\x_{liq$ x_${i+1}{\text{}}}}}의 파티션이다.$

f가 서로 다르고 그 파생상품이 리만-통합이 가능하다면, f의 총 변동은 그래프의 호 길이의 수직적 구성요소, 즉 다음과 같다.

${\displaystyle V_{a}^{b}(f)=\int _{a}^{b}f'(x) \,\mathrm {d}x.}$

정의 1.2. 실선의 연속적$$ 실질가치 함수 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$은 총변동이 유한할 경우 선택된 간격[a, b] ⊂ ⊂ ⊂ interval에서 경계변동(BV 함수)이라고 한다.

${\displaystyle f\in {\text{B}V}}([a,b])\iff V_{a}^{b}(f)<+\ft }$

그것은, 만약 그것이 차이를 같이 쓸 수 있는 진짜 기능 ƒ[a, b]{\displaystyle[a,b]}에 유계 변동은 입증할 수 있어 ƒ = ƒ1− ƒ2의 두non-decreasing 기능에[a, b]{\displaystyle[a,b]}:이 결과로 알려진 요단 강 분해의 기능과 그것은 관련된 요단 강 decomposi.ti의 치수로

Steltjes 적분을 통해, 닫힌 간격에 대한 경계변동의 함수[a, b]는 C([a, b])에 경계선 기능을 정의한다. 이 특별한 경우,^[2] 리에즈-마코프-카쿠타니 표현 정리에서는 모든 경계선 기능성이 이와 같은 방식으로 고유하게 발생한다고 기술하고 있다. 정규화된 양의 함수 또는 확률 측정은 양의 감소하지 않는 낮은 반비례 함수에 해당한다. 이러한 관점은 스펙트럼 이론,^[3] 특히 일반적인 미분 방정식에 적용하는 데 있어 중요했다.

여러 변수의 BV 함수

경계변동의 함수인 BV함수는 분포파생물이 유한^[4] 라돈 측정인 함수다. 더 정확히 말하자면:

정의 2.1. $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Oomega}$을(를) ${\displaystyle {}^{}}$ n ${\$^{$n}$의 열린 하위 집합으로$$ 두십시오$.$ $L{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}\mathrm{\Omega })}$ ${\displaystyle L^{1}(\Displaystysty$ $u$$})$에 속하는$$ 함수 $u{\displaystyle }$ ${\\displaystystystystystystytyput$ styptionstate u$}$은(BV 함수 u}을(으)로 하며, BV 함수 function stymp

$BV(\Oomega )에서 u\displaystyle u\in BV(\Oomega )}$

유한 벡터 라돈 측정치 $D{\displaystyle u}$ u ${\displaystyle \mathrm{u}}$ ${\displaystyle (}$ M${\displaystyle ({\mathbb{}}^{}}$ ,${\displaystyle {}^{}}$ n$$) {\$displaystyle Du\in$ {\$mathcal$ {M$}(\Oomega$,\$mathb {R} ^{$n})이 있는 경우 다음과$$ 같은 동등성이 유지되도록 하십시오.

${\displaystyle \int _{\Omega }u(x)\operatorname {div} {\boldsymbol {\phi }}(x)\,\mathrm {d} x=-\int _{\Omega }\langle {\boldsymbol {\phi }},Du(x)\rangle \qquad \forall {\boldsymbol {\phi }}\in C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})}$

that is, ${\displaystyle u}$ defines a linear functional on the space ${\displaystyle C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})}$ of continuously differentiable vector functions ${\displaystyle {\boldsymbol {\phi }}}$ of compact support contained in ${\displaystyle \Omega }$: the vector measure $D{\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle Du}$은(는) 따라서 $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$의 분포 또는 약한 구배를 나타낸다$$$.$

BV는 다음과 같은 방법으로 동등하게 정의될 수 있다.

정의 2.2. $L{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$(${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$) ${\displaystyle L^{1}(\Displaystyle$ $u$$})$에 속하는$$ 함수 u {\displaystyle u}이$($가)에 $따라{\displaystyle \mathrm{}}$Ω {\$displaystyle \Oomega}$에서^[5] $u{\displaystyle }$ ${\displaystystyle u}$의 총 변동은 다음과 같이 정의된다$.$

${\displaystyle V(u,\Omega ):=\sup \left\{\int _{\Omega }u(x)\operatorname {div} {\boldsymbol {\phi }}(x)\,\mathrm {d} x:{\boldsymbol {\phi }}\in C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n}),\ \Vert {\boldsymbol {\phi }}\Vert _{L^{\infty }(\Omega )}\leq 1\right\}}$

여기서 $\Vert {\displaystyle }$ ${\displaystyle \Vert {}_{}}$ ${\displaystyle {L{}^{}}_{}}$ ${\displaystyle {{\infty \mathrm{}}^{}}_{}}$($){\$은 본질적인 우월적 규범이다. 때로는 특히 카치오폴리 세트의 이론에서는 다음과 같은 표기법을 사용한다.

${\displaystyle \int _{\Oomega}\vert Du\vert =V(u,\Oomega )}$

$V{\displaystyle (u}$ ,${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$) ${\displaystyle V(u,\Oomega )}$이(가) $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$의 분포/약진 경사도의 총 변동임을$$ 강조하기 위해$.$ 또한 이 표기법은 $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$이(가) 클래스 ${\displaystyle {C\mathrm{}}^{}}$ 1 ${\$ C$^{1}($즉, 연속파생물을 갖는 연속적이고 차별화된 함수)인 경우, 그 변동은 정확히 구배 절대값의 정수임을 상기시킨다.

그러면 경계변동(BV함수) 함수의 공간은 다음과 같이 정의될 수 있다.

${\displaystyle BV(\Oomega )=\{u\in L^{1}(\Oomega)\colon V(u,\Oomega)<+\ft \}}}$

( ,) <+ ${\$이(가)라면 두 정의는 동등하다.

${\displaystyle \left \int _{\Omega }u(x)\operatorname {div} {\boldsymbol {\phi }}(x)\,\mathrm {d} x\right \leq V(u,\Omega )\Vert {\boldsymbol {\phi }}\Vert _{L^{\infty }(\Omega )}\qquad \forall {\boldsymbol {\phi }}\in C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})}$

therefore ${\textstyle \displaystyle {\boldsymbol {\phi }}\mapsto \,\int _{\Omega }u(x)\operatorname {div} {\boldsymbol {\phi }}(x)\,dx}$ defines a continuous linear functional on the space ${\displaystyle \scriptstyle C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})}$. Since ${\displaystyle \scriptstyle C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})\subset C^{0}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})}$ as a linear subspace, this continuous linear functional can be extended continuously and linearly to the whole ${\displaystyle \scriptstyle C$^{$0}(\Oomega ,\mathb {R} ^{n})$ 한-바나흐 정리 기준$$. 따라서 연속 선형 기능은 Riesz-Markov-Kakutani 표현 정리에 의해 라돈 측정을 정의한다.

로컬 BV 기능

로컬 통합 ${\displaystyle {\text{가능}}_{}^{}}$ 함수의 함수 공간, 즉 L $loc{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}\mathrm{\Omega }}$) ${\$ L_${\text{loc$}}^{$1}(\$Oomega )})이 글로벌 통합 가능 함수의 함수가 아닌 앞의 정의에서 고려되는 경우, 정의된 함수 공간은 로컬 보의 함수의 함수 공간이다.편차 없는 변주 정확하게, 정의 2.2에 대한 이 아이디어를 개발하면, 지역적 변화는 다음과 같이 정의된다.

$V(U,U):=\sup \left\{\int _{\Omega }u(x)\operatorname {div} {\boldsymbol {\phi }}(x)\,\mathrm {d} x:{\boldsymbol {\phi }}\in C_{c}^{1}(U,\mathbb {R} ^{n}),\ \Vert {\boldsymbol {\phi }}\Vert _{L^{\infty }(\Omega )}\leq 1\right\}}$

for every set ${\displaystyle \scriptstyle U\in {\mathcal {O}}_{c}(\Omega )}$, having defined ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {O}}_{c}(\Omega )}$ as the set of all precompact open subsets of ${\displaystyle \Omega }$ with respect to the standard topology of finite-dimensional vector 공간, 그리고 그에 상응하여 국부적으로 경계된 변동의 함수 클래스는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle BV_{\text{loc}}=\{u\in L_{\text{loc}}^{1}(\Oomega)}^{1}(\Oomega )\colon V(U, U)<+\forthall U\in {O}_{c}\c}\}\}\}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}"$

표기법

기본적으로 지역적으로 혹은 전 세계에서 유계 변동 기능의 공간의 표기법을 두개의 뚜렷한 집회, 그리고 불행하게도 그들은 꽤 비슷하다:첫번째는 이 항목에 채택된 예를 들어 참조 주스티(1984년)(부분적으로), Hudjaev &amp에;Vol'pert(부분적으로), Giaquinta, 모디카 및(1985년)사용되고 있다.;Souček (iii) 및 는 다음과 같다.

• ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle V}$(${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$) ${\displaystyle BV(\Oomega )}$은(는) 전역 경계 변동의 함수 공간을 식별함$$
• ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle l_{}}$ ${\displaystyle o_{}}$ ${\displaystyle c_{}}$ (${\displaystyle {}_{}\mathrm{\Omega }}$) ${\displaystyle BV_{loc}(\Oomega )}$은(는) 로컬 경계 변동의 함수 공간을 식별한다$$.

참고문헌에 채택된 두 번째 것은 볼퍼트(1967년)와 마즈야(1985)(1985년)이다.

• ${\displaystyle \stackrel{}{B}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{V}}$(${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$) ${\displaystyle {\overline {BV}(\Oomega )}$은(는) 전지구적 경계 변동의 함수 공간을 식별한다$$.
• ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle V}$(${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$) ${\displaystyle BV(\Oomega )}$은(는) 로컬 경계 변동의 함수 공간을 식별함$$

기본 속성

한 변수의 경우와 여러 변수의 기능에 공통되는 속성만 다음에서 고려할 것이며, 한 변수의 경우에 대한 증명은 여러 변수의 경우를 직접적으로 적응시키는 것이므로 여러 변수의 기능에 대해서만 증명서가 진행될 것이다. 또한 각 절에서 이 증명은 다음과 같이 명시될 것이다.f 특성은 국부적으로 경계된 변동의 함수에 의해서도 공유된다. 참고문헌(Giusti 1984, 페이지 7–9), (Hudjev & Vol'pert 1985), (Malek et al. 1996) 등이 광범위하게 사용된다.

BV 기능에는 점프 유형 또는 탈착식 불연속부만 있음

한 변수의 경우, 주장은 명확하다:${\displaystyle }$$u{\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$ 함수의 정의 [${\displaystyle a}$$,$ 간격의 각 $점{\displaystyle {}_{}}$ x ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$에 대해 다음 두 가지 주장 중 하나가 참이다$.$

${\displaystyle \lim_{x\오른쪽 화살표 x_{0^{-}}\!\!u(x)=\!\!\!\lim _{x\오른쪽 화살표 x_{0^{+}}\!\!\!u(x)}$

${\displaystyle \lim_{x\오른쪽 화살표 x_{0^{-}}\!\!u(x)\neq \!\!\!\lim _{x\오른쪽 화살표 x_{0^{+}}\!\!\!u(x)}$

두 한계 모두 존재하고 유한한 반면. 여러 변수의 함수의 경우 이해해야 할 전제가 있다. 첫째, 도메인 $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Oomega$에 속하는 주어진 $지점{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 0$${\$displaystyle x_{0}$에 근접할 수 있는 일련의 방향이 있다. $\backslash$$displaystyle \mathb{R}$^{$n}}}}.$ 필요한 사항이다.$정확$한 한계 개념 만들기: ${\displaystyle \stackrel{}{\mathbf{^}}}$ ${\displaystyle ^}$ ^ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\$ {$a}\}\in$ \$mathb{R$} $^n}}}}}$ $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Oba}}}}$을(으) 두 세트로$$ 나눌 수 있다$$.

${\displaystyle \Omega_{({\boldsymbol{\hat{}}},{\boldsymbol{x}}_{0})}=\Omega \cap \{{\boldsymbol{)}}\mathbb{R}^{n}\langle{\boldsymbol{)}}-{\boldsymbol{)}}_{0},{\boldsymbol{\hat{}}}\rangle>0\}\qquad\Omega _{(-{\boldsymbol{\hat{}}},{\boldsymbol{x}}_{0})}=\Omega \cap \{{\boldsymbol{)}}\in\mathbb{R}^{n}\langle{\boldsymb \in.올 {x}-{\\symbol{x}_{0},-{\symbol {\hat{a}}\rangele >0\}}}$

그런 다음 BV 함수 $u{\displaystyle }${\$displaystyle$ u}의$$ 도메인 $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}${\$displaystyle \scriptstyle \Oomega \in \mathb${R}$^n}}$에 속하는 각 $지점{\displaystyle {}_{}}$ x ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$ $u}$에 대해 다음 두 가지 주장 중 하나만 참이다$.$

${\displaystyle \lim_{\boldsymbol{x}}\오른쪽 화살표 {\boldsymbol {x}{0}}{{\boldsymbol{x}}}\in \Oomega_{{\boldsymbol{a}}}}}}}\!\!\!\!u({\boldsy\boldsymbol{x}=\!\!\!\!\!\\\lim_{\overset {{\boldsymbol{x}}\오른쪽 화살표 {\boldsymbol{x}}{{0}}{{\boldsymbol{x}}}\in \Oomega_{{-}-{\boldsymbol}}}}}\!\!\!\!\!\!u({\boldsymbol{x}}}$

${\displaystyle \lim_{\boldsymbol{x}}\오른쪽 화살표 {\boldsymbol {x}{0}}{{\boldsymbol{x}}}\in \Oomega_{{\boldsymbol{a}}}}}}}\!\!\!\!u({\boldsymbol {x}\neq \!\!\!\!\!\!\\lim_{\overset {{\boldsymbol{x}}\오른쪽 화살표 {\boldsymbol{x}_{0}{{\boldsymbol{x}}}}{{{-{\boldsymbol{a}}}}}\!\!\!\!\!\!u({\boldsymbol{x}}}$

또는 ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 0 ${\$은(는) 0 $n{\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle n-1}$ -차원$$$$ Hausdorff 측정값의 $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Oomega}}$의 하위 집합에$$ 속한다. 수량

${\displaystyle \lim_{\boldsymbol{x}}\오른쪽 화살표 {\boldsymbol {x}{0}}{{\boldsymbol{x}}}\in \Oomega_{{\boldsymbol{a}}}}}}}\!\!\!\!\!u({\boldsymbol {x}})=u_{\boldsymbol {\hat {a}}}({\boldsymbol {x}}_{0})\qquad \lim _{\overset {{\boldsymbol {x}}\rightarrow {\boldsymbol {x}}_{0}}{{\boldsymbol {x}}\in \Omega _{(-{\boldsymbol {\hat {a}}},{\boldsymbol {x}}_{0})}}}\!\!\!\!\!\!\!u({\boldsymbol{x}}=u_{-{\\boldsymbol {\hat{a}}}({\\boldsymbol {x}_{0}})}$

지점 $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$에서 BV 함수 $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$의 대략적인 한계라고 한다$.$

V(·, Ω)은 L¹(Ω)에서 하한 반연속이다.

기능 $V{\displaystyle }$ (${\displaystyle \cdot }$ ,${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$)${\displaystyle }$: B ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ (${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$)${\displaystyle }$→ R${\displaystyle {}^{}}$+ ${\$ V$(\cdot ,\Oomega$ )$$:$BV(\Omega )\rightarrow \mathbb {R} ^{+}}$ is lower semi-continuous: to see this, choose a Cauchy sequence of BV-functions ${\displaystyle \scriptstyle \{u_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$ converging to ${\displaystyle \scriptstyle u\in L_{\text{loc}}^{1}(\Omega )}$. 그 다음, 시퀀스의 모든 기능과 한계 함수는 통합할 수 있고 하한 정의에 의해 통합될 수 있기 때문이다.

${\displaystyle \liminf _{n\rightarrow \infty }V(u_{n},\Omega )\geq \liminf _{n\rightarrow \infty }\int _{\Omega }u_{n}(x)\operatorname {div} \,{\boldsymbol {\phi }}\,\mathrm {d} x\geq \int _{\Omega }\lim _{n\rightarrow \infty }u_{n}(x)\operatorname {div} \,{\boldsymbol {\phi }}\,\mathrm {d} x=\int _{\Omega }u(x)\operatorname {div} {\boldsymbol {\phi }}\,\mathrm {d} x\qquad \forall {\boldsymbol {\phi }}\in C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n}),\quad \Vert {\boldsymbol {\phi }}\Vert _{L^{\infty }(\Omega )}\leq 1}$

Now considering the supremum on the set of functions ${\displaystyle \scriptstyle {\boldsymbol {\phi }}\in C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})}$ such that ${\displaystyle \scriptstyle \Vert {\boldsymbol {\phi }}\Vert _{L^{\infty }(\Omega )}\leq 1}$ then the following 불평등이 진실이다.

${\displaystyle \liminf _{n\오른쪽 화살표 \infit }V(u_{n}\Oomega )\geq V(u,\Oomega )}$

그것은 정확히 낮은 준주의 정의다.

BV(Ω)는 바나흐 공간이다.

정의 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$ (${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$) ${\displaystyle BV(\Oomega )}$은(는) ${\displaystyle {L\mathrm{}}^{}}$ 1${\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$)$${\$displaystyle$ L$^{1}(\Oomega$ $)\}$의 하위 집합이며, 선형성은 정의 적분(예:)의 선형성 속성에서 나타난다.

${\displaystyle {\begin{aigned}\int_{\Oomega }[u(x)+v(x)]]\operatorname{div}{\boldsymbol{\phi}}())\,\mathrm{d}x&,=\int _ᆴu())\operatorname{div}{\boldsymbol{\phi}}())\,\mathrm{d}x+\int _ᆸv())\operatorname{div}{\boldsymbol{\phi}}())\,\mathrm{d}x=\\&,=-\int _{\Omega}\langle{\boldsymbol{\phi}}()),Du())\rangle-\int _{\Omega}\langle{\boldsymbol{\phi}}()),Dv())\ra.ngle =-\_{\Oomega}\langle {\boldsymbol {\\phi }}(x), [Du(x)+Dv(x)]\angle \end{aigned}}}}}$

for all ${\displaystyle \scriptstyle \phi \in C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})}$ therefore ${\displaystyle \scriptstyle u+v\in BV(\Omega )}$for all ${\displaystyle \scriptstyle u,v\in BV(\Omega )}$, and

${\displaystyle \int _{\Omega }c\cdot u(x)\operatorname {div} {\boldsymbol {\phi }}(x)\,\mathrm {d} x=c\int _{\Omega }u(x)\operatorname {div} {\boldsymbol {\phi }}(x)\,\mathrm {d} x=-c\int _{\Omega }\langle {\boldsymbol {\phi }}(x),Du(x)\rangle }$

for all ${\displaystyle \scriptstyle c\in \mathbb {R} }$, therefore ${\displaystyle \scriptstyle cu\in BV(\Omega )}$ for all ${\displaystyle \scriptstyle u\in BV(\Omega )}$, and all ${\displaystyle \scriptstyle c\in \mathbb {R} }$. The proved vector space properties imply that ${\displaystyle BV(\Omega )}$ is a vector subspace of ${\displaystyle L^{1}(\Omega )}$. Consider now the function ${\displaystyle \scriptstyle \ \;\ _{BV}:$$BV(\Oomega )\오른쪽$ 화살표 $\mathb {R} ^{+}$로 정의됨$$

${\displaystyle \ \ \{BV}=\ u\{L^{1}+V(u,\Oomega )}$

where ${\displaystyle \scriptstyle \ \;\ _{L^{1}}}$ is the usual ${\displaystyle L^{1}(\Omega )}$ norm: it is easy to prove that this is a norm on ${\displaystyle BV(\Omega )}$. To see that ${\displaystyle BV(\Omega )}$ is complete respect to it, i.e. it is a Banach space, consider a Cauchy sequence ${\displaystyle \scriptstyle \{u_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$ in ${\displaystyle BV(\Omega )}$. By definition it is also a Cauchy sequence in ${\displaystyle L^{1}(\Omega )}$ and therefore has a limit ${\displaystyle u}$ in ${\d$Isplaystyle L^ᆬ(\Omega)}:n{\displaystyle u_{n}u부터}BV(Ω){BV(\Omega)\displaystyle}의 각 n{n\displaystyle}을 다스릴 수 있는 그때‖ 너 ‖ BV<>+ ∞{\displaystyle\scriptstyle \Vert u\Vert_{BV}<, 변화 V(⋅, Ω){\displaystyle \sc의 하부 semicontinuity에 의해 +\infty}.riptst$yle V(\cdot ,\Oomega$ $)\}$ 따라서 $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$은(는) BV 함수다$$. 마지막으로, 다시 낮은 세미콘틴율로 임의의 작은 양수 ${\$을(를) 선택하십시오.

${\displaystyle \Vert u_{j}-u_{k}\Vert _{BV}<\varepsilon \quad \forall j,k\geq N\in \mathbb {N} \quad \Rightarrow \quad V(u_{k}-u,\Omega )\leq \liminf _{j\rightarrow +\infty }V(u_{k}-u_{j},\Omega )\leq \varepsilon }$

여기서 $우리$는 V ${\displaystyle (\cdot }$ ,${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$) ${\$ V$(\cdot ,\Oomega )}$이(가) 규범이기 때문에 연속적이라고$$ 추론한다.

BV(Ω)는 분리할 수 없음

이를 보려면 공간 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$(${\displaystyle }$[ 0${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle 1])}$ ${\displaystyle BV([0,1])}$에 속하는 다음 예시만 고려해도 충분하다$.$^[6] 각 정의 0 < α < 1>에 대해 말이다.

${\displaystyle \chi \cHI _{\notin \\\notin \\\\\notin \\\\notin \\\\\notin \;\\\notin[\cHBEX,1]\nd.case{}}}}}$

왼쪽 닫힘 간격의${\displaystyle }$특성 함수로 [${\displaystyle \alpha ,}$ ${\displaystyle 1}$]$${\$displaystyle [\alpha,1$ 그런 다음 α,β³${\displaystyle }$[${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [0,1]$을 선택하여 다음 관계가 참이 되도록 한다.

${\displaystyle \Vert \chi _{\alpha }-\chi _{\beta }\Vert _{BV}=2}$

이제, ${\displaystyle B}$V (${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle 0}$ ,$$[ )의 모든 $조밀$한 부분집합은 셀 수$$ 없다는 것을 증명하기 위해, $모든{\displaystyle }$ α ${\displaystyle \in }$ [$$${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1}$$$${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle \alpha \in [0,1]}$에 대해$$ 볼 구성을 충분히 확인할 수 있다.

${\displaystyle B_{\alpha }=\left\{\psi \in BV([0,1]);\vert \chi _{\alpha }-\psi \Vert _{BV}\leq 1\right\}}}$

분명히 그 공들은 쌍으로 분리된 것이며, 또한 인덱스 세트가 $[{\displaystyle }$ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1}$]$${\$displaystyle [$${\displaystyle 0}$, 1$]$인 집합의 색인화된 패밀리다$.$ $이것$은 이 패밀리가 ${\displaystyle \mathrm{연속체}}$의 카디널리티를 가지고 있음을 암시한다: B V${\displaystyle }$(${\displaystyle }$[ 0${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ])}$ ${\displaystyle BV([0,1)}$의 모든 조밀한 서브셋은 이 멤버의 내부에 적어도 한 점을 가지고$$ 있어야 하기 때문이다. 패밀리, 그 카디널리티는 적어도 연속체의 그것이기 때문에 셀 수 없는 부분집합이다.^[7] 이 예는 분명히 더 높은 차원으로 확장될 수 있으며, 그것은 단지 국부적 특성만을 포함하기 때문에, 동일한 $특성$이 ${\displaystyle B_{}}$ V l ${\displaystyle o_{}}$c {\$displaystyle BV_{loc}$에도 참임을 암시한다$.$

BV 기능에 대한 체인 규칙

원활하지 않은 기능에 대한 체인 규칙은 매우 제한된 수준의 매끄러운 정도를 가진 함수나 함수들에 의해 행동이 설명되는 몇몇 중요한 물리적 모델들이 있기 때문에 수학과 수학 물리학에서 매우 중요하다. 다음의 체인 규칙은 논문에서 증명된다(Vol'pert 1967, 페이지 248). 참고 모든 부분파생상품은 일반화된 의미로 해석되어야 한다. 즉, 일반화된 파생상품으로 해석되어야 한다.

정리. Let ${\displaystyle \scriptstyle f:\mathbb {R} ^{p}\rightarrow \mathbb {R} }$ be a function of class ${\displaystyle C^{1}}$ (i.e. a continuous and differentiable function having continuous derivatives) and let ${\displaystyle \scriptstyle {\bo$$ldsymbol {u}}({\boldsymbol {x}})=(u_{1}({\boldsymbol {x}}),\ldots ,u_{p}({\boldsymbol {x}}))}$ be a function in ${\displaystyle BV(\Omega )}$ with ${\displaystyle \Omega }$ being an open subset of ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} ^{n}}$. Then ${\displaystyle f\circ \mathit{u}(\mathit{x})=f(\mathit{u}(\mathit{x}))\in BV(\mathrm{\Omega })}$${\displaystyle \scriptstyle$ f\$circle {\boldsymbol{x}}}=f({\boldsymbol{x})\in$ $BV(\Oomega )}$ 및

${\displaystyle {\frac {\pairfl\pairsymbol {u}({\pairsymbol {x})}}{\property x_{i}}}=\sum _{k=1}^{p}{\frac {\bar{f}}({\propersymbol{u}})({\propersymbol {x}})}}{\frac u_{k}}{\frac {u_{k}({\symbol{x}}}}}}}}}{\message x_{i}}}}}\qquad \forall i=1,\ldots,n}$

여기서 $f{\displaystyle \stackrel{\text{'}}{}}$ (${\displaystyle u\mathit{}}$ ($){\$은 $as$ Ω ${\$ 지점의 함수의 평균값이다$.$

${\displaystyle {\bar {f}({\propersymbol {u})({\propersymbol {x})=\int _{0}^{1}^{1}f\left\lift\symbol {u}_{\hat{x}}}}}{\hd}}}{\jamsymbol{u}}}}{-{\jamsymbol{\a}}}}}}}{\symbol (1-t)\d)\d)\d},d)\t},t}$

Lipschitz $연속함수$에 대한 보다 일반적인 체인 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$f${\displaystyle }$: ${\displaystyle {}^{}}$p → R ${\displaystyle {}^{}}$ {\$displaystyle \scriptstyle f:\mathb$ {R$}^{p}\오른쪽$ 화살표$\mathb${R}{s$}}}}}}}$는 루이지 암브로시오와 지아니 달 마사오에 의해 발견되어 논문(Anambrosio & Dal Maso 1990)에 게재되고 있다. However, even this formula has very important direct consequences: using ${\displaystyle (u({\boldsymbol {x}}),v({\boldsymbol {x}}))}$ in place of ${\displaystyle {\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {x}})}$, where ${\displaystyle v({\boldsymbol {x}})}$ is also a ${\displaystyle$$BV}$ 함수$$ 및 $선택{\displaystyle }$ f${\displaystyle }$(${\displaystyle }$( ${\displaystyle u}$,${\displaystyle }$v${\displaystyle }$) = ${\displaystyle u}$ v ${\displaystyle$ f$(u,v)=uv$ 앞의 공식은 ${\displaystyle B}$ V$${\$displaystyle BV}$ 함수에$$ 대한 Leibniz 규칙을 제공한다.

${\displaystyle {\frac {\partial v({\boldsymbol {x}})u({\boldsymbol {x}})}{\partial x_{i}}}={{\bar {u}}({\boldsymbol {x}})}{\frac {\partial v({\boldsymbol {x}})}{\partial x_{i}}}+{{\bar {v}}({\boldsymbol {x}})}{\frac {\partial u({\boldsymbol {x}})}{\partial x_{i}}}}$

이는 경계변동의 두 함수의 산물이 다시 경계변동의 함수임을 의미하므로, ${\displaystyle B}$ V ($){\displaystyle BV(\Oomega )}$는 대수라는 것을 의미한다.

BV(Ω)는 바나흐 대수

This property follows directly from the fact that ${\displaystyle BV(\Omega )}$ is a Banach space and also an associative algebra: this implies that if ${\displaystyle \{v_{n}\}}$ and ${\displaystyle \{u_{n}\}}$ are Cauchy sequences of ${\displaystyle BV}$ functions converging respectiveLy는 $B{\displaystyle }$ $)$의 $v{\displaystyle }$$$ ${\displaystyle v}$ 및$$ u ${\$$displaystyle u$$}$ 기능에 연결한 다음$,$

${\displaystyle {\begin{matrix}vu_{n}{\xrightarrow[{n\to \infit }}{n\to \infit }}{}}}{n\n\n\longleftrightarrow \quadvo \quadvu\quadvo\quadvu\in BV(BV(BV(오메가))$

따라서 함수의 일반적인 산물은 각 인수에 ${\displaystyle \mathrm{관하여}}$ B $V{\displaystyle }$ $){\displaystyle BV(\Oomega )}$에서 연속적으로 나타나며, 이 함수 공간을 바나흐 대수학으로 만든다.

일반화 및 확장

가중 BV 함수

상기의 총변동 개념을 일반화하여 서로 다른 변동에 가중치를 부여할 수 있다. More precisely, let ${\displaystyle \scriptstyle \varphi :[0,+\infty )\longrightarrow [0,+\infty )}$ be any increasing function such that ${\displaystyle \scriptstyle \varphi (0)=\varphi (0+)=\lim _{x\rightarrow 0_{+}}\varphi (x)=0}$ (the weight function) and let ${\displaystyle \scriptstyle f:[0,T]\longrightarrow X}$ be a function from the interval ${\displaystyle [0,T]}$⊂ℝ taking values in a normed vector space ${\displaystyle X}$. Then the ${\displaystyle \scriptstyle {\boldsymbol {\varphi }}}$-variation of ${\displaystyl$$e f}$ 이상$$${\displaystyle }$[ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [0,T]$은(는) 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle \mathop {\varphi {\text{-}\operatorname {Var} _{[0,T]}(f):=\sup \sum _{j=0}^{k}\varphi \left(f(t_{j+1})-f(t_{j}) _{X}\right),}$

여기서, 평소와 ${\displaystyle \mathrm{같이}}$, 최상위는 [ 0$,{\displaystyle }$ T ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [0,T]},$즉, 모든 유한 집합의 실수 t ${\$를 인수한다.

${\displaystyle 0=t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{k}=T.}$

위에서 고려한 변동의 원래 개념은 체중 함수가 ID 함수인 $\phi {\displaystyle }$ ${\$ -분리의$$ 특수한 경우로서, 통합형 $함수{\displaystyle }$ f ${\displaystyle$ f$}$은 가중 BV 함수(중량 $\phi {\displaystyle }$ ${\$ $\})$라고 한다$$.f의 $\phi {\displaystyle }$ ${\$ -properties가$$ 유한한 경우에만 해당.

${\displaystyle f\in BV_{\varphi }([0,T];X)\iff \mathop {\varphi {\text{-}\opername {Var} _{[0,T](f)+\fty }$

공간 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\phi }_{}}$ ${\displaystyle ([}$ ${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle ]}$; ${\displaystyle X}$) ${\$은 표준과 관련된 위상학적 벡터 공간이다.

${\displaystyle \ \f\{BV_{\varphi }:=\\f\\\nfty }+\mathop {\varphi {\text{-}\operatorname {Var}} _{0,T](f),}$

어디‖ f‖ ∞{\displaystyle \scriptstyle)f\_{\infty}}. 가중 BV 기능과 완전한 일반성에서 공부하고 Władysław Orlicz와 줄리안 Musielak에 의해 신문에 Musielak & 소개되었다;Orlicz 1959년:로런스 치솜 영 φ())=일찍 사건에 대해 공부 f{\displaystyle f}의 일상적 상한 규범을 의미한다.x${\displaystyle p^{}}$ ${\$ 여기서$$ $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$은 양의 정수다.

SBV 기능

SBV 기능, 즉 Bounded 변화의 특수 함수 루이지 엠브로시오와 엔니오 드 기오르기까지 서류를(엠브로시오&드 기오르기 1988년)에서 자유로운 불연속성 변분 문제를 다루기:Rn(^{n}}, 우주 SBV(Ω){\displaystyle SBV(의 개방된 부분 집합 Ω{\displaystyle \Omega} 주어진 소개되었다.\Om$ega )}$은 ${\displaystyle \mathrm{BV}}$(${\displaystyle \Omega }$) {\$displaystyle BV(\Oomega )}$의 적절한 선형 하위공간으로$,$ 그 안에 속하는 각 기능의 약한 구배는 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyn}$ -dension$$ support와${\displaystyle }$n - ${\displaystyle 1}$ ${\\displaystyn-1}$ -dension의 합으로 정밀하게 구성되며, 중간차원적 용어는 없다. 다음의 정의.

정의. 로컬로 통합 가능한 $함수{\displaystyle }$u {\$displaystyle$u}이$($가) 지정되면 $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ S ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle (\mathrm{\Omega }}$) ${\$$BV}(\Oomega )}$인 경우 및 다음 경우에만

1. 도메인 $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Oomega}$의 $보렐{\displaystyle }$ 함수 f {\${\displaystyle {}^{}}$ $g}$와 codomain$$R n {\displaystyle $\mathb{R}$^{$n}}$가 있으며, 이러한$$ 함수는 다음과 같다.

${\displaystyle \int _{\Oomega }\vert f\vert \,dH^{n}+\int _{\Oomega}\vert g\vert \,dH^{n-1}<+\ft.}$

2. For all of continuously differentiable vector functions ${\displaystyle \scriptstyle \phi }$ of compact support contained in ${\displaystyle \Omega }$, i.e. for all ${\displaystyle \scriptstyle \phi \in C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})}$ the following formula is true:

${\displaystyle \int_{\Oomega }u\operatorname {div} \phi \,dH^{n}=\phi \f\angle \dH^{n}+\\\\\\\langle \phi \g\dH^-1}.}$

여기서 $H{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\alpha }^{}}$ ${\$은(는) $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha}$-차원$$ Hausdorff 측정값이다.

SBV 기능의 특성에 대한 자세한 내용은 서지학 절에서 인용한 작품에서 확인할 수 있다: 특히 논문(De Giorgi 1992)은 유용한 서지학을 포함하고 있다.

bv 시퀀스

Banach 공간의 특별한 예로서 Dunford & Schwartz(1958, IV장) 하브txt 오류: 대상 없음: CITREFDunford Schwartz1958 (도움말)은 경계 변동의 함수의 공간 외에도 경계 변동의 시퀀스 공간을 고려한다. 실제 또는 복잡한 숫자의 시퀀스 x = (x_i)의 총 변동은 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle TV(x)=\sum _{i=1}^{\infit }x_{i+1}-x_{i} .}$

유한 총변동의 모든 시퀀스의 공간은 bv로 나타낸다. bv의 표준은 다음과 같다.

${\displaystyle \ x\ _{bv}=x_{1} +\operatorname {TV}(x)=x_{1} +\sum _{i=1}^{\infit }x_{i+1}-x_{i} .}$

이러한 규범과 함께 공간 bv는 ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}${\$displaystyle \ell _{1$}에 이형화된 바나흐 공간이다$.$

총 변동 자체에는 bv로₀ 표시된 bv의 특정 하위 공간에 대한 규범이 정의되며, 이 표준에 해당하는 시퀀스 x = (x_i)로 구성된다.

${\displaystyle \lim _{n\to \ft }x_{n}=0.}$

bv의₀ 표준은 다음과 같다.

${\displaystyle \ x\ _{bv_{0}=TV(x)=\sum _{i=1}^{{i=1}^{\infit }x_{i+1}-x_{i} .}$

이 표준 bv에₀ 관해서도 Banach 공간이 되는데, 이 공간은 $\ell {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$1}에 이형 및 등축적이다(자연적인 방법은 아니지만).$$

경계 변동의 측정값

서명한(또는 복잡한)조치 μ 측정 가능한 공간(X, Σ){\displaystyle(X,\Sigma)}에{\displaystyle \mu}의 총 변이 μ ‖ ‖ 유계 변동)μ(X){\displaystyle\scriptstyle \Vert \mu \Vert)\mu(X)}:Halmos(1950년 페이지의 주 123), 콜모고로프 &amp을 보는 시야, Fomin(1969년, 3p.다고 한다.46cm 또는 자세한 내용은 "총 변동" 항목을 참조하십시오.

예

서론에서 언급했듯이, BV 기능의 두 가지 큰 등급의 예는 단조함수와 절대적으로 연속적인 기능이다. 음의 예: 함수

${\displaystyle f(x)={\displaysty{case}0,&{\mbox{{}x=0\\\\sin(1/x),&#mbox{}{{}x\neq 0\case{}}}}$

간격${\displaystyle }$[ ${\displaystyle 0,2}$ / ] ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [0,2/\pi ]}$에 대한 경계가 없는 변동임

더 잘 보이지 않는 동안, 연속적인 기능은

${\displaystyle f(x)={\displaysty{case}0,&{\mbox{{}x=0\\x\sin(1/x),&#mbox{}{{}x\neq 0\end{case}}}}$

또한$$ [${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 2}$/ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [0,2/\pi ]}$ 간격에 대한 경계 변동을 나타내지 않는다.

동시에 함수도

${\displaystyle f(x)={\case}0,&#{\mbox{{{}x=0\\\x^{2}\sin(1/x),&#mbox{}{{}x\neq 0\case}}}}}$

간격에${\displaystyle }$대한 ${\displaystyle \mathrm{경계변동}}$ [${\displaystyle 0}$, 2${\displaystyle }$/ bound ${\displaystyle ]}$ $[\displaystyle [0,$${\displaystyle 2}$$/\pi$$]\}.$ 그러나 세 가지 함수 모두 각${\displaystyle }$간격에 대한 경계변동$[a,b]$이며 보다 작은 $값$이다

The Sobolev space ${\displaystyle W^{1,1}(\Omega )}$ is a proper subset of ${\displaystyle BV(\Omega )}$. In fact, for each ${\displaystyle u}$ in ${\displaystyle W^{1,1}(\Omega )}$ it is possible to choose a measure ${\displaystyle \scriptstyle \mu :=\nab$$la u{\mathcal{L}($$여기$서 L ${\$은(는) 동등하게 $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Oomega$에 대한 Lebegue 측정값이다.

${\displaystyle \int \int u\operatorname {div} \phi =-\int \phi \,d\mu =-\int \phi \,\nabla u\qquad \all \phi \in C_{c}^{1}:{1}$

보유, 그것은 약한 파생상품의 정의에 지나지 않기 때문에, 따라서 참이다. ${\displaystyle {\mathrm{W}}^{}}$ 1,${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$ ${\$1$\}$ : 치수 1에서 비거리 점프를 가진 모든 스텝 기능이 하는 BV 기능의 예를 쉽게 찾을 수 있다.

적용들

수학

경계가 있는 변동의 기능은 기능의 불연속성 및 실제 기능의 차별성과 관련하여 연구되어 왔으며, 다음과 같은 결과가 잘 알려져 있다. $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$이$({\displaystyle }$가) [${\displaystyle }$, ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [a,b]}$ 간격에 대한 경계 변동의 실제 함수인 경우$$

• ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$은(는) 카운트 가능 집합에서 최대값을 제외하고 연속형임.
• ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$은(는) 도처에 단측 한계가 있고$$(는 ${\displaystyle (,}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle(a,b$ $$${\displaystyle [,}$ ${\displaystyle b}$) ${\displaystyle [a,b]$의 모든 도처에 왼쪽부터 있다).
• ${\displaystyle \mathrm{파생}}$ 모델 $f{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle f'(x)}$은(는) 거의 모든$$ 곳에 존재한다(즉, 측정값 0의 집합을 제외).

여러 실제 변수의 실제 함수

• Caccioppoli 세트의 특징적인 기능은 BV 기능이다: BV 기능은 현대적인 permeter 이론의 기초에 위치한다.
• 최소 표면은 BV 함수의 그래프로, 이 맥락에서 참조를 참조한다(Giusti 1984).

물리학 및 공학

불연속성을 다루는 BV 기능의 능력은 적용 과학에 널리 쓰이게 했다: 역학, 물리학, 화학 운동학의 문제 해결은 종종 경계가 있는 변동의 함수로 표현된다. 이 책(Hudjev & Vol'pert 1985)은 BV 함수의 매우 풍부한 수학적 물리 응용을 상세히 기술하고 있다. 또한 간단한 설명을 들을 만한 현대적인 응용이 있다.

• Mumford-Shah 기능: 2차원 영상에 대한 분할 문제, 즉 등고선과 회색 척도의 충실한 재현 문제는 그러한 기능의 최소화와 동일하다.
• 총변동디노이즈

참고 항목

메모들

참조

외부 링크

이론

• Golubov, Boris I.; Vitushkin, Anatolii G. (2001) [1994], "Variation of a function", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• "BV function". PlanetMath..
• Rowland, Todd & Weisstein, Eric W. "Bounded Variation". MathWorld.
• 수학 백과사전의 경계변동 기능

기타

• 루이지 암브로시오 스쿠올라 노르말레 수페리오레 디 피사의 홈 페이지. BV 기능의 이론 및 적용에 기여한 사람 중 한 명의 학술 홈 페이지(사전 인쇄 및 간행물 포함)
• Scoola Normale Superiore di Pisa의 변이 및 기하학적 측정 이론 연구 그룹

이 글에는 크리에이티브 커먼스 귀속/공유 앨리케 라이센스에 따라 라이센스가 부여된 PlanetMath의 BV 함수의 자료가 통합되어 있다.