אפיגרף (מתמטיקה)

פונקציה (בשחור) והאפיגרף שלה (בירוק)

במתמטיקה, האֶפִּיגְרָף של פונקציה f : Rⁿ→R היא קבוצת הנקודות שנמצאות מעל או על הגרף:

${\mbox{epi}}f=\{(x,\mu )\,:\,x\in \mathbb {R} ^{n},\,\mu \in \mathbb {R} ,\,\mu \geq f(x)\}\subseteq \mathbb {R} ^{n+1}.$

האפיגרף המוגבל הוא האפיגרף ללא הגרף עצמו:

${\mbox{epi}}_{S}f=\{(x,\mu )\,:\,x\in \mathbb {R} ^{n},\,\mu \in \mathbb {R} ,\,\mu >f(x)\}\subseteq \mathbb {R} ^{n+1}.$

הגדרה זהה קיימת לפונקציה שלוקחת ערכים מהתחום R ∪ ∞., ובמקרה זה, האפיגרף הוא קבוצה ריקה אם ורק אם f זהה לאינסוף ($f\equiv \infty$). אפשר גם להגדיר את האפיגרף כאשר התמונה היא כל מרחב וקטורי. בצורה דומה, אפשר להגדיר את קבוצת הנקודות שמתחת לגרף, שהיא ההיפוגרף. מאפיינים של האפיגרף הם:

• פונקציה היא קמורה אם ורק אם האפיגרף שלה היא קבוצה קמורה.
• פונקציה היא פונקציה רציפה למחצה אם ורק אם האפיגרף שלה היא קבוצה סגורה.